辽宁省沈阳市第二十中学2013届高三高考领航考试（五）数学（文）试题

沈阳市第二十中学2012届高三冲刺卷文科数学（5）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1．已知集合，则=
A. B. C. D.
2．复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
4．如果等差数列中，++=12，那么++???…+=
A．14 B．21 C．28 D．35
5．已知从点发出的一束光线，经轴反射后,反射光线恰好平分圆:的圆周,则反射光线所在的直线方程为
A. B. C. D.
6．函数的图象
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
7．下列关于命题的说法正确的是 （ ）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“，使得”的否定是：“，都有”
D．命题“若”的逆否命题为真命题
8．已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=
A．35 B.33 C.31 D.29
9．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是
A． B． C． D．
10．若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数
A． B． C．1 D．2
11．半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点、，那么、两点间的球面距离是
A． B． C． D．
12. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)
13．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
14．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是________．
15.在一次演讲比赛中，10位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据，在如图所示的程序框图中，是这8个数据中的平均数，则输出的的值为_ ____

16.已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意实数a、b满足，有以下结论：
①②为偶函数；③数列｛an｝为等比数列；④数列｛bn｝为等差数列。其中正确结论的序号是 。
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.在中，角所对的边为已知.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的面积为，且，求的值.
18．星空电视台组织篮球技能大赛,每名选手都要进行运球、传球、投篮三项比赛,每个选手在各项比赛中获得合格与不合格的机会相等,且互不影响.现有、、、、、六位选手参加比赛,电视台根据比赛成绩对前名进行表彰奖励.
（Ⅰ）求至少获得一个合格的概率；
（Ⅱ）求与只有一个受到表彰奖励的概率.
19．如图，在正四棱柱中，，，为的中点，.
（Ⅰ） 证明：∥平面；
（Ⅱ）证明：平面.
20.设椭圆：的左、右焦点分别是，下顶点为，线段的中点为（为坐标原点），如图．若抛物线：与轴的交点为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于两点，求面积的最大值．
21.已知函数
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（Ⅲ）若，且至少存在一点，使成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：
（Ⅰ）C，D，F，E四点共圆；
（Ⅱ）GH2＝GE·GF.
23．已知曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0，求：
（Ⅰ）曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设点P(x，y)是曲线C上任意一点，求xy的最大值和最小值．
24．已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷（5）
11解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝
cos∠BAC＝
连结OM，则△OAM为等腰三角形
AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD
而AC＝R,CD＝R
故MN：CD＝AN:AC
( MN＝，
连结OM、ON，有OM＝ON＝R
于是cos∠MON＝
所以M、N两点间的球面距离是
13.－ 14. a>0且b≤0 15.15
16.【答案】 ①③④
解析:因为取得取得取得取得
由得代入（1）得
。该题通过函数方程考查函数性质与递推数列求数列通项公式，既考查函数方程问题一般的研究方法：赋值，又考
17【答案】解：（Ⅰ）……………………4分
（Ⅱ）∵，由正弦定理可得：
由（Ⅰ）可知.
，
得ab=6……………………………………………………………………………………8分
由余弦定理
可得
………………………………………………………………………10分
由，
所以………………………………………………………………………12分
18.解：（Ⅰ）记运球,传球,投篮合格分别记为,不合格为
则参赛的所有可能的结果为
共种 ……………3分
由上可知至少获得一个合格对应的可能结果为7种, …………………4分
所以至少获得一个合格的概率为…………………………………6分
（Ⅱ）所有受到表彰奖励可能的结果为
,
,,共个…………………8分
与只有一个受到表彰奖励的结果为,
共种………………………………………10分
则与只有一个受到表彰奖励的概率为 ……………………12分
19．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）证明：因为，所以∥
因为面，面，所以∥面………………………6分
（Ⅱ）连接，因为，所以
所以四边形为正方形
所以
因为∥，所以………………8分
又因为，,
所以面
所以
因为，所以面……………………………………………12分
20.(12分)解：（1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．
令y=0得即，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．
所以．于是椭圆C1的方程为：．
（2）设N（），由于知直线PQ的方程为：
． 即．
代入椭圆方程整理得：,
=,
, , 21世纪教育网
故
．
设点M到直线PQ的距离为d，则．
所以，的面积S

当时取到“=”，经检验此时，满足题意．
综上可知，的面积的最大值为．
21.解：（1）当时，函数
……………………………………………………………………………………………………2分
曲线在点处的切线的斜率为从而曲线在点处的切线方程为即…………………………………………………………4分
（2）令
要使在定义域内是增函数，只需………………………………………6分
即故正实数的取值范围是……………………8分
（3）在上是减函数，时，时，即………………………………………………………………………………………10分
①当时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数.当时，，因为所以此时，在内是减函数.故当时，在上单调递减不合题意；………………………………………………………………12分
②当时，由（2）知在上是增函数，又在上是减数，故只需而即解得所以实数的取值范围是.…………………………………………14分
22．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：
(1)C，D，F，E四点共圆；
(2)GH2＝GE·GF.
22.证明：(1)连接CB，∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，又∵∠EAG＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠AEG.∵∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－∠AEG＝∠CEF，∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，
∴C，D，F，E四点共圆．
(2)由C，D，F，E四点共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，∴△GCE∽△GFD，故＝，即GC·GD＝GE·GF.∵GH为圆的切线，GCD为割线，
∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.
23.解：(1)原方程可化为ρ2－4ρ＋6＝0，即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.∵∴x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求普通方程．
(2)设＝cosθ，＝sinθ，则xy＝(2＋cosθ)(2＋sinθ)＝4＋2(cosθ＋sinθ)＋2cosθsinθ.设t＝cosθ＋sinθ，则t＝sin，∴t∈[－，]，t2＝1＋2cosθsinθ，从而2cosθsinθ＝t2－1.
∴xy＝3＋2t＋t2.当t＝－时，xy取得最小值1；当t＝时，xy取得最大值9.
24.已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3＝3ab>0，当且仅当a2b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立；
同理：ab2＋a2＋b≥3＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.