2021-2022学年人教版八年级数学下册17.2勾股定理的逆定理 题型分类训练（Word，带答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学下册17.2勾股定理的逆定理 题型分类训练（Word，带答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 296.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-30 23:11:50 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》题型分类训练（附答案）
一．勾股定理的逆定理
1．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13 B．9，40，41
C．0.5，1.2，1.3 D．2，3，4
2．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．适合下列条件的△ABC中，是直角三角形的个数为（ ）
①a：b：c＝3：4：5
②∠A＝32°，∠B＝58°
③a＝5，b＝12，c＝13
④a＝7，b＝24，c＝25
⑤a＝2，b＝2，c＝4
⑥∠A：∠B：∠C＝1：2：3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知a，b，c分别为△ABC的三边长，则符合下列条件的△ABC中，直角三角形有（ ）
（1）a＝，b＝，c＝；（2）a2＝（b+c）（b﹣c）；（3）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（4）a＝7，b＝24，c＝25； （5）a＝2，b＝2，c＝4．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．△ABC的三边为a、b、c，且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（ ）
A．△ABC是锐角三角形 B．c边的对角是直角
C．△ABC是钝角三角形 D．a边的对角是直角
6．三角形的三边长有下列关系：（a﹣b）2＝c2﹣2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
7．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
9．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则△ABC中AC边上的高线长为（ ）
A． B．6 C．4.8 D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为 ．
11．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．
14．已知：如图，△ABC中，CD⊥AB，AB＝2，BC＝2，AC＝4．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求CD的长．
15．如图，点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝，求证：∠ACE＝90°．
二．勾股数
16．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
17．下面四组数中是勾股数的有（ ）
（1）1.5，2.5，2；（2），，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
三．勾股定理的应用
18．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米
19．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．4≤a≤5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2
20．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（ ）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
21．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
22．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 米．
23．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
24．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？
25．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
26．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（ ）（滑轮上方的部分忽略不计）
A．12m B．13m C．16m D．17m
27．如图所示，在一棵树的10米高的B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的A处．另一只猴子爬到树顶D处后顺绳子滑到A处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
28．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．
29．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
30．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
31．如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
32．如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 m．
33．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
（1）根据题意可知：AC BC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝9米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
34．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，
（1）求BC的长；
（2）这辆小汽车超速了吗？
35．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
36．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
37．如图，现对校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
38．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
39．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
40．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
参考答案
一．勾股定理的逆定理
1．解：A、52+122＝132，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、92+402＝412，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C、0.52+1.22＝1.32，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
D、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．解：①∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3x，则b＝4x，c＝5x，
∴（3x）2+（4x）2＝25x2，c2＝（5x）2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形；
②∵∠A＝32°，∠B＝58°，
∴∠C＝180°﹣32°﹣58°＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
③∵a2+b2＝52+122＝169，c2＝132＝169，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形；
④∵a2+b2＝72+242＝625，c2＝252＝625，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形；
⑤∵a2+b2＝22+22＝8，c2＝42＝16，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形；
⑥设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：D．
4．解：（1）由a＝，b＝，c＝可得，a2≠b2+c2，故△ABC不是直角三角形；
（2）由a2＝（b+c）（b﹣c）可得，a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形；
（3）由∠A：∠B：∠C＝3：4：5可得，∠C＝180°×＝75°＜90°，故△ABC不是直角三角形；
（4）由a＝7，b＝24，c＝25可得，c2＝a2+b2，故△ABC为直角三角形；
（5）由a＝2，b＝2，c＝4可得，a+b＝c，故不能构成三角形．
故选：A．
5．解：∵（a+b）（a﹣b）＝c2，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，a为斜边，
∴a边的对角是直角．
故选：D．
6．解：∵（a﹣b）2＝c2﹣2ab，
∴a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴这个三角形是直角三角形．
故选：C．
7．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
8．解：∵62+82＝102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：×6×8＝24．
故答案为：24．
9．解：设AC边上的高线为h，
∵△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，
∴62+82＝102，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB BC＝
即×6×8＝
h＝4.8．
故选：C．
10．解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∴AC＝5，
∵AD＝5，CD＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，
在△ABC和△CMD中
∴△ABC≌△CMD，
∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，
∴BM＝BC+CM＝7，
∴BD＝＝＝，
故答案为：．
11．解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝3，
∴BC＝＝＝3，
∵CD＝，BD＝2，
（）2+（3）2＝（2）2，
∴△BCD是直角三角形，
∴点C到BD的距离为×3÷2×2÷2＝．
故答案为：．
12．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
13．解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，
∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，
∵CD＝，DA＝5，
∴CD2+AC2＝DA2，
∴∠ACD＝90°，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．
14．证明：（1）∵AB＝2，BC＝2，AC＝4．
∵AC2+BC2＝20＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC是直角三角形，
∴CD＝．
15．证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝＝．
在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，
∴CE＝＝＝2，
∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65，
∴AE2＝AC2+CE2，
∴△ACE是直角三角形，AE是斜边，
∴∠ACE＝90°．
二．勾股数
16．解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
17．解：（1）1.52+22＝2.52，但不是正整数，故错误；
（2）（）2+（）2＝22，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；
（3）122+162＝202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；
（4）0.52+1.22＝1.32，但不是正整数，故错误．
故选：A．
三．勾股定理的应用
18．解：∵车宽1.6米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝＝0.6（米），
∴CH＝CD+DH＝0.6+2.3＝2.9（米），
∴卡车的外形高必须低于2.9米．
故选：B．
19．解：如图，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12cm；
∴a＝16﹣12＝4（cm），
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b＝＝13（cm），
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
20．解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为＝13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
故选：B．
21．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
22．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝4，
∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4＝7米．
故答案为7．
23．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
24．解：根据题意可知AB＝50米，AC＝BC+10米，
设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，
即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120．
答：该河的宽度BC为120米．
25．解：过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
26．解：设旗杆高度为x，则AC＝AD＝x，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
27．解：由题意得，CD＝x+10，AC＝20米，
在Rt△ADC中，AD＝＝，
∵两只猴子所经过的距离相等，
∴BC+CA＝BD+DA，即10+20＝x+，
解得：x＝5，即树高10+5＝15米．
故答案为：15．
28．解：Rt△ABC中，∠B＝90°，
设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）
则10+a＝x+b＝15（m）．
∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2，
∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2，
解得，x＝2，即AD＝2（米）
∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米）
答：树高AB为12米．
29．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15km．
所以，E应建在距A点15km处．
故选：C．
30．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．
故选：A．
31．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设AC为x，则OC＝45﹣x，
由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，
又∵OA＝45，OB＝15，
把它代入关系式152+（45﹣x）2＝x2，
解方程得出x＝25（cm）．
答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．
32．解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴（m），
故答案为：12；
（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，
∴CD＝8（m），
∴AD＝（m），
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m．
故答案为：（12﹣）．
33．解：（1）∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，（BC+CE）的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴AC＝BC+CE，
故答案为：＝；
（2）连接AB，如图所示：
则点A、B、F三点共线，
在Rt△CFA中，由勾股定理得：AC＝＝＝13（米），
∵BF＝AF﹣AB＝12﹣9＝3（米），
在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC＝＝＝（米），
由（1）得：AC＝BC+CE，
∴CE＝AC﹣BC＝（13﹣）（米），
∴小男孩需向右移动的距离为（13﹣）米．
34．解：（1）在直角△ABC中，已知AC＝30米，AB＝50米，
且AB为斜边，则BC＝＝40米．
答：小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米；
（2）小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒，
20米/秒＝72千米/时，
因为72＞70，
所以这辆小汽车超速了．
答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，故这辆小汽车超速了．
35．解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
所以根据勾股定理有AB＝500米．
因为S△ABC＝AB CD＝BC AC
所以CD＝＝＝240米．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
36．解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
37．解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，
∵AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，
∴AC＝5，
∵AC2+AD2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
该区域面积＝S△ACD﹣S△ABC＝30﹣6＝24（平方米），
铺满这块空地共需花费＝24×80＝1920（元）．
答：用该草坪铺满这块空地共需花费1920元．
38．解：（1）如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2
∴AC＝5cm，
在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；
（2）∵S△ABC＝×3×4＝6，S△ACD＝×5×12＝30，
∴S四边形ABCD＝6+30＝36，
费用＝36×80＝2880（元）．
答：铺满这块空地共需花费2880元．
39．解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作AB⊥MN于B，如图1，
∵PA＝120m，∠QPN＝30°，
∴AB＝PA＝60m，
而60m＜100m，
∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，
∵AB⊥CD，
∴CB＝BD，
在Rt△ABC中，AC＝100m，AB＝60m，
CB＝＝80m，
∴CD＝2BC＝160m，
∵消防车的速度5m/s，
∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间＝160÷5＝32（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．
40．解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，
∴OB＝20×2＝40（海里），
∵AB＝50海里，
在Rt△AOB中，，
∴乙轮船平均每小时航行30÷2＝15海里．
一．勾股定理的逆定理
1．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13 B．9，40，41
C．0.5，1.2，1.3 D．2，3，4
2．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．适合下列条件的△ABC中，是直角三角形的个数为（ ）
①a：b：c＝3：4：5
②∠A＝32°，∠B＝58°
③a＝5，b＝12，c＝13
④a＝7，b＝24，c＝25
⑤a＝2，b＝2，c＝4
⑥∠A：∠B：∠C＝1：2：3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知a，b，c分别为△ABC的三边长，则符合下列条件的△ABC中，直角三角形有（ ）
（1）a＝，b＝，c＝；（2）a2＝（b+c）（b﹣c）；（3）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（4）a＝7，b＝24，c＝25； （5）a＝2，b＝2，c＝4．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．△ABC的三边为a、b、c，且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（ ）
A．△ABC是锐角三角形 B．c边的对角是直角
C．△ABC是钝角三角形 D．a边的对角是直角
6．三角形的三边长有下列关系：（a﹣b）2＝c2﹣2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
7．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
9．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则△ABC中AC边上的高线长为（ ）
A． B．6 C．4.8 D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为 ．
11．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．
14．已知：如图，△ABC中，CD⊥AB，AB＝2，BC＝2，AC＝4．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求CD的长．
15．如图，点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝，求证：∠ACE＝90°．
二．勾股数
16．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
17．下面四组数中是勾股数的有（ ）
（1）1.5，2.5，2；（2），，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
三．勾股定理的应用
18．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米
19．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．4≤a≤5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2
20．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（ ）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
21．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
22．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 米．
23．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
24．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？
25．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
26．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（ ）（滑轮上方的部分忽略不计）
A．12m B．13m C．16m D．17m
27．如图所示，在一棵树的10米高的B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的A处．另一只猴子爬到树顶D处后顺绳子滑到A处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
28．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．
29．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
30．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
31．如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
32．如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 m．
33．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
（1）根据题意可知：AC BC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝9米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
34．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，
（1）求BC的长；
（2）这辆小汽车超速了吗？
35．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
36．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
37．如图，现对校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
38．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
39．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
40．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
参考答案
一．勾股定理的逆定理
1．解：A、52+122＝132，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、92+402＝412，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C、0.52+1.22＝1.32，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
D、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．解：①∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3x，则b＝4x，c＝5x，
∴（3x）2+（4x）2＝25x2，c2＝（5x）2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形；
②∵∠A＝32°，∠B＝58°，
∴∠C＝180°﹣32°﹣58°＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
③∵a2+b2＝52+122＝169，c2＝132＝169，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形；
④∵a2+b2＝72+242＝625，c2＝252＝625，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形；
⑤∵a2+b2＝22+22＝8，c2＝42＝16，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形；
⑥设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：D．
4．解：（1）由a＝，b＝，c＝可得，a2≠b2+c2，故△ABC不是直角三角形；
（2）由a2＝（b+c）（b﹣c）可得，a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形；
（3）由∠A：∠B：∠C＝3：4：5可得，∠C＝180°×＝75°＜90°，故△ABC不是直角三角形；
（4）由a＝7，b＝24，c＝25可得，c2＝a2+b2，故△ABC为直角三角形；
（5）由a＝2，b＝2，c＝4可得，a+b＝c，故不能构成三角形．
故选：A．
5．解：∵（a+b）（a﹣b）＝c2，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，a为斜边，
∴a边的对角是直角．
故选：D．
6．解：∵（a﹣b）2＝c2﹣2ab，
∴a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴这个三角形是直角三角形．
故选：C．
7．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
8．解：∵62+82＝102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：×6×8＝24．
故答案为：24．
9．解：设AC边上的高线为h，
∵△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，
∴62+82＝102，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB BC＝
即×6×8＝
h＝4.8．
故选：C．
10．解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∴AC＝5，
∵AD＝5，CD＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，
在△ABC和△CMD中
∴△ABC≌△CMD，
∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，
∴BM＝BC+CM＝7，
∴BD＝＝＝，
故答案为：．
11．解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝3，
∴BC＝＝＝3，
∵CD＝，BD＝2，
（）2+（3）2＝（2）2，
∴△BCD是直角三角形，
∴点C到BD的距离为×3÷2×2÷2＝．
故答案为：．
12．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
13．解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，
∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，
∵CD＝，DA＝5，
∴CD2+AC2＝DA2，
∴∠ACD＝90°，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．
14．证明：（1）∵AB＝2，BC＝2，AC＝4．
∵AC2+BC2＝20＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC是直角三角形，
∴CD＝．
15．证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝＝．
在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，
∴CE＝＝＝2，
∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65，
∴AE2＝AC2+CE2，
∴△ACE是直角三角形，AE是斜边，
∴∠ACE＝90°．
二．勾股数
16．解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
17．解：（1）1.52+22＝2.52，但不是正整数，故错误；
（2）（）2+（）2＝22，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；
（3）122+162＝202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；
（4）0.52+1.22＝1.32，但不是正整数，故错误．
故选：A．
三．勾股定理的应用
18．解：∵车宽1.6米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝＝0.6（米），
∴CH＝CD+DH＝0.6+2.3＝2.9（米），
∴卡车的外形高必须低于2.9米．
故选：B．
19．解：如图，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12cm；
∴a＝16﹣12＝4（cm），
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b＝＝13（cm），
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
20．解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为＝13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
故选：B．
21．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
22．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝4，
∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4＝7米．
故答案为7．
23．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
24．解：根据题意可知AB＝50米，AC＝BC+10米，
设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，
即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120．
答：该河的宽度BC为120米．
25．解：过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
26．解：设旗杆高度为x，则AC＝AD＝x，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
27．解：由题意得，CD＝x+10，AC＝20米，
在Rt△ADC中，AD＝＝，
∵两只猴子所经过的距离相等，
∴BC+CA＝BD+DA，即10+20＝x+，
解得：x＝5，即树高10+5＝15米．
故答案为：15．
28．解：Rt△ABC中，∠B＝90°，
设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）
则10+a＝x+b＝15（m）．
∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2，
∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2，
解得，x＝2，即AD＝2（米）
∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米）
答：树高AB为12米．
29．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15km．
所以，E应建在距A点15km处．
故选：C．
30．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．
故选：A．
31．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设AC为x，则OC＝45﹣x，
由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，
又∵OA＝45，OB＝15，
把它代入关系式152+（45﹣x）2＝x2，
解方程得出x＝25（cm）．
答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．
32．解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴（m），
故答案为：12；
（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，
∴CD＝8（m），
∴AD＝（m），
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m．
故答案为：（12﹣）．
33．解：（1）∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，（BC+CE）的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴AC＝BC+CE，
故答案为：＝；
（2）连接AB，如图所示：
则点A、B、F三点共线，
在Rt△CFA中，由勾股定理得：AC＝＝＝13（米），
∵BF＝AF﹣AB＝12﹣9＝3（米），
在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC＝＝＝（米），
由（1）得：AC＝BC+CE，
∴CE＝AC﹣BC＝（13﹣）（米），
∴小男孩需向右移动的距离为（13﹣）米．
34．解：（1）在直角△ABC中，已知AC＝30米，AB＝50米，
且AB为斜边，则BC＝＝40米．
答：小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米；
（2）小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒，
20米/秒＝72千米/时，
因为72＞70，
所以这辆小汽车超速了．
答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，故这辆小汽车超速了．
35．解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
所以根据勾股定理有AB＝500米．
因为S△ABC＝AB CD＝BC AC
所以CD＝＝＝240米．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
36．解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
37．解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，
∵AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，
∴AC＝5，
∵AC2+AD2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
该区域面积＝S△ACD﹣S△ABC＝30﹣6＝24（平方米），
铺满这块空地共需花费＝24×80＝1920（元）．
答：用该草坪铺满这块空地共需花费1920元．
38．解：（1）如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2
∴AC＝5cm，
在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；
（2）∵S△ABC＝×3×4＝6，S△ACD＝×5×12＝30，
∴S四边形ABCD＝6+30＝36，
费用＝36×80＝2880（元）．
答：铺满这块空地共需花费2880元．
39．解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作AB⊥MN于B，如图1，
∵PA＝120m，∠QPN＝30°，
∴AB＝PA＝60m，
而60m＜100m，
∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，
∵AB⊥CD，
∴CB＝BD，
在Rt△ABC中，AC＝100m，AB＝60m，
CB＝＝80m，
∴CD＝2BC＝160m，
∵消防车的速度5m/s，
∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间＝160÷5＝32（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．
40．解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，
∴OB＝20×2＝40（海里），
∵AB＝50海里，
在Rt△AOB中，，
∴乙轮船平均每小时航行30÷2＝15海里．