浙江省义乌市稠州中学教育集团2021-2022学年八年级下学期寒假检测数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2022八下·义乌开学考）已知三角形三边长分别为3，x，10，若x为正整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．2
2．（2022八下·义乌开学考）如果正比例函数y＝（a﹣1）x（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＜0 D．a＞0
3．下列定理中没有逆定理的是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．直角三角形中，两锐角互余
C．等腰三角形两底角相等 D．相反数的绝对值相等
4．（2022八下·义乌开学考）如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022八下·义乌开学考）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C
B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13
C．a＝2，b＝4，c＝2
D．（b+c）（b﹣c）＝a2
6．（2022八下·义乌开学考）有下列说法：
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为
，
，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2022八下·义乌开学考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于
MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．（2022八下·义乌开学考）关于x的不等式组 只有3个整数解，求a的取值范围（ ）
A．8＜a＜9 B．8≤a≤9 C．8≤a＜9 D．8＜a≤9
9．（2022八下·义乌开学考）如图，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2.5，1.5）
C．（3，1） D．（1.5，2.5）
10．（2022八下·义乌开学考）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则下列结论正确的有（ ）个．
①△BDG≌△ADE；②△GDE为等腰直角三角形；③四边形DFEG的周长为2
+2．
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（2022八下·义乌开学考） 有意义，则x取值范围是 .
12．（2022八下·义乌开学考）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝10，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为 ．
13．（2022八下·义乌开学考）将直线y＝5x向左平移2个单位所得的直线的解析式是 ．
14．（2022八下·义乌开学考）某商场促销，某种笔记本的售价是25元，进价是18元，商场为保证利润率不低于5%，则该笔记本最多降价 元．
15．（2022八下·义乌开学考）如果x2﹣3x+1=0，则
的值是 ．
16．（2022八下·义乌开学考）如图，在平面直角坐标系中，点M（6，0），N（0，6），一点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线O-N-M运动，设点P运动时间为t，当t=
时，直线
上有一个动点C和y轴上有一个动点D，则PD+DC+OC的最小值是 ．
17．（2022八下·义乌开学考）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k ≤ 2）与直线x＝﹣k，y＝﹣k分别交于点A，B．直线x＝﹣k与y＝﹣k交于点C．记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为W；横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
（1）当k＝﹣2时，区域W内的整点个数为 ．
（2）若区域W内没有整点，则k的取值范围是 ．
三、解答题（共7小题，共62分）
18．（2022八下·义乌开学考）
（1）解不等式组
，
（2）计算：
×2
－
÷
19．（2022八下·义乌开学考）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于E点．
（1）求证：△ACE是等腰三角形；
（2）若AC=25cm，CE=48cm，求△ACE的面积．
20．（2016·枣庄）先化简，再求值： ，其中a是方程2x2+x﹣3=0的解．
21．（2022八下·义乌开学考）已知y﹣2与x+1成正比例，且当x＝1时，y＝﹣4．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）判断点A（-2，-7）是否在函数的图象上，并说明理由；
（3）当m≤x≤m+2时，y的最小值为4，求m的值．
22．（2022八下·义乌开学考）甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量
(件)与时间
(时)的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y与时间
之间的函数关系式；
（2）求乙组加工零件总量
的值；
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
23．（2022八下·义乌开学考）如图
（1）问题背景：已知，如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，AB＝a，△ABC的面积为S，则有BC＝ ，S＝ ．
（2）迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．若AD＝2，BD＝4，求△ABC的面积．
（3）拓展延伸：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，在∠BAC内作射线AM，点D与点B关于射线AM轴对称，连接CD并延长交AM于点E，AF⊥CD于F，连接AD，BE．
①求∠EAF的度数；
②若CD＝5，BD＝2，求BC的长．
24．（2022八下·义乌开学考）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△ABP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵10-3＜x＜10+3
∴7＜x＜13
∵x是正整数
∴x的可能值是8、9、10、11、12，共5个
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，从而得到x的取值范围，之后再结合x为正整数，可列举出所有满足条件的x的值，由此得到答案.
2．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝（a﹣1）x（a是常数）的图象在第一、三象限
∴a﹣1＞0
∴a＞1
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数y=kx的图象，当k＞0时，图象经过一、三象限；当k＜0时，图象经过二、四象限，由此可以得到a的取值范围.
3．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；余角、补角及其性质；平行线的判定；等腰三角形的性质；逆命题
【解析】【解答】解：A、内错角相等，两直线平行的逆定理是两直线平行，内错角相等，正确；
B、直角三角形中，两锐角互余的逆定理是两锐角互余，则是直角三角形，正确；
C、等腰三角形两底角相等的逆定理是两底角相等相等的三角形是等腰三角形，正确；
D、相反数的绝对值相等的逆命题是绝对值相等的两个数互为相反数，错误；
故选D
【分析】写出各个定理的逆命题，判定真假即可．
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴可得，x＞-2且x≥3
所以解集为：
故答案为：B.
【分析】根据不等式组在数轴上的表示，往右表示大于，往左表示小于，同时空心圈不包含该点，实行点包含该点，由此可得到答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、 ∠A+∠B＝∠C ，结合 ∠A+∠B+∠C=180°，可得，∠C=90°，是直角三角形，不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C =5：12：13，结合 ∠A+∠B+∠C=180°，可得，∠A=30°，∠B＝72°，∠C=78°，不是直角三角形，符合题意；
C、 由a＝2，b＝4，c＝2 ，可得a2+b2=c2，∠C=90°，是直角三角形，不符合题意；
D、由 （b+c）（b﹣c）＝a2 ，可得b2-c2=a2，即a2+c2=b2，∠B=90°，是直角三角形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和为180°，可计算出各个角的度数，由此判断A、B选项；根据勾股定理的逆定理，计算各边的平方，判断是否有两边平方和等于第三边的平方，由此判断C、D选项，从而得出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①根据等边三角形的判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可知①的说法正确；
②由
，可得三边长为 ， ，3的三角形为直角三角形，故②的说法正确；
③等腰三角形的两条边长为2，4，当腰为2，底为4时不构成三角形；当腰为4，底为2时，构成三角形，周长为10，故③说法正确；
④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形，故④说法错误.
正确的说法有3个.
故答案为：B.
【分析】利用等边三角性判定定理，可直接判断①；利用勾股定理的逆定理，计算出三边的平方，可判断②；根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系，分类讨论2为腰以及4为腰的情况，可判断③；根据三角形的中线性质以及等腰直角三角形的判定可判断④，由此可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB交AB与点T
∵ 由作图可得，AE平分∠CAB
∴CE=ET，
在Rt△ACE与Rt△ATE中，
AE=AE，CE=TE，
∴Rt△ACE≌Rt△ATE
∴AC=AT
∵CE＝3
∴ET=3
∵BE＝5，ET⊥AB
∴BT=4
设AC=x，则AT=x
∵在△ABC中，∠C＝90°
∴AC2+BC2=AB2
∴
解得，x=6
故答案为：C.
【分析】根据作图过程可得AE平分∠CAB，由角平分线的性质可过点E作ET⊥AB交AB与点T，并得到CE=ET，AC=AT，之后运用勾股定理，可建立AC相关的等式，解出可得到答案.
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解关于x的不等式组 ，可得
∴不等式组的解集为：2+a＜x≤13
∵ 该不等式组只有3个整数解
∴10≤2+a＜11
∴8≤a＜9
故答案为：C.
【分析】根据一元一次不等式组的解法求出不等式组的解，再结合题意，该不等式组只有3个整数解，从而可得到关于a的不等式组，解出可得到a的取值范围，从而得到答案.
9．【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点
∴A（4，0），B（0，4）
∵从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点
如图，设光线射在AB、OB上的点Q、M两处，作点P关于OB的对称点P1，关于AB的对称点P2
∴∠PQA=∠BQM，∠PMO=∠BMQ
∵P与P1关于OB对称
∴P1（-2，0）
∵P与P2关于AB对称
∴∠P2QA=∠PQA=∠BQM，∠P1MO=∠PMO=∠BMQ
∴P1，N，M，P2共线
∵∠P2AB=∠PAB=45°
即P2A⊥OA
∴P2（4，2）
设直线P1P2的解析式为：y=kx+b，代入P1（-2，0），P2（4，2）
则有：
，解得，
∴直线P1P2的解析式为：
∵点Q是直线P1P2与直线AB的交点
∴，解得
∴点Q的坐标为（2.5，1.5）
故答案为：B.
【分析】根据一次函数先求出A、B两点的坐标，由“ 从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点 ”可以设光线射在AB、OB上的点Q、M两处，做P点的两个对称点，由反射角等于入射角得∠PQA=∠BQM，∠PMO=∠BMQ，再由P2A⊥OA可以求出P2的坐标，从而得到直线P1P2的解析式，最后将直线P1P2与直线AB联立，得到交点Q的坐标.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①∵∠ABC=45°， AD⊥BC于点D
∴∠BAD=90°-45°=45°
∴△ABD是等腰直角三角形
∴AD=BD
∵BE⊥AC
∴∠GBD+∠C=90°
∵∠EAD+∠C=90°
∴∠GBD=∠EAD
因为∠ADB=∠EDG=90°
∴∠ADB-∠ADG=∠EDG-∠ADG
即∠BDG=∠ADE
∴△BDG≌△ADE（ASA），故①正确；
②∴BG=AE=1，DG=DE
∵∠EDG=90°
∴△GDE为等腰直角三角形 ，故②正确；
③∴∠DGE=∠DEG=45°
∴∠AED=∠AEB+∠GED=90°+45°=135°
∵将△AED沿直线AE翻折得到△AEF
∴△AED≌△AEF
∴∠AED=∠AEF=135°，ED=EF
∴∠DEF=360°-2×135°=90°
∴△DEF为等腰直角三角形
∴∠EDF=∠EFD=45°
∴EF=DE=DG
∵BE⊥AC于点E
∴
∴GE=BE-BG=
∵△GDE为等腰直角三角形
∴DG= GE=2-
∴EF=DE=2-
∵△DEF为等腰直角三角形
∴DF=
DE=
∴四边形DFEG的周长=GD+EF+GE+DF=2(2- )+2()= 3 +2，故④错误
故答案为：B.
【分析】①运用同角的余角相等，得到∠GBD=∠EAD，再根据ASA得到 △BDG≌△ADE ；②由①可得全等三角形的对应边相等，对应角相等，从而可证②；
③运用②中的条件先证明△DEF为等腰直角三角形，再利用勾股定理以及等腰直角三角形的三边关系（1：1：
）求得四边形DFEG的各边长，从而算出周长.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义
∴2x+3≥0
∴ ，
故答案为：
.
【分析】二次根式
有意义的条件为：a≥0，由此可得到x的取值范围.
12．【答案】20
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处
∴∠ADC=∠ADE=90°，DE=DC=
EC
∵BC＝10，BE＝2
∴EC=8
∴DE=DC=
EC=4，BD=6
∵AB2 = AD2 + BD2 = AD2 + 36，
AC2 = AD2 + DC2 = AD2 +16
∴AB2﹣AC2 =AD2 + 36-（AD2 +16）=20
故答案为：20.
【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°，DE=DC=
EC，从而可得出BD和CD的长，运用勾股定理，可分别表示出 AB2和AC2 ，相减可得到答案.
13．【答案】y=5x+10
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：将直线y＝5x向左平移2个单位可得：y＝5（x+2）=5x+10
故答案为：y=5x+10.
【分析】一次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，左右平移是自变量x发生变化，上下平移是因变量y发生变化，根据这一平移法则，可得出答案.
14．【答案】6.1
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该笔记本降价x元，根据题意可得：
25-18-x≥18× 5%
解得：x≤6.1
∴则该笔记本最多降价6.1元
故答案为：6.1.
【分析】运用利润率=利润÷进价，可建立不等式，解出可得到答案.
15．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x2﹣3x+1=0 ，当x=0时，等式不成立，
∴x≠0，
将方程两边同时除以x，得：x-3+
=0
即：x+
=3
∴
故答案为：
.
【分析】根据 x2﹣3x+1=0可得x≠0，从而可将等式两边同时除以x，变形得x+
=3，之后运用完全平方公式将所求式子进行变形，从而将x+
=3整体代入，计算得出答案.
16．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ON=6
∴当 t= 时，ON+NP = ，NP= ，PM=
如图，过点P作x轴的垂线，交与点H，则ΔPMH是等腰直角三角形，
∵PM=
∴HM=HP=1
∴OH=5
∴P（5，1）
作点P关于y轴的对称点P'，作点O关于直线 的对称点O’，则P'（-5，1），O'（1，0）
连接O'P'，交y轴与点D，交直线 于点C，此时为PD+DC+OC值最小，即为线段O'P'的长，
∵P'（-5，1），O'（1，0）
∴PD+DC+OC=O'P'
∴PD+DC+OC的最小值是.
故答案为： .
【分析】根据t= ，可求出NP和PM的长，之后根据将军饮马问题，做出作点P关于y轴的对称点P'，点O关于直线 的对称点O’，连接O'P'，此时为 PD+DC+OC的最小值 ，之后求出线段O'P'即可.
17．【答案】（1）6
（2）0＜k≤1或k=2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解（1）∵当k＝﹣2时 ， y＝kx﹣1 =-2x-1
∴直线x＝﹣k=2，y＝﹣k =2
∴A(2，-5)，B( ，2)，C(2，2)
作出图象：
在区域W内有6个整数点：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（1，-1），（1，-2）
故答案为：6；
（2）∵当k＜0时，则 x＝﹣k ＞0
∴区域内包含坐标原点，不符合题意；
当0＜k≤1时， -1≤x＝﹣k＜0，
∵该区域不含边界
∴无整数点，故当0＜k≤1时，W内无整点，符合题意；
当1＜k≤2时， -2≤x＝﹣k＜1，
∴该区域内横坐标只能是-1
∴边界上两点坐标为M（-1，-k），N（-1，-k-1），MN=1
∴当k不为整数时，必有整数点
但当k=2时，只有两个边界点为整数点，此时W内无整点
综上所述，当0＜k≤1或k=2时， 区域W内没有整点
故答案为： 0＜k≤1或k=2.
【分析】（1）将k=-2代入解析式中，求出A、B、C三点坐标，作出图象，即可求得区域W内的整点个数；
（2）根据 k ≤ 2 ，分k＜0，0＜k≤1和1＜k≤2这三种情况讨论，当k＜0时，区域内包含坐标原点，不符合题意；当0＜k≤1时，W区域内横坐标在-1和0之间，无整数点，从而得到当0＜k≤1时，W内无整点；当1＜k≤2时，W区域内横坐标只能是-1，边界上两点坐标为M（-1，-k），N（-1，-k-1），MN=1，当k不为整数时，必有整数点，当k=2时，只有两个边界点为整数点，此时W内无整点；综上可得出答案.
18．【答案】（1）解：
解不等式①可得：x≥-4；
解不等式②可得：x＜3；
∴不等式组的解集为：-4≤x＜3.
（2） 解：原式= －
=
=
【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，从而根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，得到不等式组的解集；
（2）先进行根式的乘除运算，把根式化简成最简根式，最后将同类根式进行合并，可得出答案.
19．【答案】（1）证明：∵ AB∥CD
∴∠AEC=∠ECD
∵ CE平分∠ACD交AB于E点
∴∠ACE=∠ECD
∴∠AEC=∠ACE
∴ △ACE是等腰三角形 .
（2）解：如图，过点A作AG⊥CE，交CE于点G
∵△ACE是等腰三角形 ， CE=48cm
∴CG=EG= CE=24cm ，
∵ AC=25cm
∴在Rt△ACG中，AG2+CG2=AC2，解得AG=7cm
∴=CE×AG× =48×7× =168cm2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义与平行线的性质可得∠AEC=∠ACE，从而可得△ACE是等腰三角形；
（2）作出CE边上的高，根据等腰三角形的性质得CG=EG=
CE=24cm ，根据勾股定理可得出高的值，之后用三角形面积公式可得出△ACE的面积．
20．【答案】解：解：原式= ，
= ，
= ．
由2x2+x﹣3=0得到：x1=1，x2=﹣ ，
又a﹣1≠0即a≠1，
所以a=﹣ ，
所以原式= =﹣ ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简代数式、解方程，然后结合分式的性质对a的值进行取舍，并代入求值即可．本题考查了分式的化简求值．解答该题时，一定要注意分式的分母不等于零这一限制性条件，以防错解该题．
21．【答案】（1）解：∵ y﹣2与x+1成正比例
∴设 y﹣2=k（x+1）
∵ 当x＝1时，y＝﹣4
∴-4-2=k（1+1）
∴k=-3
∴y﹣2=-3（x+1）；
∴ 化简可得，y关于x的函数表达式为：
（2）解：不在，理由如下：
∵
当x=-2时，y=-3×（-2）-1=6≠-7
∴点 A（-2，-7）不在函数的图象上，
所以不在；
（3）解：∵，k=-3＜0
∴y随x的增大而减小，
∵ 当m≤x≤m+2时，y的最小值为4，
∴当x=m+2时，y=4
∴-3×（m+2）-1=4，
解得 .
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正比例函数的定义可设 y﹣2=k（x+1），代入值可解出k，从而得到答案；
（2）将x=-2代入到（1）中所求的解析式中，求出y，判断与点A的纵坐标是否相等，从而可判断是否在函数图象上；
（3）由（1）中所求解析式可得该函数的增减性，利用增减性与最值情况可得关于m的等式，解出m即可得到答案.
22．【答案】（1）解：由题意的：甲组的函数图象经过原点与（6，360），
∴设解析式为：y=kx，
代入 （6，360），得：360=6k
∴解得k=60
∴y=60x（0≤x≤6）
（2）解：∵乙组2小时加工100件
∴乙组的工作效率为：100÷2=50
∵ 更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍
∴当2.8≤x≤4.8时，乙组的工作效率为每小时100件，
∴（件）
（3）解：乙组更换设备前， 加工零件的数量y与时间 之间的函数关系式为：y=50x；
乙组更换设备后， 加工零件的数量y与时间 之间的函数关系式为：y=100+100（x-2.8）=100x-180；
∴当0≤x≤2时，60x+50x=300，解得x= ，舍去；
当2≤x≤2.8时，100+60x=300，解得x= ，舍去；
当2.8≤x≤4.8时，60x+100x-180=300，解得x=3
∴ 经过3小时恰好装满第1箱.
当3≤x≤4.8时，60x+100x-180=300×2，解得x= ，舍去；
当4.8≤x≤6时，60x+300=300×2，解得x=5
∵5-3=2
∴再经过2小时恰好装满第2箱.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据图象，设甲组 加工零件的数量y与时间 之间的函数关系式为：y=kx，代入点（6，360）解出k，可得所求关系式；
（2）由图象可得乙组更换设备前的效率，从而可得更换设备后的工作效率，利用工作总量=工作时间×工作效率，从而可计算出更换设备后的2小时的工作总量，加上100后就是a的值；
（3）根据图象，需要分0≤x≤2，2≤x≤2.8，2.8≤x≤4.8，4.8≤x≤6这四段进行分析讨论，300件装满一箱，即为甲乙两组加工零件数量和为300，建立关于x的方程式后求出x的值即可；同理，装满两箱需要600件，即为甲乙两组加工零件数量和为600，同样建立关于x的方程式，解出可得第二箱装满的时间，最后减去第一箱装满的时间，可求解.
23．【答案】（1）；
（2）解：如图，过点A作 AH⊥DC于点H
∵ △ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴AD=AE，AB=AC，∠AED=30°
∴AH=1，HE=
∵∠BAD＝∠DAE-∠BAE，∠CAE=∠BAC-∠BAE
∴∠BAD＝∠CAE
∴ △ABD≌ △ACE
∴CE=BD＝4 ，HC= +4
∵AC2=AH2+HC2=12+（ +4）2=20+8
∴由（1）知， S△ABC = AC2= （20+8 ）=
（3）解：①∵ 点D与点B关于射线AM轴对称，
∴∠BAE=∠DAE= ∠BAD，AB=AD
∵AB=AC
∴AD=AC
∵ AF⊥CD
∴∠DAF=∠CAF= ∠CAD
∴ ∠EAF =∠DAE+∠DAF= ∠BAD+ ∠CAD= （∠BAD+∠CAD）= ∠BAC=60°
②如图，AM与BD的交点记为点G
∵CD=5
∴DF= CD=
∵由①知，∠AEF=90°-∠EAF=30°
∵ BD＝2，
∴由对称可得，BG=DG= BD=1，BE=DE，∠BED=2∠AEF=60°
∴ △BED为等边三角形
∴DE=BD=2
∴EF=
∵在Rt△AEF中，cos∠AEF=
∴AE=
∵在Rt△DEG中，EF=
∴AG=AE-EG=
∵在Rt△ABG中，AB=
∴由（1）知，BC= AB=
【知识点】锐角三角函数的定义；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵AB＝AC，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴BD=
BC， ∠BAD＝60°，
∴∠B=30°，
∴cosB=
=
∴BD=
AB=
BC
∵AB＝a
∴BC=
a，AD=
a
∴S△ABC =
BC×AD=
×
a×
a=
故答案为：
；
.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得出∠B=30°，BD=
BC，再运用三角函数可得出BD=
AB，AD=
AB，由此可得出BC的长，最后根据三角形面积公式，可求出 △ABC的面积S；
（2） 根据已知条件，先证明△ABD≌△ACE，根据三角形全等的性质，可得到CE=BD，根据解直角三角形的方法，可求出EH，从而得到HC的长，运用勾股定理，得到AC的长，由（1）可得S△ABC =
AC2，从而可得出答案；
（3）①由对称可得∠BAE=∠DAE=
∠BAD，AD=AB，再由等腰三角形的性质，可得∠DAF=∠CAF=
∠CAD，从而可得出∠EAF==∠BAC，由此得出答案；
②由已知可得DF=CD=
，再根据等边三角形的判定可得出△BED为等边三角形，根据直角三角形AEF，可得出AE，根据直角三角形DEG，可得出EF，从而计算出AG，再根据直角三角形ABG，计算出AB，最后根据（1）得到BC=AB，从而得出答案.
24．【答案】（1）解：∵ 直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4）
∴
∴解得
∴k=-1，b=4
（2）解：∵ 点P在x轴上运动，
∴可分P在x轴的正半轴和P在x轴的负半轴上两种情况讨论
①如图①，当P在x轴的正半轴上时，
∵ 点O′恰好落在直线AB上
∴OP=O′P，∠BO′P=∠BOP=90°
∵OB=OA=4
∴ △AOB是等腰直角三角形
∴AB= ，∠OAB=45°
∵由折叠可得O′B=OB=4
∴AO′=
∵∠PO′A=90°
∴AO′=PO′=PO=
∴S△ABP = AB×PO′= × ×（ ）=
②如图②，当P在x轴的负半轴上时，
同理可得OP=O′P，∠BO′P=∠BOP=90°，OB=OA=4
∵∠OAB=45°
∴AO′=PO′=PO=
∴S△ABP = AB×PO′= × ×（ ）=
综上所述，△ABP的面积为 或 ；
（3）解：分三类4种情况讨论：
①当BQ=QP时，如图2，P与O重合，此时，点P的坐标为（0，0）
②当BP=QP时，如图3
∵∠BPC=45°
∴∠BQP=∠PBQ=22.5°
∵∠OAB=45°=∠APB+∠PBQ
∴∠APB=22.5°
∴∠ABP=∠APB
∴AP=AB=
∴OP=4+
∴P（4+ ，0）
③当PB=PQ时，如图4，此时Q与C重合
∵∠BPC=45°
∴∠PBA=∠PCB=67.5°
∵∠APC=22.5°
∴∠APB=45°+22.5°=67.5°
∴∠PBA=∠APB
∴AP=AB=
∴OP= -4
∵P在x轴的负半轴上
∴P（4- ，0）
④当PB=BQ时，如图5，此时Q与A重合，则A与P关于y轴对称
∴P（-4，0）
综上所述，点P的坐标为：P（0，0）、P（4+ ，0）、P（4- ，0）以及P（-4，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法可直接求出k、b的值；
（2）分P在x轴的正半轴和P在x轴的负半轴上两种情况讨论，根据折叠的性质可分别得出两种情况下AO′=PO′=PO的值，运用三角形的面积公式即可求出答案；
（3）①分BQ=QP，②BP=PQ，③PB=BQ三大类进行讨论，画出图形，根据图形和等腰三角形的性质可计算出对应类别下点P的坐标.
1 / 1浙江省义乌市稠州中学教育集团2021-2022学年八年级下学期寒假检测数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2022八下·义乌开学考）已知三角形三边长分别为3，x，10，若x为正整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．2
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵10-3＜x＜10+3
∴7＜x＜13
∵x是正整数
∴x的可能值是8、9、10、11、12，共5个
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，从而得到x的取值范围，之后再结合x为正整数，可列举出所有满足条件的x的值，由此得到答案.
2．（2022八下·义乌开学考）如果正比例函数y＝（a﹣1）x（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＜0 D．a＞0
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝（a﹣1）x（a是常数）的图象在第一、三象限
∴a﹣1＞0
∴a＞1
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数y=kx的图象，当k＞0时，图象经过一、三象限；当k＜0时，图象经过二、四象限，由此可以得到a的取值范围.
3．下列定理中没有逆定理的是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．直角三角形中，两锐角互余
C．等腰三角形两底角相等 D．相反数的绝对值相等
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；余角、补角及其性质；平行线的判定；等腰三角形的性质；逆命题
【解析】【解答】解：A、内错角相等，两直线平行的逆定理是两直线平行，内错角相等，正确；
B、直角三角形中，两锐角互余的逆定理是两锐角互余，则是直角三角形，正确；
C、等腰三角形两底角相等的逆定理是两底角相等相等的三角形是等腰三角形，正确；
D、相反数的绝对值相等的逆命题是绝对值相等的两个数互为相反数，错误；
故选D
【分析】写出各个定理的逆命题，判定真假即可．
4．（2022八下·义乌开学考）如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴可得，x＞-2且x≥3
所以解集为：
故答案为：B.
【分析】根据不等式组在数轴上的表示，往右表示大于，往左表示小于，同时空心圈不包含该点，实行点包含该点，由此可得到答案.
5．（2022八下·义乌开学考）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C
B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13
C．a＝2，b＝4，c＝2
D．（b+c）（b﹣c）＝a2
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、 ∠A+∠B＝∠C ，结合 ∠A+∠B+∠C=180°，可得，∠C=90°，是直角三角形，不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C =5：12：13，结合 ∠A+∠B+∠C=180°，可得，∠A=30°，∠B＝72°，∠C=78°，不是直角三角形，符合题意；
C、 由a＝2，b＝4，c＝2 ，可得a2+b2=c2，∠C=90°，是直角三角形，不符合题意；
D、由 （b+c）（b﹣c）＝a2 ，可得b2-c2=a2，即a2+c2=b2，∠B=90°，是直角三角形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和为180°，可计算出各个角的度数，由此判断A、B选项；根据勾股定理的逆定理，计算各边的平方，判断是否有两边平方和等于第三边的平方，由此判断C、D选项，从而得出答案.
6．（2022八下·义乌开学考）有下列说法：
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为
，
，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①根据等边三角形的判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可知①的说法正确；
②由
，可得三边长为 ， ，3的三角形为直角三角形，故②的说法正确；
③等腰三角形的两条边长为2，4，当腰为2，底为4时不构成三角形；当腰为4，底为2时，构成三角形，周长为10，故③说法正确；
④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形，故④说法错误.
正确的说法有3个.
故答案为：B.
【分析】利用等边三角性判定定理，可直接判断①；利用勾股定理的逆定理，计算出三边的平方，可判断②；根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系，分类讨论2为腰以及4为腰的情况，可判断③；根据三角形的中线性质以及等腰直角三角形的判定可判断④，由此可得出答案.
7．（2022八下·义乌开学考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于
MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB交AB与点T
∵ 由作图可得，AE平分∠CAB
∴CE=ET，
在Rt△ACE与Rt△ATE中，
AE=AE，CE=TE，
∴Rt△ACE≌Rt△ATE
∴AC=AT
∵CE＝3
∴ET=3
∵BE＝5，ET⊥AB
∴BT=4
设AC=x，则AT=x
∵在△ABC中，∠C＝90°
∴AC2+BC2=AB2
∴
解得，x=6
故答案为：C.
【分析】根据作图过程可得AE平分∠CAB，由角平分线的性质可过点E作ET⊥AB交AB与点T，并得到CE=ET，AC=AT，之后运用勾股定理，可建立AC相关的等式，解出可得到答案.
8．（2022八下·义乌开学考）关于x的不等式组 只有3个整数解，求a的取值范围（ ）
A．8＜a＜9 B．8≤a≤9 C．8≤a＜9 D．8＜a≤9
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解关于x的不等式组 ，可得
∴不等式组的解集为：2+a＜x≤13
∵ 该不等式组只有3个整数解
∴10≤2+a＜11
∴8≤a＜9
故答案为：C.
【分析】根据一元一次不等式组的解法求出不等式组的解，再结合题意，该不等式组只有3个整数解，从而可得到关于a的不等式组，解出可得到a的取值范围，从而得到答案.
9．（2022八下·义乌开学考）如图，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2.5，1.5）
C．（3，1） D．（1.5，2.5）
【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点
∴A（4，0），B（0，4）
∵从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点
如图，设光线射在AB、OB上的点Q、M两处，作点P关于OB的对称点P1，关于AB的对称点P2
∴∠PQA=∠BQM，∠PMO=∠BMQ
∵P与P1关于OB对称
∴P1（-2，0）
∵P与P2关于AB对称
∴∠P2QA=∠PQA=∠BQM，∠P1MO=∠PMO=∠BMQ
∴P1，N，M，P2共线
∵∠P2AB=∠PAB=45°
即P2A⊥OA
∴P2（4，2）
设直线P1P2的解析式为：y=kx+b，代入P1（-2，0），P2（4，2）
则有：
，解得，
∴直线P1P2的解析式为：
∵点Q是直线P1P2与直线AB的交点
∴，解得
∴点Q的坐标为（2.5，1.5）
故答案为：B.
【分析】根据一次函数先求出A、B两点的坐标，由“ 从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点 ”可以设光线射在AB、OB上的点Q、M两处，做P点的两个对称点，由反射角等于入射角得∠PQA=∠BQM，∠PMO=∠BMQ，再由P2A⊥OA可以求出P2的坐标，从而得到直线P1P2的解析式，最后将直线P1P2与直线AB联立，得到交点Q的坐标.
10．（2022八下·义乌开学考）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则下列结论正确的有（ ）个．
①△BDG≌△ADE；②△GDE为等腰直角三角形；③四边形DFEG的周长为2
+2．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①∵∠ABC=45°， AD⊥BC于点D
∴∠BAD=90°-45°=45°
∴△ABD是等腰直角三角形
∴AD=BD
∵BE⊥AC
∴∠GBD+∠C=90°
∵∠EAD+∠C=90°
∴∠GBD=∠EAD
因为∠ADB=∠EDG=90°
∴∠ADB-∠ADG=∠EDG-∠ADG
即∠BDG=∠ADE
∴△BDG≌△ADE（ASA），故①正确；
②∴BG=AE=1，DG=DE
∵∠EDG=90°
∴△GDE为等腰直角三角形 ，故②正确；
③∴∠DGE=∠DEG=45°
∴∠AED=∠AEB+∠GED=90°+45°=135°
∵将△AED沿直线AE翻折得到△AEF
∴△AED≌△AEF
∴∠AED=∠AEF=135°，ED=EF
∴∠DEF=360°-2×135°=90°
∴△DEF为等腰直角三角形
∴∠EDF=∠EFD=45°
∴EF=DE=DG
∵BE⊥AC于点E
∴
∴GE=BE-BG=
∵△GDE为等腰直角三角形
∴DG= GE=2-
∴EF=DE=2-
∵△DEF为等腰直角三角形
∴DF=
DE=
∴四边形DFEG的周长=GD+EF+GE+DF=2(2- )+2()= 3 +2，故④错误
故答案为：B.
【分析】①运用同角的余角相等，得到∠GBD=∠EAD，再根据ASA得到 △BDG≌△ADE ；②由①可得全等三角形的对应边相等，对应角相等，从而可证②；
③运用②中的条件先证明△DEF为等腰直角三角形，再利用勾股定理以及等腰直角三角形的三边关系（1：1：
）求得四边形DFEG的各边长，从而算出周长.
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（2022八下·义乌开学考） 有意义，则x取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义
∴2x+3≥0
∴ ，
故答案为：
.
【分析】二次根式
有意义的条件为：a≥0，由此可得到x的取值范围.
12．（2022八下·义乌开学考）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝10，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处
∴∠ADC=∠ADE=90°，DE=DC=
EC
∵BC＝10，BE＝2
∴EC=8
∴DE=DC=
EC=4，BD=6
∵AB2 = AD2 + BD2 = AD2 + 36，
AC2 = AD2 + DC2 = AD2 +16
∴AB2﹣AC2 =AD2 + 36-（AD2 +16）=20
故答案为：20.
【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°，DE=DC=
EC，从而可得出BD和CD的长，运用勾股定理，可分别表示出 AB2和AC2 ，相减可得到答案.
13．（2022八下·义乌开学考）将直线y＝5x向左平移2个单位所得的直线的解析式是 ．
【答案】y=5x+10
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：将直线y＝5x向左平移2个单位可得：y＝5（x+2）=5x+10
故答案为：y=5x+10.
【分析】一次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，左右平移是自变量x发生变化，上下平移是因变量y发生变化，根据这一平移法则，可得出答案.
14．（2022八下·义乌开学考）某商场促销，某种笔记本的售价是25元，进价是18元，商场为保证利润率不低于5%，则该笔记本最多降价 元．
【答案】6.1
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该笔记本降价x元，根据题意可得：
25-18-x≥18× 5%
解得：x≤6.1
∴则该笔记本最多降价6.1元
故答案为：6.1.
【分析】运用利润率=利润÷进价，可建立不等式，解出可得到答案.
15．（2022八下·义乌开学考）如果x2﹣3x+1=0，则
的值是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x2﹣3x+1=0 ，当x=0时，等式不成立，
∴x≠0，
将方程两边同时除以x，得：x-3+
=0
即：x+
=3
∴
故答案为：
.
【分析】根据 x2﹣3x+1=0可得x≠0，从而可将等式两边同时除以x，变形得x+
=3，之后运用完全平方公式将所求式子进行变形，从而将x+
=3整体代入，计算得出答案.
16．（2022八下·义乌开学考）如图，在平面直角坐标系中，点M（6，0），N（0，6），一点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线O-N-M运动，设点P运动时间为t，当t=
时，直线
上有一个动点C和y轴上有一个动点D，则PD+DC+OC的最小值是 ．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ON=6
∴当 t= 时，ON+NP = ，NP= ，PM=
如图，过点P作x轴的垂线，交与点H，则ΔPMH是等腰直角三角形，
∵PM=
∴HM=HP=1
∴OH=5
∴P（5，1）
作点P关于y轴的对称点P'，作点O关于直线 的对称点O’，则P'（-5，1），O'（1，0）
连接O'P'，交y轴与点D，交直线 于点C，此时为PD+DC+OC值最小，即为线段O'P'的长，
∵P'（-5，1），O'（1，0）
∴PD+DC+OC=O'P'
∴PD+DC+OC的最小值是.
故答案为： .
【分析】根据t= ，可求出NP和PM的长，之后根据将军饮马问题，做出作点P关于y轴的对称点P'，点O关于直线 的对称点O’，连接O'P'，此时为 PD+DC+OC的最小值 ，之后求出线段O'P'即可.
17．（2022八下·义乌开学考）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k ≤ 2）与直线x＝﹣k，y＝﹣k分别交于点A，B．直线x＝﹣k与y＝﹣k交于点C．记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为W；横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
（1）当k＝﹣2时，区域W内的整点个数为 ．
（2）若区域W内没有整点，则k的取值范围是 ．
【答案】（1）6
（2）0＜k≤1或k=2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解（1）∵当k＝﹣2时 ， y＝kx﹣1 =-2x-1
∴直线x＝﹣k=2，y＝﹣k =2
∴A(2，-5)，B( ，2)，C(2，2)
作出图象：
在区域W内有6个整数点：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（1，-1），（1，-2）
故答案为：6；
（2）∵当k＜0时，则 x＝﹣k ＞0
∴区域内包含坐标原点，不符合题意；
当0＜k≤1时， -1≤x＝﹣k＜0，
∵该区域不含边界
∴无整数点，故当0＜k≤1时，W内无整点，符合题意；
当1＜k≤2时， -2≤x＝﹣k＜1，
∴该区域内横坐标只能是-1
∴边界上两点坐标为M（-1，-k），N（-1，-k-1），MN=1
∴当k不为整数时，必有整数点
但当k=2时，只有两个边界点为整数点，此时W内无整点
综上所述，当0＜k≤1或k=2时， 区域W内没有整点
故答案为： 0＜k≤1或k=2.
【分析】（1）将k=-2代入解析式中，求出A、B、C三点坐标，作出图象，即可求得区域W内的整点个数；
（2）根据 k ≤ 2 ，分k＜0，0＜k≤1和1＜k≤2这三种情况讨论，当k＜0时，区域内包含坐标原点，不符合题意；当0＜k≤1时，W区域内横坐标在-1和0之间，无整数点，从而得到当0＜k≤1时，W内无整点；当1＜k≤2时，W区域内横坐标只能是-1，边界上两点坐标为M（-1，-k），N（-1，-k-1），MN=1，当k不为整数时，必有整数点，当k=2时，只有两个边界点为整数点，此时W内无整点；综上可得出答案.
三、解答题（共7小题，共62分）
18．（2022八下·义乌开学考）
（1）解不等式组
，
（2）计算：
×2
－
÷
【答案】（1）解：
解不等式①可得：x≥-4；
解不等式②可得：x＜3；
∴不等式组的解集为：-4≤x＜3.
（2） 解：原式= －
=
=
【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，从而根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，得到不等式组的解集；
（2）先进行根式的乘除运算，把根式化简成最简根式，最后将同类根式进行合并，可得出答案.
19．（2022八下·义乌开学考）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于E点．
（1）求证：△ACE是等腰三角形；
（2）若AC=25cm，CE=48cm，求△ACE的面积．
【答案】（1）证明：∵ AB∥CD
∴∠AEC=∠ECD
∵ CE平分∠ACD交AB于E点
∴∠ACE=∠ECD
∴∠AEC=∠ACE
∴ △ACE是等腰三角形 .
（2）解：如图，过点A作AG⊥CE，交CE于点G
∵△ACE是等腰三角形 ， CE=48cm
∴CG=EG= CE=24cm ，
∵ AC=25cm
∴在Rt△ACG中，AG2+CG2=AC2，解得AG=7cm
∴=CE×AG× =48×7× =168cm2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义与平行线的性质可得∠AEC=∠ACE，从而可得△ACE是等腰三角形；
（2）作出CE边上的高，根据等腰三角形的性质得CG=EG=
CE=24cm ，根据勾股定理可得出高的值，之后用三角形面积公式可得出△ACE的面积．
20．（2016·枣庄）先化简，再求值： ，其中a是方程2x2+x﹣3=0的解．
【答案】解：解：原式= ，
= ，
= ．
由2x2+x﹣3=0得到：x1=1，x2=﹣ ，
又a﹣1≠0即a≠1，
所以a=﹣ ，
所以原式= =﹣ ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简代数式、解方程，然后结合分式的性质对a的值进行取舍，并代入求值即可．本题考查了分式的化简求值．解答该题时，一定要注意分式的分母不等于零这一限制性条件，以防错解该题．
21．（2022八下·义乌开学考）已知y﹣2与x+1成正比例，且当x＝1时，y＝﹣4．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）判断点A（-2，-7）是否在函数的图象上，并说明理由；
（3）当m≤x≤m+2时，y的最小值为4，求m的值．
【答案】（1）解：∵ y﹣2与x+1成正比例
∴设 y﹣2=k（x+1）
∵ 当x＝1时，y＝﹣4
∴-4-2=k（1+1）
∴k=-3
∴y﹣2=-3（x+1）；
∴ 化简可得，y关于x的函数表达式为：
（2）解：不在，理由如下：
∵
当x=-2时，y=-3×（-2）-1=6≠-7
∴点 A（-2，-7）不在函数的图象上，
所以不在；
（3）解：∵，k=-3＜0
∴y随x的增大而减小，
∵ 当m≤x≤m+2时，y的最小值为4，
∴当x=m+2时，y=4
∴-3×（m+2）-1=4，
解得 .
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正比例函数的定义可设 y﹣2=k（x+1），代入值可解出k，从而得到答案；
（2）将x=-2代入到（1）中所求的解析式中，求出y，判断与点A的纵坐标是否相等，从而可判断是否在函数图象上；
（3）由（1）中所求解析式可得该函数的增减性，利用增减性与最值情况可得关于m的等式，解出m即可得到答案.
22．（2022八下·义乌开学考）甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量
(件)与时间
(时)的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y与时间
之间的函数关系式；
（2）求乙组加工零件总量
的值；
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
【答案】（1）解：由题意的：甲组的函数图象经过原点与（6，360），
∴设解析式为：y=kx，
代入 （6，360），得：360=6k
∴解得k=60
∴y=60x（0≤x≤6）
（2）解：∵乙组2小时加工100件
∴乙组的工作效率为：100÷2=50
∵ 更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍
∴当2.8≤x≤4.8时，乙组的工作效率为每小时100件，
∴（件）
（3）解：乙组更换设备前， 加工零件的数量y与时间 之间的函数关系式为：y=50x；
乙组更换设备后， 加工零件的数量y与时间 之间的函数关系式为：y=100+100（x-2.8）=100x-180；
∴当0≤x≤2时，60x+50x=300，解得x= ，舍去；
当2≤x≤2.8时，100+60x=300，解得x= ，舍去；
当2.8≤x≤4.8时，60x+100x-180=300，解得x=3
∴ 经过3小时恰好装满第1箱.
当3≤x≤4.8时，60x+100x-180=300×2，解得x= ，舍去；
当4.8≤x≤6时，60x+300=300×2，解得x=5
∵5-3=2
∴再经过2小时恰好装满第2箱.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据图象，设甲组 加工零件的数量y与时间 之间的函数关系式为：y=kx，代入点（6，360）解出k，可得所求关系式；
（2）由图象可得乙组更换设备前的效率，从而可得更换设备后的工作效率，利用工作总量=工作时间×工作效率，从而可计算出更换设备后的2小时的工作总量，加上100后就是a的值；
（3）根据图象，需要分0≤x≤2，2≤x≤2.8，2.8≤x≤4.8，4.8≤x≤6这四段进行分析讨论，300件装满一箱，即为甲乙两组加工零件数量和为300，建立关于x的方程式后求出x的值即可；同理，装满两箱需要600件，即为甲乙两组加工零件数量和为600，同样建立关于x的方程式，解出可得第二箱装满的时间，最后减去第一箱装满的时间，可求解.
23．（2022八下·义乌开学考）如图
（1）问题背景：已知，如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，AB＝a，△ABC的面积为S，则有BC＝ ，S＝ ．
（2）迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．若AD＝2，BD＝4，求△ABC的面积．
（3）拓展延伸：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，在∠BAC内作射线AM，点D与点B关于射线AM轴对称，连接CD并延长交AM于点E，AF⊥CD于F，连接AD，BE．
①求∠EAF的度数；
②若CD＝5，BD＝2，求BC的长．
【答案】（1）；
（2）解：如图，过点A作 AH⊥DC于点H
∵ △ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴AD=AE，AB=AC，∠AED=30°
∴AH=1，HE=
∵∠BAD＝∠DAE-∠BAE，∠CAE=∠BAC-∠BAE
∴∠BAD＝∠CAE
∴ △ABD≌ △ACE
∴CE=BD＝4 ，HC= +4
∵AC2=AH2+HC2=12+（ +4）2=20+8
∴由（1）知， S△ABC = AC2= （20+8 ）=
（3）解：①∵ 点D与点B关于射线AM轴对称，
∴∠BAE=∠DAE= ∠BAD，AB=AD
∵AB=AC
∴AD=AC
∵ AF⊥CD
∴∠DAF=∠CAF= ∠CAD
∴ ∠EAF =∠DAE+∠DAF= ∠BAD+ ∠CAD= （∠BAD+∠CAD）= ∠BAC=60°
②如图，AM与BD的交点记为点G
∵CD=5
∴DF= CD=
∵由①知，∠AEF=90°-∠EAF=30°
∵ BD＝2，
∴由对称可得，BG=DG= BD=1，BE=DE，∠BED=2∠AEF=60°
∴ △BED为等边三角形
∴DE=BD=2
∴EF=
∵在Rt△AEF中，cos∠AEF=
∴AE=
∵在Rt△DEG中，EF=
∴AG=AE-EG=
∵在Rt△ABG中，AB=
∴由（1）知，BC= AB=
【知识点】锐角三角函数的定义；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵AB＝AC，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴BD=
BC， ∠BAD＝60°，
∴∠B=30°，
∴cosB=
=
∴BD=
AB=
BC
∵AB＝a
∴BC=
a，AD=
a
∴S△ABC =
BC×AD=
×
a×
a=
故答案为：
；
.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得出∠B=30°，BD=
BC，再运用三角函数可得出BD=
AB，AD=
AB，由此可得出BC的长，最后根据三角形面积公式，可求出 △ABC的面积S；
（2） 根据已知条件，先证明△ABD≌△ACE，根据三角形全等的性质，可得到CE=BD，根据解直角三角形的方法，可求出EH，从而得到HC的长，运用勾股定理，得到AC的长，由（1）可得S△ABC =
AC2，从而可得出答案；
（3）①由对称可得∠BAE=∠DAE=
∠BAD，AD=AB，再由等腰三角形的性质，可得∠DAF=∠CAF=
∠CAD，从而可得出∠EAF==∠BAC，由此得出答案；
②由已知可得DF=CD=
，再根据等边三角形的判定可得出△BED为等边三角形，根据直角三角形AEF，可得出AE，根据直角三角形DEG，可得出EF，从而计算出AG，再根据直角三角形ABG，计算出AB，最后根据（1）得到BC=AB，从而得出答案.
24．（2022八下·义乌开学考）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△ABP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4）
∴
∴解得
∴k=-1，b=4
（2）解：∵ 点P在x轴上运动，
∴可分P在x轴的正半轴和P在x轴的负半轴上两种情况讨论
①如图①，当P在x轴的正半轴上时，
∵ 点O′恰好落在直线AB上
∴OP=O′P，∠BO′P=∠BOP=90°
∵OB=OA=4
∴ △AOB是等腰直角三角形
∴AB= ，∠OAB=45°
∵由折叠可得O′B=OB=4
∴AO′=
∵∠PO′A=90°
∴AO′=PO′=PO=
∴S△ABP = AB×PO′= × ×（ ）=
②如图②，当P在x轴的负半轴上时，
同理可得OP=O′P，∠BO′P=∠BOP=90°，OB=OA=4
∵∠OAB=45°
∴AO′=PO′=PO=
∴S△ABP = AB×PO′= × ×（ ）=
综上所述，△ABP的面积为 或 ；
（3）解：分三类4种情况讨论：
①当BQ=QP时，如图2，P与O重合，此时，点P的坐标为（0，0）
②当BP=QP时，如图3
∵∠BPC=45°
∴∠BQP=∠PBQ=22.5°
∵∠OAB=45°=∠APB+∠PBQ
∴∠APB=22.5°
∴∠ABP=∠APB
∴AP=AB=
∴OP=4+
∴P（4+ ，0）
③当PB=PQ时，如图4，此时Q与C重合
∵∠BPC=45°
∴∠PBA=∠PCB=67.5°
∵∠APC=22.5°
∴∠APB=45°+22.5°=67.5°
∴∠PBA=∠APB
∴AP=AB=
∴OP= -4
∵P在x轴的负半轴上
∴P（4- ，0）
④当PB=BQ时，如图5，此时Q与A重合，则A与P关于y轴对称
∴P（-4，0）
综上所述，点P的坐标为：P（0，0）、P（4+ ，0）、P（4- ，0）以及P（-4，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法可直接求出k、b的值；
（2）分P在x轴的正半轴和P在x轴的负半轴上两种情况讨论，根据折叠的性质可分别得出两种情况下AO′=PO′=PO的值，运用三角形的面积公式即可求出答案；
（3）①分BQ=QP，②BP=PQ，③PB=BQ三大类进行讨论，画出图形，根据图形和等腰三角形的性质可计算出对应类别下点P的坐标.
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