辽宁省沈阳市第二十中学2013届高三高考领航考试（二）数学（理）试题

（第I卷　选择题）
一．选择题（每题5分，只有一个正确答案，共60分，将你所选答案，涂在答题卡上）
1、设则复数为实数的充要条件是（ ）
（A）　　（B）　　（C）　　（D）
2、若，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3、若直线与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5、如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，
AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平
面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝ ( )
（A）2∶1 （B）3∶1
（C）3∶2 （D）4∶3
6、与向量的夹解相等，且模为1的向量是 ( )
(A) (B) 或
（C） （D）或
7、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
8、对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）(0，则必有（ ）
A．f（0）＋f（2）(2f（1） B. f（0）＋f（2）(2f（1）
C. f（0）＋f（2）(2f（1） D. f（0）＋f（2）(2f（1）
9、过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )
A. B. C. D.
10、高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040
11、为了了解某地区高三学生的身体发育情况，
抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的
男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在
〔56.5,64.5〕的学生人数是（ ）
(A)20 (B)30
(C) 40 （D）50
12、关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同实根；
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（第II卷　非选择题）
二．填空题（每题5分，共20分，将你得的结果写在答题纸相应的位置）
13、若集合，则A∩B等于
14、已知函数在区间上的最小值是，
则的最小值是＿＿＿
15、若的展开式中的系数是80，则实数a的值是 　
16、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
三．解答题（17――21题每题12分，22题10分，共70分，在答题纸相应的位置写出解答过程）
17、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。
18、已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
19、已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.
20、已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，
（1）若是大于的正整数，求证：；
（2）若是某一正整数，求证： 是整数，且数列中每一项都是数列中的项；
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；
21、已知函数。
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。
22、选修4－1：
如图，的外接圆的切线与的延长线交于点，的平分线与交于点D.
(1)求证：
(2)若是的外接圆的直径，且，＝1.求长.
23、选修4－4：
以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C：，过极点的直线
（且是参数）交曲线C于两点0，A，令OA的中点为M.
(1)求点M在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.
(2)当时，求M点的直角坐标.
24、选修4－5：
关于的不等式，其中是实参数.
当时，解上面的不等式.
(2)若，上面的不等式均成立，求实数的范围.
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷2
数学试卷答案
1―――6：DAADAB；7―――12：DCABCA
13、14、 15、2 16、12π
17、解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,
依题意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × =  . P(B0)= × = ,
P(B1)=2× × =  , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)
= × + × + × = 
(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()3= , P(ξ=1)=C31××()2=,
P(ξ=2)=C32×()2× =  , P(ξ=3)=( )3= 
ξ
0
1
2
3
P




ξ的分布列为:
18、（Ⅰ）连结AC、BD，设.
由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.
所以
于是.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，
，设是平面QAD的一个法向量，由
得.
取x=1，得.
所以点P到平面QAD的距离.
19、解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为： x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）. 因为点A在抛物线上.所以，即.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（II）： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为．
由消去得…①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
　　由　消去y得. ………………②
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即. 　　 …………………③
由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝. 解得　　　……………………④
又AB过C1、、＼、、C2的焦点，所以
，
则 …………………………………⑤
由④、⑤式得，即．
解得于是
因为C2的焦点在直线上，所以.
　或．
由上知，满足条件的、存在，且或，．
20．解：设的公差为，由，知，（）
（1）因为，所以，
，
所以
（2），由，
所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为
，设数列中的某一项=
现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，，所以
，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为
与数列的第项相等，从而结论成立。
（3）设数列中有三项成等差数列，则有
2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。
21、解：（I） 的定义域为（，1）（1，）


因为（其中）恒成立，所以
⑴ 当时，在（，0）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；
⑵ 当时，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；
⑶ 当时，的解为：（，）（t，1）（1，+）
（其中）
所以在各区间内的增减性如下表：
区间
（，）
（，t）
（t，1）
（1，+）
的符号
+
+
+
的单调性
增函数
减函数
增函数
增函数
（II）显然
⑴ 当时，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有；
⑵ 当时，是在区间 0，1上的最小值，即，这与题目要求矛盾；
⑶ 若，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有。
综合⑴、⑵、⑶ ，a的取值范围为（，2）
22、(1)略，(2)1
23、(1)，(2)
24、(1)R，(2)