苏科版八年级数学下册 9.4 菱形 教案

菱形的判定
【教学目标】
（1）探索并证明菱形的判定定理；
（2）经历探索、猜想、证明的过程，进一步理解对猜想进行证明的必要性，不断感受合情推理和演绎推理是人们正确认识事物的重要途径，并学会分析和综合的思考方法，发展演绎推理的能力．
【教学重点】菱形判定定理的探索及灵活运用．
【教学难点】分析和综合的思考方法．
【教学过程】
1.温故知新
活动1： ①上一节课我们学习了菱形，同学们能叙述出菱形的定义吗？
②菱形有哪些性质呢？你能指出菱形特有的性质吗？
【设计意图】选择新旧知识的切入点，既复习上节课内容，又激发学生学习新知识的兴趣，加强各知识点之间的联系．同时根据本章学习内容的方式，复习菱形的定义以及菱形特有的性质不仅帮助学生对已学知识进行回忆巩固，而且为后面学生对菱形判定的猜想作铺垫．
活动2：折纸视频
视频展示：一张矩形纸片对折两次，将其对折两次后，沿图1中的虚线AB剪下，并将得到的△AOB完全展开得到图2，猜想图2中四边形ABCD的形状，你能证明自己的猜想吗？（揭示课题——菱形的判定）
图1 图2
【设计意图】利用学生对看视频的兴趣，提高学生的注意力与积极性，并激发学生学习兴趣，教师适当引导，抛出问题，自然而然地引出课题；同时让学生感受到平时的折纸蕴含着大量的数学信息，体会数学与生活的紧密联系．
2.探索新知
活动3：我们数学很多新知识的学习方式是相似相通的，前面我们刚学习完矩形，你还记得我们是怎样研究矩形的判定吗？
【设计意图】通过对已学知识的回忆和思考，教给学生研究问题策略与方法：类比，体会知识之间的相互联系．
活动4：矩形的判定除了定义外，另外两个方法就是将矩形的特有性质反过来作为条件来判定的，那么菱形是否也可以这样呢？你认为菱形可能有哪些判定方法呢？
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
猜想1：四条边相等的四边形是菱形吗？
猜想2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
活动5：你能对以上的2个猜想进行证明吗？
如图3，在四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形．
如图4，在平行四边形ABCD中，若AC⊥BD交于点O．求证：四边形ABCD是菱形．
图3 图4
【设计意图】通过师生互动，回顾七年级文字型几何命题的证明需要结合条件画出图形，根据图形，写出已知、求证，最后证明．
活动6：归纳菱形的判定方法
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）四条边相等的四边形是菱形．
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【设计意图】通过及时归纳总结，帮助学生建立知识网络，便于学生的理解和记忆．
3.应用新知
现在你能对刚才视频的猜想进行证明了吗？你有哪些不同的证法？
例1.将一张矩形纸片对折两次后，沿图1中的AB剪下，将△AOB完全展开得到图2．求证：四边形ABCD是菱形．
【设计意图】不仅是菱形判定的方法的巩固，而且也是首尾呼应，及时对前面的猜想进行证明，解决学生心中存在的疑惑．
例2.对于矩形纸片ABCD，除了视频中折纸的方法外，你还能通过折叠得到一个菱形吗？动手试试看．
（折叠1）将矩形纸片ABCD像视频中的折叠（即图1），如图5，得到AB、BC、CD、DA的中点，分别记作点E、点F、点G、点H，链接EF、FG、GH、HE．求证：四边形EFGH是菱形．
（折叠2）如图6，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，EC与AD相交于点F，再将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G重合，链接AG．求证：四边形AGCF是菱形．
图5 图6 图7 图8
（折叠3）如图7，把矩形纸片ABCD折叠，使得点A与点C重合，折痕与AD、AC、BC分别相交于点E、点O、点F，连接AF和EC．求证：四边形AFCE是菱形．
追问：在折叠3中，矩形的4个直角并没有发挥作用，若将折叠3中的“矩形纸片”换成“平行四边形纸片”，结论还成立吗？
变式1：如图8，把平行四边形纸片ABCD折叠，使得点A与点C重合，折痕与AD、AC、BC分别相交于点E、点O、点F，连接AF和EC．求证：四边形AFCE是菱形．
追问：在变式1的解答过程中，我们发现平行四边形ABCD中AB∥CD并没有发挥作用．若将变式1中“平行四边形纸片”换成 “梯形纸片”，结论还成立吗？
【设计意图】在应用新知的这个环节中，改变以往教师呈现问题，学生解答的模式．在此块环节，通过折纸实验，让学生亲自动手操作，从一个旁观者和听众的角色变成了一个参与者，因此更容易对实验结果、产生结果的原因、新的知识以及新的方法等产生强烈的好奇心，在很大程度上能够使学生的好奇、好玩、好动的天性得到满足，进而激发学生的数学学习兴趣，从而主动参与到学习活动中．在整个活动中，体验解决问题方法的多样性，这样可引导学生从不同的角度研究问题，并在这个过程中学会分析和综合思考的方法以及抽象的思维能力．此外，通过教师追问，既是对教材内容的整合，又培养学生的发散思维，揭示和发现问题的本质．
折纸实验不仅在我们生活中常出现，而且也是我们数学中考考试的一种经典题型，下面我们一起来欣赏这样的一道中考题．
例3. （2017·兰州）如图9，将一张矩形纸片 ABCD沿着对角线 BD向上折叠，顶点 C落到点E 处， BE交AD 于点F .
（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）如图10，过点 D作DG∥BE ，交 BC于点 G，连结FG 交BD 于点 O.
①判断四边形 BFDG的形状，并说明理由；
②若AB=6 ， AD=8，求 FG的长.
图9 图10 图11
【设计意图】折纸类问题在中考中层出不穷，学生遇到此类问题常常畏惧，通过今天的折纸实验，不仅巩固菱形的判定方法，而且让学生感受成功解决中考问题的喜悦．
4.拓展延伸
（1）将一张矩形纸片对折剪开，得到2张长、宽一样大小的矩形纸条，你能利用它们拼出一个菱形吗？
（2）如图11，如果两张矩形的纸片长都是8，宽都是2.那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或者最小值？若存在该如何叠放，并分别求出最大值或最小值.
（3）如果两张矩形的纸片长都是8，宽都是2.那么菱形ABCD的面积是否存在最大值或者最小值？若存在该如何叠放，并分别求出最大值或最小值.
【设计意图】数学课程标准要求不同的人在数学上得到不同的发展，本题既是对前面知识的复习，又是对今天知识的深化．让学有余力的学生有所追求，激发他们学习的兴趣，这样有利于发挥和展示他们的数学才能．
5.课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些疑惑？
【设计意图】教师首先通过设置的问题让学生对本节课的学习过程进行回顾，使得学习的知识系统化，同时也注重数学思想的归纳，有利于学生将数学表层知识与深层知识形成辩证统一的认识．