辽宁省沈阳市第二十中学2013届高三高考领航考试（五）数学（理）试题

沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷5
数学试卷（理）
（第I卷　选择题）
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分．共60分．
1．设集合，则满足的集合的个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若复数满足，且复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
3．在中，分别为三个内角 所对应的边，设向量，，若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．若，，，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列.则=（ ）
A．1 B． C．或1 D．或
6．平面∥平面的一个充分条件是（　　）
A．存在一条直线
B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
7．如上图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ）A． B. C. D.
8．若，对任意实数都有，且，则实数的值等于( )
A.±1 B.±3 C.－3或1 D.－1或3
9．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2时有极值，其图象在点(1，(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ）
A．(－∞，0) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
10．将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向左数，黑球的个数大于等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为 （ ）
A． B． C． D．
11. 函数的定义域为R，对任意实数满足，且，当时，＝，则的单调减区间是（ ）
A.[2，2+1]( ) B.[2-1，2]() C.[2，2+2] () D.[2-2，2]()
12. 函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数. 若是闭函数，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．
13．在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的值等于
14．如果直线与圆交于M、N两点，且M、N关于直线对称，则不等式组，表示的平面区域的面积是
15．如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为
16．在平面直角坐标系中已知△ABC的顶点A(－6，0) 和C(6，0)，顶点B在双曲线的左支上，则=
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且。
（1）设，求证：是等比数列：
（2）设，且是公差为1的等差数列，求及的值
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，
侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点。
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论。
19．（本小题满分12分）
某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过. 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. 求：
(1) 分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
20．（本小题满分12分）
已知抛物线，点P（1，－1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点，且满足.
（I）求抛物线C的焦点坐标；
（II）若点M满足，求点M的轨迹方程.
21．（本小题满分12分）
已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式
m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不
存在，请说明理由.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲
如图，AB是⊙O的直径 ，AC是弦 ，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，
DE⊥AC，交AC的延长线于点E.OE交AD于点F.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，求的值.
（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知点p(x,y)是圆上的动点.
(1)求2x+y的取值范围;
(2)若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.
（24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
设函数
(1)解不等式
(2)若对恒成立，求实数的取值范围。
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷5
数学试卷（理）
一、选择题：
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B 10．B 11．A 12．C
二、填空题：．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：
17．解：（I）
是等比数列
（Ⅱ）由（I）知
的公差为1， ；
18．解：(1) 以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，=(2,0,-2)，=(0,1,1)，=(2,2,0)。
设=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，
则由，得 ；取=-1，=(1,-1,1)，
∵·=2-2=0，∴⊥，又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE。
(2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,又==(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。
设二面角B-DE-C的平面角为θ,由图可知θ=<,>，
∴ cosθ=cos<,>===，故二面角B-DE-C余弦值为。
(3)∵=(2,2,-2)，=(0,1,1)，∴·=0+2-2=0，∴PB⊥DE。
假设棱PB上存在点F，使PB平面DEF，设=λ(0＜λ＜1)，
则 =(2λ, 2λ,-2λ)，=+=(2λ, 2λ,2-2λ)，
由·=0 得 4λ2 +4λ2-2λ(2-2λ)=0，
∴ λ=∈(0,1)，此时PF=PB，即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF。
19．解：（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为、，
则取值分别为1，2，3；取值分别为0，1，2，3。
，，。
1
2
3
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
。
∵，同理：，，。
0
1
2
3
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：
。
（2）∵，
。
（或）。∴。
∵，，
∴。
从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。
说明：只根据数学期望与方差得出结论，也给分。
20．解：（I）将P（1，－1）代入抛物线C的方程得a=－1，
∴抛物线C的方程为，即
焦点坐标为F（0，－）.……………………………………4分
（II）设直线PA的方程为，
联立方程消去y得
则
由………………6分
同理直线PB的方程为
联立方程消去y得
则
又…………………………8分
设点M的坐标为（x，y），由

又…………………………………………10分

∴所求M的轨迹方程为：…………………………12分
21．解：解：（Ⅰ）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ①
设(x)= －ax－2，
方法一：
(1)=1－a－2≤0，
① (－1)=1+a－2≤0. －1≤a≤1，
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
方法二：
≥0， <0，
① (－1)=1+a－2≤0 (1)=1－a－2≤0
0≤a≤1 或 －1≤a≤0
－1≤a≤1.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（Ⅱ）由=，得－ax－2=0， ∵△=+8>0
∴x1，x2是方程－ax－2=0的两非零实根，
x1+x2=a，
∴ x1x2=－2，
从而|x1－x2|==.
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②
设g(t)= +tm－2=mt+(－2)，
方法一：
g(－1)= －m－2≥0，
g(1)= +m－2≥0，
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
m>0， m<0，
② g(－1)=m2－m－2≥0 或 g(1)=m2+m－2≥0
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
22. 略证 （１） 连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ……2分
∴OD∥AE 又AE⊥DE …………3分
∴DE⊥OD，又OD为半径 ∴ DE是的⊙O切线 …………5分
⑵ 提示：过D作DH⊥AB于H 则有∠DOH=∠CAB
Cos∠DOH=cos∠CAB= ……………………6分
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x
∴AH=8x =80
由△AED∽△ADB可得 AD2=AC·AB=AC·10x
∴AE=8X…………8分
又由△AEF∽△DOF 可得AF∶DF= AE∶OD =；∴=……10分
23. 解：(1)设圆的参数方程为,则2x+y=sin+1,
其中(tan=2).∴2x+y.
(2)要使 x+y+a≥0恒成立,只须a≥-x-y
而-x-y=,∴∴a≥.
24．(1)解集为
(2)
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷5
数学试卷（理）
（第I卷　选择题）
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分．共60分．
1．设集合，则满足的集合的个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若复数满足，且复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
3．在中，分别为三个内角 所对应的边，设向量，，若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．若，，，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列.则=（ ）
A．1 B． C．或1 D．或
6．平面∥平面的一个充分条件是（　　）
A．存在一条直线
B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
7．如上图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ）A． B. C. D.
8．若，对任意实数都有，且，则实数的值等于( )
A.±1 B.±3 C.－3或1 D.－1或3
9．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2时有极值，其图象在点(1，(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ）
A．(－∞，0) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
10．将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向左数，黑球的个数大于等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为 （ ）
A． B． C． D．
11. 函数的定义域为R，对任意实数满足，且，当时，＝，则的单调减区间是（ ）
A.[2，2+1]( ) B.[2-1，2]() C.[2，2+2] () D.[2-2，2]()
12. 函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数. 若是闭函数，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．
13．在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的值等于
14．如果直线与圆交于M、N两点，且M、N关于直线对称，则不等式组，表示的平面区域的面积是
15．如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为
16．在平面直角坐标系中已知△ABC的顶点A(－6，0) 和C(6，0)，顶点B在双曲线的左支上，则=
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且。
（1）设，求证：是等比数列：
（2）设，且是公差为1的等差数列，求及的值
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，
侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点。
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论。
19．（本小题满分12分）
某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过. 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. 求：
(1) 分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
20．（本小题满分12分）
已知抛物线，点P（1，－1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点，且满足.
（I）求抛物线C的焦点坐标；
（II）若点M满足，求点M的轨迹方程.
21．（本小题满分12分）
已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式
m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不
存在，请说明理由.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲
如图，AB是⊙O的直径 ，AC是弦 ，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，
DE⊥AC，交AC的延长线于点E.OE交AD于点F.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，求的值.
（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知点p(x,y)是圆上的动点.
(1)求2x+y的取值范围;
(2)若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.
（24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
设函数
(1)解不等式
(2)若对恒成立，求实数的取值范围。
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷5
数学试卷（理）
一、选择题：
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B 10．B 11．A 12．C
二、填空题：．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：
17．解：（I）
是等比数列
（Ⅱ）由（I）知
的公差为1， ；
18．解：(1) 以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，=(2,0,-2)，=(0,1,1)，=(2,2,0)。
设=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，
则由，得 ；取=-1，=(1,-1,1)，
∵·=2-2=0，∴⊥，又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE。
(2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,又==(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。
设二面角B-DE-C的平面角为θ,由图可知θ=<,>，
∴ cosθ=cos<,>===，故二面角B-DE-C余弦值为。
(3)∵=(2,2,-2)，=(0,1,1)，∴·=0+2-2=0，∴PB⊥DE。
假设棱PB上存在点F，使PB平面DEF，设=λ(0＜λ＜1)，
则 =(2λ, 2λ,-2λ)，=+=(2λ, 2λ,2-2λ)，
由·=0 得 4λ2 +4λ2-2λ(2-2λ)=0，
∴ λ=∈(0,1)，此时PF=PB，即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF。
19．解：（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为、，
则取值分别为1，2，3；取值分别为0，1，2，3。
，，。
1
2
3
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
。
∵，同理：，，。
0
1
2
3
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：
。
（2）∵，
。
（或）。∴。
∵，，
∴。
从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。
说明：只根据数学期望与方差得出结论，也给分。
20．解：（I）将P（1，－1）代入抛物线C的方程得a=－1，
∴抛物线C的方程为，即
焦点坐标为F（0，－）.……………………………………4分
（II）设直线PA的方程为，
联立方程消去y得
则
由………………6分
同理直线PB的方程为
联立方程消去y得
则
又…………………………8分
设点M的坐标为（x，y），由

又…………………………………………10分

∴所求M的轨迹方程为：…………………………12分
21．解：解：（Ⅰ）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ①
设(x)= －ax－2，
方法一：
(1)=1－a－2≤0，
① (－1)=1+a－2≤0. －1≤a≤1，
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
方法二：
≥0， <0，
① (－1)=1+a－2≤0 (1)=1－a－2≤0
0≤a≤1 或 －1≤a≤0
－1≤a≤1.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（Ⅱ）由=，得－ax－2=0， ∵△=+8>0
∴x1，x2是方程－ax－2=0的两非零实根，
x1+x2=a，
∴ x1x2=－2，
从而|x1－x2|==.
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②
设g(t)= +tm－2=mt+(－2)，
方法一：
g(－1)= －m－2≥0，
g(1)= +m－2≥0，
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
m>0， m<0，
② g(－1)=m2－m－2≥0 或 g(1)=m2+m－2≥0
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
22. 略证 （１） 连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ……2分
∴OD∥AE 又AE⊥DE …………3分
∴DE⊥OD，又OD为半径 ∴ DE是的⊙O切线 …………5分
⑵ 提示：过D作DH⊥AB于H 则有∠DOH=∠CAB
Cos∠DOH=cos∠CAB= ……………………6分
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x
∴AH=8x =80
由△AED∽△ADB可得 AD2=AC·AB=AC·10x
∴AE=8X…………8分
又由△AEF∽△DOF 可得AF∶DF= AE∶OD =；∴=……10分
23. 解：(1)设圆的参数方程为,则2x+y=sin+1,
其中(tan=2).∴2x+y.
(2)要使 x+y+a≥0恒成立,只须a≥-x-y
而-x-y=,∴∴a≥.
24．(1)解集为
(2)