1.3.2杨辉三角 课件（人教B版选修2-3）

课件26张PPT。1．3.2　杨辉三角 (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： 问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.
问题3：二项式系数的最大值有何规律？
提示：n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大．两个数的和“等距离”中间一2n 由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数． [例1]　如图，在“杨辉三角”中，斜线
AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一
个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前
n项和为Sn，求S19的值． [一点通]　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
(2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律．1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第
n行的首尾两个数均为________．
解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
答案：2n－12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行
从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.答案：34 [例2]　设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012
(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．
[思路点拨]　先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解． [一点通]　
赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．
一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项的和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数的
和为 (　　)
A．2n＋1　　　　　　　　 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
解析：令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
答案：D4．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.
解：(1)令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128. ①
(2)令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128. ②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128. [思路点拨]　根据已知条件求出n，再根据n为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项． [一点通]　
(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．答案：A6．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于
121，求展开式中二项式系数最大的项． 二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想．大致对应如下：
课件26张PPT。1．3.2　杨辉三角 (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： 问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.
问题3：二项式系数的最大值有何规律？
提示：n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大．两个数的和“等距离”中间一2n 由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数． [例1]　如图，在“杨辉三角”中，斜线
AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一
个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前
n项和为Sn，求S19的值． [一点通]　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
(2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律．1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第
n行的首尾两个数均为________．
解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
答案：2n－12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行
从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.答案：34 [例2]　设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012
(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．
[思路点拨]　先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解． [一点通]　
赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．
一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项的和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数的
和为 (　　)
A．2n＋1　　　　　　　　 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
解析：令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
答案：D4．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.
解：(1)令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128. ①
(2)令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128. ②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128. [思路点拨]　根据已知条件求出n，再根据n为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项． [一点通]　
(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．答案：A6．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于
121，求展开式中二项式系数最大的项． 二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想．大致对应如下：