第二十八章 锐角三角函数
教材简析
本章的内容主要包括：锐角三角函数的概念；30°，45°，60°角的三角函数值；利用计算器求任意锐角的三角函数值及根据三角函数值求出相应的锐角；利用锐角三角函数解直角三角形及三角函数的应用．
在学生掌握了直角三角形边、角之间的关系的基础上，引入了锐角三角函数的概念，进而学习解直角三角形，是中学几何的重点与难点．本章是中考的必考内容，主要考查特殊锐角三角函数值的计算和解直角三角形及其应用．
教学指导
【本章重点】
锐角三角函数的概念和直角三角形的解法．
【本章难点】
综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．
【本章思想方法】
1．体会数形结合思想．如：在理解和应用锐角三角函数解决实际问题时，注意数形结合思想的应用，即需根据实际问题画出几何图形，并根据图形寻找直角三角形中边、角之间的关系．
2．体会转化思想．如：(1)把实际问题转化成数学问题：把实际问题的情境转化为几何图形；把题中的已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系．(2)把数学问题转化为解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，需要添加适当的辅助线构造出直角三角形．
3．体会方程思想．如：在解决直角三角形的实际问题中，经常设出未知数来表示某一个量，并利用直角三角形的边、角关系建立方程，将几何问题转化为求方程的解．
课时计划
28．1 锐角三角函数 4课时
28．2 解直角三角形及其应用 3课时28．1 锐角三角函数
第1课时 正弦
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．利用相似的直角三角形，探索直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值，从而引出正弦的概念．
2．理解锐角的正弦的概念，并能根据正弦的概念进行计算．
【过程与方法】
通过探究锐角的正弦的概念的形成，体会由特殊到一般的数学思想方法，培养学生的归纳、推理能力．
【情感态度与价值观】
让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐，感悟数学的实用性，培养学生学习数学的兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
理解正弦的意义，会求锐角的正弦值．
【教学难点】
理解直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P61～P63的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦 ，即sin A＝.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，b＝4，则sin B＝.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sin A和sin B的值．
【互动探索】(引发学生思考)要求sin A和sin B的值，需要分别找出∠A、∠B的对边和斜边的比．
【解答】详细解答过程见教材P63例1.
【例2】已知等腰三角形的一腰长为25 cm，底边长为30 cm，求底角的正弦值．
【互动探索】(引发学生思考)转化法：将已知条件转化为几何示意图，再作出辅助线构造出直角三角形求解．
【解答】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵AB＝AC＝25 cm，BC＝30 cm，AD为底边上的高，
∴BD＝BC＝15 cm，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝20 cm，
∴sin∠ABC＝＝＝.
即底角的正弦值为.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值一定要在直角三角形中求，当图形中没有直角三角形时，要通过作高构造直角三角形解答．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，sin A等于( C )
A．2 B．
C. D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sin A＝，则AB的长为( B )
A. B．6
C．12 D．8
3．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为.
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝9，DC＝5，E为AC的中点，求sin∠EDC的值．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∵AD＝9，DC＝5，
∴AC＝＝＝.
∵E为AC的中点，
∴DE＝AE＝EC＝AC，
∴∠EDC＝∠C，
∴sin∠EDC＝sin C＝＝＝.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，求sin∠ABD的值．
【互动探索】首先根据垂径定理得出∠ABD＝∠ABC，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB＝90°，从而由勾股定理算出斜边AB的长，再根据正弦的定义求出sin∠ABC的值，进而得出sin∠ABD的值．
【解答】∵AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，
∴＝，
∴∠ABD＝∠ABC.
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．如图，sin A＝.
2．求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形中，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 锐角三角函数
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握余弦、正切的定义．
2．了解锐角∠A的三角函数的定义．
3．能运用锐角三角函数的定义求三角函数值．
【过程与方法】
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
【情感态度与价值观】
通过观察、思考、交流、总结等数学活动，体验数学学习充满着探索与发现，培养学生积极思考，勇于探索的精神．
二、重难点目标
【教学重点】
余弦、正切的概念，并会求指定锐角的余弦值、正切值．
【教学难点】
利用锐角三角函数的定义解决有关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P64～P65的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
(1)∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cos A＝；
(2)∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即tan A＝.
2．锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，b＝4，则cos B＝，tan B＝.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sin A、cos A、tan A.
【温馨提示】详细解答过程见教材P65例2.
【例2】如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求cos C的值．
【互动探索】(引发学生思考)观察图形，cos C＝，所以需要通过tan∠BAD＝和已知条件求出DC、AC的长度，再代入求值．
【解答】∵在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝9，
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，
∴AC＝＝＝13，
∴cos C＝＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义分清它们的边角关系，再根据勾股定理解答．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cos A＝( C )
A. B．
C. D．
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，则AC等于( A )
A．6 B．
C．10 D．12
3．如图所示，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝.
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD＝1，设∠CAD＝α.
(1)求sin α、cos α、tan α的值；
(2)若∠B＝∠CAD，求BD的长．
解：在Rt△ACD中，∵AC＝2，DC＝1，
∴AD＝＝.
(1)sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，tan α＝＝.
(2)在Rt△ABC中，∵tan B＝，
而∠B＝∠CAD，
∴tan α＝＝，
∴BC＝4，
∴BD＝BC－CD＝4－1＝3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据三角函数定义尝试说明：
(1)sin2A＋cos2A＝1；
(2)sin A＝cos B；
(3)tan A＝.
【互动探索】用定义表示出sin A、cos A、cos B、tan A→计算等式的左边与右边→得出结论．
【证明】(1)由勾股定理，得a2＋b2＝c2，而sin A＝，cos A＝，
∴sin2A＋cos2A＝＋＝＝1.
(2)∵sin A＝，cos B＝，
∴sin A＝cos B.
(3)∵tan A＝，＝＝，
∴tan A＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．题目中的三个结论应熟记．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
锐角三角函数
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 特殊角的三角函数值
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算．
2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．
【过程与方法】
1．通过探索特殊角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力．
2．通过推导特殊角的三角函数值，了解知识间的联系，提升综合运用数学知识解决问题的能力．
【情感态度与价值观】
在探索特殊角的三角函数值中，学生积极参与数学活动，培养学生独立思考问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
根据30°，45°，60°角的三角函数值进行有关计算．
【教学难点】
正确理解与记忆30°，45°，60°角的三角函数值．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P65～P67的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．sin 30°＝，cos 30°＝，tan 30°＝.
2．sin 60°＝，cos 60°＝，tan 60°＝.
3．sin 45°＝，cos 45°＝，tan 45°＝1.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】求下列各式的值：
(1)cos260°＋sin260°；
(2)－tan 45°.
【互动探索】(引发学生思考)熟记特殊角的三角函数值→代入算式求值．
【解答】(1)cos260°＋sin260°＝2＋2＝1.
(2)－tan 45°＝÷－1＝0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)特殊角的三角函数值必须熟练记忆，既能由角得值，又能由值得角，记忆这个结果，可以结合直角三角形三边的大小关系，也可以结合数值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分子分别为，，，而它们的余弦值分母都是2，分子正好相反，分别为，，；其正切值分别为1÷，1,1×.
【例2】数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B、C、E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．
【互动探索】(引发学生思考)根据正切的定义求出AC→根据正弦的定义求出CF→AF＝AC－FC.
【解答】在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠A＝30°，
∴AC＝＝2，
∴EF＝AC＝2.
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF·sin E＝，
∴AF＝AC－FC＝2－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．若tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( A )
A．20° B．30°
C．40° D．50°
2．若∠A为锐角，且tan2A＋2tan A－3＝0，则∠A＝45度．
3．计算．
(1)2sin 30°－cos 45°；
(2)tan 30°－sin 60°·sin 30°；
(3).
解：(1)0. (2). (3)－1.
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．
解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD＝BC.
在Rt△ABC中，∵tan A＝tan 30°＝，
∴＝，解得BC＝2(＋1)．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tan A)2＋＝0，试判断△ABC的形状．
【互动探索】根据非负性的性质求出tan A及sin B的值→根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数→判断△ABC的形状．
【解答】∵(1－tan A)2＋＝0，
∴1－tan A＝0，sin B－＝0，
∴tan A＝1，sin B＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，
∴△ABC是锐角三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
特殊角的三角函数值：
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
练习设计
请完成本课时对应练习！
第4课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．能利用计算器求锐角三角函数值．
2．已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角．
3．能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题．
【过程与方法】
使用计算器可以解决部分复杂问题，通过求值探讨三角函数问题的某些规律，提高学生分析问题的能力．
【情感态度与价值观】
通过计算器的使用，了解科学在人们日常生活中的重要作用，激励学生热爱科学、学好文化知识．
二、重难点目标
【教学重点】
运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．
【教学难点】
用计算器求锐角三角函数值时的按键顺序．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是( A )
A.
B.
C.
D.
2．使用计算器求下列三角函数值．(精确到0.0001)
(1) sin 24°≈0.4067；
(2)cos 35°≈0.8192；
(3)tan 46°≈1.0355.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】按要求解决问题：
(1)求sin 63°52′41″的值；(精确到0.0001)
(2)求tan 19°15′的值；(精确到0.0001)
(3)已知tan x＝0.7410，求锐角的值．(精确到1′)
【互动探索】(引发学生思考)熟悉用科学计算器求锐角三角函数值的操作流程．
【解答】(1)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897 859 012.
所以sin 63°52′41″≈0.8979.
(2)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349 215 633 4.
所以tan 19°15′≈0.3492.
(3)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：
显示结果为36.538 445 77.
再按，显示结果为36°32′18.4″.
所以x≈36°32′.
【互动总结】(学生总结，老师点评)不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：
(1)AB边上的高(精确到0.01)；
(2)∠B的度数(精确到1′)．
【互动探索】(引发学生思考)观察图形→作辅助线→利用相似锐角三角函数解直角三角形．
【解答】(1)作AB边上的高CH，垂足为H.
∵在Rt△ACH中，sin A＝，
∴CH＝AC·sin A＝9sin 48°≈6.69.
(2)∵在Rt△ACH中，cos A＝，
∴AH＝AC·cos A＝9cos 48°，
∴在Rt△BCH中，tan B＝＝＝，
∴∠B≈73°32′.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角函数求非直角三角形的边或角，一般情况下要构造直角三角形．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2．用计算器求下列锐角的三角函数值．(精确到0.0001)
(1)tan 63°27′； (2)cos 18°59′27″；
(3)sin 67°38′24″； (4)tan 24°19′48″.
解：(1)2.0013. (2)0.9456. (3)0.9248. (4)0.4521.
3．根据下列条件求锐角A的度数．(精确到1″)
(1)cos A＝0.6753； (2)tan A＝87.54；
(3)sin A＝0.4553； (4)sin A＝0.6725.
解：(1)47°31′21″. (2)89°20′44″. (3)27°5′3″. (4)42°15′37″.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！28．2 解直角三角形及其应用
28．2.1 解直角三角形(第1课时)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解什么叫解直角三角形．
2．掌握解直角三角形的根据．
3．能由已知条件解直角三角形．
【过程与方法】
在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想．
【情感态度与价值观】
在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．
二、重难点目标
【教学重点】
解直角三角形的方法．
【教学难点】
会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.
(1)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°；
(2)三边满足勾股定理，即a2＋b2＝c2；
(3)边与角关系sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝，tan B＝.
3．Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，那么BC＝8，tan B＝.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】见教材P73例1.
【例2】见教材P73例2.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A )
A．csin A＝a B．bcos B＝c
C．atan A＝b D．ctan B＝b
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为4.
3．根据下列条件解直角三角形．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.
解：(1)a＝4，∠B＝30°，∠A＝60°.
(2)∠B＝30°，b＝4，c＝8.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．
【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．
【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M.
在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，
∴BC＝AC＝12.
∵AB∥CF，
∴∠BCM＝∠CBA＝45°，
∴BM＝BC sin 45°＝12×＝12，CM＝BM＝12.
在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝＝4，
∴CD＝CM－MD＝12－4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
28．2.2 应用举例
第2课时 利用仰角、俯角解直角三角形
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．
2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．
【过程与方法】
通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决实际问题的能力．
【情感态度与价值观】
通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．
二、重难点目标
【教学重点】
利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．
【教学难点】
建立合适的三角形模型，解决实际问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为atan α米．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数)
【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.
【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)
【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.
活动2 巩固练习(学生独学)
如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少？(精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°.
∵在Rt△ACD中，CD＝21 m，
∴AC＝＝＝21(m)．
∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，
∴BC＝CD＝21 m，
∴AB＝AC－BC＝21－21≈15.3(m)．
即河的宽度AB约是15.3 m.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)
【互动探索】要求AB，先求出AE与BE→解直角三角形：Rt△ADE、Rt△BCE.
【解答】在Rt△ADE中，∵∠ADE＝65°，DE＝15米，
∴tan∠ADE＝，
即tan 65°＝≈2.1，解得 AE≈31.5米．
在Rt△BCE中，∵∠BCE＝42°，CE＝CD＋DE＝6＋15＝21(米)，
∴tan∠BCE＝，
即tan 42°＝≈0.9，解得 BE≈18.9米．
∴AB＝AE－BE＝31.5－18.9≈13(米)．
即旗杆AB的长大约是13米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt△ADE、Rt△BCE，利用AB＝AE－BE即可求出答案．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 利用坡度、方向角解直角三角形
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．能运用解直角三角形解决航行问题．
2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．
3．理解坡度i＝＝坡角的正切值．
【过程与方法】
1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．
2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．
【情感态度与价值观】
在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．
二、重难点目标
【教学重点】
用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．
【教学难点】
准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)方向角
1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．
2．如图，我们说点A在O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点O的西南方向．
(二)坡度、坡角
1．坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝tan α.
2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为1∶.
(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程
1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；
3．得到数学问题的答案；
4．得到实际问题的答案．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
(一)解直角三角形，解决航海问题
【例1】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD的长并与10海里比较→得出结论．
【解答】如题图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
∴BD＝AD·tan 55°.
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，
∴CD＝AD·tan 25°.
∵BD＝BC＋CD，
∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，
∴AD＝≈20.79(海里)．
而20.79海里>10海里，
∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．
(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题
【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8 m，路基高BE＝5.8 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．
【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．
【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.
∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5，
∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，
∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．
由tan α＝i＝1∶1.6，tan β＝i′＝1∶2.5，
得α≈32°，β≈22°.
即铁路路基下底宽AB为33.6 m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为6米．
2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500 m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长度即为公路长度．
在Rt△ACD中，根据题意，有∠CAD＝30°.
∵tan∠CAD＝，
∴AD＝＝CD.
在Rt△CBD中，根据题意，有∠CBD＝60°.
∵tan∠CBD＝，
∴BD＝＝CD.
又∵AD－BD＝500 m，
∴CD－CD＝500，解得CD≈433 m.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶ ，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．
【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．
【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠CED＝60°.
∵AB的坡比为1∶，
∴∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝90°.
∵AB＝3米，
∴AE＝ABtan∠ABE＝3×＝(米)，
∴BE＝2AE＝2米．
∵∠C＝∠CED＝60°，
∴△CDE是等边三角形．
∵AC＝6米，
∴DE＝CE＝AC＋AE＝(6＋)米，
∴BD＝DE－BE＝6＋－2＝(6－)(米)．
即浮漂D与河堤下端B之间的距离为(6－)米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题既考查了解直角三角形，也考查了等边三角形的性质，根据已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
