16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．
【过程与方法】
经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力．
【情感态度与价值观】
经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．
二、重难点目标
【教学重点】
二次根式的概念，二次根式有意义的条件．
【教学难点】
求二次根式中字母的取值范围．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
2．一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
3．下列式子中，不是二次根式的是( B )
A． B．
C． D．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
，，，，，
(x≤3)，(x≥0)，，
，(ab≥0)．
【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．
【解答】因为，，＝，(x≤3)，，(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.的根指数不是2，，(x≥0)，的被开方数都小于0，所以不是二次根式．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数．
【例2】当x________，＋在实数范围内有意义．
【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？
【分析】要使＋在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.
【答案】≥－3且x≠－1
【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列式子中，是二次根式的是( A )
A．－ B．
C． D．x
2．使式子有意义的未知数x有( B )
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．无数个
3．当x是多少时，＋x2在实数范围内有意义？
解：依题意，得解得
∴当x≥－且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】若实数x、y满足y＞＋＋3，求|y－3|－的值．
【互动探索】要求|y－3|－的值，需确定出x、y的取值范围．根据式子y＞＋，可以确定出x、y的取值范围．
【解答】由题意，得x－2≥0且6－3x≥0，
解得x＝2，则y＞3.
故|y－3|－＝y－3－y＋2＝2－3＝－1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x的值，从而确定y的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次根式
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时 二次根式的性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
理解(a≥0)是一个非负数、()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念．
【过程与方法】
在明确()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作交流，培养学生的合作意识．
【情感态度与价值观】
通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
二次根式的性质．
【教学难点】
运用二次根式的性质进行有关计算．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P3～P4的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(1)当a>0时，表示a的算术平方根，因此>0；
(2)当a＝0时，表示0的算术平方根，因此＝0.
概括：一般地，(a≥0)是一个非负数．
2．教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空：
(1)()2＝4； ()2＝2；
2＝； ()2＝0.
(2)一般地，()2＝a(a≥0)．
3．教材P4“探究”，填空：
(1)＝2； ＝0.01；
＝； ＝0.
(2)一般地，＝a(a≥0)．
教师点拨：二次根式的三个性质：(1)(a≥0)是一个非负数；(2)()2＝a(a≥0)；(3)＝a(a≥0)．
4．用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式．
5．计算：＝21；＝.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)()2； (2)(2)2；
(3)； (4).
【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？
【解答】(1)2 ＝1.5. (2)(2)2＝22×()2＝4×5＝20. (3)＝()＝4.
(4)＝＝5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数．当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，＝＝
【例2】化简下列二次根式．
(1)(a≥0，b≥0)；
(2).
【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简．注意：二次根式的结果是最简二次根式．
【解答】(1)＝＝·＝2a.
(2)＝＝6×13×3＝234.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列各式正确的是( D )
A．＝×
B．＝×
C．＝×
D．＝×
2．计算：
(1)()2； (2)－()2；
(3)； (4).
解：(1)9. (2)－3. (3)8.
(4)＝＝.当a≥－1时，原式＝a＋1；当a<－1时，原式＝－a－1.
3．已知
实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：＋2－|a－b|.
解：从数轴上a、b的位置关系，可知－2＜a＜－1,1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0，原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.
【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b＋c＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可．
【解答】∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次根式的性质
练习设计
请完成本课时对应训练！16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．
【过程与方法】
在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．
【情感态度与价值观】
鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性．
二、重难点目标
【教学重点】
会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算．
【教学难点】
运用二次根式的加减运算解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2．计算下列各式．
(1)2＋3； (2)2－3＋5；
(3)＋2＋； (4)3－2＋.
解：(1)原式＝(2＋3)＝5.
(2)原式＝(2－3＋5)＝4＝8.
(3)原式＝＋2＋3＝(1＋2＋3)＝6.
(4) 原式＝(3－2)＋＝＋.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)＋＋；
(2)3＋－＋；
(3)＋－；
(4)2＋.
【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算时要注意哪些问题？
【解答】(1)＋＋＝3＋＋2＝.
(2)3＋－＋＝3＋4－2＋＝＋5.
(3)＋－＝2－＋－＝－.
(4)2＋＝6－4＋8＋＝25－8.
【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序．
【例2】已知＋＝0，求的值．
【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性，可得a＝＋2，b＝ －2，然后再代入求值即可．
【解答】由题意，得＝0，＝0，解得a＝＋2，b＝－2，＝＝5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．计算3－的值是( D )
A．2 B．3
C． D．2
2．若最简二次根式与可以合并，则a＝5.
3．计算： (1)3－9＋3；
(2)(＋)＋(－)．
解：(1)＝15. (2)6＋.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求x＋y2－x2－5x的值．
【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x－1)2＋(y－3)2＝0，即可求出x、y的值．再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
【解答】∵4x2＋y2－4x－6y＋10＝4x2－4x＋1＋y2－6y＋9＝(2x－1)2＋(y－3)2＝0，∴x＝，y＝3.
原式＝x＋y2－x2＋5x
＝2x＋－x＋5
＝x＋6.
当x＝，y＝3时，
原式＝×＋6＝＋3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时 二次根式的混合运算
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用．
【过程与方法】
复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算．
【情感态度与价值观】
理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性．
二、重难点目标
【教学重点】
熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力．
【教学难点】
正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P14的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
2．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．
3．计算：
(1)×； (2)；
(3)－； (4)(2－)2.
解：(1)3. (2). (3). (4)22－4.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)×9÷；
(2)÷2＋2；
(3)－(＋2)÷.
【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？
【解答】(1)原式＝×9×＝×9×＝.
(2)原式＝÷2＋＝×＋＝＋＝5.
(3)原式＝－＝－1－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
【例2】计算：
(1)(＋－)(－＋)；
(2)(－1)2＋2(－)(＋)；
(3)×(－2)．
【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．
【解答】(1)原式＝[＋(－)][－(－)]＝()2－(－)2＝2－(9－2)＝2－9＋6＝－7＋6.
(2)原式＝2－2＋1＋2×(3－2)＝2－2＋1＋2＝3.
(3)原式＝×(－2)＝－×(－2)＝8.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列计算：①()2＝2；② ＝2；③(－2)2＝12；④(＋)( －)＝－1.其中正确的有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．如果(2＋)2＝a＋b(a，b为有理数)，则a＝ 6，b＝ 4.
3．计算：
(1)(＋)×；
(2)(4－3)÷2；
(3)(＋6)(3－)；
(4)(＋)(－)．
解：(1)3＋2. (2)2－. (3)13－3. (4)3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】先化简，再求值：＋＋，其中x＝，y＝.
【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算
【解答】＋＋＝＋＋＝＝＝.
当x＝，y＝时，x＋y＝，xy＝1，所以原式＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以根据式子特点，整体代入进行计算．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用．
练习设计
请完成本课时对应训练！16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
理解·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．
【过程与方法】
经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．
【情感态度与价值观】
鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．
二、重难点目标
【教学重点】
二次根式的乘法运算法则．
【教学难点】
运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1)×＝6，＝6；
(2)×＝20，＝20；
(3)×＝30，＝30.
规律：一般地，二次根式的乘法法则是·＝ .
2．把·＝反过来，就得到＝·，利用它可以进行二次根式的化简．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)×； (2)×；
(3)×； (4)×.
【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算．
【解答】(1)×＝.
(2)×＝＝＝3.
(3)×＝＝＝9.
(4)×＝＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．
【例2】化简：
(1)9×； (2)； (3)81×100；
(4)； (5).
【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？
【解答】(1)＝×＝3×4＝12.
(2)＝×＝4×9＝36.
(3)＝×＝9×10＝90.
(4)＝··＝2·a·＝2ab.
(5)＝＝×＝3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．等式·＝成立的条件是( A )
A．x≥1 B．x≥－1
C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1
2．计算：
(1)×； (2)×3；
(3)2××5.
解：(1)6. (2)3. (3)18.
3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
(1)＝×；
(2)×＝4××＝4×＝4＝8.
解：(1)不正确．
改正：＝＝＝6.
(2)不正确．
改正：×＝×＝＝＝4.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】比较大小：
(1)3与5； (2)－4与－5.
【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．
【解答】(1)3＝×＝，
5＝×＝.
因为<，所以3<5.
(2)－4＝－×＝－，
－5＝－×＝－.
因为<，所以－>－，所以－4>－5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时 二次根式的除法
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解＝(a≥0，b>0)和＝(a≥0，b>0)及利用它们进行运算；
2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
【过程与方法】
通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．
【情感态度与价值观】
在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则．
【教学难点】
二次根式商的算术平方根的运用．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P8～P10的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)二次根式的除法
1．教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1)＝，＝；
(2)＝，＝；
(3)＝，＝.
规律：一般地，二次根式的除法法则是＝.
2．把＝ 反过来，就得到＝，利用它可以进行二次根式的化简．
(二)最简二次根式
1．观察教材P8～P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如2，，等，可以发现这些式子有如下两个特点：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)； (2)÷；
(3)÷； (4).
【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算．
【解答】(1)原式＝＝＝2 .
(2)原式＝＝＝＝2.
(3)原式＝＝＝＝2.
(4)原式＝＝＝2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式．
【例2】化简：
(1)； (2)； (3)； (4) .
【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简．
【解答】(1)原式＝＝.
(2)原式＝＝.
(3)原式＝＝＝.
(4)原式＝＝＝2＋.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．计算÷÷的结果是( A )
A． B．
C． D．
2．如果(y>0)是二次根式，那么化为最简二次根式是( C )
A．(y>0) B．(y>0)
C．(y>0) D．以上都不对
3．化简：
(1)； (2)； (3)； (4).
解：(1)4. (2). (3)＋1. (4)11－2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知＝，且x为偶数，求(1＋x)的值．
【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x的取值范围→化简所求式子
【解答】由题意，得即
∴6∵x为偶数，∴x＝8，
∴原式＝(1＋x)＝(1＋x)＝(1＋x)＝.
∴当x＝8时，原式＝＝6.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应训练！第十六章 二次根式
教材简析
本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．
在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值．
教学指导
【本章重点】
二次根式的性质和运算．
【本章难点】
灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算．
【本章思想方法】
1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则．
2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论．
3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值．
课时计划
16.1 二次根式2课时
16.2 二次根式的乘除2课时
16.3 二次根式的加减2课时
