2021-2022学年北师大版九年级下册数学2.4二次函数的应用 同步练习(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级下册数学2.4二次函数的应用 同步练习(word版含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 152.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-30 20:13:09 | ||
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文档简介
2.4二次函数的应用 同步练习
一．选择题
1．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
2.把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y= -x2+50x B．y=x2-50x C．y= -x2+25x D．y= -2x2+25
3．如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3
已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（ ）
A B C D
5．一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间t1/s 0 1 2 3 4
滑行距离y1/s 0 4.5 14 28.5 48
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2＝52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s，则滑坡AB的长度（ ）米
A．270 B．280 C．375 D．450
6．抛物线y＝ax2+3ax+b的一部分图象如图，设该抛物线与x轴的交点为A（﹣5，0）和B，与y轴的交点为C，若△ACO∽△CBO，则∠CAB的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（ ）
A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6
8.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为( )
A.y=－10x2－560x＋7 350
B.y=－10x2＋560x－7 350
C.y=－10x2＋350x
D.y=－10x2＋350x－7 350
9.平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示.正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2.5 m处.绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为( )
A.1.5 m B.1.625 m C.1.66 m D.1.67 m
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过程中，△PCQ面积的最大值为( )
A.6 cm2 B.9 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2
二．填空题
11把二次函数y＝2x2－4x＋5化成y=a(x－h)2＋k的形式是 ，其图象开口方向 ，顶点坐标是 ，当x＝ 时，函数y有最 值，当x 时，y随x的增大而减小．
12.如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为____
13．某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
14．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为2m，且到地面的距离为3m，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为 ．
15．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．
三．解答题
16．陆臻同学善于总结改进学习方法，他发现每解题1分钟学习收益量为2；对解题过程进行回顾反思效果会更好，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．某一天他共有30分钟进行学习，且用于回顾反思的时间不能超过用于解题的时间．
（1）求陆臻回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；
（2）陆臻如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）
17．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
18．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，），点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），A点的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；
（3）若Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时QA+QC最小，求出Q点的坐标，并求出此时△QAC的周长．
参考答案
1．A. 2.C．3．D.4．C 5.A．6.C．7.A.．8.B．9.B．10.B．
11y＝2(x－1)2＋3 向上 (1，3) 1 小 ＜1
12.y=（20-2t）2.
13.55．
14.（2+2）m．
15．1800．
16．解：（1）当0≤x≤5时，设y＝a（x﹣5）2+25，
把（0，0）代入，得：0＝25a+25，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣5）2+25＝﹣x2+10x；
当5＜x≤15时，y＝25．
综上，y＝；
（2）设陆臻用于回顾反思的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习效益总量为Z，则他用于解题的时间为（30﹣x）分钟．
当0≤x≤5时，
Z＝﹣x2+10x+2（30﹣x）
＝﹣x2+8x+60
＝﹣（x﹣4）2+76．
∴当x＝4时，Z最大＝76．
当5＜x≤15时，
Z＝25+2（30﹣x）＝﹣2x+85．
∵Z随x的增大而减小，
∴Z＜﹣2×5+85＝75．
综上所述，当x＝4时，Z最大＝76，此时30﹣x＝26．
∴陆臻用于回顾反思的时间为4分钟，用于解题的时间为26分钟时，才能使这30分钟的学习收益总量最大．
17．解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y＝﹣2x+200，
若某天销售利润为800元，
则（x﹣50）（﹣2x+200）＝800，
解得：x1＝60，x2＝90，
该天的售价为60元或者90元；
（2）设总利润为w，根据题意得，
w＝（x﹣50﹣a）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+（300+2a）x﹣10000﹣200a
∵a＞0，
∴对称轴x＝＞75，
∵﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，
∴w随x的增大而增大，
当x＝70时，w最大＝960，
即960＝﹣2×702+（300+2a）×70﹣10000﹣200a，
解得：a＝4．
18．解：（1）由题意可得A为函数y＝2x与y＝﹣x2+6x﹣4的交点，
所以2x＝﹣x2+6x﹣4，
解得x1＝x2＝2，代入y＝2x得y＝4，
可得A（2，4）．
（2）当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，
由（1）得m＝2，
当0＜x＜2时，
令y＝1，
2x＝1，
x＝；
当x≥2时，
令y＝1，
﹣x2+6x﹣4＝1
整理得x2﹣6x+5＝0
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝5，
所以x＝5，
所以单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为（5﹣）＝4.5小时．
19.解：（1）点C的坐标为（0，1），b＝1，
将点B坐标代入代入一次函数表达式得：3＝4k+1，解得：k＝，
则一次函数表达式为：y＝x+1，则点A坐标为（﹣2，0），
把点C.B坐标代入二次函数表达式得：3＝a×42﹣4（6a﹣2）+1，解得：a＝，
则二次函数表达式为：y＝x2﹣x+1；
（2）①如下图，当∠AQB＝90°时，
△ABQ与△AOC相似，m＝4，
②当∠ABQ＝90°时，△ABQ与△AOC相似，
AB＝＝3，cos∠BAO＝＝，
则AQ＝＝，
则m＝﹣2＝，
即：m的值为4或．
一．选择题
1．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
2.把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y= -x2+50x B．y=x2-50x C．y= -x2+25x D．y= -2x2+25
3．如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3
已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（ ）
A B C D
5．一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间t1/s 0 1 2 3 4
滑行距离y1/s 0 4.5 14 28.5 48
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2＝52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s，则滑坡AB的长度（ ）米
A．270 B．280 C．375 D．450
6．抛物线y＝ax2+3ax+b的一部分图象如图，设该抛物线与x轴的交点为A（﹣5，0）和B，与y轴的交点为C，若△ACO∽△CBO，则∠CAB的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（ ）
A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6
8.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为( )
A.y=－10x2－560x＋7 350
B.y=－10x2＋560x－7 350
C.y=－10x2＋350x
D.y=－10x2＋350x－7 350
9.平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示.正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2.5 m处.绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为( )
A.1.5 m B.1.625 m C.1.66 m D.1.67 m
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过程中，△PCQ面积的最大值为( )
A.6 cm2 B.9 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2
二．填空题
11把二次函数y＝2x2－4x＋5化成y=a(x－h)2＋k的形式是 ，其图象开口方向 ，顶点坐标是 ，当x＝ 时，函数y有最 值，当x 时，y随x的增大而减小．
12.如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为____
13．某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
14．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为2m，且到地面的距离为3m，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为 ．
15．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．
三．解答题
16．陆臻同学善于总结改进学习方法，他发现每解题1分钟学习收益量为2；对解题过程进行回顾反思效果会更好，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．某一天他共有30分钟进行学习，且用于回顾反思的时间不能超过用于解题的时间．
（1）求陆臻回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；
（2）陆臻如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）
17．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
18．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，），点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），A点的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；
（3）若Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时QA+QC最小，求出Q点的坐标，并求出此时△QAC的周长．
参考答案
1．A. 2.C．3．D.4．C 5.A．6.C．7.A.．8.B．9.B．10.B．
11y＝2(x－1)2＋3 向上 (1，3) 1 小 ＜1
12.y=（20-2t）2.
13.55．
14.（2+2）m．
15．1800．
16．解：（1）当0≤x≤5时，设y＝a（x﹣5）2+25，
把（0，0）代入，得：0＝25a+25，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣5）2+25＝﹣x2+10x；
当5＜x≤15时，y＝25．
综上，y＝；
（2）设陆臻用于回顾反思的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习效益总量为Z，则他用于解题的时间为（30﹣x）分钟．
当0≤x≤5时，
Z＝﹣x2+10x+2（30﹣x）
＝﹣x2+8x+60
＝﹣（x﹣4）2+76．
∴当x＝4时，Z最大＝76．
当5＜x≤15时，
Z＝25+2（30﹣x）＝﹣2x+85．
∵Z随x的增大而减小，
∴Z＜﹣2×5+85＝75．
综上所述，当x＝4时，Z最大＝76，此时30﹣x＝26．
∴陆臻用于回顾反思的时间为4分钟，用于解题的时间为26分钟时，才能使这30分钟的学习收益总量最大．
17．解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y＝﹣2x+200，
若某天销售利润为800元，
则（x﹣50）（﹣2x+200）＝800，
解得：x1＝60，x2＝90，
该天的售价为60元或者90元；
（2）设总利润为w，根据题意得，
w＝（x﹣50﹣a）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+（300+2a）x﹣10000﹣200a
∵a＞0，
∴对称轴x＝＞75，
∵﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，
∴w随x的增大而增大，
当x＝70时，w最大＝960，
即960＝﹣2×702+（300+2a）×70﹣10000﹣200a，
解得：a＝4．
18．解：（1）由题意可得A为函数y＝2x与y＝﹣x2+6x﹣4的交点，
所以2x＝﹣x2+6x﹣4，
解得x1＝x2＝2，代入y＝2x得y＝4，
可得A（2，4）．
（2）当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，
由（1）得m＝2，
当0＜x＜2时，
令y＝1，
2x＝1，
x＝；
当x≥2时，
令y＝1，
﹣x2+6x﹣4＝1
整理得x2﹣6x+5＝0
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝5，
所以x＝5，
所以单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为（5﹣）＝4.5小时．
19.解：（1）点C的坐标为（0，1），b＝1，
将点B坐标代入代入一次函数表达式得：3＝4k+1，解得：k＝，
则一次函数表达式为：y＝x+1，则点A坐标为（﹣2，0），
把点C.B坐标代入二次函数表达式得：3＝a×42﹣4（6a﹣2）+1，解得：a＝，
则二次函数表达式为：y＝x2﹣x+1；
（2）①如下图，当∠AQB＝90°时，
△ABQ与△AOC相似，m＝4，
②当∠ABQ＝90°时，△ABQ与△AOC相似，
AB＝＝3，cos∠BAO＝＝，
则AQ＝＝，
则m＝﹣2＝，
即：m的值为4或．