辽宁省沈阳市第二十中学2013届高三高考领航考试（一）数学（理）试题

沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷1
数学试卷（理）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上.
1. 已知全集为实数集R，集合，则
A. B. C. D. 2
2. 若复数为虚数单位为非纯虚数，则实数不可能为
A. 0 B. 1 C. D. 2
3. 如果过曲线上点处的切线平行于直线，那么点的坐标为
A. B. C. D. (
4. 将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像的解析式是
A. B.
C. D.
5. 如图在棱长为5的正方体中，是棱上的一条线段，且，是中点，点是棱上动点，则四面体的体积（ ）
A. 是变量且有最大值 B. 是变量且有最小值
C. 是变量且有最大值和最小值 D. 是常量
6．如果执行右面的程序框图，输入正整数n=5，m=4，那么输出的p
等于 （ ）
A．5 B．10
C．20 D．120
7．已知二项式的展开式中第4项为常数项，则项的系数为 （ ）
A．-19 B．19 C．20 D．-20
8．已知平面向量，且满足。若，则 （ ）
A．有最大值-2 B．z有最小值-2 C．z有最大值-3 D．z有最小值-3
9．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）
A． B．
C． D．
10.已知点P是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、
右焦点，I为△的内心，若成立，则的值为（ ）
A. B. C. D.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11.抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在准线l上的射影为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知且函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，毎小题5分，共20分，将答案填在答题卷相应位置上。
13.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，则排列中属性相克的两种物质不相邻的排列种数是 （用数字作答）．
14. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的面积等于 .
15.①由“若”类比“若为三个向量，则”；
②设圆与坐标轴的4个交点分别为A (x1，0)、B (x2，0)、C (0，y1)、D (0，y2)，则；
③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；
④在实数列中，已知a1 = 0，，则的最大值为2．
上述四个推理中，得出的结论正确的是_____________（写出所有正确结论的序号）．
16．如图,在三棱锥中, 、、两两垂
直, 且.设是底面内
一点,定义,其中、、分别是
三棱锥M-PAB、 三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.
若,且恒成立,则正实数
的最小值为___ _ __.
第II卷非选择题（共90分）
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）设数列满足且对一切，有
（1）求数列的通项;
（2）设 ，求的取值范围．
18．（本小题12分）
某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（3）试根据（II）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力。
（相关公式：）
19．（本小题满分12分）已知四棱锥中平面，且，底面为直角梯形，分别是的中点．
（1）求证：// 平面；
（2）求截面与底面所成二面角的大小；
（3）求点到平面的距离．
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问3分，（Ⅱ）小问9分．）
直线称为椭圆的“特征直线”，若椭圆的离心率．
（1）求椭圆的“特征直线”方程；
（2）过椭圆C上一点作圆的切线，切点为P、Q，直线PQ与椭圆的“特征直线”相交于点E、F，O为坐标原点，若取值范围恰为，求椭圆C的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数（a为常数），函数
（1）当a=0时，若函数图像上任意不同的两点A、B的坐标分别，线段AB的中点，记直线AB的斜率为k，试证明： （2）若，且对任意的，都有求a的取值范围。
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题纸上所选题目的方框内打“√”。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连结BE交CD于F，证明
（1）
（2）PF2=PD·PC。
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线（t为参数），圆C的极坐标方程为：
（1）求圆心C到直线的距离；
（2）若直线被圆C截得的弦长为，求a的值。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）试求的值域；
（2）设，若对，恒有成立，试求实数a的取值范围。
数学试卷（理）答案
一、选择题
1.D 2.A 3.A 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B 11.B 12.C
二、填空题
13.10 14. 15．②③④ 16. 1
三、解答题
17.解析：（1）由可得：
∴数列为等差数列，且首项 ，公差为 …………3分
∴ …………4分
∴…6分
（2）由（1）可知： …………7分
∴
…………10分
易知：在时，单调递增，∴ …………11分
∴ …………12分
18. （1）如右图：


┄┄┄┄┄┄┄┄3分
(2)解：=62+83+105+126=158，
=，=，
，
，，
故线性回归方程为． ┄┄┄┄┄┄┄┄10分
(3)解：由回归直线方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4. ┄┄┄┄12分

19．
解析（一）：
以为原点，以分别为建立空间直角坐标系，
由，分别是的中点，
可得：，
∴，………2分
设平面的的法向量为，
则有：
令，则， ……………3分
∴，又平面
∴//平面 ……………4分
（2）设平面的的法向量为，又
则有：
令，则， …………6分
又为平面的法向量，
∴，又截面与底面所成二面角为锐二面角，
∴截面与底面所成二面角的大小为 …………8分
（3）∵，∴所求的距离 ………12分
20． （1）设，则由，得，
椭圆的“特征直线”方程为： …………………………………………………….3分
（2）直线PQ的方程为（过程略） ………………………………………….5分
设
联立，解得，同理…………………………….7分
，是椭圆上的点，
从而 …………………………………………………….10分
或
22. （1）证明：，
又，
，，
又
故，所以四点共圆．┄┄┄┄5分
(2)解：由（Ⅰ）及相交弦定理得，
又，
，
由切割线定理得，
所以为所求． ┄┄┄┄10分
23．(本题满分10分) 4—4(坐标系与参数方程)
（1）圆心坐标为 …………………… 1分
24. （Ⅰ）解：由得，
所以解之得为所求． ┄┄┄┄3分
(Ⅱ)解：当时,，
所以，①
当时，不等式①恒成立，即；
当时，不等式①
解之得或或，即；
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为． ┄┄┄┄10分