2021-2022学年华东师大版数学九年级上册第24章解直角三角形单元检测(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年华东师大版数学九年级上册第24章解直角三角形单元检测(word版含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 107.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-30 11:36:05 | ||
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文档简介
《第24章 解直角三角形》单元测试
一、选择题(每题3分，共24分)
1．如图，PA为旗杆PQ的影子，小李站在A处，AC为小李的影子．在同一时刻，测得PA＝20 m，AC＝2 m，已知小李身高AB＝1.6 m，则旗杆PQ的高度是( )
A．20 m B．16 m C.21.6 m D.18 m
(第1题) (第4题) (第6题) (第7题) (第8题)
2．若关于x的方程x2－x＋cos α＝0有两个相等的实数根，则锐角α为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan B的值为( )
A. B．2 C．2 D.
4．如图是梯子的示意图，AB＝AC，∠ACB＝α，当梯子顶端离地面的高度AD＝2.8 m时，BC的长度为( )
A. m B. m C. m D. m
5．若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．如图，在一个坡度i＝1∶2.4的山坡AB上有一棵古树CD.测得古树的底端C到山脚A的距离AC＝26 m，在与山脚A水平距离为6 m的点E处，测得古树的顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD、山坡AB的剖面与点E在同一平面内，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11)( )
A．17.0 m B．21.9 m C．23.3 m D．33.3 m
7．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝，则点C的坐标为( )
A．(，1) B．(1，1)
C．(1，) D．( ＋1，1)
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.已知AC＝，BC＝2，那么sin∠ACD的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共18分)
9．等腰三角形底边长10 cm，周长为36 cm，则底角的余弦值为________．
10．小红沿着坡度i＝1?的斜面向上走了48 m，则小红沿着垂直方向升高了________ m.
11．如图，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则cos∠APD＝________．
(第11题) (第12题) (第14题)
12．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为____________．
13．计算： －4cos 45°－＋3tan 30°的结果为________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3 ，则BD的长度为________．
三、解答题(第15题16分，第16～19题每题8分，其余每题10分，共78分)
15．计算：
(1)4sin 30°－cos 45°－tan 30°＋2sin 60°；
(2)；
(3)2sin 45°－ tan 30°－ ;
(4)(tan 60°)－1×－＋8×0.125.
16．已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tan A)2＋＝0，试判断△ABC的形状．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，连结AD，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连结EF，CF.
(第17题)
(1)求证：EF＝CF；
(2)若∠BAC＝30°，连结EC，试判断△EFC 的形状，并说明理由．
18．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，测得地面上的影长为8 m，坡面上的影长为4 m，已知斜坡的坡角为30°.同一时刻，一根长为1 m且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 m，求树的高度．
(第18题)
19．如图，一艘海船以5 n mile/h的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2 h后海船行驶到C处，此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求灯塔B到C处的距离．
(第19题)
20．如图，为了测量一栋楼AB的高度，小明在D处用高为1 m的测角仪CD测得楼顶A的仰角为30°，向楼的方向前进20 m到达E处，又测得楼顶A的仰角为60°，求这栋楼AB的高度．
(第20题)
21.定义：在△ABC中，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝＝.请解答下列问题：
已知在△ABC中，∠C＝30°.
(1)若∠A＝45°，求thi A的值；
(2)若thi A＝ ，则∠A＝________；
(3)若∠A是锐角，探究thi A与sin A的数量关系．
22. 一种手机支架是由托板、支撑板和底座构成的，手机放置在托板上，如图是支架的侧面结构示意图．托板AB＝120 mm，支撑板CD＝80 mm，底座DE＝90 mm.托板AB与支撑板顶端C相连，CB＝40 mm，AB可绕点C转动，CD可绕点D转动．
(1)若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上，求CD旋转的角度．(结果保留到小数点后一位，参考数据：≈1.732，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，tan 40°≈0.839，sin 26.6°≈0.448，cos 26.6°≈0.894，tan 26.6°≈0.501)
(第22题)
答案
一、1.B 2.C 3.A 4.D 5.A
6.C 7.B 8．A
二、9. 10.24 11.
12.
13．1 14.2
三、15.解：(1)原式＝4×－×－×＋2×＝2－1－1＋＝.
(2)原式＝＝＝
＝3－2 .
(3)原式＝2×－×－|1－|
＝－1－(－1)＝－1－ ＋1＝0.
(4)原式＝()－1×－＋8×0.125
＝×－＋1＝－＋1＝1.
16．解：∵(1－tan A)2＋＝0，
∴1－tan A＝0，sin B－＝0，即tan A＝1，sin B＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．
17．(1)证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.
∵点F是线段AD的中点，∠DEA＝90°，∠ACD＝90°，
∴EF＝AD，CF＝AD，∴EF＝CF.
(2)解：△EFC是等边三角形. 理由如下：
由(1)可得EF＝AF＝CF，
∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，
∴∠EFC＝2∠BAC＝60°.
又∵EF＝CF，∴△EFC是等边三角形．
18．解：如图，延长AC交BF的延长线于点D，
作CE⊥BD于点E.
在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4 m，
∴CE＝2 m，EF＝4cos 30°＝4×＝2 (m)．
∵同一时刻，一根长为1 m且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 m，
∴CE∶DE＝1∶2，AB∶BD＝1∶2，∴DE＝4 m，
∴BD＝BF＋EF＋ED＝8＋2 ＋4＝12＋2 (m)．
∴AB＝BD＝×(12＋2 )＝＋6(m)．
答：树的高度为(＋6)m.
(第18题)
19．解：过点B作BD⊥AC于点D.
易得∠DAB＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45°.
设BD＝x n mile，
在Rt△ABD中，AD＝＝ x(n mile)，
在Rt△BDC中，BD＝DC＝x n mile，BC＝ x n mile.
∵AC＝5×2＝10(n mile)，∴x＋x＝10，
解得x＝5(－1)．
∴BC＝×5(－1)＝5(－)(n mile)．
答：灯塔B到C处的距离为5(－) n mile.
20.解：设AG＝x m，
由题意，得BG＝CD＝1 m.
在Rt△AFG中，∠AFG＝60°，
∴tan∠AFG＝ ＝，∴FG＝ x m.
在Rt△ACG中，∠ACG＝30°，
∴tan∠ACG＝ ＝，∴CG＝x m.
又∵CG－FG＝20 m，∴x－x＝20，
∴x＝10 ，∴AB＝AG＋BG＝(10 ＋1)m.
答：这栋楼AB的高度为(10 ＋1)m.
21．解：(1)如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠A＝45°.过点B作BH⊥AC，垂足为H.
在Rt△BHC中，sin C＝＝，即BC＝2BH.
在Rt△BHA中，sin A＝＝，即AB＝BH.
∴thi A＝＝.
(2)60°或120°
(3)如图，在△ABC中，∠C＝30°，thi A＝.
在Rt△BHA中，sin A＝.
在Rt△BHC中，sin C＝＝，即BC＝2BH.
∴thi A＝，∴thi A＝2sin A.
(第21题)
22.解：(1)如图①，过点A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM于点F，作CN⊥DE于点N，可得矩形CFMN，
由题意可得AC＝80 mm，
在Rt△CDN中，CN＝CD·sin∠CDE＝80×＝40 (mm)，
∠DCN＝90°－60°＝30°.
又∵∠DCB＝80°， ∴∠BCN＝50°，∴∠A＝50°，
∴∠ACF＝180°－90°－50°＝40°.
在Rt△AFC中，AF＝AC·sin 40°≈80×0.643＝51.44(mm)，
∴AM＝AF＋FM＝AF＋CN≈51.44＋40 ≈120.7 (mm)．
∴点A到直线DE的距离约为120.7 mm.
(2)旋转后，如图②所示，根据题意可知∠DCB＝80°＋10°＝90°.
在Rt△BCD中，CD＝80 mm，BC＝40 mm，
∴tan D＝＝＝0.5，∴∠D≈26.6°，
∴CD旋转的角度约为60°－26.6°＝33.4°.
(第22题)
一、选择题(每题3分，共24分)
1．如图，PA为旗杆PQ的影子，小李站在A处，AC为小李的影子．在同一时刻，测得PA＝20 m，AC＝2 m，已知小李身高AB＝1.6 m，则旗杆PQ的高度是( )
A．20 m B．16 m C.21.6 m D.18 m
(第1题) (第4题) (第6题) (第7题) (第8题)
2．若关于x的方程x2－x＋cos α＝0有两个相等的实数根，则锐角α为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan B的值为( )
A. B．2 C．2 D.
4．如图是梯子的示意图，AB＝AC，∠ACB＝α，当梯子顶端离地面的高度AD＝2.8 m时，BC的长度为( )
A. m B. m C. m D. m
5．若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．如图，在一个坡度i＝1∶2.4的山坡AB上有一棵古树CD.测得古树的底端C到山脚A的距离AC＝26 m，在与山脚A水平距离为6 m的点E处，测得古树的顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD、山坡AB的剖面与点E在同一平面内，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11)( )
A．17.0 m B．21.9 m C．23.3 m D．33.3 m
7．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝，则点C的坐标为( )
A．(，1) B．(1，1)
C．(1，) D．( ＋1，1)
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.已知AC＝，BC＝2，那么sin∠ACD的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共18分)
9．等腰三角形底边长10 cm，周长为36 cm，则底角的余弦值为________．
10．小红沿着坡度i＝1?的斜面向上走了48 m，则小红沿着垂直方向升高了________ m.
11．如图，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则cos∠APD＝________．
(第11题) (第12题) (第14题)
12．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为____________．
13．计算： －4cos 45°－＋3tan 30°的结果为________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3 ，则BD的长度为________．
三、解答题(第15题16分，第16～19题每题8分，其余每题10分，共78分)
15．计算：
(1)4sin 30°－cos 45°－tan 30°＋2sin 60°；
(2)；
(3)2sin 45°－ tan 30°－ ;
(4)(tan 60°)－1×－＋8×0.125.
16．已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tan A)2＋＝0，试判断△ABC的形状．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，连结AD，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连结EF，CF.
(第17题)
(1)求证：EF＝CF；
(2)若∠BAC＝30°，连结EC，试判断△EFC 的形状，并说明理由．
18．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，测得地面上的影长为8 m，坡面上的影长为4 m，已知斜坡的坡角为30°.同一时刻，一根长为1 m且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 m，求树的高度．
(第18题)
19．如图，一艘海船以5 n mile/h的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2 h后海船行驶到C处，此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求灯塔B到C处的距离．
(第19题)
20．如图，为了测量一栋楼AB的高度，小明在D处用高为1 m的测角仪CD测得楼顶A的仰角为30°，向楼的方向前进20 m到达E处，又测得楼顶A的仰角为60°，求这栋楼AB的高度．
(第20题)
21.定义：在△ABC中，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝＝.请解答下列问题：
已知在△ABC中，∠C＝30°.
(1)若∠A＝45°，求thi A的值；
(2)若thi A＝ ，则∠A＝________；
(3)若∠A是锐角，探究thi A与sin A的数量关系．
22. 一种手机支架是由托板、支撑板和底座构成的，手机放置在托板上，如图是支架的侧面结构示意图．托板AB＝120 mm，支撑板CD＝80 mm，底座DE＝90 mm.托板AB与支撑板顶端C相连，CB＝40 mm，AB可绕点C转动，CD可绕点D转动．
(1)若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上，求CD旋转的角度．(结果保留到小数点后一位，参考数据：≈1.732，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，tan 40°≈0.839，sin 26.6°≈0.448，cos 26.6°≈0.894，tan 26.6°≈0.501)
(第22题)
答案
一、1.B 2.C 3.A 4.D 5.A
6.C 7.B 8．A
二、9. 10.24 11.
12.
13．1 14.2
三、15.解：(1)原式＝4×－×－×＋2×＝2－1－1＋＝.
(2)原式＝＝＝
＝3－2 .
(3)原式＝2×－×－|1－|
＝－1－(－1)＝－1－ ＋1＝0.
(4)原式＝()－1×－＋8×0.125
＝×－＋1＝－＋1＝1.
16．解：∵(1－tan A)2＋＝0，
∴1－tan A＝0，sin B－＝0，即tan A＝1，sin B＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．
17．(1)证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.
∵点F是线段AD的中点，∠DEA＝90°，∠ACD＝90°，
∴EF＝AD，CF＝AD，∴EF＝CF.
(2)解：△EFC是等边三角形. 理由如下：
由(1)可得EF＝AF＝CF，
∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，
∴∠EFC＝2∠BAC＝60°.
又∵EF＝CF，∴△EFC是等边三角形．
18．解：如图，延长AC交BF的延长线于点D，
作CE⊥BD于点E.
在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4 m，
∴CE＝2 m，EF＝4cos 30°＝4×＝2 (m)．
∵同一时刻，一根长为1 m且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 m，
∴CE∶DE＝1∶2，AB∶BD＝1∶2，∴DE＝4 m，
∴BD＝BF＋EF＋ED＝8＋2 ＋4＝12＋2 (m)．
∴AB＝BD＝×(12＋2 )＝＋6(m)．
答：树的高度为(＋6)m.
(第18题)
19．解：过点B作BD⊥AC于点D.
易得∠DAB＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45°.
设BD＝x n mile，
在Rt△ABD中，AD＝＝ x(n mile)，
在Rt△BDC中，BD＝DC＝x n mile，BC＝ x n mile.
∵AC＝5×2＝10(n mile)，∴x＋x＝10，
解得x＝5(－1)．
∴BC＝×5(－1)＝5(－)(n mile)．
答：灯塔B到C处的距离为5(－) n mile.
20.解：设AG＝x m，
由题意，得BG＝CD＝1 m.
在Rt△AFG中，∠AFG＝60°，
∴tan∠AFG＝ ＝，∴FG＝ x m.
在Rt△ACG中，∠ACG＝30°，
∴tan∠ACG＝ ＝，∴CG＝x m.
又∵CG－FG＝20 m，∴x－x＝20，
∴x＝10 ，∴AB＝AG＋BG＝(10 ＋1)m.
答：这栋楼AB的高度为(10 ＋1)m.
21．解：(1)如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠A＝45°.过点B作BH⊥AC，垂足为H.
在Rt△BHC中，sin C＝＝，即BC＝2BH.
在Rt△BHA中，sin A＝＝，即AB＝BH.
∴thi A＝＝.
(2)60°或120°
(3)如图，在△ABC中，∠C＝30°，thi A＝.
在Rt△BHA中，sin A＝.
在Rt△BHC中，sin C＝＝，即BC＝2BH.
∴thi A＝，∴thi A＝2sin A.
(第21题)
22.解：(1)如图①，过点A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM于点F，作CN⊥DE于点N，可得矩形CFMN，
由题意可得AC＝80 mm，
在Rt△CDN中，CN＝CD·sin∠CDE＝80×＝40 (mm)，
∠DCN＝90°－60°＝30°.
又∵∠DCB＝80°， ∴∠BCN＝50°，∴∠A＝50°，
∴∠ACF＝180°－90°－50°＝40°.
在Rt△AFC中，AF＝AC·sin 40°≈80×0.643＝51.44(mm)，
∴AM＝AF＋FM＝AF＋CN≈51.44＋40 ≈120.7 (mm)．
∴点A到直线DE的距离约为120.7 mm.
(2)旋转后，如图②所示，根据题意可知∠DCB＝80°＋10°＝90°.
在Rt△BCD中，CD＝80 mm，BC＝40 mm，
∴tan D＝＝＝0.5，∴∠D≈26.6°，
∴CD旋转的角度约为60°－26.6°＝33.4°.
(第22题)