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图形的平移与旋转 单元测试（能力提升）
一、单选题
1．下面的每组图形中，平移左边图形可以得到右边图形的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
分析: 根据平移的性质，可以得到平移前后图形全等，由此可知选项A，B是否正确；
由图可知选项C是翻折得到的，根据平移的定义，结合选项D的图形，可以确定答案.
详解: A、左图与右图的形状不同,所以A选项错误;
B、左图与右图的大小不同,所以B选项错误;
C、左图通过翻折得到右图,所以C选项错误;
D、左图通过平移可得到右图,所以D选项正确.
故选D.
点睛: 本题考查了平移的性质:把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行且相等.
2．在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移
C．平移和旋转 D．旋转和轴对称
【答案】D
【分析】
根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转8次，可得答案．
【解析】
解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称．
里外各一个顺时针旋转8次，得旋转．
故选：D．
【点睛】
本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
3．已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B的对应点的坐标为（ ）
A．（5，3） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
【答案】C
【分析】
根据点A、点A的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可．
【解析】
∵A（1，3）的对应点的坐标为（﹣2，1），
∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2，
∵点B（2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣1），
故选C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
【答案】A
【解析】
分析：依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BD经过点O，依据B的坐标为（﹣2，﹣2），即可得出D的坐标为（2，2）．
详解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），
∴点O是AC的中点，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD经过点O，
∵B的坐标为（﹣2，﹣2），
∴D的坐标为（2，2），
故选A．
点睛：本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
5．如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B＇的坐标为（ ）
A．（，） B．（－1，）
C．（－，） D．（－，）
【答案】A
【分析】
如图，作点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．求出点B的坐标，证明B，B′关于y轴对称，即可解决问题．
【解析】
解：如图，故点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．
∵A（1，0），
∴OA=1，
∵△AOB是等边三角形，BH⊥OA，
∴OH=AH=OA=，BH=OH=，
∴B（，），
∵∠AOB=∠BOB′=60°，∠JOA=90°，
∴∠BOJ=∠JOB′=30°，
∵OB=OB′，
∴BB′⊥OJ，
∴BJ=JB′，
∴B，B′关于y轴对称，
∴B′（-，），
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换，轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解析】
解：，
，
，
，，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
7．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．105° D．55°
【答案】C
【分析】
连接DE，由旋转的性质可证明是等边三角形，得，，再由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形得出，从而可得出结论．
【解析】
解：连接DE，如图：
∵是等边三角形，
∴AB=AC，
∴
由旋转可得，
∴
∴，即
∴是等边三角形，
∴DE=AD=3，
∵DE＝3，CE＝3，CD＝，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
故选：C
【点睛】
此题是旋转的性质，主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，解本题的关键是判断出△ADE是等边三角形．
8．如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，AO＝1，D点在线段BC上运动，若将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
在AB上截取AQ=AO=1，利用SAS证明△AQD≌△AOE，推出QD=OE，当QD⊥BC时，QD的值最小，即线段OE 有最小值，利用勾股定理即可求解．
【解析】
解：如图，在AB上截取AQ=AO=1，连接DQ，
∵将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE(SAS)，
∴QD=OE，
∵D点在线段BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD的值最小，即线段OE 有最小值，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∵AB=AC=3，AO=1，
∴QB=2，
∴由勾股定理得QD=QB=，
∴线段OE 有最小值为2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
9．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F，则线段AD1的长为（ ）
A．5cm B．5cm C．17cm D．cm
【答案】D
【分析】
根据等腰直角三角形的性质求出AO＝CO＝AB，再求出OD1，然后利用勾股定理AD1＝，列式计算即可得解．
【解析】
解：∵旋转角为15°，
∴∠OCB＝60°﹣15°＝45°，
∴∠COB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴CD1⊥AB，
又∵∠D＝30°
∴AO＝CO＝AB＝×6＝3（cm），
∴OD1＝DC﹣CO＝8﹣3＝5（cm），
在Rt△AD1O中，由勾股定理得，AD1＝＝＝2（cm）；
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则线段AD1的长为（ ）
A．5cm B．5cm C．5cm D．3cm
【答案】B
【分析】
先求出∠ACD=30°，再根据旋转角求出∠ACD1=45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD1然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解析】
解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，
∴∠DCE=90°-30°=60°，
∴∠ACD=90°-60°=30°，
∵旋转角为15°，
∴∠ACD1=30°+15°=45°，
又∵∠CAB=45°，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴∠ACO=∠BCO=45°，
∵CA=CB，
∴AO=CO=AB=，
∵DC=，
∴D1C=DC=，
∴D1O=-=，
在Rt△AOD1中，AD1==，
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题
11．点(2，－1)关于原点O对称的点的坐标为__________．
【答案】(－2，1)
【分析】
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解析】
点（2，－1）关于原点O对称的点的坐标是（－2，1）．
故答案为（－2，1）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
12．如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移得到的．已知∠A＝55°，∠B＝60°，则∠C′＝________．
【答案】65°
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由图形平移的性质得出△ABC≌△A'B'C'，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解析】
∵△ABC中，∠A=55°，∠B=60°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣55°=65°．
∵△A'B'C'是由△ABC沿射线AC方向平移得到，∴△ABC≌△A'B'C'，∴∠C'=∠ACB=65°．
故答案为65°．
【点睛】
本题考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．
13．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】4 cm2
【分析】
根据旋转的性质和图形的特点解答．
【解析】
每个叶片的面积为4cm2，因而图形的面积是12cm2．
∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°，∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为4cm2．
故答案为4cm2．
【点睛】
本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
14．如图，将等边绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得，的中点E的对应点为F，则的度数是_______．
【答案】
【分析】
根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．
【解析】
∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，
∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EAF的度数为：60°．
故答案为：60°．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．
15．如图，中，,点在上，,将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，则的周长是 cm.
【答案】13.
【解析】
∵CD沿CB平移7cm至EF
考点：平移的性质；等腰三角形的性质.
16．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=_____．
【答案】．
【解析】
试题分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°，
∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，
∴∠4=90°﹣70°=20°，
∴∠α=20°．
故答案为20°．
17．如图，OA⊥OB，Rt△CDE的边CD在OB上，∠ECD＝45°，CE＝4，若将△CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则OC的长度为______．
【答案】2
【解析】
解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，∴∠ECN=75°．∵∠ECD=45°，∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°．∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ONC=30°．∵CE=4，∴CN=4，∴OC=2．故答案为2．
点睛：本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，旋转性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．
18．如图，将Rt△ABC沿着直角边CA所在的直线向右平移得到Rt△DEF，已知BC＝a，CA＝b，FA＝b，则四边形DEBA的面积等于__________．
【答案】ab
【分析】
根据平移的性质得出ADb，再利用平行四边形的面积公式解答即可．
【解析】
由题意可得：FD=CA=b，BC=EF=a，∴，∴四边形DEBA的面积等于AD EF．
故答案为．
【点睛】
本题考查了平移的性质，关键是根据平移的性质得出ADb．
19．如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
【答案】+π
【解析】
【分析】在Rt△AOB中，由A点坐标得OA=1，根据锐角三角形函数可得AB=2，OB=，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=，计算即可得出答案.
【解析】在Rt△AOB中，∵A（1，0），∴OA=1，
又∵∠OAB＝60°，
∴cos60°=，
∴AB=2，OB=，
∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，
∴点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：
S==π，
故答案为π.
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键.
20．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线绕着点A顺时针旋转，得到射线．点D为上的动点，点B为上的动点，点C在的内部．
（1）周长的最小值是____________________；
（2）当的周长取得最小值，且时，的面积为__________．
【答案】
【分析】
（1）可作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．连接C1C2．利用两点之间线段最短，可得到当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
（2）根据（1）的作图可知四边形AC1CC2的对角互补，结合轴对称可得∠BCD＝90°．利用勾股定理得到CB2+CD2＝BD2＝（）2，因为CB+CD＝4﹣，可推出CB CD的值，进而求出三角形的面积．
【解析】
（1）∵直线y＝与x轴、y轴分别交于C、A两点，把y=0代入，解得x=2，把x=0代入，解得y=2，
∴点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，2）．
∴AC＝4．
作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．由轴对称的性质，可知CD＝C1D，CB＝C2B．
∴CB+BD+CD＝C2B+BD+C1D＝C1C2连接AC1、AC2，
可得∠C1AD＝∠CAD，∠C2AB＝∠CAB，AC1＝AC2＝AC＝4．
∵∠DAB＝45°，
∴∠C1AC2＝90°．
连接C1C2．，
∵两点之间线段最短，
∴当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
∴△BCD的周长的最小值为4．
故答案为：4．
（2）根据（1）的作图可知四边形AECF的对角互补，其中∠DAB＝45°，因此，∠C2CC1＝135°．
即∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝135°，
∴2∠BCC2+2∠DCC1+2∠BCD＝270°①，
∵∠BC2C＝∠BCC2，∠DCC1＝∠DC1C，∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝180°，
∴2∠BCC2+2∠DCC1+∠BCD＝180°②，
①-②得，∠BCD＝90°．
∴CB2+CD2＝BD2＝（）2=，
∵CB+CD＝4﹣，
（CB+CD）2＝CB2+CD2+2CB CD，
∴2CB CD＝（CB+CD）2-（CB2+CD2）=
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了最短路径和勾股定理及一次函数的性质，解题关键利用轴对称确定最短路径，结合勾股定理来解决问题．
三、解答题
21．在的正方形网格中，小正方形的边长均为1个单位长度．
(1)画出绕点O逆时针旋转90°的；
(2)再画出关于点O的中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
（1）根据旋转的性质即可作图；
（2）根据中心对称的性质即可作图．
(1)
如图所示；
(2)
如图所示△A2B2C2即为所求．
【点睛】
本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到△，点的对应点为．
(1)直接写出点，，的坐标．
(2)在图中画出△．
(3)连接，，，求的面积．
(4)连接，若点在轴上，且三角形的面积为8，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)的面积=6
(4)或
【分析】
（1）利用P点和P1的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）利用点A1，B1，C1的坐标描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△AOA1的面积；
（4）设Q（0，t），利用三角形面积公式得到×8×|t 1|＝8，然后解方程求出t得到Q点的坐标．
(1)
解：，，；
(2)
解：如图，△为所作；
(3)
解：的面积
，
，
；
(4)
解：设，
，，
，
三角形的面积为8，
，解得或，
点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了作图 平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23．如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：
（1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上．
（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上．
（3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）因为AB=5，作腰为5的等腰三角形即可（答案不唯一）；
（2）作边长为2，高为4的平行四边形即可；
（3）根据（1）的结论，作BG边的中线，即可得解．
【解析】
解：（1）如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；
（2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求作；
（3）如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；
∵AB=AG，BC=CG，
∴AC⊥BG，
∵△ABG的面积为，
∴△ABC的面积为5，且∠ACB=90°．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的长．
【答案】（1）23°；（2）．
【分析】
（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的内角和定理可求解；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求解．
【解析】
解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∵∠BFD＝97°＝∠AFE，
∴∠E＝180° 97° 60°＝23°，
∴∠ADC＝∠E＝23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AD＝DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD＝BE＝4，
∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴AD＝DE＝．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
25．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标；
（2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标；可看作以点（________，________）为旋转中心，旋转________°得到的．
（3）已知关于直线对称的的顶点的坐标为，请直接写出直线的函数解析式________．
【答案】（1）图见详解，C1（-1，2）；（2）图见详解，C2（-3，-2），（-2，0），180；（3）y=-x
【分析】
（1）根据平移的性质即可画出向左平移4个单位后的；
（2）根据中心对称的性质即可作出关于原点对称的，再根据旋转的性质即可得出结论；
（3）根据轴对称的性质，可以知道直线必过点（-1，1），即可求出解析式．
【解析】
解：（1）如图所示，点C1的坐标（-1，2）；
（2）如图所示，点C2的坐标（-3，-2），可看作以点（-2，0）为旋转中心，旋转180°得到的；
（3）因为A的坐标为（2，4），A3的坐标为（-4，-2），所以直线必过点（-1，1），所以直线的解析式为y=-x．
【点睛】
本题主要考查了平移，轴对称，中心对称的作图，熟练其概念准确的画出图形是解决本题的关键．
26．新定义：如图①，已知，在内部画射线OC，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
【阅读理解】（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】（2）如图①，，射线OC为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案）
【解决问题】
（3）如图②，已知，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点顺时针旋转，设运动的时间为t秒．若OM、ON、OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值．
【实际运用】
（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？
【答案】（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或或；（4）．
【分析】
（1）根据幸运线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；
（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；
（4）利用时针1分钟走，分针1分钟走，可解答问题．
【解析】
解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为：是；
（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，
由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，
②设∠AOC=x，则∠BOC=x，
由题意得，x+x=48°，解得x=24°，
③设∠AOC=x，则∠BOC=x，
由题意得，x+x=48°，解得x=32°，
故答案为：16°或24°或32°；
（3）OB是射线OM与ON的幸运线，
则∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=2；
∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；
∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；
故t的值是2或或；
（4）时针1分钟走，分针1分钟走，
设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，
则有0.5x+3×30=6x，解得：x=．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．
27．如图，已知在中，，D、E是BC边上的点，将绕点A旋转，得到，连接．
（1）当时，时，求证：；
（2）当时，与有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
（3）在（2）的结论下，当，BD与DE满足怎样的数量关系时，是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）
【答案】（1）见解析；（2）∠DAE＝∠BAC，见解析；（3）DE＝BD，见解析
【分析】
（1）根据旋转的性质可得AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠D′AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AD′E全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据旋转的性质可得AD＝AD′，再利用“边边边”证明△ADE和△AD′E全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠D′AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，从而得解；
（3）求出∠D′CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍可得D′E＝CD′，再根据旋转的性质解答即可．
【解析】
（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，
∴AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD，
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠D′AE＝∠CAD′＋∠CAE
＝∠BAD＋∠CAE
＝∠BAC ∠DAE
＝120° 60°
＝60°，
∴∠DAE＝∠D′AE，
在△ADE和△AD′E中，
，
∴△ADE≌△AD′E（SAS），
∴DE＝D′E；
（2）解：∠DAE＝ ∠BAC．
理由如下：在△ADE和△AD′E中，
，
∴△ADE≌△AD′E（SSS），
∴∠DAE＝∠D′AE，
∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠BAC；
（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°，
∴∠D′CE＝45°＋45°＝90°，
∵△D′EC是等腰直角三角形，
∴D′E＝CD′，
由（2）DE＝D′E，
∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，
∴BD＝C′D，
∴DE＝BD．
【点睛】
本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．
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图形的平移与旋转 单元测试（能力提升）
一、单选题
1．下面的每组图形中，平移左边图形可以得到右边图形的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移
C．平移和旋转 D．旋转和轴对称
3．已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B的对应点的坐标为（ ）
A．（5，3） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
4．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
5．如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B＇的坐标为（ ）
A．（，） B．（－1，）
C．（－，） D．（－，）
6．我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．105° D．55°
8．如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，AO＝1，D点在线段BC上运动，若将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F，则线段AD1的长为（ ）
A．5cm B．5cm C．17cm D．cm
10．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则线段AD1的长为（ ）
A．5cm B．5cm C．5cm D．3cm
二、填空题
11．点(2，－1)关于原点O对称的点的坐标为__________．
12．如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移得到的．已知∠A＝55°，∠B＝60°，则∠C′＝________．
13．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为__________．
14．如图，将等边绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得，的中点E的对应点为F，则的度数是_______．
15．如图，中，,点在上，,将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，则的周长是 cm.
16．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=_____．
17．如图，OA⊥OB，Rt△CDE的边CD在OB上，∠ECD＝45°，CE＝4，若将△CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则OC的长度为______．
18．如图，将Rt△ABC沿着直角边CA所在的直线向右平移得到Rt△DEF，已知BC＝a，CA＝b，FA＝b，则四边形DEBA的面积等于__________．
19．如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
20．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线绕着点A顺时针旋转，得到射线．点D为上的动点，点B为上的动点，点C在的内部．
（1）周长的最小值是____________________；
（2）当的周长取得最小值，且时，的面积为__________．
三、解答题
21．在的正方形网格中，小正方形的边长均为1个单位长度．
(1)画出绕点O逆时针旋转90°的；
(2)再画出关于点O的中心对称图形．
22．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到△，点的对应点为．
(1)直接写出点，，的坐标．
(2)在图中画出△．
(3)连接，，，求的面积．
(4)连接，若点在轴上，且三角形的面积为8，请直接写出点的坐标．
23．如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：
（1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上．
（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上．
（3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上．
24．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的长．
25．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标；
（2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标；可看作以点（________，________）为旋转中心，旋转________°得到的．
（3）已知关于直线对称的的顶点的坐标为，请直接写出直线的函数解析式________．
26．新定义：如图①，已知，在内部画射线OC，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
【阅读理解】（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】（2）如图①，，射线OC为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案）
【解决问题】
（3）如图②，已知，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点顺时针旋转，设运动的时间为t秒．若OM、ON、OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值．
【实际运用】
（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？
27．如图，已知在中，，D、E是BC边上的点，将绕点A旋转，得到，连接．
（1）当时，时，求证：；
（2）当时，与有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
（3）在（2）的结论下，当，BD与DE满足怎样的数量关系时，是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）
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