第6章 章末测试卷
(时间:60分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2021东昌府期末)在四边形ABCD中,AB=CD,要判定此四边形是平行四边形,还需要满足的条件是( D )
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
2.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,且AE+EO=4,则 ABCD的周长为( B )
第2题图
A.20 B.16 C.12 D.8
3.如图,P是面积为S的 ABCD内任意一点,△PAD的面积为S1,△PBC的面积为S2,则( C )
第3题图
A.S1+S2> B.S1+S2<
C.S1+S2= D.S1+S2的大小与点P的位置有关
4. (2021东昌府期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上一点,连接BD,点P是BD的中点.若∠A=∠DBA,AD=8,则CP的长为( B )
第4题图
A.8 B.4 C.16 D.6
5.如图,菱形ABCD的顶点C在直线MN上,若∠1=50°,∠2=20°,则 ∠ABD的度数为( B )
第5题图
A.20° B.35° C.40° D.50°
6.(2021诸城质检)如果四边形ABCD的两条对角线AC,BD相等,那么下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是( B )
A.∠ABC=90° B.AC,BD互相平分
C.AC⊥BD D.AB∥CD
7.如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,点F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED等于( C )
第7题图
A.125° B.145° C.175° D.190°
8.如图,四边形ABCD是正方形,以CD为边作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则∠AMD的度数是( B )
第8题图
A.75° B.60° C.54° D.67.5°
9.(2021昌乐期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A,D为圆心,以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧,交于两点M,N;第二步,连接MN,分别交AB,AC于点E,F;第三步,连接DE,DF,则可以得到四边形AEDF的形状( C )
第9题图
A.仅仅是平行四边形 B.是矩形
C.是菱形 D.是正方形
10.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边CD,AD上的点,且CE=DF.AE与BF相交于点O,则下列结论错误的是( C )
第10题图
A.AE=BF B.AE⊥BF
C.AO=OE D.S△AOB=S四边形DEOF
11.(2021单县期末)如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是边AD上的一点.若∠ABE∶∠EBO∶∠EBC=3∶1∶3,则∠AOE的度数为( C )
第11题图
A.85° B.80° C.75° D.70°
12.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,则下列说法:①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的有( A )
第12题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.(2021定陶期末)如图,在四边形ABCD中,∠ADC+∠BCD=220°,E,F分别是AC,BD的中点,P是AB边的中点,则∠EPF= 40 °.
第13题图
14.如图,用同样长度的篱笆分别围成一个正方形ABCD和矩形AEFG,若图中矩形BCHE的面积比矩形DGFH的面积多100 m2,则矩形AEFG的长比宽多 20 m.
第14题图
15.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是 ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,则∠BAC的大小是 26° .
第15题图
16.(2021冠县期末)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E,DF∥AB,交BC于点F,当△ABC满足条件 ∠ABC=90° 时,四边形BEDF是正方形.
第16题图
17.如图,以△ABC的三边为边分别作等边三角形:△ACD,△ABE,△BCF,∠BAC≠60°,则下列结论:①△EBF≌△DFC;②四边形AEFD为平行四边形;③当AB=AC时,四边形AEFD是菱形;④当∠BAC=90°时,四边形AEFD是矩形.其中正确的结论是 ①②③ .(填序号)
第17题图
三、解答题(共49分)
18.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,交对角线BD于点E,F.
(1)若∠BCF=60°,求∠ABC的度数;
(2)求证:BE=DF.
(1)解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以∠ABC+ ∠BCD=180°.
因为CF平分∠DCB,所以∠BCD=2∠BCF.
因为∠BCF=60°,所以∠BCD=120°,
所以∠ABC=180°-120°=60°.
(2)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠DCB,所以∠ABE=∠CDF.
因为AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,
所以∠BAE=∠BAD,∠DCF=∠BCD,所以∠BAE=∠DCF,
所以△ABE≌△CDF(ASA),所以BE=DF.
19.(10分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=5 cm,BC=9 cm.点M是CD的中点,P是BC边上的一动点(点P与点B,C不重合),连接PM并延长交AD的延长线于点Q.
(1)试说明△PCM≌△QDM;
(2)当点P在点B,C之间运动到什么位置时,四边形ABPQ是平行四边形 请说明理由.
解:(1)因为AD∥BC,所以∠QDM=∠PCM.
因为M是CD的中点,所以DM=CM.
在△PCM和△QDM中,
所以△PCM≌△QDM(ASA).
(2)当PC=2时,四边形ABPQ是平行四边形.理由如下:
要使四边形ABPQ是平行四边形,则PB=AQ.
因为BC-CP=AD+QD,所以9-CP=5+CP,所以CP=(9-5)÷2=2,
所以当PC=2时,四边形ABPQ是平行四边形.
20.(10分)(2021青州期末)如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M,N分别是AB,CD的中点,MN分别交BD,AC于点E,F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗
解:OE=OF.理由如下:
如图,取AD的中点G,连接MG,NG.
因为G,N分别为AD,CD的中点,所以GN是△ACD的中位线,所以GN=AC,
同理可得,GM=BD.
因为AC=BD,所以GN=GM=AC=BD,所以∠GMN=∠GNM.
又因为MG∥OE,NG∥OF,所以∠OEF=∠GMN=∠GNM=∠OFE,
所以OE=OF.
21.(10分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE∥BD,过点D作DE∥AC,两线相交于点E.
(1)求证:四边形AODE是菱形;
(2)连接BE,交AC于点F.若BE⊥ED于点E,求∠AOD的度数.
(1)证明:因为AE∥BD,ED∥AC,所以四边形AODE是平行四边形.
因为四边形ABCD是矩形,所以OA=OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD,
所以OA=OC=OD,所以四边形AODE是菱形.
(2)解:如图,连接OE.
由(1),知四边形AODE是菱形,所以AE=OB=OA.
因为AE∥BD,所以四边形AEOB是平行四边形.
因为BE⊥ED,ED∥AC,所以BE⊥AC,所以平行四边形AEOB是菱形,
所以AE=AB=OB,所以AB=OB=OA,
所以△AOB是等边三角形,所以∠AOB=60°,
所以∠AOD=180°-∠AOB=180°-60°=120°.
22.(11分)如图,在正方形ABCD中,G是BC边上任意一点(不与点B,C重合),DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.
(1)求证:AF-BF=EF;
(2)四边形BFDE有没有可能是平行四边形 如果可能,请指出此时点G的位置;如果不可能,请说明理由.
(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD,∠BAF+∠DAE=90°.
因为DE⊥AG,所以∠DAE+∠ADE=90°,所以∠ADE=∠BAF.
又因为BF∥DE,所以∠BFA=90°=∠AED,所以△ABF≌△DAE(AAS),
所以AF=DE,AE=BF,所以AF-BF=AF-AE=EF.
(2)解:没有.理由如下:
如图,已知DE∥BF,则当DE=BF时,四边形BFDE是平行四边形.
因为DE=AF,所以BF=AF,即此时∠BAF=45°,
而点G不与点B和点C重合,所以∠BAF≠45°,
所以四边形BFDE没有可能是平行四边形.
附加题(共15分)
23.如图,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一直角边与∠CBM的平分线BF交于点F.
(1)求证:∠ADE=∠FEM;
(2)如图①,当点E在AB边的中点位置时,猜想DE与EF的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图②,当点E在AB边(除两端点)上的任意位置时,猜想此时DE与EF有怎样的数量关系,并证明你的猜想.
(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以∠A=90°,所以∠ADE+
∠DEA=90°.
因为∠DEF=90°,
所以∠DEA+∠FEM=90°,所以∠ADE=∠FEM.
(2)解:DE=EF.理由如下:
因为四边形ABCD是正方形,所以∠ABC=90°,AB=AD.
因为E是AB的中点,所以AE=BE=AB.
如图①,取边AD的中点G,连接EG,所以AG=DG=AD,
所以AG=DG=AE=BE,所以∠AGE=45°,所以∠DGE=180°-45°=135°.
因为BF是∠CBM的平分线,所以∠CBF=45°,所以∠EBF=90°+ ∠CBF=135°,
所以∠EBF=∠DGE.
由(1)知∠GDE=∠BEF,所以△DEG≌△EFB(ASA),所以DE=EF.
(3)解:DE=EF.理由如下:
如图②,在AD上取一点G,使AG=AE,连接EG,所以∠AGE=45°,
所以∠DGE=180°-∠AGE=180°-45°=135°.
因为四边形ABCD是正方形,所以∠ABC=90°,AD=AB,所以DG=BE.
因为BF是∠CBM的平分线,所以∠CBF=45°,
所以∠EBF=90°+∠CBF=90°+45°=135°,所以∠EBF=∠DGE.
由(1)知∠GDE=∠BEF,所以△DGE≌△EBF(ASA),所以DE=EF.第6章 章末测试卷
(时间:60分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2021东昌府期末)在四边形ABCD中,AB=CD,要判定此四边形是平行四边形,还需要满足的条件是( )
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
2.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,且AE+EO=4,则 ABCD的周长为( )
第2题图
A.20 B.16 C.12 D.8
3.如图,P是面积为S的 ABCD内任意一点,△PAD的面积为S1,△PBC的面积为S2,则( )
第3题图
A.S1+S2> B.S1+S2<
C.S1+S2= D.S1+S2的大小与点P的位置有关
4. (2021东昌府期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上一点,连接BD,点P是BD的中点.若∠A=∠DBA,AD=8,则CP的长为( )
第4题图
A.8 B.4 C.16 D.6
5.如图,菱形ABCD的顶点C在直线MN上,若∠1=50°,∠2=20°,则 ∠ABD的度数为( )
第5题图
A.20° B.35° C.40° D.50°
6.(2021诸城质检)如果四边形ABCD的两条对角线AC,BD相等,那么下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A.∠ABC=90° B.AC,BD互相平分
C.AC⊥BD D.AB∥CD
7.如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,点F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED等于( )
第7题图
A.125° B.145° C.175° D.190°
8.如图,四边形ABCD是正方形,以CD为边作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则∠AMD的度数是( )
第8题图
A.75° B.60° C.54° D.67.5°
9.(2021昌乐期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A,D为圆心,以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧,交于两点M,N;第二步,连接MN,分别交AB,AC于点E,F;第三步,连接DE,DF,则可以得到四边形AEDF的形状( )
第9题图
A.仅仅是平行四边形 B.是矩形
C.是菱形 D.是正方形
10.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边CD,AD上的点,且CE=DF.AE与BF相交于点O,则下列结论错误的是( )
第10题图
A.AE=BF B.AE⊥BF
C.AO=OE D.S△AOB=S四边形DEOF
11.(2021单县期末)如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是边AD上的一点.若∠ABE∶∠EBO∶∠EBC=3∶1∶3,则∠AOE的度数为( )
第11题图
A.85° B.80° C.75° D.70°
12.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,则下列说法:①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的有( )
第12题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.(2021定陶期末)如图,在四边形ABCD中,∠ADC+∠BCD=220°,E,F分别是AC,BD的中点,P是AB边的中点,则∠EPF= °.
第13题图
14.如图,用同样长度的篱笆分别围成一个正方形ABCD和矩形AEFG,若图中矩形BCHE的面积比矩形DGFH的面积多100 m2,则矩形AEFG的长比宽多 m.
第14题图
15.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是 ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,则∠BAC的大小是 .
第15题图
16.(2021冠县期末)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E,DF∥AB,交BC于点F,当△ABC满足条件 时,四边形BEDF是正方形.
第16题图
17.如图,以△ABC的三边为边分别作等边三角形:△ACD,△ABE,△BCF,∠BAC≠60°,则下列结论:①△EBF≌△DFC;②四边形AEFD为平行四边形;③当AB=AC时,四边形AEFD是菱形;④当∠BAC=90°时,四边形AEFD是矩形.其中正确的结论是 .(填序号)
第17题图
三、解答题(共49分)
18.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,交对角线BD于点E,F.
(1)若∠BCF=60°,求∠ABC的度数;
(2)求证:BE=DF.
19.(10分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=5 cm,BC=9 cm.点M是CD的中点,P是BC边上的一动点(点P与点B,C不重合),连接PM并延长交AD的延长线于点Q.
(1)试说明△PCM≌△QDM;
(2)当点P在点B,C之间运动到什么位置时,四边形ABPQ是平行四边形 请说明理由.
20.(10分)(2021青州期末)如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M,N分别是AB,CD的中点,MN分别交BD,AC于点E,F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗
21.(10分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE∥BD,过点D作DE∥AC,两线相交于点E.
(1)求证:四边形AODE是菱形;
(2)连接BE,交AC于点F.若BE⊥ED于点E,求∠AOD的度数.
22.(11分)如图,在正方形ABCD中,G是BC边上任意一点(不与点B,C重合),DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.
(1)求证:AF-BF=EF;
(2)四边形BFDE有没有可能是平行四边形 如果可能,请指出此时点G的位置;如果不可能,请说明理由.
附加题(共15分)
23.如图,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一直角边与∠CBM的平分线BF交于点F.
(1)求证:∠ADE=∠FEM;
(2)如图①,当点E在AB边的中点位置时,猜想DE与EF的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图②,当点E在AB边(除两端点)上的任意位置时,猜想此时DE与EF有怎样的数量关系,并证明你的猜想.
