辽宁省沈阳市第二十中学2013届高三高考领航考试（四）数学（文）试题

沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷（4）
出题人： 审题人：
一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则的大小关系是( )
（A） (B)
(C) (D)
2.过点P（0，-2）的双曲线C的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线C的标准方程是( )
（A） （B）
（C） (D)
3.已知函数，则函数的零点个数是（ ）
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
4．函数的零点所在的区间为
A． B． C．( D．
5．某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为
A． B． C． D．
6. 如下图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是
A． B． C． D．

7．阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为
A． B．
C． D．
8．设实数、满足约束条件，则的最小值为 （ ）
A．26 B．24 C．16 D．14
9．函数（）的最小正周期是，若其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
10．在所在的平面内有一点P，如果,那么和面积与的面积之比是
A． B． C． D．
11．抛物线的焦点为F，倾斜角为的直线过点F且与抛物线的一个交点为A，，则抛物线的方程为
A. B. C. 或 D. 或
12．已知函数是上的奇函数，且当时，函数
若>，则实数的取值范围是
A． B．
C．(1,2) D．
二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13．从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从各组内的男生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从这一组中抽取的人数为 ．
14．在中，若,则的面积S= ．
15．将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
16．已知圆C的圆心在轴上，曲线在点处的切线恰与圆C在点处相切，则圆C的方程为 ．
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知正项等差数列的前项和为，且满足，．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足且，求数列的前项和．
18. 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天.
（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率;
（Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率.
19．已知四棱锥的底面为菱形，且，
,为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到面的距离．
20．已知椭圆的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线．
21．已知函数
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围．
请考生在22， 23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知AB是圆的直径，AC是弦，，垂足为D，AC平分
（Ⅰ）求证：直线CE是圆的切线；
（Ⅱ）求证：
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合．
直线的参数方程为：（t为参数），曲线的极坐标方程为：．
（Ⅰ）写出的直角坐标方程，并指出是什么曲线；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，求值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的定义域；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷（文）
参考答案及评分标准
一、选择题： BCACB DBDCA DD[来源:21世纪教育网]
二、填空题 13． 6 14．. 15．. 16．.
三、解答题
17．（本小题共12分）21世纪教育网
解：(Ⅰ) 是等差数列且，，
又．…………………………………………………2分
，……………………………4分
，． ………………6分
（Ⅱ），
当时，
，……………………8分
当时，满足上式，
……………………………………………………10分
． ………………………………………………12分
18．（本小题共12分）
解： 由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标. …………2分
记未超标的4天为，超标的两天为．则从6天中抽取2天的所有情况为：，，，，，，，，，，，，，，，基本事件数为15．…………4分[来源:21世纪教育网]
（Ⅰ）记 “6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件，可能结果为：，，，，，，，，基本事件数为．
∴；……………6分
（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件，
“2天都超标”为事件，其可能结果为，…………………………8分
故，…………………………………………………………10分
∴. …………………………………12分
19．（本小题共12分）（I）证明：连接

为等腰直角三角形
为的中点
……………………2分
又
是等边三角形
，………………………………4分
又
，即21世纪教育网
……………………6分

（II）设点到面的距离为
…………8分
,到面的距离

………………………………10分

点到面的距离为……………………12分
20．（本小题共12分）(I)由题可知： …………2分
解得，
椭圆C的方程为…………………………4分
（II）设直线：，，，，，
由得.…………6分
所以，. ……………………8分
而
，，…………10分
∴三点共线 ……………………………………12分
21．（本小题共12分）（I）当时，
………………………………………………………………2分 由得得
的单调递增区间为，单调递减区间为.………………4分
（II）若对任意， 使得恒成立， 则时，恒成立，
即时，恒成立………………………………6分
设，，则 ，
设， 在上恒成立
在上单调递增
即在上单调递增………………8分
，
在有零点在上单调递减，在上单调递增……………10分
，即，……………………12分
22．（本小题共10分）
证明：（Ⅰ）连接，因为,所以. 2分又因为，所以，
又因为平分，所以， 4分
所以，即，所以是的切线. 6分
（Ⅱ）连接，因为是圆的直径，所以，
因为， 8分
所以△∽△，所以，即. 10分
23．（本小题共10分）
解：（Ⅰ），
，………………………………………………………………2分
由得：
所以曲线的直角坐标方程为，…………………………4分
它是以为圆心，半径为的圆. …………………………………………5分
（Ⅱ）把代入整理得，……7分
设其两根分别为、，则，…………………………8分
……………………………………10分
另解：
化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得的值．
24．解：（Ⅰ）由题设知：，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
，或，或………………3分
解得函数的定义域为； ………………………………5分
（Ⅱ）不等式即，21世纪教育网
时，恒有，…………………………8分[来源:21世纪教育网]
不等式解集是R，
的取值范围是． ……………………………10分