辽宁省沈阳市第二十中学2013届高三高考领航考试（三）数学（理）试题

沈阳市第二十中学2013届高考领航试卷3
数学试卷（理）
（第I卷　选择题）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分)
1．若集合，，则A∩B为 （ ）
A． B． C． D．
2．复数等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知，下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是 （ ）
A． B． C． D．
4.设a=2,b=In2,c=,则
A a5．已知锐角的终边上一点P（，），则等于 （ ）
A． B． C． D．
6. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A= （ ）
（A） （B） （C） （D）
7．设向量满足||=||=1, ,，=，则的最大值等于
(A)2 (B) (c) (D)1
8．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
9．已知实数满足，且目标函数的最大值为6，最小值为1，
其中的值为 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，每隔500元一段要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出的人数为 （ ）
?
?
?
?
?
?
A．20 B．25 C．35 D．45
11. 若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为 （ ）
A．(0，1) B．(，1) C．(，+∞) D．(1，+∞)
12. 设，，…，是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为
A．48 B．96 C．144 D．192
第Ⅱ卷
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分。)
13．若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体
的体积是 ．
14．如右上图，如果执行它的程序框图，输入正整数
，那么输出的等于 ．
15．已知数列，满足，则 ．
16．已知函数，令，则二项式展开式中常数项是第 项.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.在钝角三角形ABC中，、、分别是角A、B、C的对边，
，，且∥.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数的值域．
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，
底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，
平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是
棱PC上的点， PA=PD=2，BC=AD=1，CD=.
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）设PM=t MC，若二面角M-BQ-C的平面角的
大小为30°，试确定t的值.
19. 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；
（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列和期望。

20. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
21.已知函数的图像过点，且在该点的切线方程为.
（Ⅰ）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数恰好有一个零点，求实数的取值范围.
( 22 ) （本小题满分 10 分）选修 4- l ：几何证明选讲
己知△ABC中，AB=AC , D是△ABC外接圆
劣弧上的点（不与点A , C重合），延长BD至E。
(1)求证：AD 的延长线平分；
(2)若，△ABC中BC边上的高,
求△ABC外接圆的面积．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线
（t为参数）距离的最小值。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，为数轴的原点，为数轴上三点，为线段上的动点，设表示与原点的距离， 表示到距离4倍与到距离的6倍的和.
（1）将表示为的函数；
（2）要使的值不超过70， 应该在什么范围内取值？
沈阳市第二十中学2012届高三第三套冲刺卷
数学试卷（理）答案
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 2 12. 1680
13. 14. 5
15. ①[－1,5] ②＋1 ③ 
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由得，
由正弦定理得
，，·····················5分
（Ⅱ）························……·············7分
当角B为钝角时，角C为锐角，则
，，········10分
当角B为锐角时，角C为钝角，则
，，········13分
综上，所求函数的值域为.··············14分
18. （本小题满分12分）（I）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………7分
另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点， ∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．
∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°． ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．
∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…………7分
（II）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为；
，，
，．
设，则，，
∵，
∴ ， ∴ …………………………11分
在平面MBQ中，，，
∴ 平面MBQ法向量为．
∵二面角M-BQ-C为30°，，
∴ ． …………………………
19. （1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则

=
=
（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为

=
所以的分布列是
20. （Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
。
21. （本小题满分14分）解：（1）由…1分
所以 …………………………3分
在上恒成立
即 ……………………………………………………5分
（2） 和恰好有一个交点
①当时在区间单调递减，在上单调递增，
极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴上方，并且无限接近于轴）
所以或………………………8分
②当时：(ⅰ)当，即时，
在区间单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）
当即时 ，或
当时，即时，或……………………………………11分
(ⅱ)当时，即 时在区间单调递增，在上单调递减，极小值为，极大值为，（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）
或………………………13分
（ⅲ）时，即时，在R上单调增（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）此时 ………………………14分
( 22 ) 解：( 1 ）如图，设F为AD延长线上一点，∵A，B，C， D 四点共圆，
= ， 又AB＝AC ，∴，且，
∴，对顶角，故，
故AD 的延长线平分。---------------5分
.( 2）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H ，则AH⊥BC ,
连接 OC ，由题意OAC＝OCA =，，
∴，设圆半径为r，则，
得：r= 2 ，故外接圆面积为。 ---------10 分
（23）解：
（Ⅰ）
为圆心是，半径是1的圆。
为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
（Ⅱ）当时，，故
为直线，
M到的距离
从而当时，取得最小值
（24）解：
（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，满足
解不等式组，其解集为
所以