17.2 勾股定理的逆定理
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念．
【过程与方法】
经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理．
【情感态度与价值观】
激发学生解决问题的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念．
【教学难点】
利用勾股定理的逆定理解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P31～P33的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.
(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2；那么这个三角形是直角三角形．
2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
3．两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．
4．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形．
(1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；
(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；
(3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2.
【互动探索】(引发学生思考)分别已知三角形的边和角，如何判定一个三角形是直角三角形呢？
【解答】(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，
即△ABC是直角三角形．
(2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，
∴AC2＋AB2＝BC2.
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．
(3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，
∴a2－b2＝c2，
即a2＝b2＋c2.
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断直角三角形的常用方法有两种：(1)两锐角互余的三角形是直角三角形(即有一个角等于90°的三角形是直角三角形)；(2)利用勾股定理的逆定理判断三角形的三边是否满足a2＋b2＝c2(c为最长边)．
【例2】写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)原命题的题设为等腰三角形，结论为腰上的高相等，然后交换题设与结论得到其逆命题；可根据三角形面积公式判断此命题的真假．
【解答】命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．
如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD＝BE.
∵BC＝BC，
∴△CBD≌△BCE(HL)，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴△ABC为等腰三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．
【例3】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【互动探索】(引发学生思考)根据“路程＝速度×时间”分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
【解答】根据题意，得PQ＝16×1.5＝24(海里)，PR＝12×1.5＝18(海里)，QR＝30海里．
∵242＋182＝302，
∴PQ2＋PR2＝QR2，
∴∠QPR＝90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，
∴∠SPR＝45°，
即“海天”号沿西北方向航行．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( C )
A．5,6,7 B．10,8,4
C．7,25,24 D．9,17,15
2．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1)同旁内角相等，两直线平行；
(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．
解：(1)“同旁内角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角相等，逆命题不成立．
(2)“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，逆命题不成立．
3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a、b、c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
解：对．因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，且c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a、b、c是勾股数．
m＝2时，勾股数为4、3、5；m＝3时，勾股数为6、8、10；m＝4时，勾股数为8、15、17.
4．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 cm，AD＝ cm，CD＝5 cm，BC＝4 cm，求四边形ABCD的面积．
解：如图，连结BD.∵∠A＝90°，AB＝2 cm，AD＝ cm，∴根据勾股定理，得BD＝3 cm.又∵CD＝5 cm，BC＝4 cm，∴CD2＝BC2＋BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ AB·AD＋BC·BD＝ ×2×＋×4×3＝ cm2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
【互动探索】观察图形，猜测AF⊥EF.证明△AEF为直角三角形可得AF⊥EF.
【解答】AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a.
∵F是CD的中点，CE＝CB，
∴EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
∴AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，
即AF⊥EF.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从而推出两线的垂直关系．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2－b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
3．两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．
练习设计
请完成本课时对应练习！第十七章 勾股定理
教材简析
本章的内容包括：勾股定理、勾股定理的逆定理．
本章主要研究并揭示直角三角形三边之间的关系的勾股定理与勾股定理的逆定理．勾股定理是一个著名的几何定理，在西方也被称为毕达哥斯拉定理．勾股定理有几百种证明方法，本章主要介绍的是我国古代数学家赵爽的证明方法，这种方法利用直角三角形的面积与正方形的面积关系，数形结合，直观、简洁．勾股定理在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本章是直角三角形相关知识的延续，同时也让学生进一步认识无理数，充分体现了数学知识的紧密相关性、连续性．在中考中，主要考查勾股定理及三角形判别条件的应用，常与三角形的其他知识结合考查．
教学指导
【本章重点】
勾股定理，勾股定理的逆定理．
【本章难点】
勾股定理的证明，勾股定理的应用．
【本章思想方法】
1．体会转化思想，如：应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，从而构造直角三角形求解．
2．体会和掌握方程思想，如：利用勾股定理求线段长时，往往需要列方程求解．
课时计划
17.1 勾股定理3课时
17.2 勾股定理的逆定理1课时17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理及其证明
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解勾股定理的发现过程．
2．掌握勾股定理的内容．
3．会用面积法证明勾股定理．
【过程与方法】
经历观察—猜想—归纳—验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程；在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．
【情感态度与价值观】
通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，体验解决问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．
二、重难点目标
【教学重点】
勾股定理的探究及证明．
【教学难点】
掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P22～P24的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
2．(1)教材P23“探究”，如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积．
解：A的面积＝4；B的面积＝9；C的面积＝52－4××(2×3)＝13；所以A＋B＝C.A′＝9；B′＝25；C′＝82－4××(5×3)＝34；所以A′＋B′＝C′.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．
(2)阅读、理解教材P23～P24“赵爽弦图”证明勾股定理．
解：朱实＝ab；黄实＝(a－b)2；正方形的面积＝4朱实＋黄实＝(a－b)2＋ab×4＝a2＋b2－2ab＋2ab＝a2＋b2.又正方形的面积＝c2，所以a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再作三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．
证明：a2＋b2＝c2.
图1 图2
【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．
【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a＋b，∴它们的面积相等．又∵左边的正方形面积可表示为a2＋b2＋ab×4，右边的正方形面积可表示为c2＋ab×4，∴a2＋b2＋ab×4＝c2＋ab×4，∴a2＋b2＝c2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．
【例2】 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b为两直角边，c为斜边．
(1)若a＝3，b＝4，则c2＝____，c＝____；
(2)若a＝6，b＝8，则c2＝____，c＝____；
(3)若c＝41，a＝9，则b＝____；
(4)若c＝17，b＝8，则a＝____.
【互动探索】(引发学生思考)根据勾股定理求解．
【分析】(1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，则c＝5.(2) c2＝a2＋b2＝62＋82＝100，则c＝10.(3) 因为c2＝a2＋b2，所以b＝＝＝40.(4)因为c2＝a2＋b2，所以a＝＝＝15.
【答案】(1)25 5 (2)100 10 (3)40 (4)15
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.a2＋b2＝c2的常用变形b＝，a＝.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．在△ABC中，∠C＝90°.若 a＝5，b＝12，则 c＝13；若c＝41，a＝9，则b＝40.
2．等腰△ABC的腰长AB＝10 cm，底BC为16 cm，则底边上的高为6_cm，面积为48_cm2.
3．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)若a＝1，b＝2，求c；
(2)若a＝15，c＝17，求b.
解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋b2＝12＋22＝5.∵c>0，∴c＝.
(2)根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝172－152＝64.∵b>0，∴b＝8.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．
【互动探索】应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．
【解答】当高AD在△ABC内部时，如图1.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
当高AD在△ABC外部时，如图2.同理可得，BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
图1 图2
【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 勾股定理的应用
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题．
【过程与方法】
经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．
【情感态度与价值观】
培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情．
二、重难点目标
【教学重点】
勾股定理的简单应用．
【教学难点】
运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P25的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
2．在△ABC中，∠C＝90°.若BC＝6，AB＝10，则AC＝8.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．
【互动探索】(引发学生思考)观察图形：“多直角三角形嵌套”图形→已知边长，求高CD →利用等面积法求解．
【解答】∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，
∴由勾股定理，得AC＝＝4 cm.
又∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，
∴CD＝＝＝(cm)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
【例2】 如图，侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m,10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？
【互动探索】(引发学生思考)要求敌方汽车的速度，需要算出BC的长．在Rt△ABC中利用勾股定理即可求得BC.
【解答】由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2，即5002＝BC2＋4002，所以BC＝300 m.
故敌方汽车10 s行驶了300 m，
所以它1 h行驶的距离为300×6×60＝108 000(m)，
即敌方汽车的速度为108 km/h.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为( D )
A．30 cm2 B．130 cm2
C．120 cm2 D．60 cm2
2．直角三角形两直角边长分别为5 cm、12 cm，则斜边上的高为cm.
3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200 m，结果他在水中实际游了520 m，求该河流的宽度为多少？
解：根据图中数据，运用勾股定理，得AB＝＝＝480(m)．
即该河流的宽度为480 m.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图1，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现有绳子从D出发，沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？
图1
图2
图3
【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．
【解答】如图2，由题易知，DD′＝3 cm，B′D′＝2×2＝4(cm)．在Rt△DD′B′中，由勾股定理，得B′D2＝DD′ 2＋B′D′ 2＝32＋42＝25；
如图3，由题易知，B′C′＝2 cm，C′D＝2＋3＝5 (cm)．在Rt△DC′B′中，由勾股定理，得B′D2＝B′C′ 2＋C′D2＝22＋52＝29.
因为29>25，
所以第一种情况绳子最短，最短为5 cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
勾股定理的简单运用：(1)由直角三角形的任意两边的长度，可以应用勾股定理求出第三边的长度．(2) 用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 利用勾股定理表示无理数
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法．
【过程与方法】
通过探究用勾股定理表示无理数的过程，锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力．
【情感态度与价值观】
让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，体会数形结合思想的运用．
二、重难点目标
【教学重点】
探究用勾股定理表示无理数的方法．
【教学难点】
会用勾股定理表示无理数．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
2．教材P27，利用勾股定理在数轴上画出表示，，，，…的点．
3.的线段是直角边为正整数3,2的直角三角形的斜边．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A．＋1 B．－＋1
C．－1 D．
【互动探索】(引发学生思考)先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．
【分析】图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为＝，∴－1到A的距离是，那么点A所表示的数为－1.故选C．
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a的值．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P，则点P的位置在数轴上( C )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
2．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝ ；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝ ；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；….依此继续，得OP2018＝，OPn＝(n为自然数，且n＞0)．
3．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和－.
解：面积为8平方单位的正方形的边长为，是直角边长为2,2的两个直角三角形的斜边长，画图如下：
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.
【互动探索】(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；(2)先找出几个能构成勾股数的无理数，再画出来即可，如画一个边长，2， 的三角形；(3)画一个边长为的正方形即可．
【解答】(1)直角三角形的三边分别为3,4,5 ，如图1.
(2)直角三角形的三边分别为，2， ，如图2.
(3)画一个边长为的正方形，如图3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了格点三角形的画法，需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
利用勾股定理表示无理数．
练习设计
请完成本课时对应练习！
