2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.4.1二项分布课件（23张ppt）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.4.1二项分布课件（23张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-30 15:54:07 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
学习目标
1.理解n重伯努利试验模型.
2.理解二项分布.
3.能运用n重伯努利试验模型及二项分布解决一些简单的实际问题
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
1.离散型随机变量的均值的概念
则称E(X)＝ ＝ 为随机变量X的均值或
数学期望.
3.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么：
X 1 0
P p 1-p
4.离散型随机变量的均值、方差的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝ .
2.离散型随机变量的方差的概念
D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).
D(aX+b)=a2D(X)
aE(x)+b
知识回顾
问题探究
问题1：伯努利试验
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.
例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为
n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
(1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）
(2) 各次试验的结果相互独立.
做一做:下面3个随机试验是否为n重伯努利试验
如果是,那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大 重复试验的次数是多少？
1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
问题探究
随机试验 是否为n重伯努利试验 伯努利试验 P(A) 重复试验的次数
1
2
3
是
是
是
抛掷一枚质地均匀的硬币
某飞碟运动员进行射击
从一批产品中随机抽取一件
0.5
0.8
0.95
10
3
20
问题探究
探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同
伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.
进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.
思考：姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0.8，假设他每次命中率相同,请问他4投1中的概率是多少
思考：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少
分解问题：1)在4次投篮中他恰好命中1次的情况有几种
表示投中, 表示没投中,则4次投篮中投中1次的情况有以下四种:
(1)
(2)
(3)
(4)
2)说出每种情况的概率是多少
3)上述四种情况能否同时发生
追问1：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少
追问2：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少
追问3：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？
追问4：在n次投篮中姚明恰好命中k次的概率是多少
问题探究
问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：
于是，中靶次数X的分布列为：
思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.
(2)中靶次数X的分布列为：
X 0 1 … k … n
p … …
知识概念
二项分布
思考：二项分布与两点分布有何关系
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.
思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？
即 = =1
（其中k = 0，1，2，···，n ）
实验总次数
事件 A 发生的次数
事件 A 发生的概率
概念辨析
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在伯努利试验中,关注的是事件A是否发生,而在n重伯努利试验中,关注的是事件A发生的次数. ( )
(2)n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果. ( )
(3)进行n重伯努利试验,各次试验中事件A发生的概率可以不同.( )
√
√
×
例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.
分析:抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验,因此,正面朝上的次数服从二项分布.
典例分析
典例分析
例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果,设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分布。
X的概率分布图如下图所示：
例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局,把n局比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.
典例分析
归纳小结
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）.
探究：假设随机变量X服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？
一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).
知识概念
一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).
证明：
∵P(X=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴kP(X=k)= kCnkpkqn-k= npCn-1k-1pk-1qn-k
∴E (X) =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2
+ …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0
=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
=np(p+q)n-1=np
例4. 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．
典例分析
解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，
所得的分数为η，
由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，
则E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.
故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96.
所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是
60和96.
课堂小结——你学到了那些新知识呢？
1.二项分布的定义：
2.确定一个二项分布模型的步骤:
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）.
3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).
课后作业
课后作业：全品33-34页1-14题必做，15-17选做
第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
学习目标
1.理解n重伯努利试验模型.
2.理解二项分布.
3.能运用n重伯努利试验模型及二项分布解决一些简单的实际问题
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
1.离散型随机变量的均值的概念
则称E(X)＝ ＝ 为随机变量X的均值或
数学期望.
3.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么：
X 1 0
P p 1-p
4.离散型随机变量的均值、方差的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝ .
2.离散型随机变量的方差的概念
D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).
D(aX+b)=a2D(X)
aE(x)+b
知识回顾
问题探究
问题1：伯努利试验
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.
例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为
n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
(1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）
(2) 各次试验的结果相互独立.
做一做:下面3个随机试验是否为n重伯努利试验
如果是,那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大 重复试验的次数是多少？
1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
问题探究
随机试验 是否为n重伯努利试验 伯努利试验 P(A) 重复试验的次数
1
2
3
是
是
是
抛掷一枚质地均匀的硬币
某飞碟运动员进行射击
从一批产品中随机抽取一件
0.5
0.8
0.95
10
3
20
问题探究
探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同
伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.
进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.
思考：姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0.8，假设他每次命中率相同,请问他4投1中的概率是多少
思考：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少
分解问题：1)在4次投篮中他恰好命中1次的情况有几种
表示投中, 表示没投中,则4次投篮中投中1次的情况有以下四种:
(1)
(2)
(3)
(4)
2)说出每种情况的概率是多少
3)上述四种情况能否同时发生
追问1：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少
追问2：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少
追问3：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？
追问4：在n次投篮中姚明恰好命中k次的概率是多少
问题探究
问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：
于是，中靶次数X的分布列为：
思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.
(2)中靶次数X的分布列为：
X 0 1 … k … n
p … …
知识概念
二项分布
思考：二项分布与两点分布有何关系
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.
思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？
即 = =1
（其中k = 0，1，2，···，n ）
实验总次数
事件 A 发生的次数
事件 A 发生的概率
概念辨析
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在伯努利试验中,关注的是事件A是否发生,而在n重伯努利试验中,关注的是事件A发生的次数. ( )
(2)n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果. ( )
(3)进行n重伯努利试验,各次试验中事件A发生的概率可以不同.( )
√
√
×
例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.
分析:抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验,因此,正面朝上的次数服从二项分布.
典例分析
典例分析
例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果,设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分布。
X的概率分布图如下图所示：
例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局,把n局比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.
典例分析
归纳小结
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）.
探究：假设随机变量X服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？
一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).
知识概念
一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).
证明：
∵P(X=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴kP(X=k)= kCnkpkqn-k= npCn-1k-1pk-1qn-k
∴E (X) =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2
+ …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0
=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
=np(p+q)n-1=np
例4. 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．
典例分析
解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，
所得的分数为η，
由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，
则E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.
故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96.
所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是
60和96.
课堂小结——你学到了那些新知识呢？
1.二项分布的定义：
2.确定一个二项分布模型的步骤:
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）.
3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).
课后作业
课后作业：全品33-34页1-14题必做，15-17选做