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6.1.3 平方根
第六章 实数
1.了解平方根的概念,并理解平方与开平方的关系.
2.能利用开平方与平方互为逆运算求某些非负数的平方根.
重点难点:
1.掌握平方根的概念,并理解开方与开平方的关系.
2.会求非负数的平方根.
学习目标:
情景导入
思考:如果一个数的平方等于 9,这个数是多少
从前面我们知道,这个数可以是 3.除了 3 以外,还有没有别的数的平方也等于 9 呢
由于(-3) = 9,这个数也可以是 -3.
因此,如果一个数的平方等于 9,那么这个数是 3 或 -3.
x2 1 16 36 49
x
1或– 1
4或– 4
6或– 6
7或– 7
或
完成下列表格
知识精讲
知识点一 平方根的概念和特征
平方根的性质:如果x是正数a的一个平方根,那么a的平方根有且只有两个:x与-x.即平方根互为相反数.
一般地,如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a的平方根或二次方根.
这就是说,如果 x = a,那么 x 叫做 a 的平方根.
例如,3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根.
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方
我们看到, 的平方等于 9,9 的平方根是 ,所以平方与开平方互为逆运算.根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根.
±3
±3
平方
1
4
9
开方
+1
- 1
+2
- 2
+3
- 3
+1
- 1
+2
- 2
+3
- 3
1
4
9
1. 121的平方根是什么?
2. 0的平方根是什么?
0
没有,因为一个数的平方不可能是负数.
3.
的平方根是什么?
探究:
4.-9有没有平方根?为什么?
通过这些题目的解答,你能发现什么
问题:(1)正数有几个平方根?
(2)0有几个平方根?
(3)负数呢?
因为任何实数的平方都为非负数,所以负数没有平方根,也没有算术平方根.
有没有一个数的平方是负数?
平方根的性质:1.正数有两个平方根,两个平方根互为相反数.
2.0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
归纳:
例1 求下列各数的平方根:
(1)100; (2) ; (3)0.25.
解:(1)因为(±10) = 100,所以100的平方根是±10;
(2)因为 ,所以 的平方根是 ;
(3)因为(±0.5) = 0.25,所以0.25的平方根是±0.5.
针对练习
1.如果x2=a,那么下列说法错误的是( )
A.若x确定,则a的值是唯一的
B.若a确定,则x的值是唯一的
C.a是x的平方
D.x是a的平方根
B
知识点二 平方根的读法和表示
根号
被开方数
根指数
可以省略
合起来,一个正数a的平方根就用“ ”表示,(读作“正、负根号a”)
一个正数a的正平方根,用“ ”表示,(读作“根号a”).又叫a的算术平方根.a的负平方根,用“ ”表示,(读作“负根号a”).
非负数a的平方根表示为:
例2 求下列各式的值:
(1) ; (2) ; (3) .
解:(1)因为 6 = 36,所以 = 6;
(2)因为 0.9 = 0.81,所以 ;
(3)因为 ,所以 .
针对练习
1.计算下列各式的值:
(1) ; (2) ; (3) .
(3)因为 ,所以 .
解:
知识点三 平方与开方的关系
开平方与平方是什么关系?
a的平方根
底数
幂
被开方数
互为
逆运算
指数
根号
已知底数和指数求幂
已知幂和指数求底数
开平方运算
平方运算
开方
平方
运算符号
适用范围
运算结果名称
性质
正数有 个平方根,它们是 ,零的平方根是 , 负数 .
正数的平方是 数; 零的平方是 ; 负数的平方是 数.
开平方与平方的对比填空
正数与零
任何数
幂
平方根
正
正
0
2
互为相反数
0
没有平方根
1.包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.
平方根与算术平方根的联系与区别:
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0,算术平方根也是0.
区别:
1.个数不同:一个正数有两个平方根,但只有一个算术平方根.
联系:
2.表示法不同:平方根表示为: 而算术平方根表示为 .
例3 求下列各式的值:
解:(1) ;
(2) ;
(3) .
针对练习
1.9的平方根是( )
A.3 B.±3 C.﹣3 D.9
2.若一个数的平方等于5,则这个数等于 ______ .
B
3.求下列各式的值.
当堂检测
1.判断下列说法是否正确.
正确.
(4)(-4)2的平方根是-4.
(1) 是 的一个平方根;
(2) 是6的算术平方根;
(3) 的值是±4;
正确.
不正确,是 4.
不正确,是 ±4.
2.下列说法正确的有( )
①-2是-4的一个平方根;
②a2的平方根是a;
③2是4的一个平方根;
④4的平方根是-2.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
A
3.求下列各式中 x 的值:
(1)x2 = 25;(2)x2 – 81 = 0;(3)25x2 = 36.
解:(1)∵(±5)2 = 25,∴x= ±5;
(2)∵(±9)2 = 81,∴x=±9;
(3)x2 = .∵( ± )2 = .
∴x= ± .
4.一个正数的两个平方根分别是2a+1和a-4,求这个数.
解:由于一个正数的两个平方根是2a+1和a-4,
则有2a+1+a-4=0,即3a-3=0,
解得a=1.
所以这个数为(2a+1)2=(2+1)2=9.
课堂小结
平方根
平方根的概念
开平方及相关运算
平方根的性质