6．2 立方根
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
掌握立方根的定义以及正数、负数、0的立方根的特点．
【过程与方法】
能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力．
【情感态度与价值观】
经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力，体验数学在实际生活中的作用．
二、重难点目标
【教学重点】
立方根的定义．
【教学难点】
求一个数的立方根．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P49～P51的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．
2．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算．正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是0.
3．一个数a的立方根可用符号表示，读作三次根号a，其中a是被开方数,3是根指数.
4．立方根等于它本身的数是±1,0.
5．用计算器求一个数的立方根的方法：
一般计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)．按键顺序为先按键，再输入被开方数，最后按键．
有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根．按键顺序为先按键，再按键，再输入被开方数，最后按键．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
【例1】求下列各数的立方根：
(1)－125； (2)； (3)－3.
【互动探索】(引发学生思考)根据立方根的定义求解．
【解答】(1)＝－5； (2)＝；
(3)＝－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【例2】已知x－2的平方根是±2,2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
【互动探索】(引发学生思考)平方根、立方根、算术平方根的定义是什么？它们有哪些性质？如何利用它们的性质求出x和y的值．
【解答】∵x－2的平方根是±2，
∴x－2＝4，∴x＝6.
∵2x＋y＋7的立方根是3，
∴2x＋y＋7＝27，把x＝6代入，解得y＝8.
∴x2＋y2＝62＋82＝100，
∴x2＋y2的算术平方根为10.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想列方程求出x、y的值，再根据算术平方根的定义求出x2＋y2的算术平方根．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列说法中正确的是( D )
A．－4没有立方根
B．1的立方根是±1
C.的立方根是
D．－5的立方根是
2.的立方根是.
3．若一个数的平方等于64，则这个数的立方根是±2.
4．求下列各式的值：
(1)； (2)－；
(3)； (4).
解：(1)－4. (2)－0.6. (3)－3. (4)－1.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知球的体积公式是V＝πr3(r为球的半径，π取3.14)，现已知一个小皮球的体积是113.04 cm3，求这个小皮球的半径r.
【互动探索】将体积公式变形，可以求出r3，如何利用立方根的定义求出r的值呢？
【解答】由V＝πr3，得r3＝，∴r＝.
∵V＝113.04 cm3，π取3.14，
∴r≈＝＝3(cm)．
即这个小皮球的半径r约为3 cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是灵活应用球的体积公式，并将公式适当变形．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
立方根
练习设计
请完成本课时对应练习！6．3 实 数
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类．
2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
3．了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小．
【过程与方法】
通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识．
【情感态度与价值观】
通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围内也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展．
二、重难点目标
【教学重点】
1．实数的概念、分类、性质．
2．数轴上的点与实数一一对应．
【教学难点】
用数轴上的点来表示无理数．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P53～P56的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．无限不循环小数叫做无理数．有理数和无理数统称为实数．
2．实数按正负分可分为正实数、0、负实数.
3．实数a的相反数为－a，绝对值为|a|，若a≠0，则它的倒数为.
4．有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用.
5．实数和数轴上的点是一一对应的．
6．实数、π、、、中，无理数有π、.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
(一)实数的分类
【例1】把下列各数填入相应的集合内：
－，－，，，－，0，－π，－，－4，3.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)．
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
负实数集合：{ …}．
【互动探索】(引发学生思考)根据有理数、无理数等的概念进行分类，注意－需要化简再进行判断．
【解答】有理数集合：；
无理数集合：；
整数集合：；
分数集合：；
正实数集合：；
负实数集合：.
【互动总结】(学生总结，老师点评)至今我们所学的数不是有理数就是无理数，因此可先把题目中所列各数分成这两类，再从有理数中找整数及分数，这样可以避免重复或遗漏．
(二)实数的运算
【例2】计算：|1－|＋|－|＋|－2|.
【互动探索】(引发学生思考)跟有理数运算一样先去绝对值，再运算．
【解答】原式＝(－1)＋(－)＋(2－)
＝－1＋－＋2－
＝1.
【例3】若与(b－27)2互为相反数，求－的立方根．
【互动探索】(引发学生思考)根据相反数的性质列出算式＋(b－27)2＝0→根据非负数和的性质得出a、b的值→代入所求代数式进行运算求值．
【解答】依题意，得＋(b－27)2＝0.
∴a＋8＝0，b－27＝0，
∴a＝－8，b＝27，
∴－＝－＝－2－3＝－5，
∴－的立方根为－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)互为相反数的两个数的和为0.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．判断下列说法是否正确：
(1)带根号的数都是无理数；
(2)绝对值最小的实数是0；
(3)数轴上的每一个点都表示一个有理数．
解：(1)不正确． (2)正确． (3)不正确．
2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
(1)； (2)； (3).
解：(1)的相反数是－，倒数是，绝对值是.
(2)的相反数是2，倒数是－，绝对值是2.
(3)的相反数是－7，倒数是，绝对值是7.
3．在数轴上找出对应的点．
解：因为10＝9＋1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】如图，数轴上A、B两点表示的数分别是－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
【互动探索】先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．
【解答】∵数轴上A、B两点表示的数分别为－1和，
∴点B到点A的距离为1＋.
∴点C到点A的距离也为1＋.
设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，
∴－1－x＝1＋，∴x＝－2－.
∴点C所表示的实数为－2－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
实数
练习设计
请完成本课时对应练习！第六章 实 数
教材简析
本章的内容包括：平方根、立方根、实数．
在学习了有理数的基础上，加强与实际的联系，从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数，即无理数，开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比，数的范围由有理数扩充到实数，与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用．
在中考中，本章的考点有平方根、立方根的定义及运算，实数的运算及大小比较等，考查基本概念及基本计算．
教学指导
【本章重点】
平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算．
【本章难点】
对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．
【本章思想方法】
1．体会分类的数学思想，如：对实数进行分类．
2．掌握分类讨论思想，如：由于一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论．
3．掌握转化思想，如：学方根和立方根后，运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解．
4．体会数形结合思想，如：数的范围由有理数扩充到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应关系，这样可以通过观察“形”的特点，解答一些关于实数的比较抽象的问题．
课时计划
6．1 平方根3课时
6．2 立方根1课时
6．3 实 数1课时
6．1 平方根
第1课时 算术平方根
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．
2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根．
3．了解算术平方根的性质．
【过程与方法】
加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平，鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神．
【情感态度与价值观】
通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
算术平方根的概念．
【教学难点】
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P40的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.
2．规定：0的算术平方根是0.
3．算术平方根具有双重非负性：(1)≥0；(2)a≥0.
4．求下列各数的算术平方根：
(1)81； (2)0.25； (3)23.
解：(1)9. (2)0.5. (3).
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】求下列各数的算术平方根：
(1)64； (2)0.36；
(3)2； (4).
【互动探索】(引发学生思考)如何根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根？
【解答】(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8.
(2)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6.
(3)∵2＝＝2，∴2的算术平方根是.
(4)∵＝，92＝81，∴＝9.
∵32＝9，
∴的算术平方根是3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．5的算术平方根为( A )
A. B．25
C．±25 D．±
2．一个数的算术平方根是，这个数是( C )
A. B．
C. D．不能确定
3．要切一块面积为0.81 m2的正方形钢板，它的边长是0.9m.
4.的算术平方根是.
5．已知3＋a的算术平方根是5，求a的值．
解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知x、y为有理数，且＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．
【互动探索】算术平方根和平方式都具有非负性，即≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得出什么结论？
【解答】由题意，得x－1＝0，y－2＝0，
所以x＝1，y＝2.
所以x－y＝1－2＝－1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)算术平方根、绝对值和平方式都具有非负性，即≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
算术平方根
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 估算算术平方根
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．会比较两个数的算术平方根的大小．
2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识．
3．会用计算器求一个数的算术平方根．
【过程与方法】
体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数．
【情感态度与价值观】
培养学生的探究能力和归纳问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
夹值法及估计一个(无理)数的大小．
【教学难点】
夹值法及估计一个(无理)数的大小的思想．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P41～P44的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．实际上，许多正有理数的算术平方根(例如，，)都是无限不循环小数．
2．被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律：当被开方数扩大(或缩小)到原来的100倍，10000倍…时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)到原来的10倍，100倍…
3．用计算器求一个正有理数的算术平方根的方法：
大多数计算器都有键，用它可以求出任意一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．
先按键开机，再按键、“被开方数”、，即可显示“算术平方根”．
4．与最接近的整数是( B )
A．5 B．6
C．7 D．8
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】通过估算比较下列各组数的大小：
(1)与1.9； (2)与1.5.
【互动探索】(引发学生思考)(1)估算的大小，或先求1.9的平方，再比较5与1.92的大小；(2)先估算的大小，再比较与2的大小，从而进一步比较与1.5的大小．
【解答】(1)(方法一)因为5>4，所以>，即>2，所以>1.9.
(方法二)因为1.92＝3.61,3.61＜5，所以>1.9.
(2)因为6>4，所以>，所以>2，所以>＝1.5，即>1.5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)比较两个数的大小常用方法有：①作差比较法；②作商比较法；③移因数于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．比较无理数与有理数的大小时要先估算无理数的近似值，再比较它与有理数的大小．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．估计＋1的值，应在( C )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
2．估算－2的值( B )
A．在1和2之间 B．在2和3之间
C．在3和4之间 D．在4和5之间
3．计算：
(1)；
(2)(精确到0.001)；
(3)(精确到0.001)．
解：(1)＝35.
(2)≈6.035.
(3)≈3.606.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓开始在岩石上生长．每个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失的时间近似地满足如下关系式：d＝7×(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，则冰川约是在多少年前消失的？
【互动探索】(1)根据题意可知是求当t＝16时d的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；(2)根据题意可知是求当d＝35时t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．
【解答】(1)当t＝16时，d＝7×＝7×2＝14.
即冰川消失16年后苔藓的直径是14厘米．
(2)当d＝35时，即7×＝35，所以t－12＝25，解得t＝37.
即冰川约是在37年前消失的．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查算术平方根的实际应用，注意实际问题中涉及开平方通常取算术平方根．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．夹值法及估计一个(无理)数的大小．
2．用计算器求一个正数的算术平方根．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 平方根
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
掌握数的开方的意义、平方根的意义、平方根的表示方法．
【过程与方法】
通过带领学生探究一个数的平方根，使学生理解数的开方、平方根的概念．
【情感态度与价值观】
培养学生的探究能力和归纳问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
平方根的概念．
【教学难点】
求一个数的平方根．
教学过程
环节1 自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P44～P46的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根或叫二次方根．也就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．
2．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
3．求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算．
4．下列说法不正确的是( C )
A．－是2的平方根
B.是2的平方根
C．2的平方根是
D．2的算术平方根是
5．求下列各数的平方根：
16,0，，242.
解：16的平方根是±4. 0的平方根是0.
的平方根是±. 242的平方根是±24.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
【例1】求下列各数的平方根：
(1)1； (2)0.0001；
(3)(－4)2； (4).
【互动探索】(引发学生思考)把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．
【解答】(1)∵1＝，2＝，∴1的平方根是±，即±＝±.
(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±＝±0.01.
(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±＝±4.
(4)∵(±3)2＝9＝，∴的平方根是±3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(4)中就是求9的平方根．
【例2】已知一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
【互动探索】(引发学生思考)一个正数的平方根有两个，它们之间有什么关系呢？
【解答】由于一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0.
即3a－3＝0，解得a＝1.
所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
【互动总结】(学生总结，老师点评)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．关于平方根，下列说法正确的是( B )
A．任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数
B．负数没有平方根
C．任何一个数只有一个算术平方根
D．以上都不对
2．如果a、b分别是16的两个平方根，那么ab＝－16.
3．若25x2＝16，则x的值为±.
4．求下列各数的平方根：
(1)196； (2)10－4； (3)； (4)3.
解：(1)±14. (2)±10－2.
(3)±. (4)±.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】求下列各式中x的值．
(1)x2＝361； (2)81x2－49＝0；
(3)(3x－1)2＝(－5)2.
【互动探索】上述方程都可以化成一个数或代数式的平方的形式，结合平方根的定义，你能算出x的值吗？
【解答】(1)∵x2＝361，∴开平方，得x＝±＝±19.
(2)整理，得x2＝，∴开平方，得x＝±＝±.
(3)∵(3x－1)2＝(－5)2，∴开平方，得3x－1＝±5.
当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝－5时，x＝－.
综上所述，x＝2或－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平方根
练习设计
请完成本课时对应练习！
