课件31张PPT。第一章1.1
第一课时
基本计数原理把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二第一课时 基本计数原理 2012年7月，第30届夏季奥林匹克运动会在伦敦召开，这是国际体坛的一大盛事．一名志愿者从曼彻斯特赶赴伦敦为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．
问题1：该志愿者从曼彻斯特到伦敦的方案可分几类？
提示：两类，即乘飞机、坐火车． 问题2：这几类方案中各有几种方法？
提示：第一类方案(乘飞机)有7种方法，第二类方案
(坐火车)有6种方法．
问题3：该志愿者从曼彻斯特到伦敦共有多少种不同的方法？
提示：共有7＋6＝13种不同的方法． 做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.m1＋m2＋…＋mn 2012年7月，第30届夏季奥林匹克运动会在伦敦召开，这是国际体坛的一大盛事．一名志愿者从曼彻斯特赶赴伦敦为游客提供导游服务，但需在伯明翰停留，已知从曼彻斯特到伯明翰每天有7个航班，从伯明翰到伦敦每天有6列火车． 问题1：该志愿者从曼彻斯特到伦敦需要经历几个步骤？
提示：两个，即先乘飞机到伯明翰，再坐火车到伦敦．
问题2：完成每一步各有几种方法？
提示：第一个步骤有7种方法，第二个有6种方法．
问题3：该志愿者从曼彻斯特到伦敦共有多少种不同的方法？
提示：共有7×6＝42种不同方法． 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝
种不同的方法．m1×m2×…×mn两个计数原理的区别： [例1] 若x，y∈N＋，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．
[思路点拨] 解答本题可按x(或y)的取值分类解决． [精解详析] 按x的取值进行分类：
x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；
x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；
x＝3时，y＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；
x＝4时，y＝1,2，共构成2个有序自然数对；
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对． [一点通] 利用分类加法计数原理时要注意：
(1)要准确理解题意，确定分类的标准．
(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性．1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则
购买方法有 ( )
A．3种 B．6种
C．7种 D．9种
解析：分三类：买1本书、买2本书、买3本书，各类的方法依次为3种、3种、1种，故共有购买方法3＋3＋1＝7种．
答案：C2．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完
成，另外5人会用第2种方法完成．从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 ( )
A．8 B．15
C．16 D．30
解析：第一类：会第1种方法的选1人，有3种选法；第二类：会第2种方法的选1人，有5种选法，共有5＋3＝8种选法．
答案：A3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共
有多少个？
解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成八类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个．所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个．
[例2] 张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？
[思路点拨] 张涛要完成人民币定期储蓄和购买国债这两项投资，他的理财目标才算完成，所以用分步乘法计数原理解决． [精解详析] 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．
第一步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；
第二步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．
由分步乘法计数原理，知张涛共有2×3＝6种不同的理财方式． [一点通] 利用分步乘法计数原理时要注意：
(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；
(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性．4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果
选一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为 ( )
A．7 B．12
C．64 D．81
解析：要完成配套需分两步，第一步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．
答案：B5．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组
成复数a＋bi，其中虚数有 ( )
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个
解析：第一步取数b，有6种方法；第二步取数a，也
有6种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．
答案：C [例3] (10分)有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
[思路点拨] 从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为四类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”． [一点通] 在处理比较复杂的有关两个原理的综合题目时，要挖掘条件，先分类，后分步．分类要全，分步要精，确保解题的条理性，化繁为简是此类问题的解题精要所在．6．李芳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有
2套不同样式的连衣裙．“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有 ( )
A．24种 B．14种
C．10种 D．9种
解析：不选连衣裙有4×3＝12种方法，选连衣裙有2种．
共有12＋2＝14种．
答案：B7．从1,2,3,5,7,9六个数中任取两个数作对数的底数和真数，
则所有不同的对数值的个数为________．
解析：分两类：第一类取1,1只能为真数，此时对数的值为0；
第二类，不取1，分两步．
第一步，取底数，有5种方法；
第二步，取真数，有4种方法．
根据分步乘法计数原理，有5×4个对数值．
根据分类加法计数原理，可得不同的对数值有
1＋5×4＝21个．
答案：21 1．对于一些较复杂的题目，可根据题意恰当画出示意图或者列出表格，使问题的实质凸显出来，然后判断用哪个原理来解决．
2．对于既需要分类又需要分步的题目，要先分类再分步，分类分步应不重不漏，相互独立．点击下图进入“应用创新演练”课件25张PPT。第一章1.1
第二课时
基本计数原理的应用把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三第二课时 基本计数原理的应用 [例1] (1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取三个不同数字组成三位数，则三位数的个数为 ( )
A．120 B．80
C．90 D．100
(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
[思路点拨] (1)分三步，即分百位、十位、个位；(2)此题可利用间接法，即先求出不受限制条件的个数，再减去不符合要求的个数即得解． [精解详析] (1)分三步：第一步，取1个数字排在百位上，不能取0，有5种方法；第二步，从余下的五个数字中取1个作十位，有5种方法；第三步，从余下的4个数字中取1个作个位，有4种方法．根据分步乘法计数原理，共有5×5×4＝100种方法，即得100个三位数．
(2)若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，则个位、十位、百位、千位每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．[答案] (1)D (2)14 [一点通] 对于组数问题的计数，一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步来计数．当分类较多时，可先求出总个数，再减去不符合条件的数的个数．1．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数
为 ( )
A．15 B．12
C．10 D．5
解析：分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．
答案：D2．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全
部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有 ( )
A．36个 B．18个
C．9个 D．6个
解析：分三步完成，第一步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第二步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第三步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．
答案：B [例2] 如图所示，要给三、维、
设、计四个区域分别涂上3种不同颜
色中的某一种，允许同一种颜色使用
多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的
涂色方法？
[思路点拨] 从“三”或“计”区域开始涂色，分四步
完成． [精解详析] 三、维、设、计四个区域依次涂色，分四步完成．
第一步，涂三区域，有3种选择；
第二步，涂维区域，有2种选择；
第三步，涂设区域，由于它与三、维区域颜色不同，有1种选择；
第四步，涂计区域，由于它与维、设区域颜色不同，有1种选择．
所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6种． [一点通] 涂色(种植)问题的一般思路：①为便于分析问题，先给区域(种植品种)标上相应序号；②按涂色
(种植)的顺序分步或按颜色(种植品种)恰当选取情况分类；③选择适当的计数原理求解．3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，
分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有 ( )
A．24种 B．18种
C．12种 D．6种解析：法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．
法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．
答案：B4.如图是某校的校园设施平面图，现用
不同的颜色作为各区域的底色，为了
便于区分，要求相邻区域不能使用同
一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种
不同的着色方法．解析：法一：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方法．
法二：分两类：第一类，操场与教学区用同一种颜色，有6×5×4＝120种着色方法；第二类，操场与教学区不同色，有6×5×4×3＝360种着色方法．根据分类加法计数原理，共有120＋360＝480种不同的着色方法．
答案：480 [例3] (10分)有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？
(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同选法？
[思路点拨] 第(1)问属于分类问题，用分类加法计数原理；第(2)问属于分步问题，用分步乘法计数原理；第(3)问是综合类问题，需先分类再分步． [精解详析] (1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．
由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法． (2分)
(2)分三步：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法． (5分)
(3)可分两类，每一类又分两步． 第一类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法； (7分)
第二类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法． (9分)
由分类加法计数原理，共有24＋15＝39种选法．
(10分)
[一点通] 应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是分清“分类”与“分步”．使用分类加法计数原理时必须做到不重不漏，各类中的每一种方法都能独立完成；使用分步乘法计数原理时，分步必须做到每步均是完成事件必须的、缺一不可的步骤．5．a，b，c，d排成一行，其中a不排第一、b不排第二、c不
排第三、d不排第四的不同排法有 ( )
A．9种 B．18种
C．23种 D．24种解析：依题意，符合要求的排法可分为三类，即第一个
可排b，c，d中的一个．把第一个排b的不同排法逐一列
出如下：
共3种不同的排法．
同理可得，第一个排c，d各有3种不同的排法，故符合
题意的不同排法共有9种．答案：A6．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗
杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
解：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3
×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．点击下图进入“应用创新演练”课件39张PPT。第一章1.2
1.2.1
第一课时
排列与排列数公式把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二第一课时 排列与排列数公式1．2.1 排 列 1．在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念．师生三人站成一排，校长站在中间．问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？
提示：不是．
问题2：有几种排法？
提示：2种，男—师—女，女—师—男． 2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．
问题3：安排这项活动需分几步？分别是什么？
提示：分两步，第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学．
问题4：有几种排法？
提示：上午有3种，下午有2种，因此共有3×2＝6种排法．
问题5：甲乙和乙甲是相同的排法吗？
提示：不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲下午． (1)一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 ，且元素的 也相同.一定的顺序完全相同排列顺序 两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．
问题1：从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？
提示：4×3＝12个． 问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？
提示：4×3×2＝24个．
问题3：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？
提示：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种． 排列的个数n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！11 1．对于排列定义的理解
(1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列．
(2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列顺序相同． 2．排列与排列数的区别
“排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数．
“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．符号A只表示排列数，而不表示具体的排列． [例1] 判断下列问题是否为排列问题．
(1)选2个小组分别去植树和种菜；
(2)选2个小组种菜；
(3)选10人组成一个学习小组；
(4)从1,2,3,4,5中任取两个数相除；
(5)10个车站，站与站间的车票．
[思路点拨] 解决本题的关键是要明确排列的定义，看选出的元素在安排时是否与顺序有关，若有关，则是排列问题，否则就不是． [精解详析] (1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题．
(2)(3)不存在顺序问题，不是排列问题．
(4)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题．
(5)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题． [一点通] 判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征：①取出的元素无重复，②取出的元素必须按顺序排列．元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键．1．下列叙述正确的是 ( )
A．排列和排列数是同一个概念
B．排列和排列数有时是同一个概念
C．排列与排列数没有关系
D．排列数是对排列在“数”的角度的反应
答案：D2．判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞
机票价格(假设来回的票价相同)；
(2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(3)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题. [例2] 写出下列问题的所有排列：
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．
[思路点拨] (1)直接列举数字；
(2)先画出树形图，再结合图形写出． [精解详析] (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．
(2)画出树形图，如图所示． 由上面的树形图知，所有的四位数为：
1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321，共24个四位数． [一点通] 在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．3．A，B，C三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有
排列的方法种数为 ( )
A．3 B．4
C．6 D．12
解析：列举如下：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A.
答案：C4．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从
中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 ( )
A．6种 B．9种
C．11种 D．23种共有9种不同的分配方式．
解析：法一：设四张贺卡分别为A，B，C，D.由题意知，某人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行．
用树状图表示，如图．法二：让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：第一步，A先拿，有3种不同的方法；第二步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；第三、四步，剩下的两个人都各有1种取法．由分步乘法计数原理知，四张贺年卡不同的分配方式有3×3×1×1＝9种．
答案：B [思路点拨] (1)逆用排列数公式的乘积形式；(2)(3)正用排列数公式即可． [一点通]
(1)计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式化简，然后计算．这样做往往会减少运算量．
(2)连续正整数(因式)的乘积可以写成某个排列数A，其中最大的数是排列元素的总个数n，而因式的个数是取出的元素个数m.答案：6解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
答案：D答案：D 1．判断一个问题是否是排列的思路
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就说，在判断一个问题是否是排列时，可以考查所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．点击下图进入“应用创新演练”课件26张PPT。第一章1.2
1.2.1
第二课时
排列的应用把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三第二课时 排列的应用1．2.1 排 列 [例1] 有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
[思路点拨] 本题的实质是从5个元素中选出3个元素的排列问题． [精解详析] 从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列．
因此不同的安排方法有 ＝5×4×3＝60种． [一点通] 没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．解析：从12名选手中选出3名并安排奖次，共有 种不同的获奖情况．
答案：C2．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城
市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，则不同的选择方案共有 ( )
A．120种 B．360种
C．720种 D．480种
解析：从6人中选出4人进行排列，共有 ＝360种排法．
答案：B [例2] 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)六位奇数？
(2)个位数字不是5的六位数？
[思路点拨] 这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解． [一点通] 排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素．解决该类问题的方法主要是“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足的特殊位置．3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比
赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．答案：2524．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的5个小球分别放入红、
黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中，若不许有空袋，且红口袋不能装入红球，则有________种不同的放法．
解析：先装红球，且每袋一球，共有 ＝96种．
答案：965．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、
艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为________
(用数字作答)．
答案：288 [例3] (10分)3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起；
(2)全体站成一排，男生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生不能站在一起；
(4)全体站成一排，男、女各不相邻．
[思路点拨] (1)(2)中元素相邻，可用“捆绑法”，(3)(4)中元素不相邻，可用“插空法”． [一点通]
(1)在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，可先将其看成一个“大元素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列．
(2)排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．6．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有
________种坐法．答案：247．用两个字母、五个数字组成一组密码，且字母、数字不
能分开，则共能组成________个不同的密码．答案：480 解决排列应用题的常用方法
(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑．有两个以上的约束条件时，往往根据其中的一个条件分类处理．
(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素．有两个以上的约束条件时，往往考虑一个元素的同时，兼顾其他元素． (3)间接法：也叫排异法，直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可考虑用间接法．
(4)插空法：先把无限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好的元素的空中．要注意无限制条件的元素的排列数及所形成的空的个数，此方法适用于“不相邻”问题的排列．
(5)捆绑法：把要求在一起的“小集团”看成一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列．此法适用于“相邻”问题的排列．点击下图进入“应用创新演练”课件33张PPT。第一章1.2
1.2.2
第一
课时
组合与组合数公式及组合数的两个性质把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质1．2.2 组 合 从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．
问题1：所得商和积的个数相同吗？
提示：不相同．
问题2：它们是排列吗？
提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列． 1．组合
(1)一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．
(2)如果两个组合中的元素 ，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合，只有当两个组合中的元素不同时，才是不同的组合．并成一组完全相同 2．组合数
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号 表示.
从1,3,5,7中任取两个数相除．
问题1：可以得到多少个不同的商？
问题2：如何用分步法求商的个数？问题4：试用列举法求从1,3,5,7中任取两个元素的组合数．
提示：1、3,1、5,1、7,3、5,3、7,5、7，共6种．问题5：你能把问题3的结论推广到一般吗？组合数公式11 1．组合的特点
组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．
2．组合的特性
元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．
3．相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合． [例1] 判断下列各事件是排列问题还是组合问题：
(1) 10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ [思路点拨] 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．
[精解详析] (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的． [一点通] 要区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．1．已知下列问题：
①全班挑10人组成合唱队；
②全班选5人分别担任班委会的5种职务；
③5本不同的书分给5名同学，每人一本；
④3本相同的书分给5名同学，每人最多得一本；
⑤从数字1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意取两个不同的数字作为点的纵、横坐标．
其中属于组合问题的是________．
解析：①④属于组合问题，②③⑤是与顺序有关的问题，是排列问题．
答案：①④2．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有
不同的组合．解：要想列出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. [思路点拨] (1)(2)运用公式进行化简即可，(3)先求出m的值，再进行计算．答案：8 [例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必需参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． [思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断． [一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．答案： 105．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A的含有3个
元素的子集共有________个．
6．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多
少种不同的选法？
1．排列与组合的异同2.排列问题和组合问题的区分方法点击下图进入“应用创新演练”课件24张PPT。第一章1.2
1.2.2
第二课时
组合的综合应用把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三第二课时 组合的综合应用1．2.2 组 合 [例1] 现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．
(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？
(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？
[思路点拨] 分清“恰有”“至少”的含义，正确地分类或分步． [一点通] 解答有限制条件的组合问题的基本方法：
(1)直接法：优先选取特殊元素，再选取其他元素．
(2)间接法：正面情况分类较多时，从反面入手，正难则反．1．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两
同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )
A．9 B．14
C．12 D．15答案：A2．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排
两名学生，那么互不相同的分配方案共有 ( )
A．252种 B．112种
C．20种 D．56种答案：B [例2] 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
[思路点拨] 解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数． [一点通] 解决与几何图形有关的组合问题时，要善于利用几何图形的有关性质和特征，充分挖掘图形的隐含条件，转化为有限制条件的组合问题求解．3．以正方体的顶点为顶点的四面体的个数为________．答案：584．正六边形的顶点和中心共7个点，可组成________个三
角形．答案：32 [例3] (10分)有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？
[思路点拨] 男医生甲是特殊元素，地区A是特殊位置，因此可分类解决． [一点通] 本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则．5．从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字，把其中
最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( )
A．40个 B．120个
C．360个 D．720个答案： A6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，
要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数
为 ( )
A．360 B．520
C．600 D．720答案：C 解有限制条件的排列组合应用题的基本方法
(1)直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．
(2)间接法：选择间接法的原则是正难则反，也就是若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，特别是涉及“至多”、“至少”等问题时更是如此．此时，正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些问题的关键．点击下图进入“应用创新演练”课件25张PPT。第一章1.3
1.3.1
二项式定理把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知1．3.1 二项式定理 问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．
提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
问题2：上述两个等式的右侧有何特点？
提示：(a＋b)3的展开式有4项，每一项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4. 问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋)的展开式吗？ [思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解． [一点通]
(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． [思路点拨] 求特定项或特定项的系数，可以先写出二项展开式的通项，求出相应的r值后再代入通项求特定项或其系数．答案： D答案：B答案：A点击下图进入“应用创新演练”课件28张PPT。第一章1.3
1.3.2
杨辉三角把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知考点三1．3.2 杨辉三角 (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： 问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.
问题3：二项式系数的最大值有何规律？
提示：n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大．两个数的和“等距离”中间一2n 由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数． [例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线
AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一
个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前
n项和为Sn，求S19的值． [一点通] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
(2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律．1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第
n行的首尾两个数均为________．
解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
答案：2n－12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行
从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.答案：34 [例2] 设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012
(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．
[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解． [一点通]
赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．
一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项的和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数的
和为 ( )
A．2n＋1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
解析：令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
答案：D4．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.
解：(1)令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128. ①
(2)令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128. ②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128. [思路点拨] 根据已知条件求出n，再根据n为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项． [一点通]
(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．答案：A6．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于
121，求展开式中二项式系数最大的项． 二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想．大致对应如下：
点击下图进入“应用创新演练”课件9张PPT。第一章章末小结阶段质量检测核心要点归纳 1．分类和分步计数原理
(1)两个原理的共同之处是研究做一件事，完成它共有的方法种数，而它们的主要差异是“分类”与“分步”．
(2)分类加法计数原理的特点：类与类相互独立，每类方案中的每一种方法均可独立完成这件事(可类比物理中的“并联电路”来理解)．
(3)分步乘法计数原理的特点：步与步相互依存，且只有所有的步骤均完成了(每步必不可少)，这件事才算完成
(可类比物理中的“串联电路”来理解)． 2．解决排列组合应用题的原则
解决排列组合应用题的原则有特殊优先的原则、先取后排的原则、正难则反的原则、相邻问题“捆绑”处理的原则、不相邻问题“插空”处理的原则．
(1)特殊优先的原则：这是解有限制条件的排列组合问题的基本原则之一，对有限制条件的元素和有限制条件的位置一定要优先考虑．
(2)正难则反的原则：对于一些情况较多、直接求解非常困难的问题，我们可以从它的反面考虑，即利用我们平常所说的间接法求解． (3)相邻问题“捆绑”处理的原则：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看成一个元素与其他元素排列，然后将相邻元素进行排列．
(4)不相邻问题“插空”处理的原则：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端插入．
(5)先取后排的原则：对于较复杂的排列组合问题，常采用“先取后排”的原则，即先取出符合条件的元素，再按要求进行排列．点击下图进入“阶段质量检测”课件22张PPT。第三章3.1
独立性检验把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知 其中：n＋1＝ ，n＋2＝ ，n1＋＝ ，n2＋＝ ，n＝ .n11＋n21n12＋n22n11＋n12n21＋n22n11＋n21＋n12＋n22 2．独立性检验
(1)χ2＝ .
(2)经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635.
①当χ2>3.841时，有 的把握说事件A与B有关；
②当χ2>6.635时，有 的把握说事件A与B有关；
③当χ2≤3.841时，认为事件A与B是 ．99%无关的95% [例1] 为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：根据以上数据判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？ [思路点拨] 先计算χ2的数值，然后比较χ2与3.841及6.635的大小，进而得出是否有关的结论． [一点通] 本题利用χ2公式计算出χ2的值，再利用临界性的大小关系来判断假设是否成立，解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，要准确进行比较与判断．1．对于事件A与B及统计量χ2，下列说法正确的是( )
A．χ2越大，“A与B有关系”的可信程度越小
B．χ2越小，“A与B有关系”的可信程度越小
C．χ2越接近于0，“A与B没有关系”的可信程度越小
D．χ2越大，“A与B没有关系”的可信程度越大
解析：χ2越大，“A与B没有关系”的可信程度越小，则“A与B有关系”的可信程度越大，即χ2越小，“A与B有关系”的可信程度越小．
答案：B2．某医院为了研究秃顶与患心脏病之间是否有关系，经过
调查得到如下列联表：试问，秃顶与患心脏病之间有关系吗？ [例2] (10分)在调查的480名男士中有38名患有色盲，520名女士中有6名患有色盲，利用独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关？
[思路点拨] 首先作出调查数据的列联表，再根据列联表进行计算，最后利用计算的结果作出判断．[精解详析] 根据题目所给的数据作出如下的列联表： [一点通]
(1)独立性检验方法有三步：一是列表，二是计算，三是判断．
(2)注意判断时把计算结果与两个临界值3.841与6.635比较，其值越大，有关的可信度越高．3．为观察药物A、B治疗某病的疗效，某医生将100例患
该病的病人随机分成两组，一组40人，服用A药；另一组60人，服用B药．结果发现：服用A药的40人中有30人治愈；服用B药的60人中有11人治愈．问A、B两药对该病的治愈率之间是否有显著差异？4．一次对人们休闲方式的调查中共调查了124人，其中女
性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)能否有99%的把握认为性别与休闲方式有关系？ 1．使用χ2统计量作独立性检验时，2×2列联表中的数据n11，n12，n21，n22都要大于5.
2．独立性检验类似于数学中的反证法，要确认“两个变量有关系”这一结论成立的可信度，首先假设结论不成立，在假设下，我们构造的统计量χ2应该很小．如果由观测数据计算得到的χ2值很大，则在一定程度上说明假设不合理，再根据不合理的程度与临界值的关系作出判断．点击下图进入“应用创新演练”课件37张PPT。第三章3.2
回归分析把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知考点三 r具有以下性质：|r|≤1，并且r越接近1，线性相关程度越
；|r|越接近0，线性相关程度越 ．
(2)检验步骤如下：
①作统计假设：x与Y不具有线性相关关系．
②根据小概率0.05与n－2在附表中查出r的一个临界值r0.05.
③根据样本相关系数计算公式算出r的值．
④作出统计推断．如果 ，表明有95%把握认为x与Y之间具有线性相关关系．
如果 ，我们没有理由拒绝原来的假设．这时寻找回归直线方程是毫无意义的．强弱|r|>r0.05|r|≤r0.05 1．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用样本相关系数来判断．
2．|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好．
3．样本相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向及密切程度，不能揭示二者之间的本质联系．
4．样本相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度，明确的给出有无必要建立两变量间的回归方程． [例1] 某种产品的广告费用支出x与销售额Y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？[精解详析] (1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
答案：－60.52．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对不同的温度观测它在
水中的溶解度，得观测结果如下表：由此得到回归直线的斜率是0.880 9，则线性回归方程为________． [例2] 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间Y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据，如下表所示： (1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？
(2)求线性回归方程．
(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？
[思路点拨] 判断两变量之间是否具有相关关系，要计算出相关系数r，比较r与临界值的大小．依据线性回归直线方程，对冶炼时间进行预报． [一点通] 已知x与Y呈线性相关关系，就无需进行相关性检验，否则要进行相关性检验．如果两个变量不具备相关关系，或者相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，用其估计和预测也是不可信的．如果通过散点图能发现线性相关关系，也可以避免求相关系数的麻烦．3．某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额Y(单位：
百万元)之间有如下的对应关系：
(1)x与Y之间是否具有线性相关关系？若有，求其回归直线方程；
(2)若实际销售额不少于50百万元，则原料耗费应该不少于多少？ [例3] (12分)下表为收集到的一组数据： 试建立Y与x之间的回归方程．
[思路点拨] 画出散点图或进行相关性检验，确定两变量x，Y是否线性相关．由散点图得x，Y之间的回归模型，求回归方程． [精解详析] 作出散点图，如图．
从散点图中可以看出x与Y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．? (5分) [一点通] 非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后像本例这样，采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．4．某地区不同身高的男性的体重平均值如下表：(1)试建立Y与x之间的回归方程；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm体重为82 kg的在校男生体重是否正常？解：(1)根据上表中的数据画出散点图(如图所示)．由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令Z＝ln Y，得下表：作出散点图如图所示． 1．判断变量的相关性通常有两种方式：一是散点图，二是相关系数r，前者只能粗略的说明变量间具有相关性，而后者从定量的角度分析变量相关性的强弱．
2．应用回归方程时应注意：
(1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；
(2)我们所建立的回归方程一般都有时间性；
(3)样本取值的范围会影响回归方程的适用范围，一般不能超过这个适用范围，否则，将没有实用价值； (4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的准确值，事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．
3．建立回归模型的基本步骤如下：
(1)确定研究对象．
(2)画出散点图，观察它们之间的关系．
(3)由经验确定好回归方程的类型．
(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数．点击下图进入“应用创新演练”课件7张PPT。第三章章末小结阶段质量检测核心要点归纳 1．一种重要图形
散点图是进行线性回归分析的主要手段，其作用如下：
一是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条状分布，则可以断定两个变量有较好的线性相关关系；
二是判断样本中是否存在异常． 3．两个重要参数
(1)相关系数r：
相关系数r是用来判断两个变量之间是否有线性相关关系的．|r|≤1，且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱．
(2)χ2统计量：
χ2是用来判断两个事件在多大程度上有关的变量，独立性检验即计算χ2的值，并与两个临界值3.841与6.635进行比较，从而得到两个事件在多大程度上有关．点击下图进入“阶段质量检测”课件22张PPT。第二章2.1
2.1.1
离散型随机变量把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知2．1.1 离散型随机变量? 问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
提示：可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
问题2：在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵树为X，则X取什么数字？
提示：X＝0,1,2,3…，10. 1．随机变量的概念及其表示
(1)定义：随着 的不同而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：常用字母 ， …等表示．
2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能 出来，则称X为离散型随机变量．试验结果XY一一列举 1．对随机变量的认识
(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量．
(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．但这些数是预先知道的可能值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．2．离散型随机变量的特征
(1)可用数值表示；
(2)试验之前可以判断其出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取何值；
(4)试验结果能一一列出． [例1] 判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量？
(1)天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数；
(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；
(3)某林场的树木最高达30 m，在此林场中任取一棵树木的高度；
(4)体积为27 cm3的正方体的棱长．
[思路点拨] 根据随机变量、离散型随机变量的定义判断． [精解详析] (1)接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量．
(2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值 ，无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)体积为27 cm3的正方体的棱长为3 cm，为定值，不是随机变量． [一点通] 判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，具体方法如下：
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．1．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b
是常数且a≠0，那么Y ( )
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
解析：若X是离散型随机变量，根据函数的性质，则Y必是离散型随机变量．
答案：D2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变
量的是 ( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
解析：A中取到产品的件数是一个常量，不是变量，B、D也是一个定值．而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
答案：C [例2] (12分)写出下列随机变量的可能值，并说明随机变量的取值表示的事件．
(1)在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件，其中次品件数X是一个随机变量．
(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数Y是一个随机变量．
[思路点拨] 先分析试验结果，确定随机变量的所有可能取值，然后写出随机变量的取值表示的事件．[精解详析] (1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
X＝0，表示“抽取0件次品”；
X＝1，表示“抽取1件次品”；
X＝2，表示“抽取2件次品”；
X＝3，表示“抽取3件次品”；
X＝4，表示“抽取4件次品”； (6分)(2)随机变量Y的可能取值为0,1,2,3.
Y＝0，表示“取出0个白球，3个黑球”；
Y＝1，表示“取出1个白球，2个黑球”；
Y＝2，表示“取出2个白球，1个黑球”；
Y＝3，表示“取出3个白球，0个黑球”． (12分) [一点通] 解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些实验结果．3．抛掷两颗骰子，设所得点数之和为X，那么X＝4表示
的随机试验结果是________．
解析：抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6，而X表示抛掷两颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2表示的随机试验结果是一颗是1点、另一颗是3点，或者两颗都是2点．
答案：一颗是1点、另一颗是3点，或者两颗都是2点4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现
从中随机取出2个球，以X表示取出的球的最大号码，则“X＝6”表示的试验结果是________．
答案：(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)5．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，
如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X.
(1)写出X的所有可能取值；
(2)写出X＝1所表示的事件；
(3)求X＝1的概率． 1．随机变量可将随机试验的结果数量化．
2．随机变量与函数的异同点：
3.离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．点击下图进入“应用创新演练”课件32张PPT。第二章2.1
2.1.2
离散型随机变量的分布列把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知知识点一知识点二考点三2．1.2 离散型随机变量的分布列1．投掷一颗骰子，所得点数为X.
问题1：X可取哪些数字？
提示：X＝1,2,3,4,5,6
问题2：X取不同的值时，其概率分别是多少？ 2．一瓶中装有5个球，编号为1,2,3,4,5.从瓶中同时取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码．
问题3：随机变量X的可能取值是什么？
提示：X＝3,4,5.
问题4：试求X取不同值的概率分别是什么？问题5：你能用表格表示X与P的对应关系吗？提示：可表示为： 1．分布列的定义
设离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率p1，p2…，pn则称表为离散型随机变量X的概率分布列．p1p2pipn 2．分布列的性质
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
(1) ；
(2) . pi≥0，i＝1,2，…，np1＋p2＋…＋pn＝1 战士打靶比赛命中得2分，不中得0分，命中概率为0.6.
问题1若用“X”表示“打靶得分”，X可能取哪些值？
提示：0,2
问题2：打靶得分的分布列是什么？提示：二点分布
如果随机变量X的分布列为 其中0
2．由于随机变量的各个取值之间彼此互斥，因此随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．1．若离散型随机变量X的分布列为求常数a及相应的分布列．2.某射手射击所得环数X的分布列如下：求此射手“射击一次命中的环数不小于7”的概率．解：根据射手射击所得的环数X的分布列，
有P(X＝7)＝0.09，P(X＝8)＝0.28，P(X＝9)＝0.29，P(X＝10)＝0.22.
所求的概率为P(X≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88. [例2] 放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列．
[思路点拨] 要写出随机变量X的分布列，首先要列出X所有可能的取值，其次要确定X的每一个取值所对应的概率，最后才能写出随机变量X的分布列． [一点通] 求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
(2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率；
(3)按规范形式写出分布列．3．把4个球随机地放入4个盒子中，设X表示空盒子的个
数，求X的分布列．4.某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，
B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列． [思路点拨] X只有两个可能取值，属于二点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据二点分布的特点求出X＝1的概率，最后列成表格的形式即可． [一点通] 注意二点分布的几个特点：
(1)二点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；
(2)二点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
(3)由对立事件的概率公式可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．5．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，
用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示产品为合格品，X＝1表示产品为次品，则X的分布列为解析：X＝0表示取到一个合格品，概率为95%；X＝1表示取到一个次品，概率为5%.
答案：0.95 0.056．若随机变量X只能取两个值0,1，又知X取0的概率是取1的
概率的3倍，写出X的分布列． 求离散型随机变量分布列时应注意以下几点
(1)确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．
(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．点击下图进入“应用创新演练”课件30张PPT。第二章2.1
2.1.3
超几何分布把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知考点三2．1.3 超几何分布从含有5件次品的100件产品中任取3件．
问题1：这100件产品可分几类？
提示：两类：次品和非次品
问题2：取到的次品数X的取值有哪些？
提示：0、1、2、3.
问题3：求次品数X＝2的概率． 超几何分布
设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是
，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝ (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．一个离散型随机变量 1．超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械的记忆公式，应在理解的前提下记忆．
2．凡类似“在含有次品的产品中取部分产品，求所取出的产品中次品件数的概率”的问题，都属于超几何分布的模型。 [例1] 生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
[思路点拨] 先找出计算公式中的N、M、n再代入计算． [一点通] 超几何分布的概率计算方法是：
(1)确定所给问题中的变量服从超几何分布；
(2)写出超几何分布中的参数N，M，n的值；
(3)利用超几何分布公式，求出相应问题的概率．答案：A2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，
从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有 ( )
A．2本 B．3本
C．4本 D．5本答案：C [例2] 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得的次品数X的分布列．
[思路点拨] 在取出的3件产品中，次品数X服从超几何分布，其可能取值为0,1,2，对应的正品数应是3,2,1.3．现有10张奖券，其中8张1元的、2张5元的，从中同时
任取3张，求所得金额的分布列．4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机
变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率． [例3] (12分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
[思路点拨] 先确定X的取值情况，再求概率，列表写出分布列． [一点通]
(1)在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个事件的意义是正确解答此类问题的关键．
(2)超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可用来研究我们熟悉的抽奖或摸球游戏中的某些概率问题．在其概率的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．5．袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋
子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6的概率．
解：(1)袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4，对应的得分X为5,6,7,8.
由题意知，取到的白棋子数服从参数为N＝7，M＝4，n＝4的超几何分布，故得分也服从该超几何分布． 解决超几何分布问题的关注点
超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同m时的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．点击下图进入“应用创新演练”课件25张PPT。第二章2.2
2.2.1
条件概率把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知2．2.1 条件概率 100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝{产品的长度、质量都合格}．
问题1：试求P(A)、P(B)、P(A∩B)． 问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
问题3：试探求P(B)、P(A∩B)、P(A|B)间的关系．
条件概率的概念
(1)事件的交
事件A和B 所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)记做D＝A∩B(或D＝AB)．
(2)条件概率
对于两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率．用符号 表示．即条件概率公式P(B|A)＝ .同时发生“P(B|A)” [例1] 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
[思路点拨] 根据分步乘法计数原理先计算出事件总数，然后计算出各种情况下的事件数后即可求解． 答案： B2．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件
下，他在周六晚上值班的概率为________．3．一个盒子中有6只正品晶体管，4只次品晶体管，任取两
次，每次取一只，第一次取后不放回，若已知第一只是正品，求第二只也是正品的概率． [例2] (10分)将外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率． [思路点拨] 设出基本事件，求出相应的概率，再用基本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率． [一点通] 对于比较复杂的事件，可以先分解为两个(或若干个)较简单的互斥事件的并，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．4．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%，
从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3
个红球．现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？ 掌握好条件概率应注意以下几点
(1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．
(2)所谓的条件概率，是试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率．点击下图进入“应用创新演练”课件35张PPT。第二章2.2
2.2.2
事件的独立性把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知考点三2．2.2 事件的独立性 甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A为“从甲箱里摸出白球”，B为“从乙箱里摸出白球”．问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
提示：不影响．问题2：试求P(A)、P(B)、P(A∩B)．
问题3：P(B|A)与P(B)相等吗？
问题4：P(A∩B)与P(A)×P(B)相等吗？ 1．相互独立事件的概念
若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝ ，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做 ．
2．相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与 ， 与B， 与
也都相互独立．
3．相互独立事件同时发生的概率公式
如果事件A与B相互独立，那么P(A∩B)＝ ．P(B)相互独立事件P(A)×P(B) 1．事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响
事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的
概率．
2．相互独立事件同时发生的概率P(A∩B)＝P(A)×
P(B)，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积． [例1] 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
[思路点拨] 利用相互独立事件的定义判断． [一点通]
(1)利用相互独立事件的定义(即P(A∩B)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．
(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．答案： A2．分别抛掷两颗质地均匀的骰子，A＝{第一颗骰子出现
奇数点}，B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判定事件A，B是否相互独立． [例2] 某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
[思路点拨] 明确已知事件的概率及其关系，把待求事件的概率表示成已知事件的概率，再选择公式计算． [一点通]
(1)公式P(A∩B)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．答案：A5．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比
赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率． [思路点拨] 记三个元件T1，T2，T3正常工作分别为事件A1，A2，A3，再把不发生故障的事件表示为(A2∪A3)∩A1，最后由相互独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式求概率． [一点通] 解决此类问题应注意：
(1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件；
(2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．6．如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们
正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性为 ( )
A．0.054 B．0.994
C．0.496 D．0.06答案：B1．“相互独立事件”与“互斥事件”的区别2.常见事件的概率点击下图进入“应用创新演练”课件33张PPT。第二章2.2
2.2.3
独立重复试验与二项分布把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知知识点一知识点二2．2.3 独立重复试验与二项分布 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．
试想每次试验的前提是什么？
提示：条件相同． (1)在 条件下重复地做n次试验，各次实验的结果 ，则称它们为n次独立重复试验．
(2)一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝ (k＝0,1,2，…，n).相同相互独立Cpk(1－p)n－k 在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8.用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事．
问题1：试用Ai表示B1.问题2：试求P(B1)．问题3：用Bk表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)．
提示：P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.
问题4：由以上结果你能得出什么结论？ 若将事件A发生的次数记为X，事件A不发生的概率为q＝ ，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝ ，其中k＝0,1,2，…，n.
于是得到X的分布列1－pn，p 1．独立重复试验满足的条件
(1)每次试验是在相同的条件下进行的；
(2)各次试验的结果互不影响，即每次试验是相互独立的；
(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．判断一个随机变量是否服从二项分布的关键
(1)对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一；
(2)重复性，即试验独立重复地进行了n次；
(3)随机变量是事件发生的次数． [例1] 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：
(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
[思路点拨] 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确，或不准确)，符合独立重复试验模型．答案：A答案：A [思路点拨] 求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后计算离散型随机变量取各个值的概率．[一点通] 解决此类问题的步骤：
(1)判断随机变量X服从二项分布；
(2)建立二项分布模型；
(3)确定X的取值并求出相应的概率；
(4)写出分布列．答案：D5．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现连续射击4
次，求击中目标次数X的分布列．点击下图进入“应用创新演练”课件26张PPT。第二章2.3
2.3.1
离散型随机变量的数学期望把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知2．3.1 离散型随机变量的数学期望 设有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6 kg,5个重7 kg.
问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？
提示：X＝5,6,7.
问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？ 1．离散型随机变量的均值或数学期望
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn则E(X)＝
叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望
(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的 ．
2．超几何分布与二项分布的均值
若离散型随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝ ；若离散
型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝
.x1p1＋x2p2＋…＋xnpn平均取值水平np 1．对离散型随机变量均值的理解
离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化． [例1] 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及期望．
[思路点拨] 明确X的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望． [一点通] 求离散型随机变量的均值的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全
部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由期望的定义求出E(X)．1．若将例1中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到
取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X的数学期望．
答案：A3．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数
乘积的数学期望是________．答案：8.5 [例2] (12分)(2012·福建高考)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下： 将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由． [思路点拨] 对(1)、(2)根据表中的数据利用古典概型概率公式求概率和分布列．对(3)分别求出X1、X2的期望，比较大小作出判断． [一点通] 解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断．4．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5
发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.
(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；
(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．5．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分
的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？ 1．随机变量的期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把期望最大的方案作为最佳方案进行选择．
2．二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟练记住．对于二项分布的解答，如果采用E(X)＝np，会大大减少运算量．点击下图进入“应用创新演练”课件34张PPT。第二章2.3
2.3.2
离散型随机变量的方差把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知考点三2．3.2 离散型随机变量的方差 A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
A机床B机床 问题1：试求E(X1)，E(X2)．
提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.
E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？
提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．
问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？
提示：样本方差． 1．离散型随机变量的方差
(1)设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，
…，xn，这些值对应的概率分别为p1，p2，…，pn，则D(X)
＝ 叫做这个离散型随机变量的方差．D(X)的 叫做离散型随机变量X的标准差．(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn算术平方根 (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值相对于期望的 ．方差或标准差越小，则随机变量偏离于期望的平均程度越小．
2．二点分布和二项分布的方差平均波动大小p(1－p)np(1－p) 1．离散型随机变量的方差的意义
的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中和离散程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小．
2．随机变量的方差和样本方差之间的关系
(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而客观存在； (2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．
简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差． [例1] 设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q的值，并求E(X)，D(X). [思路点拨] 先根据分布列的性质求出q，再用公式求期望和方差． [一点通]
已知分布列求离散型随机变量的方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．1．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的
值分别是 ( )
A．n＝100，p＝0.08 B．n＝20，p＝0.4
C．n＝10，p＝0.2 D．n＝10，p＝0.8
解析：由于X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6.
所以np＝8，np(1－p)＝1.6，解之得n＝10，p＝0.8.
答案：D2．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k(k＝0,1)，
则E(X)、D(X)的值分别是 ( )
A．0和 B．p和p2
C．p和1－p D．1－p和p(1－p)
解析：随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k(k＝0,1)，则P(X＝0)＝p，P(X＝1)＝1－p，所以E(X)＝0×p＋1×(1－p)＝1－p，所以D(X)＝[0－(1－p)]2×p＋[1－(1－p)]2×(1－p)＝p(1－p)．
答案：D [例2] 袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．
[思路点拨] 确定随机变量X的取值，列出其分布列，再计算均值和方差． [一点通]
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．
(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．3．(2012·全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格
从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：
元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整
理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差． [例3] (10分)从甲、乙两运动员中选一人参加2012年伦敦夏季奥运会，以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为： 欲从甲、乙两运动员中选一人参加2012年伦敦夏季奥运会，你认为选派哪位运动员参加较好？
[思路点拨] 可以先比较两运动员的平均得分(即均值)，再比较两运动员的稳定性，即方差，由此决定派谁．[精解详析] 由题意，
E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，
E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1.
∴E(X1)＝E(X2)． (4分)
D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，
D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，
∴D(X1)所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加． (10分) [一点通] 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．5．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量
X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．
解析：因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．
答案：乙6．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学
试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲：乙：
试分析两名学生的成绩水平． 1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差
(或标准差)，可直接由定义(公式)求解．
2．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算．点击下图进入“应用创新演练”课件27张PPT。第二章2.4
正态分布把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知考点三 1．正态曲线
态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝e
，x∈R，其中参数μ为正态分布变量的
，μ∈( )；σ为正态分布变量的
,σ∈ ．正态变量的概率密度函数(即f(x))
的 叫做正态曲线．
期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作 ，
μ＝0，σ＝1的正态分布叫 ．数学期望－∞， ＋∞标准差(0，＋∞)图象N(μ，σ2)标准正态分布 2．正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的 ，并且关于直线 对称；
(2)曲线在 时处于最高点，并由此处向左右两边
延伸时，曲线逐渐 ，呈现“ ”的形状；
(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越 ，曲线“矮胖”；σ越 ，曲线越“高瘦”．上方x＝μx＝μ降低中间高，两边低大小 3．正态分布的3σ原则
P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝ ；
P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝ .
正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．95.4%99.7% 1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆． [例1] 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差． [思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式． [一点通] 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.答案：B解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.
答案：A [例2] 在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
[思路点拨] 解答本题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半． [一点通] 解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝
P(X [例3] (10分)据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．
[思路点拨] 因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布的性质可以求解．[精解详析] 因为身高X～N(174,9)，
所以μ＝174，σ＝3， (2分)
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，
μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4. (6分)
又因为μ＝174.
所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.477 2，
故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是
3 000×0.477 2≈1 432(人)． (10分) [一点通] 解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σ交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为______．
解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30答案：0.954 47．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已
知X～N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？
解：因为灯泡的使用寿命X～N(1 000,302)，
故X在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为99.7%，
即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%，
故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上． 因为P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，所以正态总体X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，这是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这是统计中常用的假设检验基本思想．点击下图进入“应用创新演练”课件15张PPT。第二章章末小结阶段质量检测核心要点归纳 1．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则X的分布列为 有时为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)求随机变量的分布列的步骤可以归纳为：
①明确随机变量X的取值；
②准确求出X取每一个值时的概率；
③列成表格的形式．
[说明] 已知随机变量的分布列，则它在某范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值时的概率之和． [说明] 分布列的两个性质是求解有关参数问题的依据． [说明]
(1)利用公式P(A|B)＝P(A)和P(A∩B)＝P(A)P(B)说明事件A，B的相互独立性是比较困难的，通常是直观判断一个事件的发生与否是否影响另一个事件的发生．
(2)独立事件强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，互斥事件则是强调两个事件不能同时发生． 4．几种常见的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从二点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率. [说明] 若随机变量X～B(n，p)，则需明确在n次独立重复试验中，每次试验的两种结果中哪一个结果出现k次． (4)二项分布的均值与方差：
①二点分布：若随机变量X服从参数为p的二点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②二项分布：若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 5．正态分布
(1)正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．
(2)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则
P(μ－σ＜X<μ＋σ)＝68.3%，
P(μ－2σ＜X<μ＋2σ)＝95.4%，
P(μ－3σ＜X<μ＋3σ)＝99.7%.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．点击下图进入“阶段质量检测”课件66张PPT。考点一高考四大高频考点例析考点二考点三考点四高考四大高频考点例析 [例1] (2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 ( )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种 [答案] D [例2] (2012·北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ( )
A．24 B．18
C．12 D．6[答案] B1．(2012·全国卷)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一
个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种
C．480种 D．720种答案：C2．(2012·山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄
色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 ( )
A．232 B．252
C．472 D．484答案：C3．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：
节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ( )
A．36种 B．42种
C．48种 D．54种答案： B4．有一个志愿者小组，共有6个人，其中男生3人，女生3
人，现有一项任务需要3个人组成一个小队．为了工作方便，要求男、女生都有，则不同的选法有 ( )
A．16 B．17
C．18 D．19答案：C[答案] －160 [例4] (2012·浙江高考)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝____________.[答案] 105．(1－2x)6的展开式中，x2的系数等于 ( )
A．80 B．60
C．20 D．40答案：B答案：D答案：C8．(2012·陕西高考)(a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a
的值为________________．答案：1答案：56 [例5] (2012·江苏高考)设X为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，X＝0；当两条棱平行时，X的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，X＝1.
(1)求概率P(X＝0)；
(2)求X的分布列，并求其数学期望E(X)． [例6] (2012·陕西高考)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下.
办理业务所需的时间(分)
从第一个顾客开始办理业务计时．
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望． [解] 设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下： (1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟． 所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.
(2)法一：X所有可能的取值为0,1,2.
X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，
所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；
X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，
所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；
所以X的分布列为 E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
法二：X的所有可能取值为0,1,2.
X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，
所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，
所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；
所以X的分布列为
E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.11．(2012·广东高考)某班50位学生期中考试数学成绩的频
率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为X，求X的数学期望．12．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，
以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的分布列；
(2)求此员工月工资的数学期望．13．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为
0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的数学期望．14．某学校举行定点投篮考试，规定每人最多投篮4次，一
旦某次投篮命中，便可得到满分，不再继续以后的投篮，否则一直投到第4次为止．如果李明同学参加这次测试，设他每次定点投篮命中的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.
(1)求他在本次测试中投篮次数X的概率分布和数学期望；
(2)求他在本次测试中得到满分的概率．
解：(1)随机变量X＝1,2,3,4，
P(X＝1)＝0.6，
P(X＝2)＝0.4×0.7＝0.28，
P(X＝3)＝0.4×0.3×0.8＝0.096，15．一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,
4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出
3个球．
(1)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概
率；
(2)求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；
(3)记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与
数学期望． [例7] (2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： [例8] (2012·辽宁高考)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？16．为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，
选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表完成下面2×2列联表，并回答注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积是否有差异．表3：17．一台机器使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转
速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：(1)已知y与x有线性相关关系，写出回归直线方程；
(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度需控制在什么范围内？