辽宁省沈阳市第二十中学2013届高三高考领航考试（三）数学（文）试题

沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷（3）
出题人： 审题人：
一、选择题：
1．设集合，则满足的集合B的个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．8
2．已知，其中是实数，是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，则（ ）
A．在区间内均有零点
B．在区间内均无零点
C．在区间内有零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有零点
5．实数满足，则的值为（ ）
A．8 B． C．0 D．10
6．设函数为定义在R上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）
A．3 B．1 C． D．
7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。给出下列函数①；②；③；④ 其中“互为生成函数”的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
8．在内，内角的对边分别是，若，，则A=（ ）
A． B． C． D．
9．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
10．设命题非零向量是的充要条件；命题“”是“”的充要条件，则（ ）
A．为真命题 B．为假命题
C．为假命题 D．为真命题
11．已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．0
12．若，且，则下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。（将答案填在答题纸上）
13．设曲线在点处的切线与直线平行，则 .
14．如果，那么= .
15．在中，，则 .
16．O是平面上一点，点是平面上不共线的三点。平面内的动点P满足，若，则·的值等于 .
三、解答题：
17．已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）作出函数在一个周期内的图象。
18．如图，某观测站C在城A的南偏西的方向，从城A出发有一条走向为南偏东的公路，在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20km后到达D处，测得C，D两处的距离为21km，这时此车距离A城多少千米？
19．已知等差数列的前项和为，且
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和
20.设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
求椭圆C的离心率；
如果|AB|=，求椭圆C的方程.
21. 已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所作的第一题记分。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（I）证明：
（II）若的面积，求的大小。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知P为半圆C：（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），
O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。
（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷（文）
参 考 答 案
一、选择题
1．C 2．C 3．D 4．D 5．A 6．A 7．B 8．A
9．D 10．C 11．B 12．D
二、填空题
13．1 14． 15．3 16．0
三、解答题
17．解：（1）……2分
…………………………………………………………3分
∴最小正周期为 …………………………………………………………………4分
令，则，
所以函数的单调递增区间是…………………………6分
（2）列表
0
0
1
0
0
…………………………………………………………………………………………9分
画图略…………………………………………………………………………………12分
18．解：在中，，由余弦定理
，…………………3分
所以，…………………………………………5分
在中，由条件知，
所以………………8分
由正弦定理
所以 ………………………………………………………11分
故这时此车距离A城15千米……………………………………………………12分
19．解：（1）设等差数列的公差为，则由条件得
， ………………………………………………………………3分
解得， ………………………………………………………………5分
所以通项公式，则………………………6分
（2）令，则，
所以，当时，，当时，. ………………………………8分
所以，当时，
当时，

所以………………………………………………12分
（20）解：
设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 . ……6分
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为. ……12
（21）解：（Ⅰ）因为
所以
令
（1）当
所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递
（2）当
即，解得
①当时，恒成立，
此时，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，单调递减；
时，单调递增；
，此时，函数单调递减；
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：
当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0， 1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数上单调递减，
（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，
，当，
函数单调递减；当时，
函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为
由于“对任意，存在，使”等价于
“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）
又，所以
①当时，因为，此时与（*）矛盾；
②当时，因为，同样与（*）矛盾；
③当时，因为
解不等式，可得
综上，的取值范围是
（22）证明：
（Ⅰ）由已知条件，可得
因为是同弧上的圆周角，所以
故△ABE∽△ADC. ……5分
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.则sin=1，又为三角形内角，
所以=90°. ……10分
（23）解：
（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，
故点M的极坐标为（，）. ……5分
（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为
（t为参数） ……10分
（24）证明：（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
①所以 ② ……6分
故.
又 ③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分
（证法二）因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以 ①
同理 ② ……6分
故
③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷（3）
出题人： 审题人：
一、选择题：
1．设集合，则满足的集合B的个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．8
2．已知，其中是实数，是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，则（ ）
A．在区间内均有零点
B．在区间内均无零点
C．在区间内有零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有零点
5．实数满足，则的值为（ ）
A．8 B． C．0 D．10
6．设函数为定义在R上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）
A．3 B．1 C． D．
7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。给出下列函数①；②；③；④ 其中“互为生成函数”的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
8．在内，内角的对边分别是，若，，则A=（ ）
A． B． C． D．
9．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
10．设命题非零向量是的充要条件；命题“”是“”的充要条件，则（ ）
A．为真命题 B．为假命题
C．为假命题 D．为真命题
11．已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．0
12．若，且，则下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。（将答案填在答题纸上）
13．设曲线在点处的切线与直线平行，则 .
14．如果，那么= .
15．在中，，则 .
16．O是平面上一点，点是平面上不共线的三点。平面内的动点P满足，若，则·的值等于 .
三、解答题：
17．已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）作出函数在一个周期内的图象。
18．如图，某观测站C在城A的南偏西的方向，从城A出发有一条走向为南偏东的公路，在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20km后到达D处，测得C，D两处的距离为21km，这时此车距离A城多少千米？
19．已知等差数列的前项和为，且
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和
20.设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
求椭圆C的离心率；
如果|AB|=，求椭圆C的方程.
21. 已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所作的第一题记分。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（I）证明：
（II）若的面积，求的大小。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知P为半圆C：（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），
O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。
（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷（文）
参 考 答 案
一、选择题
1．C 2．C 3．D 4．D 5．A 6．A 7．B 8．A
9．D 10．C 11．B 12．D
二、填空题
13．1 14． 15．3 16．0
三、解答题
17．解：（1）……2分
…………………………………………………………3分
∴最小正周期为 …………………………………………………………………4分
令，则，
所以函数的单调递增区间是…………………………6分
（2）列表
0
0
1
0
0
…………………………………………………………………………………………9分
画图略…………………………………………………………………………………12分
18．解：在中，，由余弦定理
，…………………3分
所以，…………………………………………5分
在中，由条件知，
所以………………8分
由正弦定理
所以 ………………………………………………………11分
故这时此车距离A城15千米……………………………………………………12分
19．解：（1）设等差数列的公差为，则由条件得
， ………………………………………………………………3分
解得， ………………………………………………………………5分
所以通项公式，则………………………6分
（2）令，则，
所以，当时，，当时，. ………………………………8分
所以，当时，
当时，

所以………………………………………………12分
（20）解：
设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 . ……6分
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为. ……12
（21）解：（Ⅰ）因为
所以
令
（1）当
所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递
（2）当
即，解得
①当时，恒成立，
此时，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，单调递减；
时，单调递增；
，此时，函数单调递减；
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：
当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0， 1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数上单调递减，
（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，
，当，
函数单调递减；当时，
函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为
由于“对任意，存在，使”等价于
“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）
又，所以
①当时，因为，此时与（*）矛盾；
②当时，因为，同样与（*）矛盾；
③当时，因为
解不等式，可得
综上，的取值范围是
（22）证明：
（Ⅰ）由已知条件，可得
因为是同弧上的圆周角，所以
故△ABE∽△ADC. ……5分
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.则sin=1，又为三角形内角，
所以=90°. ……10分
（23）解：
（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，
故点M的极坐标为（，）. ……5分
（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为
（t为参数） ……10分
（24）证明：（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
①所以 ② ……6分
故.
又 ③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分
（证法二）因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以 ①
同理 ② ……6分
故
③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分