27．3 位 似
第1课时 位似图形的概念及画法
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解位似图形及其有关概念，理解位似与相似的联系和区别．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
【过程与方法】
经历对位似图形的观察、画图、分析、交流，体验探索得出结论，培养学生分析问题、解决问题的能力．
【情感态度与价值观】
经历将一个图形放大或者缩小的过程，培养学生动手操作的良好习惯，培养学生的数学应用意识．
二、重难点目标
【教学重点】
位似图形的有关概念、性质．
【教学难点】
利用位似将一个图形放大或缩小．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P47～P48的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
2．下列说法正确的是( D )
A．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等
B．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似
C．两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似
D．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似
3．用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在( D )
A．原图形的外部
B．原图形的内部
C．原图形的边上
D．任意位置
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】按要求画位似图形：
(1)图1中，以O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍；
(2)图2中，以O为位似中心，把△ABC缩小为原来的.
【互动探索】(引发学生思考)根据位似图形的三要素进行画图．
【解答】(1)如图1，画图步骤：①连结OA、OB、OC；②分别延长OA至点D，OB至点E，OC至点F，使AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO；③顺次连结D、E、F，则△DEF是所求作的三角形．
(2)如图2，画图步骤：①连结OA、OB、OC；②作射线CP，在CP上取点M、N、Q使MN＝NQ＝CQ；③连结OM，作NF∥OM交OC于点F；④再依次作EF∥BC交OB于点E，DE∥AB交OA于点D；⑤连结DF，则△DEF是所求作的三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连结并延长位似中心和能代表原图形的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连结上述各点，得到放大或缩小的图形．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列说法：①相似图形一定是位似图形；②位似图形一定是相似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似的，且相似比相等．其中正确的有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．△ABC和△A′B′C′是位似图形，且面积之比为1∶9，则△ABC和△A′B′C′的对应边AB和A′B′的比为( B )
A．3∶1 B．1∶3
C．1∶9 D．1∶27
3．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的周长是3，则△A′B′C′的周长是6.
4．如图所示，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是点B.
5．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比．
解：连结AD、CF交于点O，
则点O即为所求．
∵OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，
∴OC∶OF＝3∶2，
∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，点F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF.
(1)图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；
(2)若AB＝2，CD＝3，求EF的长．
【互动探索】(1)利用相似三角形的判定方法以及位似图形的定义得出答案；(2)利用比例的性质以及相似三角形的性质可求出EF的长．
【解答】(1)△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形．
理由：∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形．
(2)∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB＝2，CD＝3，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得EF＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．位似图形的对应线段的比等于相似比．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．位似图形的概念；
2．位似图形的性质及画法．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 平面直角坐标系中的位似
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解用坐标描述位似变换的基本原理，理解以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律．
2．掌握以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律，会用这个规律求某些对应点的坐标．
【过程与方法】
通过总结平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同，进一步理解图形变换的区别．
【情感态度与价值观】
经历在直角坐标系下画位似图形的过程，培养学生动手操作的良好习惯，培养学生的数学应用意识．
二、重难点目标
【教学重点】
运用坐标系下的位似变换原理作出位似图形．
【教学难点】
求坐标系中位似图形的某些特殊点的坐标．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P48～P50的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点坐标的比为k或－k.
2．△ABC和△A1B1C1关于原点位似且点A(－3,4)的对应点A1(6，－8)，则△ABC和△A1B1C1的相似比是.
3．已知△ABC三顶点的坐标分别为A(1,2)，B(1,0)，C(3,3)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABC放大得到其位似图形△A1B1C1，则△A1B1C1各顶点的坐标分别为A1(2,4)或(－2，－4)，B1(2,0)或(－2,0)，C1(6,6)或(－6，－6).
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1,2)．
(1)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
【互动探索】(引发学生思考)(1)利用位似图形的性质及位似比为2，可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标．
【解答】(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)△A′B′C′的各顶点坐标分别为A′(3,6)，B′(5,2)，C′(11,4)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值( B )
A．只有1个
B．可以有2个
C．有2个以上但有限
D．有无数个
2．△ABO的顶点坐标分别为A(－3,3)，B(3,3)，O(0,0)，试将△AOB缩小为△A′OB′，使△A′B′O与△ABO的相似比为1∶2，且A与A′在O点同侧，则A′点的坐标为，B′点的坐标为.
3．如图所示，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(1,0)，则E点的坐标为(，).
4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,4)，B(－2,1)，C(－5,2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2、B2、C2，请画出△A2B2C2；
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．(不写解答过程，直接写出结果)
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求． (2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
(3)1∶4.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，点A的坐标为(3,4)，点O的坐标为(0,0)，点B的坐标为(4,0)．
(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位后得△A1O1B1，则点A1的坐标为________，△A1O1B1的面积为________；
(2)将△AOB绕原点旋转180°后得△A2OB2，则点A2的坐标为________；
(3)将△AOB沿x轴翻折后得△A3OB3，则点A3的坐标为________；
(4)以O为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB放大后得△A4OB4，若点B4在x轴的负半轴上，则点A4的坐标为________，△A4O4B4的面积为____________．
【互动探索】(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位后得△A1O1B1，则点A1的坐标为(2,4)，△A1O1B1的面积为×4×4＝8；
(2)将△AOB绕原点旋转180°后得△A2OB2，则点A2的坐标为(－3，－4)；
(3)将△AOB沿x轴翻折后得△A3OB3，则点A3的坐标为(3，－4)；
(4)以O为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB放大后得△A4OB4，若点B4在x轴的负半轴上，则点A4的坐标为(－6，－8)，△A4OB4的面积为×8×8＝32.
【答案】(1)(2,4) 8 (2)(－3，－4) (3)(3，－4) (4)(－6，－8) 32
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
位似变换的坐标特征：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点(x，y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(－kx，－ky)．
练习设计
请完成本课时对应练习！第二十七章 相 似
教材简析
本章的主要内容有：相似多边形的概念、性质；成比例线段、平行线分线段成比例的基本事实及推论；相似三角形的性质和判定方法及其应用．
本章内容是对三角形知识的进一步认识，在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质．在学习过程中，按照研究对象的“一般→特殊→特殊位置关系”的顺序展开研究．教科书先由生活实例认识了相似图形，并了解了相似多边形的特征后，再重点研究相似三角形的判定、性质和它在解决实际问题中的应用，最后利用相似的知识研究了位似图形的特征．
图形的相似是中考考查的重要内容， 其中对相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多，由于考查的知识点单一，所以一般以选择题或填空题的形式出现；相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、锐角三角函数等知识相结合，进行有关计算或证明．
教学指导
【本章重点】
1．相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定．
2．位似图形的性质及画法．
【本章难点】
相似三角形判定定理的证明和灵活运用相似三角形知识解决实际问题．
【本章思想方法】
1．注意类比思想的运用．图形相似与图形全等有着十分密切的关系，两个全等图形可以看成是相似比为1的两个相似图形，可类比三角形全等的条件和性质来认识三角形相似的条件和有关性质，知道位似变化是特殊的相似变化．
2．体会建立“中间量”解决问题的方法．在解决比例线段问题时，可借助“中间量”牵线搭桥(即通过等式的传递性解题)．常见的中间量有“中间比”“中间线段”“中间等积式”等．
3．体会分类讨论思想的运用．在解决相似三角形的问题中，常因为对应边、对应角或其他因素的不确定性而需要分类讨论，防止漏解．
4．体会化归和转化思想的应用．本章把相似多边形的问题转化为相似三角形的问题；把等积式转化为比例式，从而转化为证明三角形相似；把实际问题转化为相似多边形、相似三角形来解决．
课时计划
27．1 图形的相似 2课时
27．2 相似三角形 5课时
27．3 位 似 2课时27．1 图形的相似
第1课时 相似图形
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．在具体生活实例中认识相似图形，理解和掌握两个图形相似的概念．
2．理解相似图形的特征，掌握相似图形的识别方法．
【过程与方法】
通过观察实际生活中的图形，辨析相似图形，让学生体会数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣．
【情感态度与价值观】
通过识别生活中的相似图形，激发学生探究、发现数学问题的兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握相似图形、相似多边形的概念及特征．
【教学难点】
理解相似图形的特征，掌握识别相似图形的方法．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P24～P25的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．把形状相同的图形图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大和缩小得到的．
2. 下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角是80°的两个等腰三角形；⑤两个正六边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形．其中一定是相似图形的是②⑤⑥.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例题】观察下列图形，哪些是相似图形？
第一组：
第二组：
【互动探索】(引发学生思考)要找出图中的相似图形，只要仔细观察每个图形特征，通过图形变化后是否具备“形状相同”这一特征．
【解答】第一组图，图1,2,5是相似图形．
第二组相似图形分别是：(1)和(8)；(2)和(6)；(3)和(7)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)所谓“形状相同”，与图形的大小、位置无关，与摆放角度、摆放方向也无关．有些图形之间虽然只有很小的形状差异，但也不能认为是“形状相同”．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列四个命题：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的菱形都相似．其中正确的有( D )
A．2个 B．3个
C．4个 D．1个
2．下列图形不是相似图形的是( C )
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案
C．某人的侧身照片和正面照片
D．大小不同的两张中国地图
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
形状相同的图形是相似图形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 相似多边形与比例线段
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解成比例线段的含义，会判断是不是成比例线段．
2．理解相似多边形的概念、性质及判定，并能计算和相似多边形有关的角度和线段的长．
【过程与方法】
通过应用成比例线段定义及相似多边形的性质进行有关计算，体会方程思想在几何中的应用，渗透数形结合思想．
【情感态度与价值观】
在观察、操作、推理的探究过程中，体验数学活动充满探索性和创造性．
二、重难点目标
【教学重点】
利用成比例线段的概念及相似多边形的性质进行有关计算．
【教学难点】
探索相似多边形的性质中的“对应”关系．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如＝(即ad＝bc)，那么我们就说这四条线段成比例.
2．相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似多边形的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形全等.
3．五边形ABCDE的五边长分别为5 cm、20 cm、30 cm、35 cm、40 cm.另一个和它相似的五边形的最短边长是10 cm，则这个五边形的最长边为80 cm.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a、b的长度及角α的值．
【互动探索】(引发学生思考)相似多边形的性质有哪些？
【解答】因为四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，
所以∠B′＝∠B＝63°，∠D′＝∠D，
＝＝，
所以＝＝，
所以a＝5，b＝18.
在四边形A′B′C′D′中，∵∠D′＝360°－(84°＋75°＋63°)＝138°，
∴∠α＝∠D＝∠D′＝138°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一个五边形的各边长分别为1,2,3,4,5，另一个和它相似的五边形的最长边的长为7，则后一个五边形的周长为( C )
A．27 B．25
C．21 D．18
2．下列说法中，正确的是⑤⑥(填序号)．
①对应角相等的两个多边形相似；
②对应边成比例的两个多边形相似；
③若两个多边形不相似，则对应角不相等；
④若两个多边形不相似，则对应边不成比例；
⑤边长分别为3,5的正方形是相似多边形；
⑥全等多边形一定是相似多边形．
3．如图所示，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
解：(1)设矩形ABCD的长AD＝x，则DM＝AD＝x.
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
∴x＝4或x＝－4(舍去)．
∴AD的长为4.
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为4∶4＝1∶.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板ABCD如图所示，镶在其外围的木质边框宽75 cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗？为什么？
【互动探索】两个矩形的四个角虽然相等，但四条边不一定对应成比例，判定两个矩形是否相似，关键是看对应边是否成比例．
【解答】不相似．理由：
∵矩形ABCD中，AB＝1.5 m，AD＝3 m，镶在其外围的木质边框宽75 cm＝0.75 m，
∴EF＝1.5＋2×0.75＝3 m，EH＝3＋2×0.75＝4.5 m，
∴＝＝，＝＝.
∵≠，
∴内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH不相似．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不可．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．比例线段；
2．相似多边形的性质和判定．
练习设计
请完成本课时对应练习！27．2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解相似三角形的概念，会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角．
2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论．
3．掌握判定三角形相似的预备定理．
【过程与方法】
1．通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化，体会数学中的化归思想及数形结合思想．
2．通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理，培养学生动手操作能力及直觉思维．
【情感态度与价值观】
探究利用平行线判定三角形相似的证明，培养学生合情推理及演绎推理能力，提高逻辑思维能力．
二、重难点目标
【教学重点】
1．掌握平行线分线段成比例基本事实．
2．利用平行线判定三角形相似．
【教学难点】
利用平行线判定三角形相似．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P29～P31的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如果△ABC∽△A1B1C1的相似比为k，则△A1B1C1∽△ABC的相似比为.
2．如图，l1、l2分别被l3，l4，l5所截，且l3∥l4∥l5，则AB与DE对应，BC与EF对应，DF与AC对应；＝，＝，＝＝.
3．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( A )
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
4．平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似.
5．如图所示，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在 ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．
【互动探索】(引发学生思考)由平行四边形的性质可得两组对边平行，利用平行线中相似三角形的判定方法可得三角形相似．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AB∥CD，
∴△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，
∴△DFC∽△EDA.
∵AB＝3BE，
∴相似比分别为1∶4,1∶3,3∶4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．
【例2】如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，直线l4、l5交于点O，且l1∥l2∥l3.已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.
(1)求的值；
(2)求AB的长．
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据l1∥l2∥l3可以推出＝，与EF∶DF有什么关系？(2)已知AC的长，要求AB的长必须知道BC的长，如何求出BC的长？
【解答】(1)∵l1∥l2∥l3，
∴＝.
又∵EF∶DF＝5∶8，
∴EF∶DE＝5∶3，
∴＝.
(2)∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8，AC＝24，
∴＝＝，
∴BC＝15，
∴AB＝AC－BC＝24－15＝9.
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，ED∥BC，EC、BD相交于点A，过点A的直线交ED、BC分别于点M、N，则图中有相似三角形( C )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
2．如图，DE∥BC，则下面比例式不成立的是( B )
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是( B )
A．∠AEF＝∠DEC
B．FA∶CD＝AE∶BC
C．FA∶AB＝FE∶EC
D．AB＝DC
4．如图所示，DE∥BC，＝，则△ADE和△ABC的相似比为1∶3.
5．如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.求证：＝.
证明：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝.
∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD.
∴＝.
∴＝.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F.某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：
(1)当＝时，＝；
(2)当＝时，＝；
(3)当＝时，＝；
…
猜想：当＝时，＝？并说明理由．
【互动探索】要求当＝时，的值为多少，我们可以通过作辅助线，利用平行线分线段成比例定理，证得＝＝，得到EG＝nAE，证明EG＝CG，AC＝(2n＋1)AE，即可解决问题．
【解答】猜想：当＝时，＝.
理由如下：
如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G.
则＝＝，
∴＝，EG＝nAE.
∵AD是△ABC的中线，
∴EG＝CG，
∴AC＝(2n＋1)AE，
∴＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)通过作平行线，利用平行线分线段成比例的推论证明三角形中的对应线段成比例，解题的关键是作辅助线，构造平行线，灵活运用平行线分线段成比例定理及推论来分析、判断、推理或解答．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．相似三角形的概念、表示；
2．平行线分线段成比例的基本事实；
3．平行线分线段成比例的推论；
4．平行线证明三角形相似：“A”型和“X”型．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 相似三角形的判定定理1,2
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定定理的证明过程．
2．能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似．
【过程与方法】
1．在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想．
2．经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动，提高学生分析问题、解决问题的能力．
【情感态度与价值观】
1．探究三角形相似的判定定理的证明，培养学生合情推理及演绎推理能力，提高逻辑思维能力．
2．在探究活动中通过小组合作交流，培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯．
二、重难点目标
【教学重点】
运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明三角形相似．
【教学难点】
三角形相似判定定理的证明过程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P32～P34的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似.
2．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
3．如图所示，DE∥FG∥BC，图中共有相似三角形( C )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
4．下列条件中，能判定△ABC∽△DEF的有( B )
①∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠D＝45°，DE＝16，DF＝40；
②AB＝12，BC＝15，AC＝24，DE＝20，EF＝25，DF＝40；
③∠A＝47°，AB＝15，AC＝20，∠D＝47°，DE＝28，DF＝21.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
(1)AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝24 cm；
(2)∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm
【互动探索】(引发学生思考)(1)已知两个三角形的三条边，考虑应用“三边成比例的两个三角形相似”判定，所以只需要计算三边的比，三边的比相等，则两个三角形相似，反之，则两个三角形不相似．(2)已知三角形的两条边和一个角，考虑应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，所以需要计算两条边的比是否相等，且这两条边的夹角是否相等．
【解答】(1)∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C′.
(2)∵＝，＝＝，
∴＝.
又∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在应用相似三角形的判定定理1时，一定要注意先求两个三角形中大边与大边，中间边与中间边，小边与小边的比值，然后判断上述比值是否相等，从而判断两个三角形是否相似．在应用相似三角形的判定定理2时，一定要注意必须是两边夹角相等才行．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图所示，已知△MNP，则下列四个三角形中与△MNP相似的是( C )
2．下列选项中，与图中的三角形相似的是( B )
3．△ABC的三边长分别为2，，，△A1B1C1的两边长分别为1和，当△A1B1C1的第三边长为时，△ABC∽△A1B1C1.
4．如图，已知线段AB、CD相交于点O，AO＝3，OB＝6，CO＝2，则当CD＝6时，AC∥BD.
5．如图所示，已知＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的大小．
解：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE＝20°.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，DE与△ABC的边AB、AC分别相交于D、E两点，若AE＝2 cm，AC＝3 cm，AD＝2.4 cm，AB＝3.6 cm，DE＝ cm，求BC的长．
【互动探索】(引发学生思考)观察图形特点，要求BC的长→先证△ADE∽△ABC→＝→代入数据解答．
【解答】∵AE＝2 cm，AC＝3 cm，AD＝2.4 cm，AB＝3.6 cm，
∴＝＝，而∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝.
又∵DE＝ cm，
∴＝，
∴BC＝2 cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用相似三角形性质与判定可以进行边的计算．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．相似三角形的判定定理1：三边成比例的两个三角形相似．
2．相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 相似三角形的判定定理3
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握相似三角形的判定定理3.
2．了解两个直角三角形相似的判定方法．
3．深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题．
【过程与方法】
在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想．
【情感态度与价值观】
进一步发展学生的探究、交流、合情推理能力和逻辑推理意识，并能够运用三角形相似的条件解决简单问题．
二、重难点目标
【教学重点】
运用两角对应相等的两个三角形相似证明三角形相似．
【教学难点】
三角形相似判定定理的综合运用．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P35～P36的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
2．如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
3．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝.
4．如图所示，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝9 cm，BC＝6 cm，则当BD＝4 cm时，△ABC∽△CDB.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长．
【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要求AD的长，需先证△AED∽△ABC，即可得＝，再代入数据计算．
【解答】∵ED⊥AB，
∴∠EDA＝90°.
又∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
∴AD＝＝＝4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)由相似三角形的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似．
【例2】如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．
【互动探索】(引发学生思考)(1)要证明△ABD∽△DCE，已知条件有∠B＝∠C＝60°，只需再找出一对角相等；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出等边△ABC的边长．
【解答】(1)证明：∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE.
在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE.
(2)设AB＝x，则DC＝x－3.
∵△ABD∽△DCE，
∴＝，
∴＝，∴x＝9.
即等边△ABC的边长为9.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要是利用两角分别相等的两个三角形相似，解答此题的关键是利用三角形的外角的性质得出角相等．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图所示，已知∠C＝∠E，则不能使△ABC∽△ADE的条件是( D )
A．∠BAD＝∠CAE B．∠B＝∠D
C.＝ D．＝
2．如图所示，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有( D )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
3．如图所示，点P是Rt△ABC斜边AB上的任意一点(A、B两点除外)，过点P作一条直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作3条．
4．如图所示，点D是△ABC的边AB上一点，连结CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，则AC的长为2.
5．如图，以DE为轴，折叠等边△ABC，顶点A正好落在BC边上F点，求证：△DBF∽△FCE.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
由折叠知，∠DFE＝∠A＝60°，
在△BDF中，∠BDF＋∠BFD＝180°－∠B＝120°，∠DFB＋∠EFC＝180°－∠DFE＝120°，
∴∠BDF＝∠EFC.
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△DBF∽△FCE.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知：如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
【互动探索】有一组∠ABC＝∠CDB＝90°，但不确定对应边的情况，所以需分情况讨论．
【解答】∵∠ABC＝∠CDB＝90°，
(1)当＝时，△ABC∽△CDB，
此时＝，即＝.
∴BD＝.
即当BD＝时，△ABC∽△CDB.
(2)当＝时，△ABC∽△BDC，
此时＝，
∴＝，BD＝.
∴当BD＝时，△ABC∽△BDC.
综上所述，即当BD＝或BD＝时，这两个三角形相似．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题仍是要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．相似三角形的判定定理3：两角分别相等的两个三角形相似．
2．直角三角形相似的判定方法：一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似．一个锐角相等的两个直角三角形相似．
练习设计
请完成本课时对应练习！
27．2.2 相似三角形的性质(第4课时)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握相似三角形周长的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【过程与方法】
1．通过探究、讨论、猜想、证明，让学生经历探索相似三角形性质的过程，体会如何探索研究问题．
2．利用相似三角形的性质解决问题，培养学生的创新意识．
【情感态度与价值观】
在探索相似三角形性质的过程中，培养学生合作交流能力．
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形的各条性质定理的探索及应用．
【教学难点】
相似三角形性质的归纳推理．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P37～P38的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如图，△ABC∽△A′B′C′相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.
①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
解：△ABD∽△A′B′D′，△ADC∽△A′D′C.
②△ABC与△A′B′C′中，＝k，＝k2.
③相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比.
④相似三角形周长的比等于相似比.
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方.
2．若两个相似三角形的周长比为3∶2，则这两个相似三角形的相似比为3∶2.
3．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比是3∶4，△ABC的面积是27 cm2，则△A′B′C′的面积为48 cm2.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交于点F.
(1)求△BEF与△AFD的周长之比；
(2)若S△BEF＝6 cm2，求S△AFD.
【互动探索】(引发学生思考)利用相似三角形的相似比可以得到周长和面积之比．
【解答】(1)∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴△BEF∽△DAF.
又∵BE＝BC，∴＝＝＝，
∴△BEF与△AFD的周长之比为.
(2)由(1)知△BEF∽△DAF，且相似比为，
∴＝2，
∴S△AFD＝4S△BEF＝24 cm2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( B )
A．1∶2 B．∶2
C．1∶4 D．∶1
2．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是( C )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
3．如图所示，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝.
4．两个相似三角形的一对对应边的长分别是35 cm和14 cm，它们的周长相差60 cm，求这两个三角形的周长．
解：∵三角形的对应边的比是35∶14＝5∶2，周长的比等于相似比，
∴可以设一个三角形的周长是5x，则另一个三角形的周长是2x.
∵周长相差60 cm，∴5x－2x＝60，
解得x＝20，
∴这两个三角形的周长分别为100 cm,40 cm.
5．如图所示，在 ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
(1)求证△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求 ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CEB，
∴△ABF∽△CEB.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，
∴＝2＝，＝2＝.
∵S△DEF＝2，
∴S△CEB＝18，
S△ABF＝8，
∴S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF＝16.
∴S ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上(与A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积是四边形PABQ面积的时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
【互动探索】(1)由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积是四边形PABQ面积的时，△CPQ与△CAB的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；(2)由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形PABQ的周长相等，可得方程，解方程即可得解．
【解答】(1)∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC.
∵S△PQC＝S四边形PABQ，
∴S△PQC∶S△ABC＝1∶4.
∵＝，
∴CP＝CA＝2.
(2)∵△PQC∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝，
∴CQ＝CP.
同理可知PQ＝CP，
∴C△PCQ＝CP＋PQ＋CQ
＝CP＋CP＋CP
＝3CP，
C四边形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ
＝(4－CP)＋AB＋(3－CQ)＋PQ
＝4－CP＋5＋3－CP＋CP
＝12－CP，
∴12－CP＝3CP，
∴CP＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决问题．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比．
3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
练习设计
请完成本课时对应练习！
27．2.3 相似三角形应用举例(第5课时)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
会利用相似三角形的性质测量物体的高度．
【过程与方法】
1．经历从实际问题中建立数学模型的过程，增强应用意识，提高实践能力．
2．通过把实际问题转化为数学问题，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．
【情感态度与价值观】
通过积极参加数学探究活动，激发学生对数学的好奇心和求知欲，体会数学与实际生活密切联系．
二、重难点目标
【教学重点】
利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．
【教学难点】
将实际问题转化为数学问题，构建相似三角形模型解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P39～P41的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成正比.
2．太阳光下，同一时刻，不同物体的高度、影子、光线构成的三角形相似.
3．通过自学教材P39例4，能建立相似三角形模型解决“利用影长求物体的高度问题”．
4．通过自学教材P40例5，能建立相似三角形模型解决“河宽问题”．
5．通过自学教材P40～P41例6，能建立相似三角形模型解决“有关角度问题”．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20 m．当她与镜子的距离CE＝2.5 m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6 m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度．(注：∠BEA＝∠DEC)
【互动探索】(引发学生思考)观察法：要解决问题，需构建△BAE∽△DCE模型来解答．
【解答】∵∠BEA＝∠DEC，∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△BAE∽△DCE，
∴＝.
∵CE＝2.5 m，DC＝1.6 m，AE＝20 m，
∴＝，
∴AB＝12.8，
即大楼AB的高度为12.8 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程．
活动2 巩固练习(学生独学)
在一次数学活动中，小明到操场测量旗杆AB的高度．他手拿一支铅笔MN，边观察边移动(铅笔MN始终与地面垂直)．如图所示，当小明移动到点D时，眼睛C与铅笔、旗杆的顶端M、A共线，同时眼睛C与它们的底端N、B也恰好共线．此时，测得DB＝50 m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.65 m，铅笔MN的长为0.16 m，请你帮助小明计算出旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m)．
解：如图所示，过点C作CF⊥AB，垂足为F，交MN于点E，则CF＝DB＝50 m，CE＝0.65 m.
∵MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB.
∴＝，
∴AB＝＝≈12.3(m)．
即旗杆AB的高度约为12.3 m.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8 m；然后雯雯向前移动1.5 m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7 m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6 m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB.
【互动探索】易得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，利用相似三角形的性质求出BD的长，进而求出AB的长．
【解答】∵DG＝2.8 m，DF＝1.5 m，GH＝1.7 m，
∴FH＝FG＋GH＝DG－DF＋GH＝2.8－1.5＋1.7＝3(m)．
∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴＝，＝，
∴＝，
即＝，
解得BD＝21.
∴＝，
解得AB＝13.6.
即该校旗杆的高度AB为13.6 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了相似三角形的应用、在用相似比解决问题时，若所列的比例式中含两个未知数，要考虑再找一组相似三角形，并列出比例式，联立两个比例式求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．利用相似三角形测量物体的高度；
2．利用相似三角形测量河的宽度；
3．设计方案测量物体高度．
练习设计
请完成本课时对应练习！
