辽宁省鞍山一中2012-2013学年高二上学期期中考试数学（理）试题

2012～2013学年度上学期期中考试高二年级数学科试(理)
命题学校：鞍山一中 命题人、校对人：高二数学组
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，所给选项中只有一个正确）
1. 不等式的解集是 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知且，则下列不等式恒成立的是 （ ）
A. B.
C. D.
3.数列的前项和为，则的值依次为 （ ）
A．3,4 B. 2,8 C.3,18 D. 3,14
4.命题“对任意的”的否定是 （ ）
A．不存在 B.存在
C. 存在 D. 对任意的
5.若不等式与不等式的解集相同，则p:q 等于 （ ）
A.12:7 B.7:12 C.-12:7 D.-3 :4
6.已知成等差数列，成等比数列 ，则等于 （ ）
A.30 B.-30 C.±30 D. 15
7.已知方程 表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（ ）
A.33 C.k>9 D.k<3
8.已知-2A.2 B.3 C. D.-2
9.a<0是方程至少有一个负数根的 （ ）
A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.实数成等差数列，成等比数列，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
11．设是曲线上的点，，则 （ ）
A. B.
C. D.
12.定义区间的长度均为，其中，已知实数，
则满足的x构成的区间长度之和为 （ ）
A.1 B. a-b C. a+b D.2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13. 抛物线的准线方程为
14. 且，则的最小值为
15.在等比数列中，，则
16. 双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是 （答案用区间表示）
解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在中内角的对边分别为，且 ，
（1）求的值；
（2）如果b=4，且a=c,求的面积.
18. （本小题满分12分）
某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目最大盈利率分为 100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投入的资金额不超过10万元.如果要求确保可能的投入资金的亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能产生的盈利最大？
19. （本小题满分12分）
双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，椭圆以双曲线的焦点为焦点且椭圆上的点与焦点的最短距离为，求双曲线和椭圆的方程。
20. （本小题满分12分）
正项单调数列的首项为，时，，数列对任意均有
（1）求证：数列是等差数列；
（2）已知，数列满足，记数列的前项和为，求证.

21. （本小题满分12分）
已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，一条经过点且倾斜角余弦值为的直线交椭圆于A，B两点，交轴于M点，又.
（1）求直线的方程；
（2）求椭圆C长轴的取值范围。

22. （本小题满分12分）
已知数列满足，数列满足，
数列满足.
（1）若，证明数列为等比数列；
（2）在(1)的条件下，求数列的通项公式；
（3）若，证明数列的前项和满足。
2012～2013学年度上学期期中考试高二年级数学科答案
一、（每小题5分）1-5 C D C C A 6-10 A C D B A 11-12 A A
二、（每小题5分）（13） （14）（15） （16）
三、17.解：（1）由已知，
由正弦定理得



⑵
18.解：设投资人投入甲、乙两个项目的资金分别为x万元和y万元，则它可盈利

由题意得 区域如图
作过原点的直线，平移经过点（4，6）是纵截距最大
所以当x=4，y=6时，
所以投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，取得的盈利最大为7万元
19.解：由已知设双曲线方程
∵过
则焦点。 设椭圆方程
椭圆上任意一点



20.解：（1） ，为等比数列，设公比为
又

，即
数列是等差数列
(2)


21.解：（1）直线经过点且倾斜角余弦值为
直线的方程为.
（2）设与椭圆交于，与轴交于M（1，0），由知：.
将代入得

①

②
由 ①消去得
，③
③代入②得
又，综合解得
椭圆C长轴的取值范围为
22.解：（1），
由已知
数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）得，
证明（3）首先证明
①时，成立
②假设时成立
则当时，也成立，
，
，
，综上所述：