辽宁省沈阳市第二十中学2013届高三高考领航考试（一）数学（文）试题
文档属性
| 名称 | 辽宁省沈阳市第二十中学2013届高三高考领航考试（一）数学（文）试题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 254.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-01-17 20:49:36 | ||
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文档简介
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷（1）
考试时间：120分钟；命题人：袁静
一、选择题：
1．设全集且,,则 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 （ ）
A． B． C． D． HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4
2.设y是与的等比中项，则的最大值为（ ）
A、3 B、4 C、5 D、7
3．设f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f(x+4)=f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－1，若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是
A．(1,2) B. (2，＋∞) C. (1,) D. (,2)
4．若点O和点F分别为双曲线错误！未找到引用源。 的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为
A. -6 B. -2 C. 0 D. 10
5．等边三角形ABC的三个顶点在一个半径为1的球面上，O为球心，G为三角形ABC的中心，且. 则的外接圆的面积为
A． B．2 C. D．
6．有下列命题：
①设集合M = {x | 0< x ≤3},N = {x | 0< x ≤2},则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；
②命题“若，则”的逆否命题是：若；
③若是假命题，则都是假命题；
④命题P：“”的否定：“”
则上述命题中为真命题的是
A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②③④
7．设为实数，若复数，则
A. B. C. D.
8．甲、乙两人约定下午两点到三点之间在某地会面，先到的人等另外一个人20分钟方可离开，若他们在限时内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为（ ）
A． D. C． D．
9．若点F1，F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的点，当的面积为1时，的值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．6
10.在右边程序框图中，如果输的结果，
那么输入的正整数N应为 （ ）
A．6 B．8
C．5 D．7
11．将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，得到的函数的一条对称轴是
A． B． C． D．
12．已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：，，则连接A(a2,a)、B(b2,b)两点的直线与圆x2+y2=1位置关是（ ）
A、相离 B、相切 C.相交 D、不能确定
二．填空题：
13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，则线段AB的长为
14.已知x，y∈R，，则x+2y的最大值是______．
15.在中，角所对的边分别是，已知点 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 是边的中点，且，则角 .
16.下列四个命题：①圆与直线相交，所得弦长为2；②直 线 与圆恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108；④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为其中，正确命题的序号为 ．写出所有正确命的序号）
三、解答题：
17.已知递增等比数列满足，，数列满足.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的通项公式，求数列的前项和
18．（本题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组
[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.
（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
（2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；
（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩求这两个成绩的 差的绝对值大于1秒的概率.
19.在四棱锥中，底面是菱形，.
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求证：；（Ⅲ）在棱上是否存在点（异于点）使得∥平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
20.已知椭圆：的离心率为，且过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线与椭圆相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点.证明：圆的半径为定值.
21.设 x1、x2（）是函数 （）的两个极值点．（I）若 ，，求函数 的解析式；
（II）若 ，求 b 的最大值；
（III）设函数 ，，当 时，求 的最大值．
选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22. （本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD。
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=,⊙O的半径为3，求OA的长。
23.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
若以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,圆的极坐标方程为：．求圆的直角坐标方程。
24.（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲
.设函数
（1） 将用分段函数表示；
（2） 解不等式<11
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷（1）
答案：
1----5：CCDDC,6----10：CABAA,11----12：AC.
13.65／16, 14.4， 15.。 16.（2）、（4）
17.解：(Ⅰ)依题意可得，在，由,知 …………………2分
所以通项公式 ……………………………………4分由可得 ……………………………………5分
(Ⅱ) …………………………7分
18.解：（1）百米成绩在[16,17)内的频率为0.321=0.32. 0.321000=320
∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。 ……2分
（2）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x ，19x 依题意，得
3x+8x+19x+0.321+0.081=1 ，∴x=0.02 ……4分
设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则 ∴n=50
∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩. ……6分
（3）百米成绩在第一组的学生数有30.02150=3，记他们的成绩为a，b，c百米成绩在第五组的学生数有0.08150= 4，记他们的成绩为m，n，p，q则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b, p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21个 ……9分
其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12个，……10分
所以P= ……12分
19.（Ⅰ）证明：因为 底面是菱形
所以 . ………………………………………1分
因为 ，，
所以 平面. ………………………………………3分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.
因为 平面平面，平面平面，
平面，
所以 平面. ………………………………………5分
因为 平面，
所以 . ……………………………7分
因为 底面是菱形，
所以 .
所以 . ………………………………………8分
（Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. ………………………………………9分
假设存在点（异于点）使得∥平面.
在菱形中，∥，
因为平面，平面，
所以∥平面.
………………………………………11分
因为 平面，平面，
，
所以 平面∥平面.
………………………………………13分
而平面与平面相交，矛盾. ………………………………………14分
20.解：(Ⅰ) ……………2分
…………………………5分
(Ⅱ)证明：设
，
此时0到AB的距离为 ……………………………………9分
同理可求得
综上所述，圆D的半径为定值 ………………………………12分
21.解：（1）∵，
∴
依题意有-1和2是方程的两根
∴， 解得，
∴．（经检验，适合）——————————————3分
（2）∵,依题意，是方程的两个根，
∵且，
∴． ∴，
∴． ∵ ∴．
设，则．
由得，由得．
即：函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
∴当时， 有极大值为96，
∴在上的最大值是96， ∴的最大值为．———— 9分
（3）证明：∵是方程的两根，∴．
∵，， ∴．
∴
∵，即 ∴
．
∴，当且仅当时取等号．———————15分
22.（1）证明：如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB ∴OC⊥AB
∴AB是⊙O的切线 …………………………………………4分
（2）解：∵ED是直径，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC
∴ ∴BC2=BD BE
∵tan∠CED=,∴
∵△BCD∽△BEC, ∴
设BD=x,则BC=2
又BC2=BD BE，∴（2x）2=x （ x+6）
解得：x1=0,x2=2, ∵BD=x>0, ∴BD=2
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5 ……………………………………10分
23.解：在方程两边同乘以，即
，化为直角坐标方程得；
24.(1)；---------6分；（2）----------------10分
D
C
B
A
O
E
D
C
B
A
O
E
考试时间：120分钟；命题人：袁静
一、选择题：
1．设全集且,,则 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 （ ）
A． B． C． D． HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4
2.设y是与的等比中项，则的最大值为（ ）
A、3 B、4 C、5 D、7
3．设f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f(x+4)=f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－1，若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是
A．(1,2) B. (2，＋∞) C. (1,) D. (,2)
4．若点O和点F分别为双曲线错误！未找到引用源。 的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为
A. -6 B. -2 C. 0 D. 10
5．等边三角形ABC的三个顶点在一个半径为1的球面上，O为球心，G为三角形ABC的中心，且. 则的外接圆的面积为
A． B．2 C. D．
6．有下列命题：
①设集合M = {x | 0< x ≤3},N = {x | 0< x ≤2},则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；
②命题“若，则”的逆否命题是：若；
③若是假命题，则都是假命题；
④命题P：“”的否定：“”
则上述命题中为真命题的是
A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②③④
7．设为实数，若复数，则
A. B. C. D.
8．甲、乙两人约定下午两点到三点之间在某地会面，先到的人等另外一个人20分钟方可离开，若他们在限时内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为（ ）
A． D. C． D．
9．若点F1，F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的点，当的面积为1时，的值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．6
10.在右边程序框图中，如果输的结果，
那么输入的正整数N应为 （ ）
A．6 B．8
C．5 D．7
11．将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，得到的函数的一条对称轴是
A． B． C． D．
12．已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：，，则连接A(a2,a)、B(b2,b)两点的直线与圆x2+y2=1位置关是（ ）
A、相离 B、相切 C.相交 D、不能确定
二．填空题：
13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，则线段AB的长为
14.已知x，y∈R，，则x+2y的最大值是______．
15.在中，角所对的边分别是，已知点 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 是边的中点，且，则角 .
16.下列四个命题：①圆与直线相交，所得弦长为2；②直 线 与圆恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108；④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为其中，正确命题的序号为 ．写出所有正确命的序号）
三、解答题：
17.已知递增等比数列满足，，数列满足.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的通项公式，求数列的前项和
18．（本题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组
[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.
（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
（2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；
（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩求这两个成绩的 差的绝对值大于1秒的概率.
19.在四棱锥中，底面是菱形，.
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求证：；（Ⅲ）在棱上是否存在点（异于点）使得∥平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
20.已知椭圆：的离心率为，且过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线与椭圆相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点.证明：圆的半径为定值.
21.设 x1、x2（）是函数 （）的两个极值点．（I）若 ，，求函数 的解析式；
（II）若 ，求 b 的最大值；
（III）设函数 ，，当 时，求 的最大值．
选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22. （本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD。
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=,⊙O的半径为3，求OA的长。
23.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
若以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,圆的极坐标方程为：．求圆的直角坐标方程。
24.（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲
.设函数
（1） 将用分段函数表示；
（2） 解不等式<11
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷（1）
答案：
1----5：CCDDC,6----10：CABAA,11----12：AC.
13.65／16, 14.4， 15.。 16.（2）、（4）
17.解：(Ⅰ)依题意可得，在，由,知 …………………2分
所以通项公式 ……………………………………4分由可得 ……………………………………5分
(Ⅱ) …………………………7分
18.解：（1）百米成绩在[16,17)内的频率为0.321=0.32. 0.321000=320
∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。 ……2分
（2）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x ，19x 依题意，得
3x+8x+19x+0.321+0.081=1 ，∴x=0.02 ……4分
设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则 ∴n=50
∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩. ……6分
（3）百米成绩在第一组的学生数有30.02150=3，记他们的成绩为a，b，c百米成绩在第五组的学生数有0.08150= 4，记他们的成绩为m，n，p，q则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b, p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21个 ……9分
其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12个，……10分
所以P= ……12分
19.（Ⅰ）证明：因为 底面是菱形
所以 . ………………………………………1分
因为 ，，
所以 平面. ………………………………………3分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.
因为 平面平面，平面平面，
平面，
所以 平面. ………………………………………5分
因为 平面，
所以 . ……………………………7分
因为 底面是菱形，
所以 .
所以 . ………………………………………8分
（Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. ………………………………………9分
假设存在点（异于点）使得∥平面.
在菱形中，∥，
因为平面，平面，
所以∥平面.
………………………………………11分
因为 平面，平面，
，
所以 平面∥平面.
………………………………………13分
而平面与平面相交，矛盾. ………………………………………14分
20.解：(Ⅰ) ……………2分
…………………………5分
(Ⅱ)证明：设
，
此时0到AB的距离为 ……………………………………9分
同理可求得
综上所述，圆D的半径为定值 ………………………………12分
21.解：（1）∵，
∴
依题意有-1和2是方程的两根
∴， 解得，
∴．（经检验，适合）——————————————3分
（2）∵,依题意，是方程的两个根，
∵且，
∴． ∴，
∴． ∵ ∴．
设，则．
由得，由得．
即：函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
∴当时， 有极大值为96，
∴在上的最大值是96， ∴的最大值为．———— 9分
（3）证明：∵是方程的两根，∴．
∵，， ∴．
∴
∵，即 ∴
．
∴，当且仅当时取等号．———————15分
22.（1）证明：如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB ∴OC⊥AB
∴AB是⊙O的切线 …………………………………………4分
（2）解：∵ED是直径，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC
∴ ∴BC2=BD BE
∵tan∠CED=,∴
∵△BCD∽△BEC, ∴
设BD=x,则BC=2
又BC2=BD BE，∴（2x）2=x （ x+6）
解得：x1=0,x2=2, ∵BD=x>0, ∴BD=2
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5 ……………………………………10分
23.解：在方程两边同乘以，即
，化为直角坐标方程得；
24.(1)；---------6分；（2）----------------10分
D
C
B
A
O
E
D
C
B
A
O
E
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