5．2 平行线及其判定
5．2.1 平行线(第1课时)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解平行线的概念及平面内两条直线相交或平行的两种位置关系．
2．掌握平行公理以及平行公理的推论．
3．会用符号语言表示平行公理的推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
【过程与方法】
能从模型的操作及实际生活中抽象出平行线的概念．
【情感态度与价值观】
通过对几何模型的操作，培养学生的直觉思维和创造性思维，使学生获得成就感．
二、重难点目标
【教学重点】
探索和掌握平行公理及其推论．
【教学难点】
对平行公理的理解．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P11～P12的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在同一平面内，若直线a和b不相交，那么就称直线a和b平行，记作a∥b.
2．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
3．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
4．过直线外一点画已知直线的平行线的方法：
(1)把三角尺一边落在已知直线上；
(2)把直尺紧靠三角尺的另一边；
(3)沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
(4)沿三角尺过已知点的边画直线．
5．同一平面内，直线l与两条平行线a、b的位置关系是( A )
A．l与a、b平行或相交
B．l可能与a平行，与b相交
C．l与a、b一定都相交
D．l可能与a垂直，与b平行
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
(一)认识平行线
欣赏幻灯片，认识平行线．
【教师点拨】播放的这些图片给你一种什么印象？(不相交、平行)
师生共同得出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
(二)探索教材P11“思考”与P12“思考”
教师通过演示实物模型，引导学生观察、讨论，通过步步设问，引导学生思考下列问题．
(1)在木条转动过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？
(2)在同一平面内，两条直线的位置关系有哪些呢？
(3)过直线AB外一点P，你能画出直线AB的平行线吗？能画出几条？
(4)练习：过点P画直线MN的平行线．
(5)在木条转动过程中，有几个位置使得a与b平行？过点B画直线a的平行线，能画出几条？类比前面学过的“垂线的画法”，你能得出什么结论？
(三)平行公理
已知直线AB和直线外一点P.
(1)过点P画一条直线和已知直线AB平行．(幻灯片演示)
(2)经过点P能画出几条直线与直线AB平行？
【教师点拨】通过作图，进行观察分析，与“垂线的画法”进行类比，得出平行公理．
平行公理：平面内经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
(四)平行公理的推论
如图1，三条直线AB、CD、EF，如果AB∥EF，CD∥EF，那么直线AB与CD可能相交吗？
图1
图2
【教师点拨】如图2，假设AB与CD相交，且AB与CD相交于点P.
因为AB∥EF，CD∥EF，于是过点P就有两条直线AB、CD都与EF平行．
根据平行公理，这是不可能的．也就是说，AB与CD不能相交，只能平行．
平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
几何语言表达：
因为b∥a，c∥a(已知)，
所以b∥c(平行公理的推论)．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是( C )
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．平行、垂直或相交
2．有下列四种说法：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；③直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；④平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中正确的个数是( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有2个交点．
4．已知a∥b，b∥c，则a∥c.理由是平行于同一直线的两条直线平行.
5．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C、D、E三点是否共线？你能说明理由吗？
解：共线．
因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD、DE都经过点C且与AB平行，所以点C、D、E三点共线．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例题】将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB存在，为什么？
【互动探索】根据平行公理的推论得出答案即可．
【解答】因为CD∥EF，EF∥AB，所以CD∥AB.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用平行公理的推论进行证明时，关键是找到与要证的两边都平行的第三条边进行说明．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平行线
练习设计
请完成本课时对应练习！5．3 平行线的性质
5．3.1 平行线的性质(第1课时)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解并掌握平行线的三个性质，能够进行简单的推理．
2．能运用平行线的性质进行推理证明．
【过程与方法】
经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算．
【情感态度与价值观】
让学生在活动中体验探索、交流、成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于实践，大胆猜想、推理的科学态度．
二、重难点目标
【教学重点】
平行线的三个性质的探索．
【教学难点】
平行线三个性质的应用．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P18～P19的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.
2．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.
3．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
(一)小组合作探究平行线的性质
1．学生画图活动：用直尺和三角尺画出两条直线a、b，使a∥b，再画一条截线c与直线a、b相交，标出所形成的八个角(如教材图5.3－1)．
2．学生测量这些角的度数，把结果填入表内.
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
3.学生根据测量所得的数据作出猜想：
图中哪些角是同位角？它们具有怎样的数量关系？
图中哪些角是内错角？它们具有怎样的数量关系？
图中哪些角是同旁内角？它们具有怎样的数量关系？
在详尽分析后，让学生写出猜想．
4．学生验证猜想．
学生活动：再任意画一条截线d，同样度量各个角的度数，你的猜想还成立吗？
5．师生归纳平行线的性质．
平行线的性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称为两直线平行，同位角相等．
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简称为两直线平行，内错角相等．
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称为两直线平行，同旁内角互补．
【教师点拨】分清平行线的判定与性质，并用几何语言进行表达．
(二)平行线的性质和平行线的判定的对比分析
幻灯片出示平行线的性质和平行线的判定，让学生进行对比分析．
(三)利用平行线的性质求角的度数
【例1】如图，AB∥CD，BE∥FD，∠B＝65°，求∠D的度数．
【互动探索】(引发学生思考)利用“两直线平行，内错角相等，同旁内角互补”的性质可求出结论．
【解答】∵AB∥CD，∴∠BED＝∠B＝65°.
∵BE∥FD，∴∠BED＋∠D＝180°，
∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知平行线求角度，应根据平行线的性质得出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．再结合已知条件进行转化．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是( D )
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠1＋∠3＝180° D．∠3＋∠4＝180°
2．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是( C )
A．14° B．15°
C．16° D．17°
3．如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠CED的度数为60°.
4．如图，AB∥CD，DE⊥AC，垂足为点E，∠A＝105°，求∠D的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠A＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠A＝105°，
∴∠C＝180°－105°＝75°.
又∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠C＋∠D＝90°.
∴∠D＝90°－75°＝15°.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD的度数．
【互动探索】先利用FG∥EC，易求∠CAG，而∠PAG＝12°，可求得∠PAC＝48°.由AP平分∠BAC，可求得∠BAP＝48°，从而可求得∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°，即可求得∠ABD的度数．
【解答】∵FG∥EC，∴∠CAG＝∠ACE＝36°，
∴∠PAC＝∠CAG＋∠PAG＝36°＋12°＝48°.
∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝48°.
∵DB∥FG，
∴∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)利用平行线的性质可以得出角之间的相等或互补关系，利用角平分线的定义，可以得出角之间的倍分关系；(2)求角的度数，可把一个角转化为一个与它相等的角或转化为已知角的和差．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！5．2.2 平行线的判定(第2课时)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握两直线平行的判定方法．
2．了解两直线平行的判定方法的证明过程．
3．灵活运用两直线平行的判定方法证明直线平行．
【过程与方法】
会运用数学语言描述并证明平行线的判定方法，认识证明的必要性和证明过程的严谨性，深刻理解直线平行的判定方法．
【情感态度与价值观】
经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力；掌握直线平行的条件，并能解决一些简单问题．
二、重难点目标
【教学重点】
理解直线平行的判定方法，并会根据判定方法进行简单的推理应用．
【教学难点】
平行线判定方法的灵活运用和其推导过程中的转化思想的认识．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P12～P14的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．
2．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
4．在同一平面内，如果两条直线都垂直与同一条直线，那么这两条直线平行.
5．符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
(一)平行线的判定方法1
【教师点拨】回忆并叙述上节用三角板和直尺过一点P画已知直线AB的平行线的过程，发现这种画法实际上是画一对同位角相等．(让学生观察图形后回答，这两个角是直线AB、CD被EF截得的同位角)
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简记为“同位角相等，两直线平行”．
结合图形，引导学生用符号语言表述平行线判定方法1：
∵∠1＝∠2(已知)，
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
实际应用：你能说出木工师傅用图中这种叫角尺的工具画平行线的道理吗？
解：同位角相等，两直线平行．
(二)平行线的判定方法2
先采用探讨问题的方式，启发学生去思考，能不能从内错角之间的关系或同旁内角之间的关系来判定两条直线平行呢？
让学生观察图形分析∠1与∠2在什么条件下满足判定方法1，引导学生分析角之间的关系，发现新结论．
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．
简记为“内错角相等，两直线平行”．
结合图形引导学生用符号语言表述上面的推理过程：
已知：直线AB、CD被EF所截，∠1＝∠2.
求证：AB∥CD.
证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠2＝∠3(等量代换)．
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
(三)平行线的判定方法3
如图，如果∠1＋∠2＝180°，能判定a∥b吗？
解：能．
∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∠1＋∠3＝180°(邻补角定义)，
∴∠2＝∠3(同角的补角相等)．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．
简记为“同旁内角互补，两直线平行”．
(四)拓展：平行线的判定方法4
【例1】(教材P14例题)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
【互动探索】(引发学生思考)垂直总与直角联系在一起，我们学过哪些判定两条直线平行的方法？
【解答】这两条直线平行．
理由如下：如图所示，
∵b⊥a，c⊥a，
∴∠1＝∠2＝90°(垂直的定义)．
∴b∥c(同位角相等，两直线平行)．
判定方法4：在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线平行．
简记为“垂直于同一直线的两直线平行”．
定理的使用格式：
∵a⊥b，a⊥c(已知)，
∴b∥c(垂直于同一直线的两条直线平行)．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是( D )
A．∠3＝∠4
B．∠1＝∠5
C．∠1＋∠4＝180°
D．∠3＝∠5
2．如图，下列说法错误的是( C )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c
D．若∠3＋∠4＝180°，则a∥c
3．如图，给出下列条件：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠B＝∠D.其中，一定能判定AB∥CD的条件有①③④(填写所有正确的序号)．
4．如图，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，AB与CD平行吗？为什么？
解：AB∥CD.理由如下：
∵BC平分∠ACD，
∴∠1＝∠BCD.
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCD，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，∠1＝∠2＝55°，∠3等于多少度？直线AB、CD平行吗？说明理由．
【互动探索】利用对顶角相等得到∠3＝∠2，再由已知∠1＝∠2，等量代换得到同位角相等，利用“同位角相等，两直线平行”即可得到AB与CD平行．
【解答】∠3＝55°，AB∥CD.理由如下：
∵∠3＝∠2，∠1＝∠2＝55°，
∴∠3＝∠1＝55°，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)准确识别三种角是判断两条直线平行的前提条件，本题中易得到同位角(“F”型)相等，从而可以应用“同位角相等，两直线平行”判断两直线平行．
【例3】如图，∠1＝35°，∠B＝55°，AB⊥AC，AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
【互动探索】先根据∠1＝35°，∠B＝55°，AB⊥AC得出∠B与∠BAD的关系，进而得出结论．
【解答】AD∥BC.理由如下：
∵∠1＝35°，∠B＝55°，AB⊥AC，
∴∠BAD＝90°＋35°＝125°.
∵∠BAD＋∠B＝125°＋55°＝180°，
∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题中易得到同旁内角(“U”型)互补，从而可以应用“同旁内角互补，两直线平行”判定两直线平行．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平行线的判定方法：
(1)定义法：同一平面内，不相交的两条直线平行．
(2)平行线的判定两直线平行
(3)同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行．
练习设计
请完成本课时对应练习！5．1.3 同位角、内错角、同旁内角(第3课时)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解“三线八角”中没有公共顶点的角的位置关系，知道什么是同位角、内错角、同旁内角．
2．通过比较、观察，掌握同位角、内错角、同旁内角的特征．
3．能在复杂图形中正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角．
【过程与方法】
通过图形的识别训练，培养学生的识图能力．
【情感态度与价值观】
在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯，培养学生“用数学”的意识和能力．
二、重难点目标
【教学重点】
同位角、内错角、同旁内角的概念．
【教学难点】
能在复杂图形中正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(1)如图，∠1与∠5，∠4与∠8，∠2与∠6，∠3与∠7都是同位角．
(2)如图，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角．
(3)如图，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角．
2．如图，∠B的同位角可以是( D )
A．∠1 B．∠2
C．∠3 D．∠4
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
【互动探索】(引发学生思考)识别同位角、内错角和同旁内角要弄清哪两条直线被哪一条直线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【解答】∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)同位角中的“同”字有两层含义：“一同”是指两角在截线的同旁；“二同”是指它们在被截两直线同方向．(2)在表述“三线八角”中某种位置关系的角时，可用以下方法：“∠×和∠×是直线×和直线×被直线×所截形成的×角”．(3)认一认：
与两条被截直线的位置关系 与截线的位置关系
同位角(F型) 两直线同旁 截线同侧
内错角(Z型) 两直线之间 截线异侧
同旁内角(U型) 两直线之间 截线同侧
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是( A )
A．∠2 B．∠3
C．∠4 D．∠5
2．如图，下列说法中不正确的是( C )
A．∠1和∠3是同旁内角
B．∠2和∠3是内错角
C．∠2和∠4是同位角
D．∠3和∠5是对顶角
3．如图，写出图中∠A所有的内错角：∠ACD，∠ACE.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，图1中有几对同旁内角？图2中呢？图3中呢？图4中呢？观察图形，根据上述结论得出第8个图形中有几对同旁内角．
…
【互动探索】根据同旁内角的定义找到图1、2、3、4中同旁内角的对数，分析并找到对数的规律，根据规律解决问题．
【解答】图1中，有3对同旁内角；
图2中，有3×2＋4＝10(对)同旁内角；
图3中，有3×3＋4×2＋3＝20(对)同旁内角；
图4中，有3×4＋4×3＋3×2＋2＝32(对)同旁内角；
所以第8个图形中有3×8＋4×7＋3×6＋5×2＋4×2＋3×2＋2×2＋2＝100(对)同旁内角．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题在进行对数的规律总结时，要考虑全面，难度较大，可以再画一个图形，然后总结规律．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
三线八角
练习设计
请完成本课时对应练习！5．1.2 垂 线(第2课时)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解垂直的概念．
2．理解垂线的性质：经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．
3．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．
【过程与方法】
通过探索、猜测，进一步体会推理的必要性，发展学生初步推理能力．
【情感态度与价值观】
通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，感受推理过程的严谨以及结论的确定性．
二、重难点目标
【教学重点】
垂直的概念、性质和画法．
【教学难点】
两条直线互相垂直的性质和画法．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P3～P6的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)垂线
1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.垂直用“⊥”表示，如a、b互相垂直，则记为：a⊥b或b⊥a.
2．下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有①②③④.
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；
②两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；
③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；
④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．
3．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
(二)垂线段
4．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．即：垂线段最短.
5．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
6．如图所示，点A到直线l的距离是( A )
A．线段AD的长度 B．线段AE的长度
C．线段AB的长度 D．线段AC的长度
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】(1)如图1，过点P画AB的垂线；
(2)如图2，过点P分别画OA、OB的垂线；
(3)如图3，过点A画BC的垂线．
【互动探索】(引发学生思考)理解画垂线的步骤，根据画垂线的步骤求解．
【解答】如图所示．
【互动总结】(学生总结，老师点评)垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
【例2】如图所示是一条河的示意图，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)根据垂线的性质可得，即过点C作CE⊥AB，再根据“垂线段最短”可得CE最短．
【解答】如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短．因为垂线段最短．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，直线a、b相交于点A，点B在直线a上，过点B作直线b的垂线，垂足为点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为( A )
A．40° B．50°
C．60° D．140°
2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( C )
A．平行线间的距离相等
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
3．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为点C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP的长不可能是( A )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，能表示点到直线的距离的线段有5条．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.
(1)过点O画直线MN⊥CD；
(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．
【互动探索】(1)根据题意画出直线MN即可；(2)当点F在射线OM上时，根据垂直定义求出∠EOF＝∠BOD，根据对顶角求出∠BOD＝∠AOC，即可求出答案；当点F在射线ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB＋∠BON即可．
【解答】(1)如图所示．
(2)①当点F在射线OM上时．
因为OE⊥AB，MN⊥CD，
所以∠EOB＝∠MOD＝90°，
所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，
所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.
②当点F在射线ON上时，如图中点F′.
因为MN⊥CD，
所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
所以∠AOM＝90°－∠AOC＝55°，
所以∠BON＝∠AOM＝55°，
所以∠EOF′＝∠EOB＋∠BON＝90°＋55°＝145°，
即∠EOF的度数是35°或145°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了垂线的作法、角的计算、对顶角、垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠EOM和∠AOM的度数，题目较好，难度不大，注意分类讨论思想的运用．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
垂线求最短距离
练习设计
请完成本课时对应练习！5．4 平 移
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．认识平移现象，理解平移的本质和平移的相关概念，能够利用平移作图．
2．掌握平移的特征．
【过程与方法】
在研究问题的过程中培养学生的直观感知能力和归纳能力．
【情感态度与价值观】
体验数学知识的观察猜想和验证过程，欣赏数学图形之美．体验数学的学习是一个观察、猜想、归纳、验证的过程．
二、重难点目标
【教学重点】
平移的概念、平移特征．
【教学难点】
平移的要素、平移特征的归纳．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P28～P30的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动叫做平移.
2．平移的要素：(1)平移的方向；(2)平移的距离.
3．平移的性质：(1)平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同．
(2)连结各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等.
4．平移作图的步骤：
(1)确定平移的方向和距离；
(2)对照具体的图形，确定图形的关键点；
(3)过关键点作与已知平移方向平行的线段(虚线)，并使这些平行线段的长度都等于平移距离，从而确定关键点平移后的位置；
(4)顺次连结(实线)对应点，得到新的图形，就是已知图形的平移图形．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
(一)探索平移的特征
幻灯片呈现：观察、阅读与思考教材P28～P29的内容，可以发现平移的特征：
(1)把一个图形整体沿某一个方向移动，会得到一个新的图形．新图形与原图形的形状和大小完全相同．
(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点就是对应点．连结各组对应点所得的线段平行(或在同一直线上)且相等．
简单地说：(1)平移不改变图形的形状和大小；(2)对应点的连线平行(或在同一直线上)且相等．
(二)平移作图
【例1】(教材P29例题)如图1，平移三角形ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′.
图1
图2
【互动探索】(引发学生思考)图形平移后的对应点有什么特征？作出点B和点C的对应点B′、C′，能确定三角形A′B′C′吗？
【解答】(1)如图2，连结AA′，过点B作AA′的平行线l，在l上截取BB′＝AA′，则点B′就是点B的对应点．
(2)过点C作AA′的平行线l′，在l′上截取CC′＝AA′，则点C′就是点C的对应点．
(3)顺次连结点A′、B′、C′，则三角形A′B′C′即为所求作的三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)平移的作图要注意两个方面：平移的方向和平移的距离；(2)作直线型图形平移后的图形，关键是作出点平移后的对应点．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是( B )
A．摆动的钟摆
B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．随风摆动的旗帜
D．汽车玻璃上雨刷的运动
2．如图，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块( C )
A．向右平移1格，向下平移3格
B．向右平移1格，向下平移4格
C．向右平移2格，向下平移4格
D．向右平移2格，向下平移3格
3．如图，经过平移，△ABC的边AB移到了EF，作出平移后的三角形．
解：如图，△EFG即为所求作的三角形．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，在△ABC中，∠B＝90°，把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若AB＝4，BE＝3，GE＝2，求图中阴影部分的面积．
【互动探索】根据平移的性质得到S△ABC＝S△DEF，则利用S梯形ABEG＋S△GEC＝S阴影＋S△GEC得到S阴影＝S梯形ABEG，然后根据梯形的面积公式求解．
【解答】∵△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，
∴S△ABC＝S△DEF，
∴S梯形ABEG＋S△GEC＝S阴影＋S△GEC，
∴S阴影＝S梯形ABEG＝×(4＋2)×3＝9.
【互动总结】(学生总结，老师点评)平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平移
练习设计
请完成本课时对应练习！第五章 相交线与平行线
教材简析
本章主要内容是：相交线和平行线，以及平移变换的内容．
本章知识是学习线和角的继续，也是学习几何知识的重要基础，以后几乎所有几何图形的学习都用到本章知识．首先研究了相交的情形，探索了两条直线相交所成角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念，得出了“对顶角相等”的结论，并着重研究了相交的特殊情形——垂直，探索了垂直的性质，给出了点到直线的距离的概念．接着研究了平行的情形，教材首先引入了一个基本事实(平行公理)，以此为出发点探讨了两条直线平行的判定和性质，并给出了两条平行线间的距离的概念，还对命题以及命题的构成作了简单的介绍．最后研究了平移的概念和性质，以及利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题．
本章在中考中考查并不多，主要考点有邻补角与对顶角、点到直线的距离、平行线的判定和性质、命题与定理、平移，主要以选择题和填空题为主，难度较小．
教学指导
【本章重点】
相交线与平行线的概念和性质．
【本章难点】
平行线的判定和性质的综合应用．
【本章思想方法】
1．体会和掌握方程的思想方法，如：在计算与相交线有关的角度问题时，常利用设未知数列方程的方法解决．
2．掌握转化的思想方法，如：利用平移的方法求解组合图形的面积就是运用转化的思想方法．
课时计划
5．1 相交线 3课时
5．2 平行线及其判定 2课时
5．3 平行线的性质 2课时
5．4 平 移 1课时
5．1 相交线
5．1.1 相交线(第1课时)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解邻补角、对顶角的概念，能在图形中辨认邻补角和对顶角．
2．掌握对顶角的性质及其推证过程，并能运用它进行计算．
【过程与方法】
经历邻补角、对顶角的概念及对顶角的性质的探索过程，体会分类思想，在探究过程中发展学生的抽象概括能力，进一步培养说理能力．
【情感态度与价值观】
激发学生求知欲，感受数学与生活的联系，培养学生独立思考与合作交流的能力，让学生享受成功的喜悦，感悟数学学习是一种美的享受．
二、重难点目标
【教学重点】
邻补角和对顶角的概念，对顶角的性质及其应用．
【教学难点】
对顶角性质的探索，在复杂图形中找出邻补角和对顶角．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫做这两条直线的交点．两条直线相交，形成4个角．如图，∠1与∠2是直线AB、CD相交得到的，有公共顶点O，且有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，像这样的两个角叫做邻补角.∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，像这样的两个角叫做对顶角.
2．下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是( C )
3．如图，下列判断正确的是( D )
A．图(1)中∠1与∠2是一组对顶角
B．图(2)中∠1与∠2是一组对顶角
C．图(3)中∠1与∠2是一组邻补角
D．图(4)中∠1与∠2是一组邻补角
4．已知∠A与∠B是一组邻补角，如果∠A＝36°，那么∠B的度数为144°.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．
【互动探索】(引发学生思考)根据对顶角的性质，可得∠AOC与∠BOD的关系，根据OA平分∠COE，可得∠COE与∠AOC的关系，根据邻补角的性质，可得答案．
【解答】由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝42°.
因为OA平分∠COE，
所以∠COE＝2∠AOC＝84°.
由邻补角的性质，得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系．
【例2】如图，直线AC、EF相交于点O，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，且∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF的度数．
【互动探索】(引发学生思考)因为已知量与未知量的关系较复杂，所以想到列方程解答，根据观察可设∠BOE＝x，则∠EOC＝2x，然后根据对顶角和邻补角找到等量关系，列方程解答．
【解答】设∠BOE＝x，则∠EOC＝2x.
因为∠AOB与∠BOC互为邻补角，
所以∠AOB＝180°－3x.
因为OD平分∠AOB，
所以∠DOB＝∠AOB＝90°－x.
因为∠DOE＝72°，
所以90°－x＋x＝72°，解得x＝36°.
所以∠AOF＝∠EOC＝2x＝72°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在相交线中求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补．若已知关系较复杂，比如出现比例或倍分关系时，可列方程解决角度问题．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为( D )
A．20° B．60°
C．70° D．160°
2．如图，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是∠2和∠4.
3．如图，直线AB与CD相交于点O，已知∠BOD＝30°，OE是∠BOC的平分线，则∠EOA＝105°.
4．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°.
(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数．
解：(1)∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－36°－90°＝54°.
(2)因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOD＋∠BOC＝180°，
所以∠BOD＝30°.
因为∠AOC＝∠BOD，
所以∠AOC＝30°，
所以∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】我们知道：两条直线交于一点，对顶角有2对；三条直线交于一点，对顶角有6对；四条直线交于一点，对顶角有12对……
(1)10条直线交于一点，对顶角有________对；
(2)n(n≥2)条直线交于一点，对顶角有________对．
【互动探索】(1)如图1，两条直线交于一点，图中共有＝2(对)对顶角；如图2，三条直线交于一点，图中共有＝6(对)对顶角；如图3，四条直线交于一点，图中共有＝12(对)对顶角……按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有＝90(对)．
(2)由(1)得n(n≥2)条直线交于一点，对顶角的对数为＝n(n－1)．
【答案】(1)90 (2)n(n－1)
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数据的变化特征．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相交线
练习设计
请完成本课时对应练习！5．3.2 命题、定理、证明(第2课时)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解命题的概念，能区分命题的题设和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式．
2．了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例．
【过程与方法】
通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语言正确画出几何图形的能力．
【情感态度与价值观】
初步培养学生用几何语言叙述的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
命题的概念和区分命题的题设与结论．
【教学难点】
区分命题的题设和结论．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P20～P22的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)命题
1．判断一件事情的语句叫做命题.命题由题设和结论两部分组成．
2．如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
(二)定理与证明
3．经过推理证实的真命题叫做定理.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
4．证明命题的步骤：(1)画出命题的图形.先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出．还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．(2)结合图形写出已知、求证.把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．(3)经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】把下列命题写成“如果……那么……”的形式．
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)等角的余角相等．
【互动探索】(引发学生思考)这两个命题的题设和结论分别是什么？改写时，应注意什么问题。
【解答】(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
(2)如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等．
【互动总结】(学生总结，老师点评)把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．
【例2】证明命题“三角形的三内角和为180°”是真命题．
【互动探索】(引发学生思考)证明命题是真命题的步骤是什么？
【解答】已知：∠A、∠B、∠ACB为△ABC的三个内角．
求证：∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
证明：作射线BD，过点C作CE∥BA，如图．
∵CE∥BA，
∴∠1＝∠A，∠2＝∠B.
∵∠ACB＋∠1＋∠2＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
∴命题“三角形的三内角和为180°”是真命题．
【互动总结】(学生总结，老师点评)添加辅助线，将三角形的内角和进行转化是证明的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列语句中，不是命题的是( D )
A．两点之间线段最短
B．对顶角相等
C．不是对顶角不相等
D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线
2．下列命题中，是真命题的是( D )
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
3．举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条平行直线被第三条直线所截形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等．
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
4．命题“若n是自然数，则代数式(3n＋1)(3n＋2)的值是3的倍数”．
(1)写出命题的题设和结论；
(2)是真命题还是假命题？并说明理由．
解：(1)命题的题设是n是自然数，结论是代数式(3n＋1)(3n＋2)的值是3的倍数．
(2)是假命题．理由：∵(3n＋1)(3n＋2)＝9n2＋6n＋3n＋2＝9n2＋9n＋3－1＝3(3n2＋3n＋1)－1，
又n为自然数，
∴3(3n2＋3n＋1)－1不为3的倍数．
∴是假命题．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．
【互动探索】按证明与图形有关的命题的一般步骤进行．要证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法来证明．
【解答】已知：如图，已知AB∥CD，直线AB、CD被直线MN所截，交点分别为P、Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP.
求证：PG∥HQ.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行，内错角相等)．
∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，
∴∠GPQ＝∠BPQ，∠HQP＝∠CQP，
∴∠GPQ＝∠HQP，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明与图形有关的命题时，正确分清命题的题设和结论是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知与求证，然后进行证明．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
命题
练习设计
请完成本课时对应练习！
