【精品解析】浙江省金华市义乌市绣湖中学2021-2022学年八年级下学期寒假作业监测（开学）试卷

浙江省金华市义乌市绣湖中学2021-2022学年八年级下学期寒假作业监测（开学）试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020八上·鄞州期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．3，5，7 B．3，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
2．（2020八上·无为期末）下列垃圾分类的图标（不含文字与字母部分）中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022八下·义乌开学考）如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最正确的是（　　）
A．在距离学校300米处 B．在学校的北偏东32°方向
C．在北偏东58°方向300米处 D．在学校北偏东58°方向300米处
4．（2022八下·义乌开学考）若函数y＝kx（k≠0）的图象过点P（﹣1，3），则该图象必过点（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣3，1） D．（3，﹣1）
5．（2022八下·义乌开学考）下列计算结果正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2020八上·台州开学考）已知点P（2a+1，1﹣a）在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2016八上·嵊州期末）对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40°
8．（2022八下·义乌开学考）已知直线
经过第一、二、三象限，且点
在该直线上，设
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
9．（2022八下·义乌开学考）如图，某自动感应门的正上方
处装着一个感应器，离地
米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生
正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时
米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离
等于
A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
10．（2022八下·义乌开学考）在平面直角坐标系中，已知直线l1：y=-2x+4交y轴于点A，若l1关于y轴的对称直线为l2，直线l2的有一个点M ，当M 点到直线l1的距离小于 ，则点M 的横坐标m取值范围是（　　）
A．-2C．-1.5二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2022八下·义乌开学考）若点P（2，-3）向左平移5个单位后点Q的坐标为　 　．
12．（2018八上·江北期末）命题“若a,b互为倒数，则ab=1”的逆命题是　 　.
13．（2022八下·义乌开学考）若分式
有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（2022八下·义乌开学考）已知一次函数y＝kx+k﹣1（其中k为常数且k≠0）的图像不经过第二象限，则k的取值范围是　 　．
15．（2022八下·义乌开学考）如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC
=
是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，CA交AB于点D.当△A1PD为直角三角形时，则AP的长度为　 　。
16．（2022八下·义乌开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y= - x-2 交x轴于点A，交y轴于点B，作点A关于y轴的对称点C，D是直线l上的动点，连CD，将CD绕C点逆时针旋转90°至CE。则
（1）点C的坐标是　 　
（2）OE+AE的最小值是　 　.
三、解答题（8大题，共66分）
17．（2022八下·义乌开学考）解下列一元二次方程：
（1）（x﹣4）（x﹣5）＝20；
（2）x2﹣6x﹣1＝0．
18．（2022八下·义乌开学考）如图，DF∥AC，DF＝AC，DA＝EB
求证：∠F＝∠C
19．（2022八下·义乌开学考）已知点P（4-m，m-1）．
（1）若点
在轴上，求
的值．
（2）若点
到x轴的距离是到y轴距离的2倍相等，求
点的坐标．
20．（2022八下·义乌开学考）如图，在方格纸中，点
，
都在格点上，请按要求画出以
为边的格点三角形．
（1）在图1中，画一个
，使得
为锐角．
（2）在图2中，画一个以
为底边的等腰三角形
．
21．（2022八下·义乌开学考）在解决问题“已知a＝
，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝
＝
＝
+1，
∴a﹣1＝
，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
．
（2）若a＝
，求2a2﹣12a+1的值．
22．（2022八下·义乌开学考）A，B两个医院分别有100吨和120吨抗疫物资，准备直接运送给甲、乙两个灾区医院，甲医院需160吨，乙医院需60吨，A，B两医院到甲、乙两医院的路程以及每吨每千米的运费如右图所示．若设A医院运往甲医院物资x吨，
（1）完成如表，
　 运量（吨） 运费 （元）
A医院 B医院 A医院 B医院
甲医院 　 　 　 　
乙医院 　 　 　 　
（2）求总运费y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当A、B两医院各运往甲、乙两医院多少吨物资时，总运费最省？最省运费是多少元？
23．（2022八下·义乌开学考）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB和点M，给出定义：若M满足：MA＝MB，则称M是线段AB的“对称点”，其中，当0°＜∠AMB＜90°，称M为线段AB的“劣对称点”；当90°≤∠AMB≤180°时，则称M为“优对称点”.
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（0，2），（2，0），则在坐标M1（0，0），M2（2，3），M3（4，4）中，是线段AB的“对称点”为：　 　；是线段AB的“劣对称点”为　 　.
（2）如图2，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），若M为线段AB的“优对称点民主点”，求出点M的横坐标m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点P为x轴上的动点（不与B重合），若T为AB的“对称点”，当线段TB与TP的和最小时，直接写出T关于直线AB的对称点S的坐标.
24．（2022八下·义乌开学考）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线l1： 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l2，将直线l2绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.
（1）若直线l2经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；
（2）若直线l2在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，求出符合条件的旋转角α的度数.
（3）若直线l2在旋转过程中与直线l1 交于点E，连OE，以OE为边作等边△OEF（点O、E、F按逆时针方向排列），连BF.请你探究线段BE，OB与BF之间的数量关系？并说明理由。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+5>7，∴能组成三角形，符合题意；
B、∵3+6<10，∴不能组成三角形，不符合题意；
C、∵5+5<11，∴不能组成三角形，不符合题意；
D、∵5+6=11，∴不能组成三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边的关系分别判断，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，一般用较小的两边之和与最大边比较即可判断.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
3．【答案】D
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠AON=90°-32°=58°，
∴小明家在学校北偏东58°方向300米处.
故答案为：D.
【分析】利用∠AON=90°-∠AOB，代入计算求出∠AON的度数，利用OA的长，可得到小明家在学校的位置.
4．【答案】B
【知识点】正比例函数的定义
【解析】【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象过点P（﹣1，3），
∴-k=3
解之：k=-3.
∴y=-3x；
当x=1时y=-3；
∴该图象必过点（1，-3）.
故答案为：B.
【分析】利用待定系数法求出该函数的解析式，再将x=1代入求出对应的y的值，由此可得答案.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、
不能计算，故A不符合题意；
B、
，故B不符合题意；
C、
，故C不符合题意；
D、
.
故答案为：D.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的减法法则，先将二次根式化成同类二次根式，再合并即可，可对B作出判断；利用两个二次根式相乘，把被开方数相乘，结果化成最简二次根式，可对C作出判断；利用二次根式的除法法则，进行计算，可对D作出判断.
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得-故答案为：C.
【分析】根据第一象限的坐标特点列出不等式求出a的范围，并在数轴上表示出来即可.
7．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b经过点（2，1），
∴2k+b=1
∴b=1-2k，
∴y=kx+1-2k
∵直线y=kx+b经过第一、二、三象限，
∴k＞0，1-2k＞0
∴
∴k的取值范围为：
；
∵m=2k-b=2k-（1-2k）=4k-1
∴4×0-1＜4k-1＜4×
-1即-1＜m＜1.
故答案为：A.
【分析】直线y=kx+b经过点（2，1），代入可得到b=1-2k，由此可得到y=kx+1-2k，再利用函数图象经过第一、二、三象限，可得到关于k的不等式，求出k的取值范围；再利用不等式的性质可求出m的取值范围.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解： 过点D作DE⊥AB于点E，
由题意可知四边形CDEB是矩形，
∴BC=DE=1.2m，
BE=CD=1.6m，
∴AE=AB=BE=2.5-1.6=0.9m，
在Rt△ADE中
.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，易证四边形CDEB是矩形，利用矩形的性质可求出DE，BE，AE的长，再利用勾股定理求出AD的长.
10．【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点M作MN⊥l1于点N，过点B作BD⊥l1于点D，
∴MN∥BD，
∴△AMN∽△ABD
∴
∵直线l1：y=-2x+4，
当x=0时y=4，当y=0时x=2，
∴点A（0，4），点C（2，0）
∵ l1关于y轴的对称直线为l2，
∴直线l2：y=2x+4；
∴点B（-2，0）
∴BC=4，AO=4，
AB=AC=
∴
∴
解之：
设点M（m，2m+4），
∵ M 点到直线l1的距离小于
∴取MN的极值为
∴即
解之：m=±1.25
点M和点M′的横坐标互为相反数，
∴m的取值范围为-1.25故答案为：D.
【分析】如图，过点M作MN⊥l1于点N，过点B作BD⊥l1于点D，可证得MN∥BD，由此可证得△AMN∽△ABD，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，再利用函数解析式求出点A，C的坐标；由 l1关于y轴的对称直线为l2， 可得到l2的解析式，即可求出点B的坐标，再利用勾股定理求出AC的长，利用三角形的面积公式求出BD的长，设点M（m，2m+4），利用平面直角坐标系中的两点间的距离公式可求出AM的长，即可得到关于m的方程，解方程求出m的值；然后利用点M和点M′的横坐标互为相反数，可得到m的取值范围.
11．【答案】（-3，-3）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点P（2，-3）向左平移5个单位后点Q的坐标为（-3，-3）.
故答案为：（-3，-3）.
【分析】利用点的坐标平移规律：左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标），由此可求出点Q的坐标.
12．【答案】若ab=1,则a,b互为倒数
【知识点】逆命题
【解析】【解答】命题“若a,b互为倒数，则ab=1”的逆命题是“若ab=1,则a,b互为倒数”.
故答案为：若ab=1,则a,b互为倒数.
【分析】逆命题即将原命题的条件与结论互换所得到的命题.
13．【答案】x≥﹣3且x≠2
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：分式
有意义，
∴，
解之：x≥3且x≠2.
故答案为：x≥3且x≠2.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集.
14．【答案】0【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝kx+k﹣1（其中k为常数且k≠0）的图像不经过第二象限，
∴此函数图象经过第一，三，四象限或第一，三象限，
∴k＞0且k-1≤0，
解之：k＞0，k≤1，
∴k的取值范围是：0＜k≤1.
故答案为：0＜k≤1.
【分析】利用已知条件可知此函数图象经过第一，三，四象限或第一，三象限，由此可得到关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集.
15．【答案】1或
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在Rt△ACB中
∴AB=2BC，
∴∠A=30°，∠B=60°；
∵将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，
∴∠A1=30°，AC=A1C=
当∠A1PD=90°时，
∴∠A1DP=90°-30°=60°=∠CDB=∠B
∴△CDB是等边三角形，
∴CB=CD=1，
∴A1D=CA1-CD= -1；
∴PD=
∴；
当∠A1DP=90°时，
在Rt△CDB中，BC=1
∴BD=
∴；
∴A1D=
设PD=x，则AP=2x，
∴4x2-x2=( )2
解之：x=
∴AP=A1P=2× =1.
故答案为：1或 .
【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用边之间的关系可求出∠A=30°，∠B=60°；再利用折叠的性质可得到∠A1=30°，AC=A1C= ；再分情况讨论：当∠A1PD=90°时，易证△CDB是等边三角形，可以分别求出CD，A1D，PD的长，根据AP=AB-PD可求出AP的长；当∠A1DP=90°时，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出BD的长，利用勾股定理求出CD的长，从而可求出A1D，设PD=x，则AP=2x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值；然后求出AP的长；综上所述可得到AP的长.
16．【答案】（1）（2，0）
（2）10
【知识点】勾股定理；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵直线y=-x-2，
当y=0时x=-2，
∴点A（-2，0），
∵作点A关于y轴的对称点C，
∴点C（2，0）.
（2）如图，过点D作DM⊥AN于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，
∴∠ENC=∠CMD=90°，∠ECN+∠E=90°
∵将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，
∴∠ECN+∠DCM=90°，CD=EC，
∴∠DCM=∠E，
在△DCM和△CEN中
∴△DCM≌△CEN（AAS）
∴DM=CN，CM=EN，
设点D（x，-x-2）
∴DM=CN=x+2，OM=x，
∴CM=EN=x-2，ON=x+2+2=x+4，
∴点E（x+4，x-2）
∴
当
时，OE+AE取得最小值，
解之：x=-5，经检验，x=-5是原方程的根，
∴当x=-5时
∴.
故答案为：
.
【分析】（1）利用直线的解析式求出点A，B的坐标，利用关于y轴对称点的坐标特点可求出点C的坐标.
（2）过点D作DM⊥AN于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，利用AAS易证△DCM≌△CEN，利用全等三角形的性质可得到DM=CN，CM=EN，设点D（x，-x-2），可表示出OM，CM，EN，ON的长，可得到点E的坐标，由此可表示出OE，AE的长；当
时，OE+AE取得最小值，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，将x的值代入可求出OE+AE的最小值.
17．【答案】（1）解：将方程转化为：x2-9x=0
∴x（x-9）=0
x=0或x-9=0
∴ x1＝0，x2＝9 .
（2）解：移项得： x2﹣6x=1，
配方得：x2﹣6x+9=10即（x-3）2=10
∴x-3=±
∴ x1＝3+ ，x2＝3﹣ .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将方程组转化为一般形式，方程右边为0，左边含有公因式x，因此利用因式分解法求出方程的解.
（2）观察方程的特点：二次项系数为1，一次项系数为偶数，因此利用配方法解方程即可.
18．【答案】证明：∵DF∥AC，
∴∠D=∠CAB，
∵DA＝EB，
∴DE=AB，
在△DEF和△ABC中
∴△DEF≌△ABC（SAS），
∴∠F=∠C.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用平行线的性质可证得∠D=∠CAB；再利用已知DA＝EB可推出DE=AB；然后利用SAS证明△DEF≌△ABC，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
19．【答案】（1）解：∵点P（4-m，m-1）在x轴上，
∴m-1=0
解之：m=1.
（2）解：∵点 P到x轴的距离是到y轴距离的2倍相等，
∴2|4-m|=|m-1|
∴m-1=±2（4-m）
解之：m=3或7，
当m=3时4-m=4-3=1，m-1=3-1=2；
当m=7时4-m=4-7=-3，m-1=7-1=6；
∴点P的坐标为（1，2）和（-3，6）.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标
【解析】【分析】（1）利用x轴上的点的坐标特点：纵坐标为0，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（2）利用点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍相等，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再求出4-m和m-1的值，即可得到符合题意的所有的点P的坐标.
20．【答案】（1）解：如图，
△APQ就是所求作的三角形.
（2）解：如图，
△BPQ就是所求作的三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用格点的特点，利用直角三角形的性质，可作出等腰直角△APQ即可.
（2）利用有两边相等的三角形是等腰三角形，画出PB=BQ，然后画出△BPQ.
21．【答案】（1）解： ；
（2）解：
∴
∴（a-3）2=8
∴a2-6a=-1
∴ 2a2﹣12a=-2
∴ 2a2﹣12a+1=-2+1=-1.
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】（1）将分子分母同时乘以
，然后化简即可.
（2）先将a利用分母有理化进行化简，可求出a-3的值；再两边同时平方，可得到a2-6a，然后求出2a2﹣12a的值，整体代入可求值.
22．【答案】（1）
　 运量（吨） 运费 （元）
A医院 B医院 A医院 B医院
甲医院 x 160-x 39x 20×1.5（160-x）
乙医院 100-x 60-(100-x）=x-40 35（100-x） 25×1.2（x-40）
（2）解：y=39x+20×1.5（160-x）+35（100-x）+25×1.2（x-40）
y=4x+7100
解之：40≤x≤100.
∴y=4x+7100（40≤x≤100）
（3）解：∵y=4x+7100（40≤x≤100）
4＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=40时，总运费最省，最省运费=4×40+7100=7260元；
∴100-x=100-40=60，
160-x=160-40=120，
x-40=40-40=0.
答：A运往甲40吨，运往乙60吨；B运往甲120吨，运往乙0吨；最省7260吨.
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和图形中的相关数据，先将表中空白填好.
（2）利用总运费=各部分的运费之和，可得到y关于x之间的函数解析式，再求出x的取值范围.
（3）利用一次函数的增减性，可求出当x=40时，总运费最省，同时可求出最省运费，然后求出其结果即可.
23．【答案】（1）M1，M3；M3
（2）解：如图，作线段AB的垂直平分线M1，M2，
∴AM1=AM2，
∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0）
∴点C的坐标为（1，2），
∵若M为线段AB的“优对称点民主点”，
∴AM1=M1B=AM2=BM2，
∵当90°≤∠AMB≤180°时，则称M为“优对称点”.
当∠AM1B=90°时
四边形AM1BM2是正方形，
∴点M的横坐标就是m的取值范围，
∴-1≤m≤3.
（3）解：S（2，2.5）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（0，2），（2，0），
∴OA=OB=2，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵若M满足：MA＝MB，则称M是线段AB的“对称点”，
∴点M的横纵坐标的绝对值都相等，
∴ 线段AB的“对称点”M1，M3；
∴线段AB的“劣对称点”为M3；
故答案为：M1，M3，M3.
（3）如图，
∵点P为x轴上的动点（不与B重合），若T为AB的“对称点”，当线段TB与TP的和最小时，
当点P与点O重合，AB的垂直平分线交y轴于点T，
∴AT=BT，
∴TB+TP=TP+AT=AP，
两点之间线段最短，此时线段TB与TP的和最小，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴
解之：
∴直线AB的函数解析式为y=-2x+4
∵ST⊥AB，
设ST的解析式为
∵点（0，4），点B（2，0），点C为AB的中点，
∴点C（1，2）
∴
解之：
∴直线ST的解析式为 ，
当x=0时
∴点T
∵T关于直线AB的对称点S的坐标，
∴点C是线段ST的中点
设S（x，y）
∴
解之：x=2，y=2.5.
∴点S（2，2.5）.
【分析】（1）利用点A，B的坐标可知OA=OB，可推出点O在AB的垂直平分线上，再利用“对称点”和“劣对称点”的定义可得答案.
（2）作线段AB的垂直平分线M1，M2，利用“优对称点民主点”的定义可证得四边形AM1BM2是正方形，利用点A，B的坐标可得到点C的坐标；可得到点M的横坐标就是m的取值范围，即可求出m的取值范围.
（3）点P为x轴上的动点（不与B重合），若T为AB的“对称点”，当线段TB与TP的和最小时，可知当点P与点O重合，AB的垂直平分线交y轴于点T，利用垂直平分线的性质去证明TB+TP=AP，利用两点之间线段最短，可知此时线段TB与TP的和最小；利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，利用点A，B的坐标可得到点C的坐标；根据ST⊥AB，设ST的解析式为
，将点C的坐标代入可求出直线ST的函数解析式，同时求出点T的坐标；再利用点的坐标的对称性，设S（x，y）可得到关于x，y的方程，解方程求出x，y的值，即可得到点S的坐标.
24．【答案】（1）解：①如图直线l2旋转到AC的位置，
当x=0时y= ，当y=0时x=-1
∴点A（0， ），点B（-1，0）
∵点C（1，0）
∴OA= ，OC=1
∴AC= ，
② α＝30°
（2）解：∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，
∴△DBC总是等腰三角形；
①当AD＝AC＝AB且D在A点上方时（图2），
∴∠ACD＝∠ADC＝15° ∵CE∥OD，∴α=∠ODC＝15°
②当DA＝DC＝DB时（图3），易知∠DAC＝∠DCA＝30°，∴α＝60°，
③当AD＝AC＝AB且D在A点下方时（图4），
易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，
∠DBC＝∠DCB＝15°，
∴α＝105°；
④当AB＝BD＝DC＝AC（图5）易知△BDC是等边三角形，
∴α＝150°
综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.
（3）解：当E在x轴上方时，BE=BO+BF
如图，在AB上截取BG=BO
∵∠GBO=60°，
∴△BOG是等边三角形，
∵△OEF是等边三角形，
∴OB=OG=BG，OF=OE，∠BOG=60°=∠BOF+∠FOG，∠FOG+∠EOG=60°，
∴∠BOF=∠EOG，
在△BOF和△EOG中
∴△BOF≌△EOG（SAS），
∴BF=EG，
∵BE=BG+GE
∴BE=BF+OB；
当E在x轴下方时，BE=BF-BO
作∠BOH=60°，
∴△OBH是等边三角形，
∴∠HOB=60°，OH=OB=BH，
∵△OEF是等边三角形，
∴∠EOF=60°，OE=OF，
∴∠HOE=∠FOB，
在△EOH和△OBF，
∴△EOH≌△OBF（SAS）
∴EH=BF，
∵EH=BE+BH
∴BF=BE+OB即BE=BF-BO.
【知识点】一次函数图象与几何变换；等边三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）②∵AC=2OC，
∴∠BAC=30°，∠ACO=90°-30°=60°，
∴旋转角α的度数为90°-60°=30°.
【分析】（1）利用函数解析式可求出点A，B的坐标，可求出OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出AC的长.
（2）利用垂直平分线的性质可证得DB=DC，可知△DBC总是等腰三角形；①当AD＝AC＝AB且D在A点上方时；②当DA＝DC＝DB时；③当AD＝AC＝AB且D在A点下方时；④当AB＝BD＝DC＝AC；分别求出符合题意的旋转角α的度数.
（3）分情况讨论：当E在x轴上方时，BE=BO+BF，在AB上截取BG=BO，利用等边三角形的性质可证得∠BOF=∠EOG，OF=OE，利用SAS证明△BOF≌△EOG，利用全等三角形的性质可得到BF=EG，然后根据BE=BG+GE，可得到线段BE，OB与BF之间的数量关系；当E在x轴下方时，BE=BF-BO，作∠BOH=60°，易证△OBH是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠HOB=60°，OH=OB=BH，∠EOF=60°，OE=OF，可推出∠HOE=∠FOB，利用SAS证明△EOH≌△OBF，利用全等三角形的性质可得到EH=BF，然后根据EH=BE+BH，可证得结论.
1 / 1浙江省金华市义乌市绣湖中学2021-2022学年八年级下学期寒假作业监测（开学）试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020八上·鄞州期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．3，5，7 B．3，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+5>7，∴能组成三角形，符合题意；
B、∵3+6<10，∴不能组成三角形，不符合题意；
C、∵5+5<11，∴不能组成三角形，不符合题意；
D、∵5+6=11，∴不能组成三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边的关系分别判断，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，一般用较小的两边之和与最大边比较即可判断.
2．（2020八上·无为期末）下列垃圾分类的图标（不含文字与字母部分）中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
3．（2022八下·义乌开学考）如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最正确的是（　　）
A．在距离学校300米处 B．在学校的北偏东32°方向
C．在北偏东58°方向300米处 D．在学校北偏东58°方向300米处
【答案】D
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠AON=90°-32°=58°，
∴小明家在学校北偏东58°方向300米处.
故答案为：D.
【分析】利用∠AON=90°-∠AOB，代入计算求出∠AON的度数，利用OA的长，可得到小明家在学校的位置.
4．（2022八下·义乌开学考）若函数y＝kx（k≠0）的图象过点P（﹣1，3），则该图象必过点（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣3，1） D．（3，﹣1）
【答案】B
【知识点】正比例函数的定义
【解析】【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象过点P（﹣1，3），
∴-k=3
解之：k=-3.
∴y=-3x；
当x=1时y=-3；
∴该图象必过点（1，-3）.
故答案为：B.
【分析】利用待定系数法求出该函数的解析式，再将x=1代入求出对应的y的值，由此可得答案.
5．（2022八下·义乌开学考）下列计算结果正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、
不能计算，故A不符合题意；
B、
，故B不符合题意；
C、
，故C不符合题意；
D、
.
故答案为：D.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的减法法则，先将二次根式化成同类二次根式，再合并即可，可对B作出判断；利用两个二次根式相乘，把被开方数相乘，结果化成最简二次根式，可对C作出判断；利用二次根式的除法法则，进行计算，可对D作出判断.
6．（2020八上·台州开学考）已知点P（2a+1，1﹣a）在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得-故答案为：C.
【分析】根据第一象限的坐标特点列出不等式求出a的范围，并在数轴上表示出来即可.
7．（2016八上·嵊州期末）对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40°
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
8．（2022八下·义乌开学考）已知直线
经过第一、二、三象限，且点
在该直线上，设
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b经过点（2，1），
∴2k+b=1
∴b=1-2k，
∴y=kx+1-2k
∵直线y=kx+b经过第一、二、三象限，
∴k＞0，1-2k＞0
∴
∴k的取值范围为：
；
∵m=2k-b=2k-（1-2k）=4k-1
∴4×0-1＜4k-1＜4×
-1即-1＜m＜1.
故答案为：A.
【分析】直线y=kx+b经过点（2，1），代入可得到b=1-2k，由此可得到y=kx+1-2k，再利用函数图象经过第一、二、三象限，可得到关于k的不等式，求出k的取值范围；再利用不等式的性质可求出m的取值范围.
9．（2022八下·义乌开学考）如图，某自动感应门的正上方
处装着一个感应器，离地
米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生
正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时
米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离
等于
A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解： 过点D作DE⊥AB于点E，
由题意可知四边形CDEB是矩形，
∴BC=DE=1.2m，
BE=CD=1.6m，
∴AE=AB=BE=2.5-1.6=0.9m，
在Rt△ADE中
.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，易证四边形CDEB是矩形，利用矩形的性质可求出DE，BE，AE的长，再利用勾股定理求出AD的长.
10．（2022八下·义乌开学考）在平面直角坐标系中，已知直线l1：y=-2x+4交y轴于点A，若l1关于y轴的对称直线为l2，直线l2的有一个点M ，当M 点到直线l1的距离小于 ，则点M 的横坐标m取值范围是（　　）
A．-2C．-1.5【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点M作MN⊥l1于点N，过点B作BD⊥l1于点D，
∴MN∥BD，
∴△AMN∽△ABD
∴
∵直线l1：y=-2x+4，
当x=0时y=4，当y=0时x=2，
∴点A（0，4），点C（2，0）
∵ l1关于y轴的对称直线为l2，
∴直线l2：y=2x+4；
∴点B（-2，0）
∴BC=4，AO=4，
AB=AC=
∴
∴
解之：
设点M（m，2m+4），
∵ M 点到直线l1的距离小于
∴取MN的极值为
∴即
解之：m=±1.25
点M和点M′的横坐标互为相反数，
∴m的取值范围为-1.25故答案为：D.
【分析】如图，过点M作MN⊥l1于点N，过点B作BD⊥l1于点D，可证得MN∥BD，由此可证得△AMN∽△ABD，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，再利用函数解析式求出点A，C的坐标；由 l1关于y轴的对称直线为l2， 可得到l2的解析式，即可求出点B的坐标，再利用勾股定理求出AC的长，利用三角形的面积公式求出BD的长，设点M（m，2m+4），利用平面直角坐标系中的两点间的距离公式可求出AM的长，即可得到关于m的方程，解方程求出m的值；然后利用点M和点M′的横坐标互为相反数，可得到m的取值范围.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2022八下·义乌开学考）若点P（2，-3）向左平移5个单位后点Q的坐标为　 　．
【答案】（-3，-3）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点P（2，-3）向左平移5个单位后点Q的坐标为（-3，-3）.
故答案为：（-3，-3）.
【分析】利用点的坐标平移规律：左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标），由此可求出点Q的坐标.
12．（2018八上·江北期末）命题“若a,b互为倒数，则ab=1”的逆命题是　 　.
【答案】若ab=1,则a,b互为倒数
【知识点】逆命题
【解析】【解答】命题“若a,b互为倒数，则ab=1”的逆命题是“若ab=1,则a,b互为倒数”.
故答案为：若ab=1,则a,b互为倒数.
【分析】逆命题即将原命题的条件与结论互换所得到的命题.
13．（2022八下·义乌开学考）若分式
有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥﹣3且x≠2
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：分式
有意义，
∴，
解之：x≥3且x≠2.
故答案为：x≥3且x≠2.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集.
14．（2022八下·义乌开学考）已知一次函数y＝kx+k﹣1（其中k为常数且k≠0）的图像不经过第二象限，则k的取值范围是　 　．
【答案】0【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝kx+k﹣1（其中k为常数且k≠0）的图像不经过第二象限，
∴此函数图象经过第一，三，四象限或第一，三象限，
∴k＞0且k-1≤0，
解之：k＞0，k≤1，
∴k的取值范围是：0＜k≤1.
故答案为：0＜k≤1.
【分析】利用已知条件可知此函数图象经过第一，三，四象限或第一，三象限，由此可得到关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集.
15．（2022八下·义乌开学考）如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC
=
是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，CA交AB于点D.当△A1PD为直角三角形时，则AP的长度为　 　。
【答案】1或
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在Rt△ACB中
∴AB=2BC，
∴∠A=30°，∠B=60°；
∵将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，
∴∠A1=30°，AC=A1C=
当∠A1PD=90°时，
∴∠A1DP=90°-30°=60°=∠CDB=∠B
∴△CDB是等边三角形，
∴CB=CD=1，
∴A1D=CA1-CD= -1；
∴PD=
∴；
当∠A1DP=90°时，
在Rt△CDB中，BC=1
∴BD=
∴；
∴A1D=
设PD=x，则AP=2x，
∴4x2-x2=( )2
解之：x=
∴AP=A1P=2× =1.
故答案为：1或 .
【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用边之间的关系可求出∠A=30°，∠B=60°；再利用折叠的性质可得到∠A1=30°，AC=A1C= ；再分情况讨论：当∠A1PD=90°时，易证△CDB是等边三角形，可以分别求出CD，A1D，PD的长，根据AP=AB-PD可求出AP的长；当∠A1DP=90°时，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出BD的长，利用勾股定理求出CD的长，从而可求出A1D，设PD=x，则AP=2x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值；然后求出AP的长；综上所述可得到AP的长.
16．（2022八下·义乌开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y= - x-2 交x轴于点A，交y轴于点B，作点A关于y轴的对称点C，D是直线l上的动点，连CD，将CD绕C点逆时针旋转90°至CE。则
（1）点C的坐标是　 　
（2）OE+AE的最小值是　 　.
【答案】（1）（2，0）
（2）10
【知识点】勾股定理；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵直线y=-x-2，
当y=0时x=-2，
∴点A（-2，0），
∵作点A关于y轴的对称点C，
∴点C（2，0）.
（2）如图，过点D作DM⊥AN于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，
∴∠ENC=∠CMD=90°，∠ECN+∠E=90°
∵将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，
∴∠ECN+∠DCM=90°，CD=EC，
∴∠DCM=∠E，
在△DCM和△CEN中
∴△DCM≌△CEN（AAS）
∴DM=CN，CM=EN，
设点D（x，-x-2）
∴DM=CN=x+2，OM=x，
∴CM=EN=x-2，ON=x+2+2=x+4，
∴点E（x+4，x-2）
∴
当
时，OE+AE取得最小值，
解之：x=-5，经检验，x=-5是原方程的根，
∴当x=-5时
∴.
故答案为：
.
【分析】（1）利用直线的解析式求出点A，B的坐标，利用关于y轴对称点的坐标特点可求出点C的坐标.
（2）过点D作DM⊥AN于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，利用AAS易证△DCM≌△CEN，利用全等三角形的性质可得到DM=CN，CM=EN，设点D（x，-x-2），可表示出OM，CM，EN，ON的长，可得到点E的坐标，由此可表示出OE，AE的长；当
时，OE+AE取得最小值，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，将x的值代入可求出OE+AE的最小值.
三、解答题（8大题，共66分）
17．（2022八下·义乌开学考）解下列一元二次方程：
（1）（x﹣4）（x﹣5）＝20；
（2）x2﹣6x﹣1＝0．
【答案】（1）解：将方程转化为：x2-9x=0
∴x（x-9）=0
x=0或x-9=0
∴ x1＝0，x2＝9 .
（2）解：移项得： x2﹣6x=1，
配方得：x2﹣6x+9=10即（x-3）2=10
∴x-3=±
∴ x1＝3+ ，x2＝3﹣ .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将方程组转化为一般形式，方程右边为0，左边含有公因式x，因此利用因式分解法求出方程的解.
（2）观察方程的特点：二次项系数为1，一次项系数为偶数，因此利用配方法解方程即可.
18．（2022八下·义乌开学考）如图，DF∥AC，DF＝AC，DA＝EB
求证：∠F＝∠C
【答案】证明：∵DF∥AC，
∴∠D=∠CAB，
∵DA＝EB，
∴DE=AB，
在△DEF和△ABC中
∴△DEF≌△ABC（SAS），
∴∠F=∠C.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用平行线的性质可证得∠D=∠CAB；再利用已知DA＝EB可推出DE=AB；然后利用SAS证明△DEF≌△ABC，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
19．（2022八下·义乌开学考）已知点P（4-m，m-1）．
（1）若点
在轴上，求
的值．
（2）若点
到x轴的距离是到y轴距离的2倍相等，求
点的坐标．
【答案】（1）解：∵点P（4-m，m-1）在x轴上，
∴m-1=0
解之：m=1.
（2）解：∵点 P到x轴的距离是到y轴距离的2倍相等，
∴2|4-m|=|m-1|
∴m-1=±2（4-m）
解之：m=3或7，
当m=3时4-m=4-3=1，m-1=3-1=2；
当m=7时4-m=4-7=-3，m-1=7-1=6；
∴点P的坐标为（1，2）和（-3，6）.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标
【解析】【分析】（1）利用x轴上的点的坐标特点：纵坐标为0，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（2）利用点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍相等，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再求出4-m和m-1的值，即可得到符合题意的所有的点P的坐标.
20．（2022八下·义乌开学考）如图，在方格纸中，点
，
都在格点上，请按要求画出以
为边的格点三角形．
（1）在图1中，画一个
，使得
为锐角．
（2）在图2中，画一个以
为底边的等腰三角形
．
【答案】（1）解：如图，
△APQ就是所求作的三角形.
（2）解：如图，
△BPQ就是所求作的三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用格点的特点，利用直角三角形的性质，可作出等腰直角△APQ即可.
（2）利用有两边相等的三角形是等腰三角形，画出PB=BQ，然后画出△BPQ.
21．（2022八下·义乌开学考）在解决问题“已知a＝
，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝
＝
＝
+1，
∴a﹣1＝
，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
．
（2）若a＝
，求2a2﹣12a+1的值．
【答案】（1）解： ；
（2）解：
∴
∴（a-3）2=8
∴a2-6a=-1
∴ 2a2﹣12a=-2
∴ 2a2﹣12a+1=-2+1=-1.
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】（1）将分子分母同时乘以
，然后化简即可.
（2）先将a利用分母有理化进行化简，可求出a-3的值；再两边同时平方，可得到a2-6a，然后求出2a2﹣12a的值，整体代入可求值.
22．（2022八下·义乌开学考）A，B两个医院分别有100吨和120吨抗疫物资，准备直接运送给甲、乙两个灾区医院，甲医院需160吨，乙医院需60吨，A，B两医院到甲、乙两医院的路程以及每吨每千米的运费如右图所示．若设A医院运往甲医院物资x吨，
（1）完成如表，
　 运量（吨） 运费 （元）
A医院 B医院 A医院 B医院
甲医院 　 　 　 　
乙医院 　 　 　 　
（2）求总运费y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当A、B两医院各运往甲、乙两医院多少吨物资时，总运费最省？最省运费是多少元？
【答案】（1）
　 运量（吨） 运费 （元）
A医院 B医院 A医院 B医院
甲医院 x 160-x 39x 20×1.5（160-x）
乙医院 100-x 60-(100-x）=x-40 35（100-x） 25×1.2（x-40）
（2）解：y=39x+20×1.5（160-x）+35（100-x）+25×1.2（x-40）
y=4x+7100
解之：40≤x≤100.
∴y=4x+7100（40≤x≤100）
（3）解：∵y=4x+7100（40≤x≤100）
4＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=40时，总运费最省，最省运费=4×40+7100=7260元；
∴100-x=100-40=60，
160-x=160-40=120，
x-40=40-40=0.
答：A运往甲40吨，运往乙60吨；B运往甲120吨，运往乙0吨；最省7260吨.
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和图形中的相关数据，先将表中空白填好.
（2）利用总运费=各部分的运费之和，可得到y关于x之间的函数解析式，再求出x的取值范围.
（3）利用一次函数的增减性，可求出当x=40时，总运费最省，同时可求出最省运费，然后求出其结果即可.
23．（2022八下·义乌开学考）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB和点M，给出定义：若M满足：MA＝MB，则称M是线段AB的“对称点”，其中，当0°＜∠AMB＜90°，称M为线段AB的“劣对称点”；当90°≤∠AMB≤180°时，则称M为“优对称点”.
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（0，2），（2，0），则在坐标M1（0，0），M2（2，3），M3（4，4）中，是线段AB的“对称点”为：　 　；是线段AB的“劣对称点”为　 　.
（2）如图2，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），若M为线段AB的“优对称点民主点”，求出点M的横坐标m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点P为x轴上的动点（不与B重合），若T为AB的“对称点”，当线段TB与TP的和最小时，直接写出T关于直线AB的对称点S的坐标.
【答案】（1）M1，M3；M3
（2）解：如图，作线段AB的垂直平分线M1，M2，
∴AM1=AM2，
∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0）
∴点C的坐标为（1，2），
∵若M为线段AB的“优对称点民主点”，
∴AM1=M1B=AM2=BM2，
∵当90°≤∠AMB≤180°时，则称M为“优对称点”.
当∠AM1B=90°时
四边形AM1BM2是正方形，
∴点M的横坐标就是m的取值范围，
∴-1≤m≤3.
（3）解：S（2，2.5）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（0，2），（2，0），
∴OA=OB=2，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵若M满足：MA＝MB，则称M是线段AB的“对称点”，
∴点M的横纵坐标的绝对值都相等，
∴ 线段AB的“对称点”M1，M3；
∴线段AB的“劣对称点”为M3；
故答案为：M1，M3，M3.
（3）如图，
∵点P为x轴上的动点（不与B重合），若T为AB的“对称点”，当线段TB与TP的和最小时，
当点P与点O重合，AB的垂直平分线交y轴于点T，
∴AT=BT，
∴TB+TP=TP+AT=AP，
两点之间线段最短，此时线段TB与TP的和最小，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴
解之：
∴直线AB的函数解析式为y=-2x+4
∵ST⊥AB，
设ST的解析式为
∵点（0，4），点B（2，0），点C为AB的中点，
∴点C（1，2）
∴
解之：
∴直线ST的解析式为 ，
当x=0时
∴点T
∵T关于直线AB的对称点S的坐标，
∴点C是线段ST的中点
设S（x，y）
∴
解之：x=2，y=2.5.
∴点S（2，2.5）.
【分析】（1）利用点A，B的坐标可知OA=OB，可推出点O在AB的垂直平分线上，再利用“对称点”和“劣对称点”的定义可得答案.
（2）作线段AB的垂直平分线M1，M2，利用“优对称点民主点”的定义可证得四边形AM1BM2是正方形，利用点A，B的坐标可得到点C的坐标；可得到点M的横坐标就是m的取值范围，即可求出m的取值范围.
（3）点P为x轴上的动点（不与B重合），若T为AB的“对称点”，当线段TB与TP的和最小时，可知当点P与点O重合，AB的垂直平分线交y轴于点T，利用垂直平分线的性质去证明TB+TP=AP，利用两点之间线段最短，可知此时线段TB与TP的和最小；利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，利用点A，B的坐标可得到点C的坐标；根据ST⊥AB，设ST的解析式为
，将点C的坐标代入可求出直线ST的函数解析式，同时求出点T的坐标；再利用点的坐标的对称性，设S（x，y）可得到关于x，y的方程，解方程求出x，y的值，即可得到点S的坐标.
24．（2022八下·义乌开学考）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线l1： 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l2，将直线l2绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.
（1）若直线l2经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；
（2）若直线l2在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，求出符合条件的旋转角α的度数.
（3）若直线l2在旋转过程中与直线l1 交于点E，连OE，以OE为边作等边△OEF（点O、E、F按逆时针方向排列），连BF.请你探究线段BE，OB与BF之间的数量关系？并说明理由。
【答案】（1）解：①如图直线l2旋转到AC的位置，
当x=0时y= ，当y=0时x=-1
∴点A（0， ），点B（-1，0）
∵点C（1，0）
∴OA= ，OC=1
∴AC= ，
② α＝30°
（2）解：∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，
∴△DBC总是等腰三角形；
①当AD＝AC＝AB且D在A点上方时（图2），
∴∠ACD＝∠ADC＝15° ∵CE∥OD，∴α=∠ODC＝15°
②当DA＝DC＝DB时（图3），易知∠DAC＝∠DCA＝30°，∴α＝60°，
③当AD＝AC＝AB且D在A点下方时（图4），
易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，
∠DBC＝∠DCB＝15°，
∴α＝105°；
④当AB＝BD＝DC＝AC（图5）易知△BDC是等边三角形，
∴α＝150°
综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.
（3）解：当E在x轴上方时，BE=BO+BF
如图，在AB上截取BG=BO
∵∠GBO=60°，
∴△BOG是等边三角形，
∵△OEF是等边三角形，
∴OB=OG=BG，OF=OE，∠BOG=60°=∠BOF+∠FOG，∠FOG+∠EOG=60°，
∴∠BOF=∠EOG，
在△BOF和△EOG中
∴△BOF≌△EOG（SAS），
∴BF=EG，
∵BE=BG+GE
∴BE=BF+OB；
当E在x轴下方时，BE=BF-BO
作∠BOH=60°，
∴△OBH是等边三角形，
∴∠HOB=60°，OH=OB=BH，
∵△OEF是等边三角形，
∴∠EOF=60°，OE=OF，
∴∠HOE=∠FOB，
在△EOH和△OBF，
∴△EOH≌△OBF（SAS）
∴EH=BF，
∵EH=BE+BH
∴BF=BE+OB即BE=BF-BO.
【知识点】一次函数图象与几何变换；等边三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）②∵AC=2OC，
∴∠BAC=30°，∠ACO=90°-30°=60°，
∴旋转角α的度数为90°-60°=30°.
【分析】（1）利用函数解析式可求出点A，B的坐标，可求出OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出AC的长.
（2）利用垂直平分线的性质可证得DB=DC，可知△DBC总是等腰三角形；①当AD＝AC＝AB且D在A点上方时；②当DA＝DC＝DB时；③当AD＝AC＝AB且D在A点下方时；④当AB＝BD＝DC＝AC；分别求出符合题意的旋转角α的度数.
（3）分情况讨论：当E在x轴上方时，BE=BO+BF，在AB上截取BG=BO，利用等边三角形的性质可证得∠BOF=∠EOG，OF=OE，利用SAS证明△BOF≌△EOG，利用全等三角形的性质可得到BF=EG，然后根据BE=BG+GE，可得到线段BE，OB与BF之间的数量关系；当E在x轴下方时，BE=BF-BO，作∠BOH=60°，易证△OBH是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠HOB=60°，OH=OB=BH，∠EOF=60°，OE=OF，可推出∠HOE=∠FOB，利用SAS证明△EOH≌△OBF，利用全等三角形的性质可得到EH=BF，然后根据EH=BE+BH，可证得结论.
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