*8.4 三元一次方程组的解法
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．会解三元一次方程组．
2．感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．
【过程与方法】
经历探索三元一次方程组的解题过程，体会其内涵．
【情感态度与价值观】
培养数学化归思想，使学生真正体验到数学的应用价值．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握三元一次方程组的解法．
【教学难点】
掌握解三元一次方程组过程中化“三元”为“二元”或“一元”的思路．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P103～P105的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(教材P103问题引入)小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张．
思考下列问题：
(1)题目中有几个未知数，如何去设？
解：设1元、2元、5元的纸币各x张、y张、z张．(共三个未知数)
(2)根据题意你能找到等量关系吗？
解：三种纸币共12张；三种纸币共计22元；1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．
(3)根据等量关系你能列出方程组吗？
解：得方程组
(4)解(3)中所列方程组．
解：(方法一)把方程③分别代入①②，得
解这个方程组，得
把y＝2代入③，得x＝8.
因此，三元一次方程组的解为
(方法二)①×5－②，得4x＋3y＝38.④
③与④组成方程组，得
解这个方程组，得
把x＝8，y＝2代入①，得z＝2.
因此，三元一次方程组的解为
2．方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
3．解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】(教材P104例1)解三元一次方程组
【互动探索】(引发学生思考)方程①只含x、z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x、z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．
【解答】②×3＋③，得11x＋10z＝35.④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，所以y＝.
因此，这个三元一次方程组的解为
【互动总结】(学生总结，老师点评)此方程组的特点是①中不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．反之用代入法运算较繁琐．
【例2】(教材P105例2)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a、b、c的值．
【互动探索】(引发学生思考)把a、b、c看作三个未知数，分别把已知的x、y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
【解答】由题意，得三元一次方程组
②－①，得a＋b＝1.④
③－①，得4a＋b＝10.⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5.
因此
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列方程组中不是三元一次方程组的是( D )
A. B．
C. D．
2．已知关于x的代数式ax2＋bx＋c，且x＝－1时，代数式的值为－1；x＝0时，代数式的值为2；x＝1时，代数式的值为3，则a＝－1，b＝2，c＝2.
3．解方程组：
(1)
(2)
解：(1)③－①，得y＋z＝28.④
②＋④，得2y＝32，即y＝16.
把y＝16代入④，得z＝12.
把z＝12代入③，得x＝23.
因此，这个三元一次方程组的解为
(2)①＋②，得5x－z＝14.④
②－③，得x－4z＝－1.⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把x＝3，z＝1代入③，得y＝8.
因此，这个三元一次方程组的解为
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a、b、c的值．
【互动探索】本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.
【解答】因为三个非负数的和等于0，
所以每个非负数都为0，
所以得方程组解得
【互动总结】(学生总结，老师点评)几个非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
三元一次方程组
练习设计
请完成本课时对应练习！8．2 消元——解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．会用代入法解二元一次方程组．
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”．
【过程与方法】
通过探索代入法的过程，培养学生观察、思考、归纳的能力，积累数学探究活动的经验．
【情感态度与价值观】
通过探究二元一次方程组一般解法的过程，感受数学活动充满创造性，激发学生的学习兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
了解代入法的一般步骤，会用代入法解二元一次方程组．
【教学难点】
理解代入消元法解方程组的过程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P91～P93的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
2．代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
3．教材P91“思考”答案：
解：把方程组中第一个方程变形为y＝10－x，代入第二个方程，将y消去后，二元一次方程组就转化成一元一次方程了．
4．教材P93“思考”答案：
解：可以．解法如下：
由①，得x＝y.③
把③代入②，得200y＋250y＝22 500 000，
解得y＝50 000.
把y＝50 000代入③，得x＝20 000.
所以这个方程组的解为
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
【互动探索】(引发学生思考)对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知，应将方程②变形为x＝1－5y，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般选取绝对值最小的变形，即方程③，得x＝.
【解答】(1)由②，得x＝1－5y.③
把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19，
即2－10y＋3y＝－19，解得y＝3.
把y＝3代入③，得x＝－14.
所以原方程组的解是
(2)将原方程组整理，得
由③，得x＝.⑤
把⑤代入④，得2(3y＋1)－3y＝－5，
解得y＝－.
把y＝－代入⑤，得x＝－3.
所以原方程组的解是
【互动总结】(学生总结，老师点评)用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数，变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；
(2)代入：把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程；
(3)求解：解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值；
(4)回代：把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；
(5)写：把两个未知数的值用大括号联立起来，表示为的形式．
【例2】(教材P92例2)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
【互动探索】(引发学生思考)问题中包含两个条件：大瓶数∶小瓶数＝2∶5，大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量．
【解答】设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶．
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的相等关系，得
由①，得y＝x.③
把③代入②，得500x＋250×x＝22 500 000.
解这个方程，得x＝20 000.
把x＝20 000代入③，得y＝50 000，
所以这个方程组的解是
故这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶．
【互动总结】(学生总结，老师点评)上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
这个框图以用代入法解一个具体的二元一次方程组的过程为例，展示了代入法的解题步骤，以及各步骤的作用．它可以作为代入法解二元一次方程组的一般步骤的典型．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．二元一次方程组的解是( B )
A. B．
C. D．
2．已知a3xby与－a2ybx＋1是同类项，则( D )
A. B．
C. D．
3．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为－1 .
4．用代入法解下列方程组：
(1) (2)
解：(1)
由②，得x＝4＋2y.③
把③代入①，得4(4＋2y)＋3y＝5.
解这个方程，得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝2.
所以原方程组的解是
(2)
把①代入②，得3y＝8－2(3y－5)．
解这个方程，得y＝2.
把y＝2代入①，得x＝1.
所以原方程组的解是
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2018＋2019的值．
【互动探索】由方程组解的定义知：甲看错了方程①中的a得到方程组的解是方程②的解，同样是方程①的解，从而代入求得a、b的值，进而解决问题．
【解答】把代入②，得－12＋b＝－2，
所以b＝10.
把代入①，得5a＋20＝15，
所以a＝－1，
所以a2018＋2019＝(－1)2018＋2019＝1－1＝0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 加减消元法
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．体会加减消元法形成的思路．
2．掌握用加减消元法解二元一次方程组．
【过程与方法】
经历二元一次方程组一般解法的探究过程，理解加减消元法在解方程组中的作用，学会根据方程组的特点选择合理的思考方向进行新知识探索．
【情感态度与价值观】
通过寻求解决问题的方法，体会加减消元法形成的思路，初步形成用便捷的消元法来解题，体验“化归”的思想．
二、重难点目标
【教学重点】
了解加减消元法的一般步骤，会用加减消元法解二元一次方程组．
【教学难点】
会正确用加减消元法解二元一次方程组．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P94～P97的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
2．运用加减消元法解方程组时，首先要观察两个方程中同一个未知数的系数，若系数相等，则将这两个方程相减；若系数互为相反数，则将这两个方程相加；若系数既不相等，也不互为相反数，则运用等式的性质将同一个未知数的系数化为相等或互为相反数．
3．教材P97页“思考”答案：
解：(1)的解是
的解是
(2)设鸡有x只，兔有y只．
由题意，得
②－①×2，得2y＝24，所以y＝12.
把y＝12代入①，得x＋12＝35，所以x＝23，
所以方程组的解为
即鸡有23只，兔有12只．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用加减消元法解下列方程组：
(1)
(2)
【互动探索】(引发学生思考)(1)观察x、y的两组系数，x的系数的最小公倍数是12，y的系数的最小公倍数是6，所以选择消去y；(2)先化简方程组，得观察其系数，方程④中x的系数恰好是方程③中x的系数的2倍，所以应选择消去x.
【解答】(1)①×2，得8x＋6y＝6.③
②×3，得9x－6y＝45.④
③＋④，得17x＝51，解得x＝3.
把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，解得y＝－3.
所以原方程组的解是
(2)化简方程组，得
③×2，得4x＋6y＝28.⑤
⑤－④，得11y＝22，即y＝2.
把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，解得x＝4.
所以原方程组的解是
【互动总结】(学生总结，老师点评)用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)变形：根据绝对值较小的未知数(同一个未知数)的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边，使两个方程中某一个未知数的绝对值相等；
(2)加减：当未知数的系数相等时，将两个方程相减；当未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；
(3)求解：解消元后得到的一元一次方程，求出一个未知数的值；
(4)回代：把求得的未知数的值代入方程组中的某个较简单的方程中，求出另一个未知数的值；
(5)写解：把两个未知数的值用大括号联立起来．
【例2】(教材P95例4)2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2,3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
问题一：题目中存在的等量关系：
(1)2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2；
(2)3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2.
问题二：若设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2、y hm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦1.8hm2,3台大收割机和2台小收割机同时工作1 h共收割小麦1.6hm2.
问题三：根据题目中的等量关系，可列方程组为：
问题四：解上面的方程组，得
活动2 巩固练习(学生独学)
1．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是( D )
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2
2．用加减消元法解下列方程组：
(1) (2)
解：(1)
②－①，得x＝3.
把x＝3代入①，得3＋y＝5，即y＝2.
所以原方程组的解是
(2)
①×2，得2x－8y＝－2.③
②－③，得9y＝18，即y＝2.
把y＝2代入②，得2x＋2＝16，解得x＝7.
所以原方程组的解是
3．已知x、y满足方程组求代数式x－y的值．
解：
②－①，得2x－2y＝－1－5，
所以x－y＝－3.
4．某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少？
解：设该队胜x场，负y场．
根据题意，得解得
即这个队胜9场，负7场．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】若二元一次方程组的解互为相反数，求k的值．
【互动探索】本题中，若想求得方程组中的字母参数k，关键是得到关于k的方程，这个方程怎样得到呢？这就要利用方程组的解互为相反数．
【解答】(方法一)
①－②×2，得7y＝－3k－5，解得y＝－.
把y＝－代入②，得x＋2×＝2k＋1，解得x＝.
因为方程组的解互为相反数，
所以－＝0，解得k＝.
(方法二)因为原方程组的解互为相反数，
所以x＋y＝0，即x＝－y.
将x＝－y代入原方程组，得
所以－3k＋9＝2k＋1，解得k＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是利用方程组的解互为相反数得到关于k的一元一次方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！8．3 实际问题与二元一次方程组
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
会用二元一次方程组解决实际问题．
【过程与方法】
在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程组解决现实问题的意识和应用能力．
【情感态度与价值观】
体会方程组是刻画现实世界的有关数学模型，培养应用数学的意识．在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
根据具体问题的数量关系，列二元一次方程组解决和差倍分、几何图形、增长率、盈亏、行程等实际问题．
【教学难点】
用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P99～P101的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
(1)审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题中的所有等量关系；
(2)设：设元，可以直接设，也可以间接设；
(3)列：根据等量关系列出方程组；
(4)解：解方程组，并检验所得的解是否符合题意；
(5)答：写出答案．
2．教材P99“探究1”答案：
解：能．设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.
根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，
列方程组
解这个方程组，得
这就是说，每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏多．
3．教材P99“探究2”答案：
解：如图，设甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD、BCFE、AE＝x cm，BE＝y cm.
根据题意，列方程组
解这个方程组，得
过长方形土地的长边上离一端80米处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块土地种甲种作物，较小的一块土地种乙种作物．
4．教材P100“探究3”答案：
解：设制成x t产品，购买y t原料．
根据题意得下表：
产品x t 原料y t 合计
公路运费/元 1.5×20x 1.5×10y 15 000
铁路运费/元 1.2×110x 1.2×120y 97 200
价值/元 8000x 1000y
题目所求数值是这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元，为此需先解出x与y.
由上表，列方程组
解这个方程组，得
因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多8000×300－1000×400－15 000－97 200＝1 887 800(元)．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】A、B两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
【互动探索】(引发学生思考)设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.列表如下：
路程 速度 时间
顺流 140 km (x＋y)km/h 7 h
逆流 140 km (x－y)km/h 10 h
由上表得出等量关系，从而列方程组求解．
【解答】设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.
由题意，得解得
即这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题关键是明确各速度之间的关系：顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速，由此结合公式“路程＝速度×时间”列方程组求解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为280厘米，那么每块小长方形的面积是( B )
A．900平方厘米 B．1200平方厘米
C．1600平方厘米 D．1800平方厘米
2．某工厂第一车间比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间的，则第一车间有170人，第二车间有250人．
3．木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可以加工10把椅子．现在如何安排劳动力，才能使生产的一张桌子与4把椅子配套？
解：设x个工人加工桌子，y个工人加工椅子．
根据题意，得解得
即10个工人加工桌子，18个工人加工椅子，才能使生产的一张桌子与4把椅子配套．
4．某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60 km/h的速度走平路，后以30 km/h的速度爬坡，共用了6.5 h；原路返回时，汽车以40 km/h的速度下坡，又以50 km/h的速度走平路，共用了6 h．问平路和坡路各有多远？
解：设平路有x km，坡路有y km.
根据题意，得解得
即平路有150 km，坡路有120 km.
5．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
解：(1)设打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为x元、y元．
根据题意，得
解得
即打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．
(2)80×70×(1－80%)＋100×80×(1－75%)＝3120(元)．即打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】某商场计划用40 000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．
(1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你研究一下商场的进货方案；
(2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？
【互动探索】根据题意有三种购买方案：①甲、乙；②甲、丙；③乙、丙，由此根据所含等量关系求出每种方案的进货数．
【解答】(1)分类讨论：
①购甲、乙两种型号手机．
设购进甲型号手机x1部，乙型号手机y1部．
根据题意，得
解得
即购进甲型号手机30部，乙型号手机10部．
②购甲、丙两种型号手机．
设购进甲型号手机x2部，丙型号手机y2部．
根据题意，得
解得
即购进甲型号手机20部，丙型号手机20部．
③购乙、丙两种型号手机．
设购进乙型号手机x3部，丙型号手机y3部．
根据题意，得
解得
因为x3表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况不合题意，应舍去．
综上所述，商场共有两种进货方案．
(方案一)购甲型号手机30部，乙型号手机10部；
(方案二)购甲型号手机20部，丙型号手机20部．
(2)方案一获利：120×30＋80×10＝4400(元)，
方案二获利：120×20＋120×20＝4800(元)．
所以，第二种进货方案获利最多．
【互动总结】(学生总结，老师点评)仔细读题，找出相等关系．当用含未知数的式子表示相等关系时，要注意不同型号的手机数量和单价要对应．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！第八章 二元一次方程组
教材简析
本章的内容包括：(1)二元一次方程、二元一次方程组的相关概念；(2)解二元一次方程组的两种基本方法——代入消元法、加减消元法；(3)列二元一次方程组解决实际问题；(4)三元一次方程组的解法．方程是一种重要的描述现实世界的数学模型，而二(三)元一次方程组是刻画现实问题的重要数学模型．用它解决实际问题时，要注意分析题中的等量关系，引进适当的未知量，建立相应的方程．
方程与方程组是中考命题的重点和热点，主要考查用定义判断二元一次方程组，二元一次方程组的解法，用二元一次方程组解决实际问题，多以选择题、填空题和解答题的形式出现，难度中等．
教学指导
【本章重点】
二元一次方程组的有关概念、解法和应用．
【本章难点】
1．灵活选用适当的方法解二元一次方程组．
2．列二元一次方程(组)解决实际问题．
3．三元一次方程组的解法．
【本章思想方法】
1．体会和掌握化归思想，如通过消元，把“三元”转化为“二元”，把“二元”转化为“一元”，这一过程体现了化归思想．
2．体会分类讨论思想，如求二元一次方程的整数解和列方程组解应用题时，有些问题需要分类讨论，分类的关键是根据分类的目的找出分类的对象，分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结．
3．掌握数学建模思想，如通过探索实际应用问题中的数量关系和变化规律，从中抽象出二元一次方程(组)模型，并运用二元一次方程(组)的知识解决实际问题．
课时计划
8．1 二元一次方程组1课时
8．2 消元——解二元一次方程组2课时
8．3 实际问题与二元一次方程组1课时
*8.4 三元一次方程组的解法1课时
8．1 二元一次方程组
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解二元一次方程(组)的概念和二元一次方程(组)解的含义．
2．会检验一对数是不是二元一次方程组的解，会利用列表尝试的方法求简单的二元一次方程组的解．
【过程与方法】
经历探索二元一次方程组的过程，培养学生观察、分析、概括的能力．
【情感态度与价值观】
通过对实际问题的分析及合作探究的过程，培养学生实事求是的态度．
二、重难点目标
【教学重点】
二元一次方程组的定义和二元一次方程组的解的定义．
【教学难点】
利用列表尝试的方法求简单的二元一次方程组的解．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P88～P89的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)二元一次方程
1．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
3．教材P88问题答案：
解：方程x＋y＝10与2x＋y＝16都含有两个未知数x和y，且含有未知数的项的次数都是1，而一元一次方程只含有一个未知数．
4．下面哪些是二元一次方程？为什么？
(1)x2＋y＝20；
(2)2x＋5＝10；
(3)2a＋3b＝1；
(4)x2＋2x＋1＝0；
(5)2x＋y＋z＝1.
解：(3)是二元一次方程．理由：因为二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1.
(二)二元一次方程组
5．含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
6．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
7．下面哪些是二元一次方程组？
(1) (2)
(3) (4)
解：(1)(3)是二元一次方程组．
【教师点拨】只要两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们就组成一个二元一次方程组，所以方程组(3)也是二元一次方程组．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________.
【互动探索】(引发学生思考)什么是二元一次方程？二元一次方程有什么特点？
【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数均为1，得|m|＝1且|m－1|≠0,2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.
【答案】0
【互动总结】(学生总结，老师点评)二元一次方程必须满足以下三个条件：(1)方程中只含有两个未知数；(2)含未知数的项的最高次数均为1；(3)方程是整式方程．
【例2】有下列方程组：
①②③
④⑤
其中二元一次方程组有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【互动探索】(引发学生思考)什么是二元一次方程组？二元一次方程组有什么特点？
【分析】①中，第一个方程含未知数的项xy的次数不是1；②中，第二个方程不是整式方程；③中，共有3个未知数．只有④⑤满足二次一次方程组的定义，其中⑤中的π是常数．故选B.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是只含两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是( A )
A. B．
C. D．
2．已知关于x、y的方程组的解是则|m－n|的值是( D )
A．5 B．3
C．2 D．1
3．在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那么a的值为1.
4．已知是方程组的解，求代数式3a＋4b－5的值．
解：把代入方程ax－3y＝7中，得2a＋3＝7，解得a＝2.
把代入x－by＝5中，得2＋b＝5，解得b＝3.
所以3a＋4b－5＝3×2＋4×3－5＝13.
5．根据题意，列出方程组：
(1)某种植基地去年收入结余为500万元，估计今年可结余960万元，并且今年的收入比去年高15%，支出比去年低10%，设去年收入x万元，支出y万元；
(2)兄弟二人，弟弟5年后的年龄与哥哥5年前的年龄相等，3年后，兄弟二人的年龄和是他们年龄差的3倍，设哥哥今年x岁，弟弟今年y岁．
解：(1)
(2)
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】王东用30元钱到商店换零钞，可商店阿姨说只有面值2元和5元的两种人民币，请问王东有多少种换法？
【互动探索】设换2元人民币x张，5元人民币y张，则根据题意可得等量关系：2x＋5y＝30.由于人民币的张数只能是非负整数，所以要求所列二元一次方程的非负整数解．
【解答】设换2元人民币x张，5元人民币y张．
根据题意，得2x＋5y＝30.
变形，得x＝.
∵x、y都是非负整数，
∴30－5y是偶数，
∴5y是偶数，
∴y只能取偶数．
当y＝0,2,4,6时，对应的x＝15,10,5,0.
即
综上，有四种换法：
(换法一)换15张2元的人民币；
(换法二)换10张2元的人民币，2张5元的人民币；
(换法三)换5张2元的人民币，4张5元的人民币；
(换法四)换6张5元的人民币．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题是二元一次方程的简单实际应用，先根据题意列出二元一次方程，然后求二元一次方程的特殊解．求二元一次方程的特殊解时要分类讨论，并且分类要全面且不重复、遗漏．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二元一次方程组
练习设计
请完成本课时对应练习！
