辽宁省沈阳市第二十中学2013届高三高考领航考试（四）数学（理）试题

沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷4
数学试卷（理）
（第I卷　选择题）
一．选择题（每题5分，只有一个正确答案，共60分，将你所选答案，涂在答题卡上）
已知集合},,则
A(0,2) B[0,2] C{0,2] D{0,1,2}
(2)已知复数，是z的共轭复数，则=
A. B. C.1 D.2
(3)曲线在点（-1，-1）处的切线方程为
（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2
（4）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
（5）已知命题：函数在R为增函数，：函数在R为减函数，则在命题：，：，：和：中，真命题是
（A）， （B），（C），（D），
（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
（A）100 （B）200 （C）300 （D）400
如果执行右面的框图，输入，则输出的
数等于（A） （B） （C） （D）
偶函数满足，则
(A) (B)
(C) (D)
(9）若变量满足约束条件则的最大值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
(A) (B) (C) (D)
（11）已知函数若互不相等，且则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
（12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为
(A) (B) (C) (D)
第 II卷（非选择题 90 分）
二．填空题（每题5分，共20分，将你得的结果写在答题纸相应的位置）
(13）已知是第二象限的角，， ．
（14）若的展开式中的系数是，则 ．
（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ．
（16）
三 解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤
（17）（本小题满分12分）
，其图象过点
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值。
（18）（本小题满分12分）
如图，在五棱锥P—ABCDE中，平面ABCDE，AB//CD，AC//ED AE//BC，，三角形PAB是等腰三角形。
（Ⅰ）求证：平面PCD 平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积。
（20）（本小题满分12分）
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求p；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；
（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．
(20)（本小题满分12分）
设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
求椭圆C的离心率；
如果|AB|=，求椭圆C的方程.
（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所作的第一题记分。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（I）证明：
（II）若的面积，求的大小。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知P为半圆C：（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），
O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。
（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷4
数学试卷（理）答案
一、选择题（共 60分）
１
２
３
４
５
６
７
８
９
10
11
12
13
14
15
D
A
A
B
C
B
D
B
C
B
C
B
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
二、填空题
（13）【答案】 得，又，解得，又是第二象限的角，所以.
（14）【答案】1 展开式中的系数是.
（15）【答案】2 过B作BE垂直于准线于E，∵，∴M为中点，∴，又斜率为，，∴，∴，∴M为抛物线的焦点，∴2.
（16）11/2
三解答题
（17）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力，满分12分。
解：（Ⅰ）因为
所以



又函数图象过点
所以
即
又
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，可知

因为
所以
因此
故
所以上的最大值和最小值分别为和
（18）本小题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。
（Ⅰ）证明：在中，因为°，BC=4，
所以
因此
故
所以
又平面ABCDE，AB//CD，
所以
又PA，AC平面PAC，且PA∩AC=A，
所以CD平面PAC，又平面PCD，
所以平面PCD平面PAC。
（Ⅱ）解法一：
因为是等腰三角形，
所以
因此
又AB//CD，
所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离。
由于CD平面PAC，在中，

所以PC=4
故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离，
所以B到平面PCD的距离为
设直线PB与平面PCD所成的角为，
则，
又
所以
解法二：
由（Ⅰ）知AB，AC，AP两两相互垂直，
分别以AB，AC，AP为轴，z轴建立如图
所示的空间直角坐标系，由于是等腰三角形，
所以
又，
因此
因为AC//DE，，
所以四边形ACDE是直角梯形，
因为
所以
因此
故
所以
因此
设是平面PCD的一个法向量，
则
解得
取
又
设表示向量与平面PCD的法向量所成的角，
则
所以
因此直线PB与平面PCD所成的角为
（Ⅲ）因为AC//ED，
所以四边形ACDE是直角梯形
因为，
所以
因此
故

所以
又平面ABCDE，
所以
（19）记表示事件：电流能通过
A表示事件：中至少有一个能通过电流，
B表示事件：电流能在M与N之间通过，
（Ⅰ）相互独立，
,
又 ，
故 ，
（Ⅱ），



=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.9891
（Ⅲ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，
故，.
（20）解：
设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 . ……6分
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为. ……12
（21）解：（Ⅰ）因为
所以
令
（1）当
所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递
（2）当
即，解得
①当时，恒成立，
此时，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，单调递减；
时，单调递增；
，此时，函数单调递减；
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：
当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0，1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数上单调递减，
（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，
，当，
函数单调递减；当时，
函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为
由于“对任意，存在，使”等价于
“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）
又，所以
①当时，因为，此时与（*）矛盾；
②当时，因为，同样与（*）矛盾；
③当时，因为
解不等式，可得
综上，的取值范围是
（22）证明：
（Ⅰ）由已知条件，可得
因为是同弧上的圆周角，所以
故△ABE∽△ADC. ……5分
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.则sin=1，又为三角形内角，
所以=90°. ……10分
（23）解：
（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，
故点M的极坐标为（，）. ……5分
（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为
（t为参数） ……10分
（24）证明：（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
①所以 ② ……6分
故.
又 ③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分
（证法二）因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以 ①
同理 ② ……6分
故
③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分