(共20张PPT)
18.2.2矩形的判定
人教版 八年级下
新知导入
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
新知导入
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
新知讲解
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
新知讲解
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
∴ 平行四边形ABCD是菱形
求证：平行四边形ABCD是菱形
已知：在平行四边形ABCD中，AC ⊥ BD
新知讲解
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理1：
新知讲解
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
新知讲解
命题：有四条边相等的四边形是菱形.
已知：在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形。
D
A
B
C
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
新知讲解
四条边都相等的四边形是菱形。
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
数学语言∵在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
菱形的判定定理2：
新知讲解
例4: 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=5,AO=4,BO=3.求证： 平行四边形ABCD是菱形.
证明：
∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2
∴△OAB是直角三角形, AC⊥ BD.
∴ □ABCD是菱形.
课堂练习
1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
2.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，则下列命题是假命题的是（ ）
A．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形
B．若BO=2AO，则平行四边形ABCD是菱形
C．若AB=AD，则平行四边形ABCD是菱形
D．若∠ABD=∠CBD，则平行四边形ABCD是菱形
D
课堂练习
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
2
3、如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
课堂练习
4、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
课堂练习
（1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，
∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形；
5、如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4，
∴AE=2AO=8．
课堂总结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
拓展提升
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
1、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH。
求证：四边形EFGH是菱形.
拓展提升
2、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D与B重合，折痕为EF，然后展开，连接DF，BE．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）已知AB=3，AD=9，求折痕EF的长
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折叠的性质得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BE=DE，
∴四边形EBFD是菱形；
拓展提升
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18.2.2菱形的判定
一、选择题
1、能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线相等且互相垂直 B．对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
2、在平行四边形ABCD中，添加下列条件能够判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
A. B.AB=CD C. D.AC=BD
3、如图，四边形ABCD的两条对角巷相交于点O，且互相平分。下列条件仍不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A. B.AB=AD C.AC=BD D.∠ABD=∠CBD
（第3题图） （第4题图） （第6题图）
4、如图所示，在平行四边形ABCD中，AE是∠DAB的平分线，EF∥AD交AB于点F，若AB=9，CE=4，AE=8，则DF等于（ ）
A．4 B．8 C．6 D．9
二、填空题
5、在 ABCD中，若添加一个条件 ，则四边形ABCD是菱形。
6、小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 ．
（第7题图） （第8题图） （第9题图）
7、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB=AC，那么四边形AEDF是菱形。其中正确的是_______________（只填写序号）
8、如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD=_______时，平行四边形CDEB为菱形。
9、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，作∠BAD的角平分线AE交BD、BC于点F、E。若EC=3，CD=4，那么AE的长为________
三、解答题
10、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别是边BC、AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF=ED，连接BE、BF、CF、AD。求证：四边形BFCE是菱形。
11、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
12、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，BC=2，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE。
（1）BE=_______
（2）求证：AE=AF；
（3）求证：四边形ACEF是菱形。
【参考答案】
一、选择题
1、D
2、A
3、C
4、C
二、填空题
5、（或AB=BC)
6、菱形
7、①③
8、6
9、
三、解答题
10、证明：∵D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是三角形ABC的中位线
∴DE∥AB
∵∠ABC=90°
∴∠EDC=∠ABC=90°
∴
∵D是边BC的中点，
∴BD=CD
∵DF=ED
∴四边形BFCE是平行四边形
∵
∴四边形BFCE是菱形。
11、（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴BO=DO，AB∥CD
∴∠OBE=∠ODF，∠E=∠F
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（AAS）
（2）证明：当时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形。理由如下：
∵四边形ABCD是矩形
∴AO=CO
由（1）得△BOE≌△DOF
∴EO=FO
∴以A、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形
当时，
∴以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形。
12、（1）
（2）证明：∵DE垂直平分BC
∴，D是BC的中点
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴DE∥AC
∴点E是AB的中点
在Rt△ABC中，
∵AF=CE
∴AE=AF
（3）证明：∵,∠BAC=60°
∴△ACE是等边三角形
∴∠CEA=60°，CE=AC
∵DE∥AC
∴∠FEA=∠BAC=60°
∵AE=AF
∴△AEF是等边三角形
∴AF=EF
∵AF=CE
∴AC=CE=AF=EF
∴四边形ACEF是菱形。
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