辽宁省沈阳市四校协作体2012-2013学年高二上学期期中考试数学（理）试题

2012-2013学年度上学期中考试
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1.若，则1+2+22+23+…+2n-1=
(A)2n-1-1 (B)2n-1 (C) (D)
2.函数f(x)=2x+ (x>0)有
(A)最大值8 (B)最小值8 (C) 最大值4 (D)最小值4
3.已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列，数列-1,b1,b2,b3,-4成等比数列，则
(A) ± (B) ± (C) - (D)
4.等比数列，，1…从第2项到第6项的乘积等于
(A) 32 (B) -32 (C) (D)
5.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,SD所成角的余弦值为
(A) (B) (C) (D)
6.当m>1时，关于x的不等式x2+(m-1)x-m≥0的解集是
(A) {x|x≤1，或x≥-m} (B) {x|1≤x≤-m }
(C) {x|x≤-m，或x≥1} (D) {x|-m≤x≤1 }
7.公差小于0的等差数列{an}中，且(a3)2=(a9)2，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的n的值是
(A) 6 (B) 7 (C) 5或6 (D)6或7
8.正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为
(A) (B) (C) (D)
9.已知a+4b=ab, a、b均为正数，则使a+b>m恒成立的m的取值范围是
(A)m<9 (B)m≤9 (C)m<8 (D)m≤8
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，如果S3=12，a3+a5=16，
那么
(A) (B) (C) (D)
11.已知x>0,y>0,x+y+xy=2, 则x+y的最小值是
(A) (B) (C) (D)
12.直线l与球O有且只有一个公共点P,从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆的半径分别为1和.若二面角的平面角为150°,则球O的表面积为
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题纸相应的位置）
13.等比数列的首项是-1,前n项和为Sn, 如果,则S4的值是_________.
14.关于x的方程x2+mx+m2-3=0的两个实根中，一个比1大，另一个比1小，
则实数m的取值范围是_______________.
15.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面
直线AB1和BM所成的角的大小是______________.
16.无穷等差数列{an}各项都是正数，Sn是它的前n项和，若a1+a3+a8=a42,则
a5·S4的最大值是______________.
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分10分）
已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0
(1)若此方程有实数根，求实数m的取值范围.
(2)若此方程的两实数根之差的绝对值小于,求实数m的取值范围.
18. (本小题满分12分)
如图：在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD‖BC ,
∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD, PA=3, AD=2, AB=, BC=6.
(1)求证：BD⊥平面PAC
(2)求二面角B-PC-A的大小.
19. (本小题满分12分)
已知x,y满足条件
求: (1)4x-3y的最大值
(2)x2+y2 的最大值
(3)的最小值
20. (本小题满分12分)
设{an}是公差不为O的等差数列，Sn是其前n项和，
已知，且
(1)求数列{an}的通项an
(2)求等比数列{bn}满足b1=S1 ,b2=, 求和Tn=a1b1+a2b2+…+anbn
21. (本小题满分12分)
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1,且AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足
(1)证明：PN⊥AM
(2)若，求直线AA1与平面PMN所成角的正弦值.
22. (本小题满分12分)
已知Sn 为数列{an}的前n项和，a1=9,Sn=n2an-n2(n-1),设bn=
(1)求证：bn-bn-1=n (n≥2，n∈N).
(2)求的最小值.
高二数学试题答案
一、选择题
B B D B C C C D A D C C
二、填空题
（13）（14） （15） （16）36
三、解答题
（17）解：设这个方程的两个实数根是，
（1），
得，或
实数的取值范围是------------（5分）
（2），
则，，
即，解得，
再由（Ⅰ）得实数的取值范围是
-------------（10分）
（18）解：（1）以为原点，射线分别为轴正向建立空间直角坐标系，则,,,
,

----------------------------------(6分)
（2）平面的法向量为
平面的法向量为 （过程略）

-----------------------------（12分）
（19）解：（过程略）
（1）最大值为13-----------------------------（4分）
（2）最大值为37-----------------------------（8分）
（3）最小值为-9------------------------------（12分）
（20）解：（1） -----（6分）
（2），
①
②
①-②得

-------------------------（12分）
(21)解：（1）法一：取中点，连,,


法二：建系证------------------------------（6分）
（2） 的中点
以A为原点，射线,分别为的正向
建立空间直角坐标系，则
平面的法向量 （求法向量过程略）
-----------（12分）
(22)解：（1）


--------------（6分）
（2）个式子相加得
又

当时，最小，值为--------------------（12分）