6.4 探索三角形相似的条件（2）（教案）
【明标】
会用两角分别相等来判定两个三角形相似.
【探标】
1.判定两个三角形全等有哪些方法？
2.如果要判定两个三角形是不是相似，是否一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
3.我们学过哪种判定三角形相似的方法？
探究一、求证△ABC∽△A′B′C′
三角形相似的条件：___________________________________的两个三角形相似．
几何语言：
在△ABC与△A′B′C′中
∵∠B= ，∠A=
∴△ABC∽△A′B′C′
二、典例研究
例1.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC
例2.如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，
（1）△ABC与△ADE相似吗？为什么？
（2）如果AB=2AD,BC=4,那么DE的长应为多少？
例3.如图，在矩形中，点分别在边上，若BE⊥EF,求证：．
【达标】
1.判断下列说法是否正确？并说明理由．
（1）所有的等腰三角形都相似． ( )
（2）所有的等腰直角三角形都相似．( )
（3）所有的等边三角形都相似． ( )
（4）所有的直角三角形都相似． ( )
（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似．( )
（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似．( )
2.如图，在△ABC中BD⊥AC， AE⊥BC，图中一定和△BDC相似的三角形有几个 它们分别是哪些三角形？
3.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，且∠ACD＝∠B
求证：（1）△ACD∽△ABC （2）AC2＝ADAB
6.4探索三角形相似的条件（2）（学案）
班级__________姓名
一、选择题
1.具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是 （ ）
A．有一个角是40°的两个等腰三角形 B．两个等腰直角三角形
C．有一个角为100°的两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2.如图，在□ABCD中，点E在边BC的延长线上，连接AE交CD于点F．图中的相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E．下列结论正确的是 （ ）
A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD
C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC
二、填空题
4．（1）已知：在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是___________．
（2）如图，锐角三角形ABC的边AB、AC上的高CE和BF相交于点D．请写出图中的两对相似三角形：______________________________（用相似符号连接）．
三、解答题
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．
△ABC与△BDC相似吗？请说明理由．
6．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高,
（1）求证：△ABC∽△ACD ，AC2＝AD·AB；
（2）类似地,你还可以得到哪些结论？
7.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE＝∠C，
（1）求证：△AED∽△ABC
（2）若AB＝6，AC＝4，AD＝4.8，求AE长
8．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△DEF.
9．如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
（1）求证：△DAE≌△DCF； （2）求证：△ABG∽△CFG．
（3）若正方形的边长为4，点G是BC的中点，求CF的长.
第4（2）题
1
46.4 探索三角形相似的条件（1）
教学目标：1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论，学会灵活应用；
经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．
教学重点：探索“见平行，得相似”的相关结论．
教学难点：成比例的线段中对应线段的确定．
教学过程：
课前专训
1、下列说法：①任意两个等腰三角形都相似；②任意两个直角三角形都相似；③任意两个等边三角形都相似；④任意两个等腰直角三角形都相似，其中正确的是 ( )
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
2、已知两个相似三角形的一对对应边的长度分别是35 cm和14 cm，它们的周长差是60 cm，求这两个三角形的周长．
要求：第一道口答，后一道学生板演，其余学生在作业本上完成。
二、探索活动
活动一：如图，画三条互相平行的直线l1、l2、l3，再任意画2条直线 a、b，使 a、b分别与l1、l2、l3相交于点A、B、C和点D、E、F．
要求：活动引入，通过学生独立作图．激发学生的探究兴趣．
探索新知
提出问题
（1）度量所画图中AB、BC、DE、EF的长度，并计算对应线段的比值，你有什么发现？
（2）如果任意平移l3，再度量AB、BC、DE、EF的长度．这些比值还相等吗？
思考：在练习本上，画4条、5条、……互相平行的直线，重复上面的过程，你发现的结论还成立吗
要求：组织学生积极操作与思考，利用小组合作的方式进行度量操作探究．度量数据计算难免会出现误差，小组合作，对比选择合适的答案，充分发挥小组合作的优势。
活动二：如图，在△ABC中， 点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系？
A型 X型
要求：通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．
问题1的设置仅说明当平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所构成的三角形与原三角形相似．与其他两边的延长线、反向延长线相交的情况由学生思考、解答．
三、归纳结论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似．
要求：通过操作、思考等数学活动，归纳出平行线分线段成比例定理和判定三角形相似的条件．教学中应结合实例向学生说明，在三角形中“见平行，想相似”也是解题的一种思路．
四、例题讲解：
例1 如图6-11，在中，点分别在上，且,试说明与相似的理由。
分析：由题意知，在和中，各角分别相等，且,要判定∽,只要证明.为此，把平移到的位置（作，交于点）就可以了。
解：过点作，交于点。
,
(两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例）。
四边形是平行四边形
.
.
,
.
又,
∽
五、尝试交流
1．如果再作MN∥DE，共有多少对相似三角形？
2.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个？请你写出来．
要求：1．学生独立完成；2．利用展台学生代表讲评．设计尝试交流的目的是为了加深学生对相似判定方法（1）的理解，同时为后续学习作好铺垫．
题1也可以向学生介绍相似三角形的传递性．
六、拓展延伸
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC．
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD＝1，DB＝3，
那么DG∶BC＝_____．
要求:设计拓展延伸的目的是为了进一步加深学生平行线分线段成比例定理的理解，同时培养学生分析问题、解决问题的能力．
七、课堂小结
通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似．
要求：学生讨论小结本节课内容．培养学生反思自己学习过程的意识，充分发挥学生的主体作用，从而培养归纳、整理、表达的能力．
八、课堂练习：
1、如图，D、E、F、G四点在△ABC的三边上，其中DG与EF相交于点H．若 ∠ABC＝∠EFC＝70°，∠ACB＝60°，∠DGB＝40°，则下列三角形相似的是( )
A．△BDG，△CEF B．△ABC，△CEF
C．△ABC，△BDG D．△FGH，△ABC
2、如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为 ( )
A．1 B． 2 C．3 D．4
3、下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似．其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，则△_______∽△_______，若AC＝2，AD＝1，则DB＝_______．
5、如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．试说明△ADE∽△EFC．
九、课后作业
1、（专训）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．
2、如图，A、B两地被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC、BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB，交BC于N，量得MN＝38 m，则AB的长为_______．
3、如图，零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB．若OC：OA＝1：2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝_______mm．
4、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于点M，则图中与△ABM相似的三角形有____________________．
5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为 ( )
A． B． C． D．2
6、如图，D是△ABC中BC边上的一点，E为AD边上的一点，若∠DAC＝∠B，CD＝CE．试说明△ACE∽△BAD．
7、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3．求：
(1)的值．
(2) BC的长．6.4 探索三角形相似的条件（3）（教案）
【明标】
1.会运用两边成比例且夹角相等来判定两个三角形相似.
2.培养“操作——观察——探索——说理”的数学能力.
【探标】
1. 类似于判定三角形全等的“SAS”方法，我们能不能通过两边一角来判断两个三角形相似呢？
三角形相似的条件：两边_________________________的两个三角形相似．
几何语言：在△ABC与 △A′B′C′中
∵, ∠A=
∴△ABC∽△A′B′C′
二、典例研究
例1、如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且CD2＝AD﹒BD．
（1）求证：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大小．
例2.如图，D是△ABC外一点，E是边BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．图中有几对相似的三角形？（不准添加新的字母）请说明理由．
例3.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2．
（1）在AB上取一点D，当AD＝______时，△ACD ∽△ABC；
（2）在AC的延长线上取一点E，当AE＝ 时，△AEB ∽△ABC；
此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？
【达标】
1.下列条件能判定△ABC∽△A′B′C′的有 （ ）
（1）∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A′＝450，A′B′＝16，A′C′＝20
（2）∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B′＝47°，A′B′＝2.8，B′C′＝2.1
（3）∠A＝47°，AB＝2，AC＝3，∠B′＝47°，A′B′＝4，B′C′＝6
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
2.如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，能满足△APC∽△ACB的条件是 （ ）
A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③
6.4 探索三角形相似的条件（3）（学案）
班级__________姓名
一、选择题
1、△ABC的三边长分别为2、5、6，△A′B′C′的两边长分别为1、3，要使△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的第三边长应为 （ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2.5
2、如图，给出下列条件：①∠B＝∠C，②∠ADB＝∠AEC，③，④，⑤．其中，能使△BPE∽△CPD的条件有 （ ）
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
二、填空题
3、如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，BC＝3，CD＝4，当AB＝________时，△ABD∽△BCD．
三、解答题
4、如图，点D在AC上，AB2＝AD·AC．求证：△ABD∽△ACB．
5、如图，P是在正方形ABCD的边BC上的一点，且BP＝3PC,Q是CD的中点，
（1）△ADQ与△QCP相似吗？（2）求∠AQP的度数.
6、如图，矩形ABCD中，AB∶BC＝1∶2，点E在AD上，且DE＝3AE，
（1）△ABC与△EAB相似吗？ （2）AC与BE有何位置关系.
7、如图，O是△ABC内任一点，A′、B′、C′分别是OA、OB、OC上的点，且．
△A′B′C′与△ABC相似吗？为什么？
8、如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为B、D，AB＝2，CD＝4，BD＝3．在直线MN上是否存在点P，能使△PAB与△PCD相似，如果存在，满足上述条件的点P有几个？说明点P与点B、D的距离．
1
46.4 探索三角形相似的条件（4）（教案）
【明标】
1.会运用三边成比例判定两个三角形相似.
2.能在复杂图形中寻找相似三角形.
【探标】
问题 类似于判定三角形全等的“SSS”方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
三角形相似的条件： 的两个三角形相似．
∵在△ABC与△中
∴△ABC∽△
二、典例研究
例1、如图， .求证：DE//BC.
例2、如图，点B、D、F、E在一条直线上，．求证：△ABD∽△ACE.
例3、如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，，若∠BAD=18°，求∠EBC的度数.
【达标】
1、要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长为6、7、8，另一个三角形框架的一边长为3，则这个三角形框架的另两边长应为
2、如图，，求证：∠BAC＝∠DAE.
3.如图，，试说明：（1）∠ABD=∠EBC.
（2）若AB=3，BC=4，CE=2，求AD的长．
6.4 探索三角形相似的条件（4）（学案）
班级__________姓名
一、选择题
1、如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的 （ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2、下面给出4个结论：①所有的等腰三角形都相似；
②所有的直角三角形都相似；③所有的等边三角形都相似；
④所有的矩形都相似．其中，正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、△ABC的三边长分别为2、5、6，△A′B′C′的两边长分别为1、3，要使△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的第三边长应为 （ ）
A． B．1 C．1.5 D．2.5
二、填空题
4、在△ABC中，AB : BC : CA＝ 2 : 3 : 4，在△A′B′C′中，A′B′＝1，C′A′＝2，
当B′C′＝_________时，△ABC∽△A′B′C′ ．
5、在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△A′B′C′中，A′B′＝4，A′C′＝3．
若BC : B′C′＝_________，则△ABC∽_________．
6、已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6．
（1）如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△DEF∽△ABC；
（2）如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△FDE∽△ABC．
三、解答题
7、已知：如图，，试说明：∠BAD＝∠BCE
8、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，ED、CA的延长线相交于点F.
(1)∠B与∠EDB相等吗 为什么 (2)判断△ADF与△DCF是否相似，并说明理由
9、如图，将两个全等的等腰直角△ABC和△DEF按如图位置摆放，且AE＝BE，
(1) △AEP与△BQE是否相似？为什么？
(2) 试说明：EA2＝AP·BQ.
11、如图，一个三角形钢筋框架的三边长分别为20cm，50cm，60cm，要再做一个与它相似的三角形钢筋框架．现有长30cm，50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，你认为有几种不同的截法？
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