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北师版八年级下册数学2.5.1 一元一次不等式与一次函数的关系教学设计
课题 2.5.1 一元一次不等式与一次函数的关系 单元 第二单元 学科 数学 年级 八
学习目标 （1）通过观察函数图象、求方程的解和不等式的解集，体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的联系；（2）会用图象法解一元一次不等式。2.通过对一次函数与一元一次不等式关系的探究及相关实际问题的解决,体会数形结合的思想。3.能利用一次函数与一元一次不等式的内在关系，解决实际问题。
重点 通过观察函数图象解一元一次不等式。
难点 一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：1.什么叫一元一次方程？一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1次的整式方程.2.什么叫一元一次不等式？一元一次不等式：不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式.3.一次函数的概念是什么？如果y=kx+b(k、b是常数且k≠0)，那么y就叫做x的一次函数.4.怎样求一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与坐标轴交点的坐标？设ax+b=0，则，即一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点坐标是（，0）.设x=0，y=b，则一次函数y=ax+b的图象与y轴的交点坐标是（0，b）. 学生小组竞赛，思考回答问题。 以“旧”引“新”，由原有的知识为基础，探讨新的内容。
讲授新课 1.探究一次函数和一元一次不等式的联系作出函数y=2x-5的图象列表：观察图象回答下列问题：（1）x 取哪些值时, y=0 解：当y=0时，2x-5=0.所以x=2.5。所以当x=2.5 时， y=0.（2）x 取哪些值时, y>0 解：从图象可知， y>0时，图象在x轴上方.所以当x>2.5时， y>0.（3） x 取哪些值时, y<0 解：从图象可知， y<0时，图象在x轴下方.所以当x<2.5时， y>0.（4） x 取哪些值时, y>1 解：要使y>1，那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x-5相交于点（3，1），则当x>3时，y>1. 一次函数和一元一次不等式的联系：任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是求一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围；反映在图象上，就是直线y＝ax＋b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围．【想一想】如果 y =-2x-5，那么当 x 取何值时，y < 0 ？思路一:运用函数图象解不等式.作一次函数y=-2x-5的图象由图象可得当x>-2.5时, y<0.思路二:将函数问题转化为不等式问题.即 解不等式-2x-5 >0 ，∴当x<-2.5时, y>0.【想一想】如果 y =-2 x - 5，那么当 x 取何值时，y < 1 ？思路一:运用函数图象解不等式.由图象可得当x>-3时，y<1.思路二:即 解不等式-2x-5 <1 ∴当x>-3时，y<1.总结归纳从数的角度看求ax+b>0（或<0）(a, b是常数，a≠0)的解集函数y= ax+b的函数值大于0（或小于0）时x的取值范围从形的角度看 求ax+b>0（或<0）(a, b是常数，a≠0)的解集直线y=ax+b在x轴上方（或下方）时自变量的取值范围【做一做】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑. 已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m.列出函数关系式，画出函数图象：解：设兄弟俩赛跑的时间为x秒，哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意得：y1=4x， y2=3x+9.函数图象如图.观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？(1)_______________时,弟弟跑在哥哥前面.(2)__________时,哥哥跑在弟弟前面.(3)______先跑过20m.______先跑过100m.不利用图象你能解决这个问题吗？方法二:代数法(1)何时弟弟跑在哥哥前面 4x<3x+9 解得x<9(2)何时哥哥跑在弟弟前面 4x>3x+9 解得x>9(3)谁先跑过20m 谁先跑过100m 4x=20解得x=5，3x+9=20解得∴弟弟先跑过20m4x=100解得x=25，3x+9=20解得∴哥哥先跑过100m【总结归纳】根据问题可寻找代数法和图象法两种途径，用代数法将其转化为解不等式，用图象法确定一元一次不等式的解集其方法是：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两条直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集． 学生作出函数图象后观察，发现：以（2.5，0）为界，右边函数图象在x轴的上方，所以当x>2.5时，y>0，左边函数图象在x轴的下方，所以当x<2.5时，y<0。学生求解一元一次方程和不等式，发现x的取值范围相同，更有的同学直接发现两种情况只是问法不同。学生初步体会一元一次不等式与一次函数的关系：一元一次不等式的解集可通过观察相应一次函数图象获得。学生利用所学知识做练习。 通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数概念，并从中体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。学生由讨论可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式。通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。通过完成这题进一步培养了学生的数形结合意识。感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。绝大部分学生都能画出函数图象，并能借助函数图象完成上述问题。对上环节中解决此类问题的方法进行巩固，建立解决此类问题的数学模型；让学生在合作学习的过程中进一步体验一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系。
课堂练习 1.函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象如图，则关于x的不等式kx＋b＞0的解集为( C )A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞22.如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b>kx－1的解集在数轴上表示正确的是( A )3.某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程为x km计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元，若y1，y2与x之间的函数关系如图所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是( D )A．当月用车路程为2 000 km时，两家汽车租赁公司收取的租赁费相同B．当月用车路程为2 300 km时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算C．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每千米收取的费用比乙租赁公司多D．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每千米收取的费用比乙租赁公司少4.已知在弹性限度内，甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数表达式分别是y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，其图象如图所示，当所挂物体的质量为2 kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为( A )A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定5.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)．(1)求这个一次函数的表达式；解：∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，∴k＝1，将点(1，2)的坐标代入y＝x＋b，得1＋b＝2，解得b＝1，∴一次函数的表达式为y＝x＋1.(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝kx＋b的值，求出m的取值范围．解：把点(1，2)的坐标代入y＝mx求得m＝2，∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝x＋1的值，∴m≥2.6.【中考·乐山】直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx＋b≤2的解集是( C )A．x≤－2 B．x≤－4 C．x≥－2 D．x≥－47.【中考·苏州】若一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx＋b>1的解集为( D )A．x<0 B．x>0 C．x<1 D．x>1 分层设计，让学有余力的同学加深对所学理解 通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂小结 本节课你学到了什么？一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围．从图象上看，ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集 直线y＝ax＋b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围． 对本节课的知识和思想方法进行系统性地总结。 通过师生共同反思，优化学生的认知结构，培养学生的归纳能力,把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质。
板书 课题：2.5.1 一元一次不等式与一次函数的关系一、运用函数图象解不等式.二、将函数问题转化为不等式问题.
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2.5.1 一元一次不等式与一次函数的关系
北师版 八年级下册
新知导入
小组竞赛：
1.什么叫一元一次方程？
一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1次的整式方程.
一元一次不等式：不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式.
2.什么叫一元一次不等式？
新知导入
小组竞赛：
3.一次函数的概念是什么？
4.怎样求一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与坐标轴交点的坐标？
如果y=kx+b(k、b是常数且k≠0)，那么y就叫做x的一次函数.
设ax+b=0，则 ，即一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点坐标是（ ，0）.
设x=0，y=b，则一次函数y=ax+b的图象与y轴的交点坐标是
（0，b）.
新知讲解
作出函数y=2x-5的图象
x … 0 2.5 …
y=2x-5 … -5 0 …
列表：
新知讲解
观察图象回答下列问题：
（1）x 取哪些值时, y=0
解：当y=0时，2x-5=0.
所以x=2.5。
所以当x=2.5 时， y=0.
新知讲解
观察图象回答下列问题：
（2）x 取哪些值时, y>0
解：从图象可知， y>0时，图象在x轴上方.
所以当x>2.5时， y>0.
新知讲解
观察图象回答下列问题：
（3） x 取哪些值时, y<0
解：从图象可知， y<0时，图象在x轴下方.
所以当x<2.5时， y>0.
新知讲解
观察图象回答下列问题：
（4）x 取哪些值时, y>1
解：要使y>1，那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x-5相交于点（3，1），则当x>3时，y>1.
新知讲解
一次函数和一元一次不等式的联系：
任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是求一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围；反映在图象上，就是直线y＝ax＋b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围．
新知讲解
【想一想】如果 y =-2x-5，那么当 x 取何值时，y < 0 ？
思路一:
运用函数图象解不等式.
由图象可得
当x>-2.5时, y<0.
作一次函数y=-2x-5的图象
y=-2x-5
新知讲解
【想一想】如果 y =-2x-5，那么当 x 取何值时，y < 0 ？
思路二:
将函数问题转化为不等式问题.
即 解不等式-2x-5 >0
∴当x<-2.5时, y>0.
新知讲解
【想一想】如果 y =-2x - 5，那么当 x 取何值时，y < 1 ？
思路一:
运用函数图象解不等式.
由图象可得
当x>-3时，y<1.
y=-2x-5
思路二:
即 解不等式-2x-5 <1
∴当x>-3时，y<1.
新知讲解
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集
函数y= ax+b的函数值
大于0（或小于0）时x
的取值范围
直线y=ax+b在x轴上方
（或下方）时自变量的取
值范围
从数的角度看
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集
总结归纳
新知讲解
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑.
已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m.
列出函数关系式，画出函数图象：
解：设兄弟俩赛跑的时间为x秒，哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意得：
y1=4x， y2=3x+9.
函数图象如图.
y1=4x
y2=3x+9
(9,36)
0
6
8
10
2
x(s)
4
12
24
12
30
18
36
6
y(m)
42
48
(1)_______________时,弟弟跑在哥哥前面.
新知讲解
观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
(2)__________时,哥哥跑在弟弟前面.
(3)______先跑过20m.______先跑过100m.
0(s)x>9(s)
弟弟
哥哥
不利用图象你能解决这个问题吗？
新知讲解
方法二:代数法
哥哥: y1=4x
弟弟: y2=3x+9
(1)何时弟弟跑在哥哥前面
(2)何时哥哥跑在弟弟前面
(3)谁先跑过20m 谁先跑过100m
4x<3x+9
解得x<9
4x>3x+9
解得x>9
4x=20
3x+9=20
解得x=5
∴弟弟先跑过20m
解得
4x=100
3x+9=100
解得x=25
∴哥哥先跑过100m
解得
新知讲解
【总结归纳】
根据问题可寻找代数法和图象法两种途径，用代数法将其转化为解不等式，用图象法确定一元一次不等式的解集其方法是：
先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两条直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集．
课堂练习
1.函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象如图，则关于x的不等式kx＋b＞0的解集为( )
A．x＞0
B．x＜0
C．x＜2
D．x＞2
C
课堂练习
2.如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b>kx－1的解集在数轴上表示正确的是( )
A
课堂练习
3.某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程为x km计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元，若y1，y2与x之间的函数关系如图所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是( )
A．当月用车路程为2 000 km时，
两家汽车租赁公司收取的租赁费相同
B．当月用车路程为2 300 km时，
租赁乙汽车租赁公司的车比较合算
C．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每千米收取的费用比乙租赁公司多
D．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每千米收取的费用比乙租赁公司少
D
课堂练习
4.已知在弹性限度内，甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数表达式分别是y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，其图象如图所示，当所挂物体的质量为2 kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为( )
A．y1＞y2
B．y1＝y2
C．y1＜y2
D．不能确定
A
拓展提高
5.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数
y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)．
(1)求这个一次函数的表达式；
解：∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，∴k＝1，将点(1，2)的坐标代入y＝x＋b，得1＋b＝2，解得b＝1，∴一次函数的表达式为y＝x＋1.
拓展提高
解：把点(1，2)的坐标代入y＝mx求得m＝2，
∵当x>1时，对于x的每一个值，
函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝x＋1的值，
∴m≥2.
5.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数
y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)．
(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝kx＋b的值，求出m的取值范围．
中考链接
6.【中考·乐山】直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx＋b≤2的解集是( )
A．x≤－2
B．x≤－4
C．x≥－2
D．x≥－4
C
中考链接
7.【中考·苏州】若一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx＋b>1的解集为( )
A．x<0
B．x>0
C．x<1
D．x>1
D
课堂总结
本节课你学到了什么？
一次函数与一元一次不等式的关系：
任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围．
从图象上看，ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集 直线y＝ax＋b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围．
板书设计
课题：2.5.1 一元一次不等式与一次函数的关系
教师板演区
学生展示区
一、运用函数图象解不等式.
二、将函数问题转化为不等式问题.
作业布置
课本 P51 练习题
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