19.1 函 数
19.1.2 函数的图象
第1课时 函数的图象
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．学会用列表、描点、连线画函数图象．
2．学会观察、分析函数图象信息．
【过程与方法】
在研究函数图象的过程中体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题的能力．
【情感态度与价值观】
1．体会数学方法的多样性，提高学习兴趣．
2．认识数学在解决问题中的重要作用，从而加深对数学的认识．
二、重难点目标
【教学重点】
1．函数图象的画法．
2．观察分析图象信息．
【教学难点】
分析概括图象中的信息．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P75～P79的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．什么是函数图象？
解：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
2．在学习函数图象时，可以通过以下两点帮助理解：
(1)函数图象上的任意点P(x，y)中的x、y都满足其函数解析式；
(2)满足函数解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上．
3．用函数图象描述实际问题时，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．
4．如何作函数图象？具体步骤有哪些？
画函数的图象，一般运用描点法．用描点法画函数图象的一般步骤：
(1)列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值．自变量的取值不应使函数太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜；
(2)描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连结起来．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】3月20日，小彬全家开车前往铜梁看油菜花，车刚离开家时，由于车流量大，行进非常缓慢，十几分钟后，汽车终于行驶在高速公路上，大约三十分钟后，汽车顺利到达铜梁收费站，停车交费后，汽车驶入通畅的城市道路，二十多分钟后顺利到达了油菜花基地，在以上描述中，汽车行驶的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的大致函数图象是( )
A B
C D
【互动探索】(引发学生思考)行进缓慢，路程增加较慢；在高速路上行驶，路程迅速增加；停车交费，路程不变；驶入通畅的城市道路，路程增加，但增加的比高速路上慢，故B符合题意．
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题目，理解题意是解题关键，根据题干中提供的信息及生活实际，判断图象各阶段的变化情况和特征．
【例2】作出函数y＝－的图象．
【互动探索】(引发学生思考)先列表取值，再描点，最后连线．
【解答】列表：
x －6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6
y 1 1.5 2 3 6 －6 －3 －2 －1.5 －1
描点、连线，如图．
【互动总结】(学生总结，老师点评)画函数图象要经过列表、描点、连线三个步骤，列表时自变量取值要有代表性(自变量不可以只取正数，也不可以只取负数)．自变量不为0，表示图象不是连续的，在自变量为0时，图象断开，分为两段．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．周末小石去博物馆参加综合实践活动，先骑行共享单车前往，0.5小时后到达公交车站，他在公交车站等了一段时间，遇到了叔叔，搭上了叔叔的电瓶车前往．已知小石离家的路程s(单位：千米)与时间t(单位：小时)的函数关系的图象大致如图．则小石叔叔电瓶车的平均速度为( C )
A．30千米/小时 B．18千米/小时
C．15千米/小时 D．9千米/小时
2．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，B为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是( B )
A B C D
3．在所给的平面直角坐标系中画出函数y＝－2x＋2的图象，并根据图象回答问题：
(1)当x＝－1时，y的值；
(2)当x为何值时，y＞0
(3)若0≤x≤3，求y的取值范围．
解：列表如下：
x ... －2 －1 0 1 2 ...
y ... 6 4 2 0 －2 ...
根据表中数值描点、连线，函数图象如图所示：
(1)根据表格，当x＝－1时y＝4.
(2)根据图象，观察可得，当x＜1时，y＞0.
(3)根据图象，观察可得，若0≤x≤3，则－4≤y≤2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明从家到学校的路程是多少米？
(2)小明在书店停留了多久？
(3)本次上学途中，小明一共骑行了多少米？一共用了多长时间？
(4)我们认为骑单车的速度超过300米/分就超越了安全范围．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全范围内吗？
【互动探索】根据图象，获取其中的信息，图象中横、纵坐标表示的是什么？函数值随自变量的变化趋势是怎么样的？
【解答】(1)根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米．
(2)根据图象，从8分钟到12分钟这段时间内距离不变，故小明在书店停留了4分钟．
(3)一共骑行的总路程为1200＋(1200－600)＋(1500－600)＝1200＋600＋900＝2700(米)，共用了14分钟．
(4)由图象可知：
0～6分钟时，平均速度为＝200(米/分)；
6～8分钟时，平均速度为＝300(米/分)；
12～14分钟时，平均速度为＝450(米/分)．
所以，12～14分钟时，小明骑车速度最快，不在安全范围内．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解读图象反映的信息，关键是理解横轴和纵轴表示的实际意义，解决问题的过程中体现了数形结合思想．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
函数的图象
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时 函数的三种表示方法
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．总结函数三种表示方法，并总结三种表示方法的优缺点．
2．会根据具体情况选择适当方法．
【过程与方法】
经历回顾思考训练提高归纳总结能力．
【情感态度与价值观】
1．积极参与活动，提高学习兴趣．
2．在数学活动过程中形成合作交流意识及独立思考习惯．
二、重难点目标
【教学重点】
函数三种表示方法．
【教学难点】
会根据具体情况选择适当方法．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P79～P81的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．函数的三种表示方法分别是解析式法、列表法、图象法．
2．用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法．
3．把一系列自变量x的值与对应的函数值y列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法．
4．用图象来表示函数关系的方法叫做图象法．
5．函数的三种表示方法的优缺点有哪些？
表示方法 优点 缺点
解析式法 能准确地反映整个变化过程中两个变量间的关系 有些实际问题不一定能用解析式表示
列表法 由表中已有自变量的每一个值可以直接得出相应的函数值 自变量的值不能一一列出，也不容易看出自变量与函数之间的对应关系
图象法 能直观、形象地表达函数关系 观察图象只能得到近似的数量关系
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：
质 量(克) 1 2 3 4 …
伸长量(厘米) 0.5 1 1.5 2 …
总长度(厘米) 10.5 11 11.5 12 …
(1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？
(2)当所挂重物为x(克)时，用h(厘米)表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．
(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量．
【互动探索】(引发学生思考)能从表格中直接读出挂重物体的质量与对应的弹簧总长度的值吗？如何根据表格写出所挂物体的质量与弹簧的总长度之间的函数关系？
【解答】(1)5÷0.5×1＝10(克)，
即要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克．
(2)h＝10＋0.5x(0≤x≤50)．
(3)令10＋0.5x＝25，解得x＝30，
即当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．
【互动总结】(学生总结，老师点评)列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用，如成绩表、银行的利率表等．
【例2】如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系，请根据图象回答下列问题：
(1)汽车一共行驶的路程是多少？
(2)汽车在行驶途中停留了多长时间？
(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？
(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？
【互动探索】(引发学生思考)从函数图象中我们得到哪些信息？这些信息与所求问题有何关系？
【解答】(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)．
(2)由横坐标看出2－1.5＝0.5(小时)，故汽车在行驶途中停留了0.5小时．
(3)①由纵坐标看出汽车到达B点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B点所用的时间是1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝(千米/时)；
②由纵坐标看出汽车从B到C没动，此时速度为0千米/时；
③由横坐标看出汽车从C到D用时3－2＝1(小时)，从纵坐标看出行驶了120－80＝40(千米)，故此时的平均速度为40÷1＝40(千米/时)；
④由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5(小时)，由此算出平均速度120÷1.5＝80(千米/时)．
(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5(小时)，返回用了1.5小时．
【互动总结】(学生总结，老师点评)图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．
【例3】一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．
(1)写出y与x的关系式；
(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？
(3)这辆车在中途不加油的情况下，最远能行驶多少千米？
【互动探索】(引发学生思考)剩余油量为y(升)与行驶路程为x(千米)之间满足什么样的等量关系？根据自变量的取值怎样求函数值？由函数值怎样求出自变量的取值？
【解答】(1)由题意，得y＝－0.6x＋48.
(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升．
当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米．
(3)令y＝0，即－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在中途不加油的情况下，最远能行驶80 km.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下面说法中正确的是( C )
A．两个变量间的关系只能用关系式表示
B．图象不能直观的表示两个变量间的函数关系
C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况
D．以上说法都不对
2．某学习小组做了一个实验：从一幢100 m高的楼顶随手放下一个苹果，测得有关数据如下：
下落时间t(s) 1 2 3 4
下落高度h(m) 5 20 45 80
则下列说法错误的是( B )
A．苹果每秒下落的路程越来越长
B．苹果每秒下落的路程不变
C．苹果下落的速度越来越快
D．可以推测，苹果落到地面的时间不超过5秒
3．如图，直角边长为的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上，等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为t，两图形重合部分的面积为S，则S关于t的图象大致为( B )
A B C D
4．如图1，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6 cm，E是一个动点，由B向C移动，其速度与时间的变化关系如图2.
(1)求当E点在运动过程中△ABE的面积y与运动时间x之间的关系式；
(2)当点E移动3.5秒后停止，且速度变化趋势与前2秒一致，求此时△ABE的面积．
图1 图2
解：(1)由图2知，E点的运动速度没有发生变化，是3 cm/s，∴BE的长为3x cm，∴S△ABE＝BE·AD＝×3x·6＝9x(cm2)，即y＝9x.
(2)当x＝3.5时，y＝9×3.5＝31.5 (cm2)．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示．
(1)求矩形ABCD的面积；
(2)求点M、点N的坐标；
(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的，求满足条件的x的值．
图1
图2
【互动探索】(1)点P从点B运动到点C的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，说明BC的长为4；当点P在CD上运动时，△ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且运动路程由4到9，说明CD的长为5，从而求出矩形的面积；
(2)利用(1)中所求，可得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，进而得出点M的坐标，利用AD，BC，CD的长得出点N的坐标；
(3)当点P在BC、CD、AD上时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式，进而求出x即可．
【解答】(1)结合图形可知，点P在BC上时，△ABP的面积y不断增大．
当4≤x≤9时，△ABP的面积不变，∴BC＝4，CD＝5，
∴矩形ABCD的面积为4×5＝20.
(2)由(1)得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，即点M的纵坐标为10，∴点M的坐标为(4,10)．
∵BC＝AD＝4，CD＝5，
∴NO＝13，∴点N的坐标为(13,0)．
(3)当△ABP的面积为矩形ABCD面积的，则△ABP的面积为20×＝4.
①当点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度x，y＝AB·PB＝×5x＝.令＝4，解得x＝1.6.
②当点P在CD上时，4≤x≤9，点P到AB的距离为BC的长度4，y＝AB·PB＝×5×4＝10(不合题意，舍去)．
③当点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度(13－x)，y＝AB·PA＝×5×(13－x)＝(13－x)．令(13－x)＝4，解得x＝11.4.
综上所述，满足条件的x的值为1.6或11.4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛．通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
函数的三种表示方法
练习设计
请完成本课时对应训练！19.3 课题学习 选择方案
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想．
2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法．
3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．
【过程与方法】
经历函数模型解决实际问题的过程，体会利用函数思想解决问题的方法．
【情感态度与价值观】
在数学建模的过程中，发展创新实践能力，培养学生的数学应用意识．
二、重难点目标
【教学重点】
巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．
【教学难点】
有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P102～P104的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题：
应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题；
应用一次函数与一元一次不等式(组)可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题．
应用一次函数与二元一次方程组可以解决生产安排、分工、运输等实际问题；
2．用一次函数选择最佳方案的步骤：
(1)从数学的角度分析实际问题，建立函数模型；
(2)列出不等式(组)，求出函数在取不同值时所对应的自变量的取值范围；
(3)结合实际需求，选择最佳方案．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】小刚和他父亲一起去灯具店买灯具，灯具店老板介绍说，一种节能灯的功率是10瓦(即0.01千瓦)的，售价60元；一种白炽灯的功率是60瓦(即0.06千瓦)的，售价为3元．两种灯的照明效果是一样的，使用寿命也相同(3000小时以上)．如果当地电费为0.5元/千瓦时，选择哪种灯更省钱？
【互动探索】(引发学生思考)根据“费用＝灯的售价＋电费”，分别列出节能灯的费用y1、白炽灯的费用y2与照明时间x的函数解析式，然后根据y1＝y2，y1＞y2，y2＞y1三种情况进行讨论即可求解．
【解答】设照明时间是x小时，节能灯的费用为y1元，白炽灯的费用为y2元．
由题意可知y1＝0.01×0.5x＋60＝0.005x＋60，y2＝0.06×0.5x＋3＝0.03x＋3.
当使用两灯费用相等时，y1＝y2，即0.005x＋60＝0.03x＋3，解得x＝2280.
当使用节能灯的费用大于白炽灯的费用时，y1＞y2，即0.005x＋60＞0.03x＋3，解得x＜2280.
当使用节能灯的费用小于白炽灯的费用时，y2＞y1，即0.03x＋3＞0.005x＋60，解得x＞2280.
所以当照明时间小于2280小时，应买白炽灯；当照明时间大于2280小时，应买节能灯；当照明时间等于2280小时，两种灯具费用一样．
本题中两种灯的照明效果是一样的，使用寿命也相同(3000小时以上)，所以买节能灯可以省钱．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是要分析题意，根据实际意义求解．注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论问题是解决实际问题的基本能力．
【例2】某灾情发生后，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据表中提供的信息，解答下列问题：
物资种类 食品 药品 生活用品
每辆汽车运载量(吨) 6 5 4
每吨所需运费(元/吨) 120 160 100
(1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x的函数关系式；
(2)如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
(3)在(2)的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费．
【互动探索】(引发学生思考)(1)装运生活用品的车辆为(20－x－y)辆，根据三种救灾物资共100吨列出关系式；(2)根据题意求出x的取值范围并取整数值从而确定方案；(3)分别表示装运三种物资的费用，求出表示总运费的表达式，运用函数性质解答．
【解答】(1)装运食品的车辆为x辆，装运药品的车辆为y辆，那么装运生活用品的车辆为(20－x－y)辆，则有6x＋5y＋4(20－x－y)＝100，整理，得y＝－2x＋20.
(2)由(1)知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x,20－2x，x.
由题意得， 解得5≤x≤8.
因为x为整数，所以x的值为5,6,7,8.所以安排方案有4种：
方案一：装运食品5辆，药品10辆，生活用品5辆；
方案二：装运食品6辆，药品8辆，生活用品6辆；
方案三：装运食品7辆，药品6辆，生活用品7辆；
方案四：装运食品8辆，药品4辆，生活用品8辆．
(3)设总运费为W(元)，则W＝6x×120＋5(20－2x)×160＋4x×100＝16 000－480x.
因为k＝－480＜0，所以W的值随x的增大而减小．
要使总运费最少，需x最大，则x＝8.
故选方案四，W最小＝16 000－480×8＝12 160.
即选方案四，最少总运费为12 160元．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类问题往往通过解不等式(组)求出自变量的取值范围，然后求出自变量取值范围内的非负整数，进而得出每种方案，最后根据一次函数的性质求出最佳方案．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．某旅行团计划今年暑假组织老年团到台湾旅游，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准为每人每天120元，并且推出各自不同的优惠方案：甲宾馆是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙宾馆是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．
设老年团的人数为x.
(1)根据题意，用含x的式子填写下表：
x≤35 35＜x＜45 x＝45 x＞45
甲宾馆收费/元 120x 5280
乙宾馆收费/元 120x 120x 5400
(2)当x取何值时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同？
解：(1)108x＋420 108x＋420 96x＋1080
(2)当x≤35时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同；
当35＜x≤45时，选择甲宾馆便宜；
当x＞45时，甲宾馆的收费是y甲＝108x＋420，乙宾馆的收费是y乙＝96x＋1080，
令108x＋420＝96x＋1080，解得x＝55.
综上，当x≤35或x＝55时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同．
2．某学校为改进学校教室空气质量，决定引进一批空气净化器，已知有A，B两种型号可供选择，学校要求每台空气净化器必须多配备一套滤芯以便及时更换．已知每套滤芯的价格为200元，若购买20台A型和15台B型净化器共花费80 000元；购买10台A型净化器比购买5台B型净化器多花费10 000元．
(1)求两种净化器的价格；
(2)若学校购买两种空气净化器共40台，且A型净化器的数量不多于B型净化器数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
解：(1)设每台A型净化器的价格为a元，每台B型净化器的价格为b元．
由题意，得
解得
即每台A型净化器的价格为2000元，每台B型净化器的价格为2200元．
(2)设购买台A型净化器x台，B型净化器为(40－x)台，总费用为y元．
由题意，得x≤3(40－x)，解得x≤30.
y＝(2000＋200)x＋(2200＋200)(40－x)＝－200x＋96 000.
∵－200＜0，
∴y随x的增大而减小，
当x＝30时，y取最小值，y＝－200×30＋96 000＝90 000，
40－x＝10，
即购买A型净化器30台，B型净化器10台，最少费用为90 000元．
3．现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：
运往地车型 甲地(元/辆) 乙地(元/辆)
大货车 720 800
小货车 500 650
(1)这两种货车各用多少辆？
(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式(写出自变量的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
解：(1)设大货车用x辆，则小货车用(18－x)辆．
根据题意，得16x＋10(18－x)＝228.
解得x＝8，∴18－x＝18－8＝10.
即大货车用8辆，小货车用10辆．
(2)w＝720a＋800(8－a)＋500(9－a)＋650·[10－(9－a)]＝70a＋11 550(0≤a≤8且a为整数)．
(3)由16a＋10(9－a)≥120，解得a≥5.
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8且a为整数．
∵w＝70a＋11 550，且70＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝5时，w最小，最小值为w＝70×5＋11 550＝11 900.
故使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11 900元．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．利用一次函数解决自变量是非负实数的方案选择问题；
2．利用一次函数解决自变量是非负整数的方案选择问题；
3．利用一次函数、统计等知识解决最省钱、更划算、更优惠的问题．
练习设计
请完成本课时对应训练！19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
第1课时 正比例函数的定义
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解正比例函数的概念．
2．掌握正比例函数解析式的特点．
【过程与方法】
经历由实际问题引出正比例函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系．
【情感态度与价值观】
在探求正比例函数解析式的过程中，发展学生的数学应用能力．
二、重难点目标
【教学重点】
正比例函数的概念．
【教学难点】
判断一个函数是否是正比例函数．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P86～P87的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
2．下列函数：①y＝； ②y＝3x＋1; ③y＝1；④y＝8x；⑤v＝－5t；⑥3x＋1＝0; ⑦y＋2x; ⑧y＝8x2＋x(1－8x)．其中，是正比例函数的有④⑤⑧.
3．若关于x的函数y＝(m－1)x是正比例函数，则m≠1.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列式子中，表示y是x的正比例函数的是( )
A．y＝ B．y＝x＋2
C．y＝x2 D．y＝2x
【互动探索】(引发学生思考)正比例函数的定义是什么？如何根据定义进行判断？
【分析】选项A，y＝，自变量次数不为1，错误；选项B，y＝x＋2，是和的形式，错误；选项C，y＝x2，自变量次数不为1，错误；选项D，y＝2x，符合正比例函数的定义，正确．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)正比例函数自变量的指数为1，系数不能为0.
【例2】若函数y＝(m－3)x|m|－2是正比例函数，则m的值为( )
A．3 B．－3
C．±3 D．不能确定
【互动探索】(引发学生思考)正比例函数满足的条件是什么？
【分析】由题意，得|m|－2＝1，且m－3≠0，解得m＝－3.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)正比例函数y＝kx成立的条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列函数中，正比例函数是( D )
A．y＝－x－1 B．y＝
C．y＝5(x＋1) D．y＝－x
2．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是( A )
A．正方形的周长y和边长x的关系
B．圆的面积y与半径x的关系
C．直角三角形中一个锐角的度数为x，另一个锐角的度数为y
D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵树的高度为y厘米
3．下列说法中不成立的是( D )
A．在y＝3x－1中，y＋1与x成正比例
B．在y＝－中，y与x成正比例
C．在y＝2(x＋1)中，y与x＋1成正比例
D．在y＝x＋3中，y与x成正比例
4．若函数y＝(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值为1.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知A、B两地相距30 km，小明以6 km/h的速度从A地出发前往B地，步行的路程是y km，步行的时间为x h.
(1)求y与x之间的函数表达式，并指出y是x的什么函数；
(2)写出该函数自变量的取值范围．
【互动探索】路程、速度与时间有什么关系？实际问题中自变量的取值范围应满足什么条件？
【解答】(1)由题意，得y＝6x，此函数是正比例函数．
(2)∵A、B两地相距30 km，
∴0≤6x≤30，
解得0≤x≤5，
即该函数自变量的取值范围是0≤x≤5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了正比例函数的定义，根据题意得出函数关系式是解题关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时 正比例函数的图象与性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．能够画出正比例函数的图象．
2．掌握正比例函数的图象与性质．
3．能够利用正比例函数的图象与性质解决简单的数学问题．
【过程与方法】
1．通过画正比例函数图象，总结正比例函数的图象与性质，发展学生的数学应用能力．
2．在正比例函数的图象中体会数形结合思想，并提高解决问题的能力．
【情感态度与价值观】
认识数学在解决问题中的重要作用，从而加深对数学的认识．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握正比例函数的图象与性质．
【教学难点】
利用正比例函数的图象与性质解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P87～P89的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.
2．正比例函数的图象是一条直线，它一定经过原点．
3．因为过两点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是(0,0)和(1，k)．
4．当k > 0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
当k<0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】在下列各图象中，表示函数y＝－kx(k＜0)的图象的是( )
A B C D
【互动探索】(引发学生思考)正比例函数图象与k的取值有什么关系？
【分析】∵k＜0，∴－k＞0，∴函数y＝－kx(k＜0)的值随自变量x的增大而增大，且函数图象是过原点的直线．
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k＞0时，图象过第一、三象限；当k＜0时，图象过第二、四象限．
【例2】关于函数y＝x，下列结论中正确的是( )
A．函数图象经过点(1,3)
B．不论x为何值，总有y＞0
C．y随x的增大而减小
D．函数图象经过第一、三象限
【互动探索】(引发学生思考)根据正比例函数解析式可以获得那些信息？
【分析】当x＝1时，y＝，故A选项错误；只有当x＞0时，y＞0才成立，故B选项错误；∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故C选项错误；∵k＝＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D选项正确．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象过第二、四象限，则( B )
A．y随x的增大而增大
B．y随x的增大而减小
C．当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减少；
D．不论x如何变化，y都不变
2．函数y＝|2x|的大致图象是( C )
A B C D
3．已知y＝(2m－1)xm2－3是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为( A )
A．y＝－5x B．y＝5x
C．y＝3x D．y＝－3x
4．已知正比例函数y＝kx(k≠0)，当x每增加3时，y就减小4，则k＝－.
5．已知函数y＝(－3)x2＋2(a－3)x是关于x的正比例函数．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)若函数图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1解：(1)∵y＝(|a|－3)x2＋2(a－3)x是关于x的正比例函数，
∴|a|－3＝0且a－3≠0，
解得a＝－3，
∴y＝－12x.
(2)当x＝1时，y＝－12，且函数图象过原点，其图象如图所示：
(3)在y＝－12x中，k＝－12＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2时，y1＞y2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝－1时，y＝11.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)求当x＝2时y的值．
【互动探索】设正比例函数解析式→代入x、y的两组值进行计算→得出y与x的函数表达式→把x＝2代入求出对应的y值
【解答】(1)设y1＝kx2，y2＝a(x－2)，
则y＝kx2＋a(x－2)．
把x＝1，y＝5和x＝－1，y＝11代入，得
解得
∴y与x之间的函数表达式是y＝2x2－3(x－2)．
(2)把x＝2代入，得
y＝2×22－3×(2－2)＝8.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．
【例4】已知正比例函数y＝kx图象经过点(3，－6)．
(1)求这个函数的解析式；
(2)判断点A(4，－2)是否在这个函数图象上；
(3)已知图象上两点B(x1，y1)、C(x2，y2)，如果x1＞x2，比较y1、y2的大小．
【互动探索】(1)把(3，－6)代入正比例函数y＝kx中计算出k即可得到解析式；
(2)将点A的横坐标代入正比例函数关系式，计算出函数值，若函数值等于－2，则点A在这个函数图象上，否则不在这个函数图象上；
(3)根据正比例函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小，即可判断．
【解答】(1)∵正比例函数y＝kx的图象经过点(3，－6)，∴－6＝3·k，解得k＝－2.
∴这个正比例函数的解析式为y＝－2x.
(2)将x＝4代入y＝－2x，得y＝－8≠－2，
∴点A(4，－2)不在这个函数图象上．
(3)∵k＝－2＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x1＞x2，
∴y1＜y2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)将已知点的坐标代入求出正比例函数解析式，是解决问题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
正比例函数
练习设计
请完成本课时对应训练！19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的定义
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握一次函数解析式的定义．
2．知道一次函数与正比例函数关系．
3．会根据实际问题写出一次函数的表达式．
【过程与方法】
通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法的多样性．
【情感态度与价值观】
培养独立思考、合作探究、培养科学的思维方法．
二、重难点目标
【教学重点】
一次函数的概念及列一次函数表达式．
【教学难点】
理解一次函数与正比例函数的关系．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P89～P90的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材第90页“思考”．
解：(1)c＝7t－35(20≤t≤25)．
(2)G＝h－105.
(3)y＝0.1x＋22.
(4)y＝－5x＋50(0≤x≤10)．
这些函数关系式与y＝－6x＋15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．
2．一般地，形如y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．当b＝0时， y＝kx(k是常数，k≠0)，故正比例函数是一种特殊的一次函数．因此正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
3．一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数，在实际问题中，受实际情况限制可能取不到全体实数．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列函数是一次函数的是( )
A．y＝－8x B．y＝－
C．y＝－8x2＋2 D．y＝－＋2
【互动探索】(引发学生思考)一次函数的定义是什么？正比例函数是不是一次函数？
【分析】A．它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确；B．自变量次数不为1，不是一次函数，错误；C．自变量次数不为1，不是一次函数，错误；D．自变量次数不为1，不是一次函数，错误．
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
【例2】写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是否是x的一次函数或正比例函数．
(1)某村耕地面积为106(平方米)，该村人均占有耕地面积y(平方米)与人数x(人)之间的函数关系；
(2)地面气温为28 ℃，如果高度每升高1 km，气温下降5 ℃，气温x( ℃)与高度y(km)之间的函数关系．
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据人均占有耕地面积y等于总面积除以总人数得出即可；
(2)根据高度每升高1 km，气温下降5 ℃，得出即可．
【解答】(1)根据题意，得y＝，不是一次函数．
(2)根据题意，得28－5y＝x，则y＝－x＋，是一次函数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题确定一次函数关系式的关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数要考虑自变量的取值范围．
【例3】已知一次函数y＝kx＋b中，当x＝3时，y＝5；当x＝－4时，y＝－9.求k和b的值．
【互动探索】(引发学生思考)把两组对应值分别代入y＝kx＋b得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k和b.
【解答】∵当x＝3时，y＝5，
当x＝－4时，y＝－9，
∴
解得
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题就是将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组解答即可．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列函数关系式：①y＝－2x＋1；②y＝x；③y＝2x2＋1；④y＝.其中一次函数有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．要使函数y＝(m－2)xn－1＋n是一次函数，应满足( C )
A．m≠2，n≠2 B．m＝2，n＝2
C．m≠2，n＝2 D．m＝2，n＝0
3．写出下列各题中x与y之间的解析式，并判断y是否是x的一次函数．
(1)在时速为70千米的匀速运动中，路程y(千米)与时间x(小时)的关系；
(2)居民用电标准是每千瓦时0.53元，则电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的关系；
(3)汽车离开A站4千米，再以40千米/时的平均速度行驶，那么汽车离开A站的距离y(千米)与时间t(小时)之间的关系；
(4)某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费用，则旅客需交的行李费y(元)与携带行李重量x(千克)之间的关系．
解：(1)y＝70x，是一次函数．
(2)y＝0.53x，是一次函数．
(3)y＝4＋40x，是一次函数．
(4)y＝1.5(x－20)，是一次函数．
4．已知y＝(k－1)x|k|－k是一次函数．
(1)求k的值；
(2)若点(2，a)在这个一次函数的图象上，求a的值．
解：(1)∵y是一次函数，
∴|k|＝1，解得k＝±1.
又∵k－1≠0，∴k≠1.∴k＝－1.
(2)由(1)知一次函数的解析式为y＝－2x＋1.
∵(2，a)在函数y＝－2x＋1的图象上，
∴a＝－4＋1＝－3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋3.
(1)当m、n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
【互动探索】一次函数与正比例函数的关系是什么？解决此题的关键是什么？
【解答】(1)根据一次函数的定义，得2－|m|＝1，解得m＝±1.
又∵m－1≠0，即m≠1，
∴当m＝－1，n为任意实数时，这个函数是一次函数．
(2)根据正比例函数的定义，得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.
又∵m－1≠0，即m≠1，
∴当m＝－1，n＝－3时，这个函数是正比例函数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠0，自变量的次数为1，常数项b可以为任意实数．正比例函数解析式y＝kx的结构特征：k≠0，自变量的次数为1.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．一次函数的定义
2．一次函数与正比例函数的区别和联系
3．根据实际问题求一次函数解析式
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时 一次函数的图象与性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解一次函数图象特征与解析式的联系．
2．会画出一次函数的图象．
【过程与方法】
1．通过对应描点来研究一次函数的图象，经历知识的归纳、探究过程．
2．通过一次函数的图象归纳函数的性质，体会数形结合思想．
【情感态度与价值观】
在探究函数的图象与性质的活动中，通过一系列的探究问题，渗透与人交流合作的意识和探究精神．
二、重难点目标
【教学重点】
一次函数的图象与性质．
【教学难点】
利用一次函数的图象与性质解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P91～P93的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材第91页“思考”．
比较教材上面两个函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象的相同点与不同点得出：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同．函数y＝－6x的图象经过原点，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点(0,5)，即它可以看作由直线y＝－6x向上平移5个单位长度而得到．
2．一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象是一条过点(0，b)且和直线y＝kx重合或平行的直线，我们称它是直线y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)．
3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)和正比例函数y＝kx(k≠0)的增减性一致，一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．b决定直线y＝kx＋b与y轴交点的坐标(0，b)，当b＞0时，交点在原点上方；当b＝0时，交点即原点；当b＜0时，交点在原点下方．
4．一次函数图象的画法：
(1)两点法：由于一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，因此作一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了．一般地，一次函数y＝kx＋b的图象是经过点(0，b)和的一条直线，当b＝0时，即为正比例函数，其图象是经过原点(0,0)和点(1，k)的一条直线．
(2)平移法：一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，直线y＝kx＋b可以看作是由直线y＝kx平移∣b∣个单位长度而得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x＋k的图象大致是( )
A B C D
【互动探索】(引发学生思考)一次函数图象与k、b有什么样的关系？
【分析】∵正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0.
∵一次函数y＝x＋k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y＝x＋k的图象经过第一、三、四象限，且与y轴的负半轴相交．故选B．
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象是一条直线．当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．图象与y轴的交点坐标为(0，b)．
【例2】在同一平面直角坐标中，作出下列函数的图象．
(1)y＝2x－1; (2)y＝x＋3；
(3)y＝－2x; (4)y＝5x.
【互动探索】(引发学生思考)可以类比画正比例函数图象的方法画一次函数的图象，即用“两点法”画一次函数的图象．
【解答】用两点法画函数图象．
(1)一次函数y＝2x－1的图象过点(1,1)，(0，－1)；
(2)一次函数y＝x＋3的图象过点(0,3)，(－3,0)；
(3)正比例函数y＝－2x的图象过点(1，－2)，(0,0)；
(4)正比例函数y＝5x的图象过点(0,0)，(1,5)．
如图所示．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了一次函数的作图，解题关键是分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．
【例3】已知函数y＝(2m－2)x＋m＋1.
(1)当m为何值时，图象过原点？
(2)已知y随x增大而增大，求m的取值范围；
(3)函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；
(4)函数图象过第一、二、四象限，求m的取值范围．
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据函数图象过原点可知，m＋1＝0，求出m的值即可；(2)根据y随x增大而增大，可知2m－2＞0，求出m的取值范围即可；(3)由于函数图象与y轴交点在x轴上方，故m＋1＞0，进而可得出m的取值范围；(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围．
【解答】(1)∵函数图象过原点，
∴m＋1＝0，即m＝－1.
(2)∵y随x增大而增大，
∴2m－2＞0，解得m＞1.
(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，
∴m＋1＞0，解得m＞－1.
(4)∵函数图象过第一、二、四象限，
∴ 解得－1＜m＜1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当k＜0，b＞0时，函数图象过第一、二、四象限．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．若实数满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝cx＋a的图象可能是( C )
A B C D
2．对于函数y＝－2x＋2，下列结论：①当x＞1时，y＜0；②它的图象经过第一、二、三象限；③它的图象必经过点(－2,2)；④y的值随x的增大而增大．其中正确结论的个数是( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知一次函数y＝(k＋1)x＋b的图象与x轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为( A )
A．k＞－1，b＞0 B．k＞－1，b＜0
C．k＜－1，b＞0 D．k＜－1，b＜0
4．已知一次函数y＝2x－6.
(1)画出该函数的图象；
(2)判断点(4,3)是否在此函数的图象上；
(3)观察画出的图象，说一说当x为何值时y＜0.
解：(1)∵一次函数y＝2x－6与坐标轴的交点为(0，－6)，(3,0)，
∴函数图象如图所示：
(2)∵当x＝4时，y＝8－6＝2≠3，
∴该点不在函数的图象上．
(3)由图可知，当x＜3时，y＜0.
5．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x向下平移2个单位后和直线y＝kx＋b(k≠0)重合，直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)请直接写出直线y＝kx＋b(k≠0)的表达式和点B的坐标；
(2)求△AOB的面积．
解：(1)∵直线y＝x向下平移2个单位后和直线y＝kx＋b(k≠0)重合，
∴直线AB的表达式为y＝x－2，
∴点B的坐标是(0，－2)．
(2)当y＝0时，x＝2，
∴点A的坐标为(2,0)，∴OA＝2.
又∵OB＝2，∴S△AOB＝OA·OB＝2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】一次函数y＝－2x＋4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求A、B两点坐标；
(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
【互动探索】(1)x轴上所有的点的纵坐标均为0，y轴上所有的点的横坐标均为0；(2)利用(1)中所求的点A、B的坐标可以求得OA、OB的长度．然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积．
【解答】(1)对于y＝－2x＋4，令y＝0，得－2x＋4＝0，∴x＝2.
∴一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴交于点A(2,0)．
令x＝0，得y＝4，
∴一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴交于点B(0,4)．
(2)由(1)中知OA＝2，OB＝4，
∴S△AOB＝OA·OB＝×2×4＝4，
∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可求面积．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一次函数
练习设计
请完成本课时对应训练！
第3课时 用待定系数法求一次函数解析式
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．学会用待定系数法确定一次函数的解析式．
2．了解两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数．
3．掌握在不同问题情境下，函数关系式的确定．
【过程与方法】
1．经历待定系数法应用过程，提高研究数学问题的技能．
2．能根据函数的图象确定一次函数的表达式，体会数形结合思想在一次函数中的应用．
【情感态度与价值观】
能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学的知识运用于实际，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
二、重难点目标
【教学重点】
用待定系数法确定一次函数解析式．
【教学难点】
在不同问题情境下，确定一次函数关系式．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P93～P95的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法．
2．用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：
(1)设一次函数解析式为y＝kx＋b；
(2)把满足条件的两个点(x1，y1)，(x2，y2)代入解析式，得到关于待定系数的方程组；
(3)解方程组，求出k、b的值；
(4)将求出的待定系数的值代回所设的函数解析式，即可得到所求函数的解析式；
3．教材第95页“思考”．
解：由上面的函数解析式能解决以下问题，由函数图象不能求出具体数值．
(1)当x＝1.5，y＝5×1.5＝7.5，
即需付款7.5元．
(2)当x＝3时 ，y＝4×3＋2＝14，
即需付款14元．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知一次函数图象经过点A(3,5)和点B(－4，－9)．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点C(m,2)是该函数图象上一点，求C点坐标．
【互动探索】(引发学生思考)已知函数图象上两点如何求一次函数的解析式？点在函数图象上应满足什么条件？
【解答】(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k、b是常数，且k≠0)，则
∴
∴一次函数的解析式为y＝2x－1.
(2)∵点C(m,2)在直线y＝2x－1上，
∴2＝2m－1，∴m＝，
∴点C的坐标为.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求函数解析式的一般步骤：(1)设表达式；(2)代入点的坐标求参数值；(3)写出函数表达式
【例2】如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2,0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．
【互动探索】(引发学生思考)已知A(2,0)，且OA＝OB→点B的坐标→运用待定系数法求解．
【解答】∵OA＝OB，点A的坐标为(2,0)，
∴点B的坐标为(0，－2)．
设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
则
解得
∴一次函数的解析式为y＝x－2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，直线AB对应的函数表达式是( C )
A．y＝－x＋2 B．y＝x＋3
C．y＝－x＋2 D．y＝x＋2
2．若点A(2，－3)、B(4,3)、C(5，a)在同一条直线上，则a的值是( B )
A．6或－6 B．6
C．－6 D．6和3
3．已知一次函数的图象经过A(－2，－3)，B(1,3)两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)试判断点P(－1,1)是否在这个一次函数的图象上；
(3)求此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积．
解：(1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b，
则
解得
∴函数解析式为y＝2x＋1.
(2)将点P(－1,1)代入函数解析式，
1≠－2＋1，
∴点P不在这个一次函数的图象上．
(3)当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝－ ，
∴此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为×1×＝ .
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，A、B是分别在x轴上位于原点左右两侧的点，点P(2，m)在第一象限内，直线PA交y轴于点C(0,2)，直线PB交y轴于点D，S△AOP＝12.
(1)求点A的坐标及m的值；
(2)求直线AP的解析式；
(3)若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式．
【互动探索】(1)由S△POA＝S△AOC＋S△COP，根据三角形面积公式得OA＝10，然后再利用S△AOP＝12求出m；(2)已知A点和C点坐标，可利用待定系数法确定直线AP的解析式；(3)由S△BOP＝S△DOP得PB＝PD，即点P为BD的中点，则可确定B，D两点坐标，然后利用待定系数法确定直线BD的解析式．
【解答】(1)∵S△POA＝S△AOC＋S△COP，
∴×OA×2＋×2×2＝12，
∴OA＝10，
∴A点坐标为(－10,0)．
∵S△AOP＝×10×m＝12，
∴m＝.
(2)设直线AP的解析式为y＝kx＋b.
把A(－10,0)，C(0,2)代入，
得 解得
∴直线AP的解析式为y＝x＋2.
(3)∵S△BOP＝S△DOP，
∴PB＝PD，即点P为BD的中点，
∴B点坐标为(4,0)，D点坐标为.
设直线BD的解析式为y＝k′x＋b′，
把B(4,0)，D代入，
得 解得
∴直线BD的解析式为y＝－x＋.
【互动总结】(学生总结，老师点评)待定系数法求函数解析式一般步骤：(1)先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．待定系数法的定义
2．用待定系数法求一次函数解析式
练习设计
请完成本课时对应训练！第十九章 一次函数
教材简析
本章的主要内容有：(1)函数、一次函数与正比例函数的概念；(2)函数的表示方法；(3)一次函数的图象与性质；(4)一次函数的应用．
函数是刻画各种运动变化的常用模型，其中最为简单的是一次函数，它可以解决现实生活中的许多问题，本章将主要向学生讲授一次函数的相关知识．
本章是中考中的必考内容，主要考查用待定系数法求一次函数的表达式，结合函数图象对简单的实际问题进行信息分析，通过分析函数关系式对变量的变化规律进行预测等，题型多样．
教学指导
【本章重点】
通过学习变量间的关系初步体会函数的概念，明确函数的三种表示方法，一次函数的图象、性质及其应用．
【本章难点】
函数的概念和一次函数的应用．
【本章思想方法】
1．分类讨论思想：在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得出结论．在本章中，有时确定一次函数的表达式时，要根据一次函数所对应的直线位置来求解，做到不重复、不遗漏．
2．数形结合思想：本章在解决与一次函数有关的函数值大小比较时，利用数形结合解决这类问题最快最优．另外解决一次函数图象的综合题时，也常用数形结合法．
3．函数与方程思想：将具体问题抽象为函数模型，根据函数之间的关系建立方程，通过方程解决问题的方法称为函数与方程思想．在本章中，经常根据实际问题抽象出一次函数模型，并根据函数图象的交点建立一元一次方程来求某些特殊值．
课时计划
19.1 函 数4课时
19.2 一次函数6课时
19.3 课题学习 选择方案1课时19.1 函 数
19.1.1 变量与函数
第1课时 常量与变量
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．认识变量、常量．
2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．
【过程与方法】
经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．
【情感态度与价值观】
培养学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．
二、重难点目标
【教学重点】
1．认识变量、常量．
2．用式子表示变量间关系．
【教学难点】
用含有一个变量的式子表示另一个变量．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P71的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在一个变化的过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
2．判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值是否发生变化．
3．每张电影票售价为10元，如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y
解：早场电影票房收入：150×10＝1500(元)，
日场电影票房收入：205×10＝2050(元)，
晚场电影票房收入：310×10＝3100(元)，
关系式：y＝10x.
4．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10 cm，每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？
解：挂1 kg重物时弹簧长度：1×0.5＋10＝10.5(cm)，
挂2 kg重物时弹簧长度：2×0.5＋10＝11(cm)，
挂3 kg重物时弹簧长度：3×0.5＋10＝11.5(cm)，
关系式：L＝0.5m＋10.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】分析并指出下列关系中的变量与常量：
(1)球的表面积S与球的半径R的关系式是S＝4πR2；
(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式是h＝gt2(其中g取9.8 m/s2)；
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x千克与所付款W元之间的关系式是W＝1.8x.
【互动探索】(引发学生思考)在一个变化的过程中，常量和变量怎样区分？
【解答】(1)S＝4πR2，常量是4，π，变量是S，R.
(2)h＝v0t－4.9t2，常量是v0,4.9，变量是h，t.
(3)h＝gt2(其中g取9.8 m/s2)，常量是，g，变量是h，t.
(4)W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.
【互动总结】(学生总结，老师点评)常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系是( C )
A．Q＝8x B．Q＝8x－50
C．Q＝50－8x D．Q＝8x＋50
2．甲、乙两地相距s千米，某人行完全程所用的时间t(时)与他的速度v(千米/时)满足vt＝s，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 ( A )
A．s是变量 B．t是变量
C．v是变量 D．s是常量
3．某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示y.
份数/份 1 2 3 4 5 6 7 100
价钱/元 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 40
x与y之间的关系是y＝0.4x，在这个变化过程中，常量是报纸的单价，变量是报纸的份数．
4．先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量：
(1)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；
(2)一个铜球在0 ℃的体积为1000 cm3，加热后温度每增加1 ℃，体积增加0.051 cm3，t ℃时球的体积为Vcm3；
(3)等腰三角形的顶角为x度，试用x表示底角y的度数．
解：(1)α＝90°－β.90°是常量，α、β是变量．
(2)V＝1000＋0.051t.其中1000,0.051是常量，t、V是变量．
(3)y＝ ＝90－(0＜x＜180°)．其中90， 是常量，x、y是变量．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
【互动探索】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系，再根据变量和常量的定义得出常量与变量．
【解答】由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝x cm.
∵∠BAC＝45°，
∴S阴影＝·AM·h＝AM2＝x2，
则y＝x2,0≤x≤10.
其中的常量为，变量为重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
常量与变量
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时 函 数
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．认识变量中的自变量与函数．
2．进一步掌握确定函数关系式的方法．
3．会确定自变量的取值范围．
【过程与方法】
1．经历回顾思考过程，提高归纳总结概括能力．
2．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．
【情感态度与价值观】
积极参与活动，提高学习兴趣，并形成合作交流意识及独立思考的习惯．
二、重难点目标
【教学重点】
1．进一步掌握确定函数关系的方法．
2．确定自变量的取值范围．
【教学难点】
认识函数、领会函数的意义．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
2．用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式．
3．对函数的理解，要抓住三点：(1)两个变量；(2)一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而发生变化；(3)自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的一个值与其对应．
4．使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．确定自变量取值范围的条件：(1)使函数解析式有意义；(2)使函数所代表的实际问题有意义．
5．对于自变量的取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，y＝b，函数有唯一的值b与之对应，则这个对应值b叫做x＝a时的函数值．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列变量间的关系不是函数关系的是( )
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边长与面积
D．圆的周长与半径
【互动探索】(引发学生思考)如何判断两个变量是否是函数关系？
【分析】长方形的宽一定，它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A选项是函数关系；正方形的面积＝，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B选项是函数关系；等腰三角形的面积＝×高×底，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C选项不是函数关系；圆的周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系，故D选项是函数关系．
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．
【例2】根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为，则输出的函数值y为( )
A． B．
C． D．
【互动探索】(引发学生思考)已知函数解析式，怎样求函数值？自变量的取值范围不同，对应的函数关系式不同，又怎样求函数值呢？
【分析】∵2<<4，
∴将x＝代入函数y＝，得y＝.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．
【例3】写出下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x－3； (2)y＝；
(3)y＝； (4)y＝.
【互动探索】(引发学生思考)怎样确定自变量的取值范围？
【解答】(1)全体实数．
(2)分母1－x≠0，即x≠1.
(3)被开方数4－x≥0，即x≤4.
(4)由题意，得 解得x≥1且x≠2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列变量之间的关系是函数关系的是( C )
A．水稻的产量与用肥量
B．小明的身高与饮食
C．球的半径与体积
D．家庭收入与支出
2．如图，△ABC底边BC上的高是6 cm，当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是BC，因变量是 △ABC的面积；
(2)如果三角形的底边长为x(cm)，三角形的面积y(cm2)可以表示为y＝3x；
(3)当底边长从12 cm变到3 cm时，三角形的面积从36cm2变到9cm2；
(4)当点C运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？
解：当点C运动到中点时，三角形的面积缩小为原来的一半．
3．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，它的原长为10 cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm；
(2)设一长方体盒子高为30 cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变．
解：(1)y＝10＋x(0＜x≤10)，其中x是自变量，y是自变量的函数．
(2)V＝30a2(a>0)，其中a是自变量，V是自变量的函数．
4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表：
时间(秒) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
速度(米/秒) 0 0.3 1.3 2.8 4.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？
(3)当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒时，v的增加量最大？
(4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？
解：(1)上表反映了时间和速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量．
(2)如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是v随着t的增大而增大．
(3)当t每增加1秒，v的变化情况不相同，在第9秒时，v的增加量最大．
(4) ＝≈33.3(米/秒)，由33.3－28.9＝4.4，且28.9－24.2＝4.7＞4.4，所以估计大约还需1秒．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升．
(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)7：55时，水箱内还有多少水？
(3)何时水箱内的水恰好放完？
【互动探索】(1)根据水箱内存有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)当7：55时，t＝55－30＝25，将t＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即可．
【解答】(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，
∴y＝200－2t.
∵y≥0，∴200－2t≥0，
解得t≤100，
∴0≤t≤100，
∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)．
(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，
∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，
∴7：55时，水箱内还有水150升．
(3)令y＝0，即200－2t＝0，解得t＝100.
100分＝1时40分，
7时30分＋1时40分＝9时10分，
故9：10水箱内的水恰好放完．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)已知函数解析式求函数值，就是将自变量x的值带入解析式，求代数式的值；(2)已知函数解析式并给出函数值，求相应的自变量x的值，实际上就是解方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
函数
练习设计
请完成本课时对应训练！19.2 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．用函数观点认识一元一次方程．
2．理解一次函数与二元一次方程(组)的关系．
3．会利用函数图象解二元一次方程组．
【过程与方法】
会应用一次函数表达式与图象之间的相互关系，处理一些较为复杂的问题，领会数形结合的思想．
【情感态度与价值观】
经历对实际问题建立数学模型的过程，体验数形结合的作用和一次函数模型的价值．
二、重难点目标
【教学重点】
1．函数观点认识一元一次方程．
2．应用函数图象求解一元一次方程．
【教学难点】
综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P96～P98的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这就相当于已知直线y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，确定这条直线与x轴交点的横坐标的值．
2．利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤：
(1)将一元一次方程转化为一次函数；
(2)画出一次函数的图象；
(3)找出一次函数的图象与x轴的交点，其横坐标即为一元一次方程的解．
3．由于任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0(或小于0)时，求相应的自变量的取值范围．而已知函数值y>0(或y<0)，求自变量x的取值范围，其实质就是解不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)．若用函数图象解不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)，就是求函数图象在x轴上方(或下方)时所对应的横坐标．
4．一元一次不等式y1≤kx＋b≤y2(y1，y2都是已知数，且y15．二元一次方程与一次函数是“数”与“形”的关系．二元一次方程y＝kx＋b的解就是一次函数y＝kx＋b图象上的点的坐标；一次函数y＝kx＋b图象上的点的坐标就是二元一次方程y＝kx＋b的解；二元一次方程组的解是两直线y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的交点坐标；求两直线l1：y1＝k1x＋b1(k1≠0)，直线l2：y2＝k2x＋b2( k2≠0)的交点，就是解关于x，y的方程组
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( )
A．x＝－1 B．x＝2
C．x＝0 D．x＝3
【互动探索】(引发学生思考)一次函数与一元一次方程有什么关系？
【分析】∵直线y＝kx＋b经过点(2,3)，(0,1)，
∴ 解得
∴一次函数解析式为y＝x＋1.
令x＋1＝0，解得x＝－1.
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【例2】对照图象，请回答下列问题：
(1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1
(2)当x取何值时，2x－5＞－x＋1
(3)当x取何值时，2x－5＜－x＋1
【互动探索】(引发学生思考)一次函数与一元一次不等式有什么关系？
【解答】(1)由图象可知，直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点的横坐标是2，所以当x＝2时，2x－5＝－x＋1.
(2)由图象可知，当x＞2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1的上方，即2x－5＞－x＋1.
(3)由图象可知，当x＜2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1的下方，即2x－5＜－x＋1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝k1x＋b1的值大于(或小于)一次函数y＝k2x＋b2的值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝k1x＋b1在直线y＝kx2＋b2上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【例3】直角坐标系中有两条直线：y1＝x＋，y2＝－x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)用图象法解方程组
(3)求△PAB的面积．
【互动探索】(引发学生思考)(1)分别令y＝0，求出x的值即可得到点A、B两点的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的面积公式计算即可得解．
【解答】(1)令y1＝0，则x＋＝0，
解得x＝－3，∴点A的坐标为(－3,0)．
令－x＋6＝0，解得x＝4，
∴点B的坐标为(4,0)．
(2)如图所示，方程组的解是
(3)∵AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，
∴S△PAB＝×7×3＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．若关于x的方程ax－b＝0(a≠0)的解为x＝3，则一次函数y＝ax－b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为( B )
A．(－3,0) B．(3,0)
C．(a,0) D．(－b,0)
2．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴，y轴分别交于点(2,0)，点(0,3)．有下列结论：①关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2；②关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝0；③当x＞2时，y＜0；④当x＜0时，y＜3.其中正确的是( A )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
3．如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)与正比例函数y＝ax(a为常数，且a≠0)相交于点P，则不等式kx＋b＜ax的解集是x＞2.
4．如图，已知直线l1：y＝3x＋1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx＋n交于点P(－2，a)，根据以上信息解答下列问题：
(1)求a的值；
(2)不解关于x，y的方程组 请你直接写出它的解；
(3)若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式．
解：(1)∵(－2，a)在直线y＝3x＋1上，
∴当x＝－2时，a＝－5.
(2)方程组的解为
(3)∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，
∴直线l2过点(3,0)．
又∵直线l2过点P(－2，－5)，
∴ 解得
∴直线l2的函数解析式为y＝x－3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：
(1)求每种付酬方案y关于x的函数表达式；
(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x的取值范围．
【互动探索】(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程(组)，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的交点的横坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x的取值范围．
【解答】(1)设方案一的解析式为y＝kx，
把(40,1600)代入解析式，可得k＝40，
∴方案一y关于x的解析式为y＝40x.
设方案二的解析式为y＝ax＋b，
把(40,1400)和(0,600)代入解析式，
得
解得
∴方案二y关于x的解析式为y＝20x＋600.
(2)根据两直线相交，可得40x＝20x＋600，解得x＝30，故两直线交点的横坐标为30.
当x＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类识图题，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．一次函数与一元一次方程的关系
2．一次函数与一元一次不等式的关系
3．用图象法求二元一次方程组的解
4．应用一次函数与方程、不等式解决实际问题
练习设计
请完成本课时对应训练！
