2021—2022学年华东师大版数学七年级下册9.1.3三角形三边关系 练习（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年华东师大版数学七年级下册9.1.3三角形三边关系 练习（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 73.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-31 08:11:11 | ||
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文档简介
9.1.3三角形三边关系
★三角形中三边之间的关系:三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．
★三角形的稳定:三角形的形状不会改变，而四边形的形状会改变,即三角形是具有稳定性的图形，而四边形不具有稳定性．
★方法
（1）已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。
(2）已知三角形的两边，确定周长的取值范国，其方法是：如果 a、b 是三角形已知的两边长，且 a >b。那么周长的取值范围满足2a<<2( a 十 b ).
一．选择题（共7小题）
1．不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．伸缩门 D．矩形门的斜拉条
2．等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．12或15 B．12 C．15 D．18
3．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
4．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
5．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（共5小题）
8．三边长均为整数的三角形周长为50，其最长边是最短边的2倍长，则最短边长是 ．
9．多边形木架具有不稳定性，但加钉一些木条可以使其保持形状不变
多边形 4 5 6 7
至少要加钉木条根数 1 2 3 4
根据上面规律，要使一个2n（n≥2）边形的木架形状不变，至少要钉 根木条．
10．如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 ．
11．设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ ．
12．已知△ABC三边分别为a、b、c，若a＝3，b＝4，则c的取值范围是 ；已知四边形ABCD四边分别为a、b、c、d，若a＝3，b＝4，d＝10，则c的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
13．由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
（1）1cm，2cm，3.5cm；
（2）4cm，5cm，9cm；
（3）6cm，8cm，13cm．
14．已知三角形的两边长分别为3cm和7cm．
（1）试确定三角形第三边长x的取值范围．
（2）若第三边的长为偶数，求三角形的周长．
（3）若三角形为等腰三角形，则三角形的周长为 cm．
15．已知等腰三角形的周长为21cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm的两个三角形，求等腰三角形的腰长．
16．已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
17．如图，D，E是△ABC内两点，求证：AB+AC＞BD+DE+CE．
9.1.3三角形三边关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．伸缩门 D．矩形门的斜拉条
【解答】解：伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
2．等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．12或15 B．12 C．15 D．18
【解答】解：∵三角形中任意两边之和大于第三边
∴当另一边为3时3+3＝6不符
∴另一边必须为6
∴周长为3+6+6＝15
故选：C．
3．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
4．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
故|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0．
故选：D．
5．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有4，
故选：C．
6．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解答】解：由三角形三边关系可得，
，
解得2＜n＜10，
∴正整数n有7个：3，4，5，6，7，8，9．
故选：D．
7．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
8．三边长均为整数的三角形周长为50，其最长边是最短边的2倍长，则最短边长是 11或12 ．
【解答】解：设最短边长为x，最长的边长为2x，则第三边长为50﹣3x，
∴该三角形三边的关系有，
解得：10＜x＜12.5，
∵三边长均为整数，
∴最短的边长为11或12．
故答案为：11或12．
9．多边形木架具有不稳定性，但加钉一些木条可以使其保持形状不变
多边形 4 5 6 7
至少要加钉木条根数 1 2 3 4
根据上面规律，要使一个2n（n≥2）边形的木架形状不变，至少要钉 （2n﹣3） 根木条．
【解答】解：∵4﹣1＝3，5﹣2＝3，6﹣3＝3，7﹣4＝3，…
∴要使一个2n边形木架不变形，至少需要（2n﹣3）根木条固定．
故答案为：（2n﹣3）．
10．如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 a＞5 ．
【解答】解：因为﹣2＜2＜5，
所以a﹣2＜a+2＜a+5，
所以由三角形三边关系可得a﹣2+a+2＞a+5，
解得：a＞5．
则不等式的解集是：a＞5．
故答案为：a＞5．
11．设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ a﹣3b+c ．
【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边，
∴a﹣b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝a﹣b+c﹣（a+b﹣c）+（a﹣b﹣c）
＝a﹣b+c﹣a﹣b+c+a﹣b﹣c
＝a﹣3b+c．
故答案为：a﹣3b+c．
12．已知△ABC三边分别为a、b、c，若a＝3，b＝4，则c的取值范围是 1＜c＜7 ；已知四边形ABCD四边分别为a、b、c、d，若a＝3，b＝4，d＝10，则c的取值范围是 3＜c＜17 ．
【解答】解：由三角形的三边关系，得
第三边的取值范围是：4﹣3＜x＜4+3，
解得1＜x＜7．
由三角形的三边关系，得
4﹣3＜对角线的长＜4+3，即1＜对角线的长＜7，
则c的取值范围是10﹣7＜c＜10+7，即3＜c＜17．
故答案为：1＜x＜7；3＜c＜17．
三．解答题（共5小题）
13．由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
（1）1cm，2cm，3.5cm；
（2）4cm，5cm，9cm；
（3）6cm，8cm，13cm．
【解答】解：（1）∵1+2＝3＜3.5，
∴不能组成三角形；
（2）∵4+5＝9，
∴不能组成三角形；
（3）∵6+8＞13，
∴能组成三角形．
14．已知三角形的两边长分别为3cm和7cm．
（1）试确定三角形第三边长x的取值范围．
（2）若第三边的长为偶数，求三角形的周长．
（3）若三角形为等腰三角形，则三角形的周长为 17 cm．
【解答】解：（1）根据三角形三边关系，得7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10；
（2）因为4＜x＜10，且x是偶数，所以x＝6或x＝8；
所以三角形的周长为3+7+6＝16cm或3+7+8＝18cm；
（3）若三角形是等腰三角形，则第三边只能是7cm，
周长为3+7+7＝17cm，
故答案为17．
15．已知等腰三角形的周长为21cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm的两个三角形，求等腰三角形的腰长．
【解答】解：设腰长为xcm，底边长为ycm．
（1）若腰比底边长，
根据题意得，
解得；
（2）若底边比腰长，
根据题意得，
解得．
故这个三角形的腰长是8cm或6cm．
16．已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
【解答】解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
②∵a＝5，b＝2，c为整数，
∴5﹣2＜c＜2+5，
∴c的最小值为4，c的最大值为6，
∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．
17．如图，D，E是△ABC内两点，求证：AB+AC＞BD+DE+CE．
【解答】证明：延长DE、ED分别交AB、AC于F、G，
在△AFG中：AF+AG＞FG①，
在△BFD中：FB+FD＞BD②，
在△EGC中：EG+GC＞EC③，
∵FD+ED+EG＝FG，
∴①+②+③得：
AF+FB+FD+EG+GC+AG＞FG+BD+EC，
即：AB+FD+EG+AC＞FG+BD+EC，
AB+AC＞FG﹣FD﹣EG+BD+EC，
∴AB+AC＞BD+ED+EC．
第1页（共1页）
★三角形中三边之间的关系:三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．
★三角形的稳定:三角形的形状不会改变，而四边形的形状会改变,即三角形是具有稳定性的图形，而四边形不具有稳定性．
★方法
（1）已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。
(2）已知三角形的两边，确定周长的取值范国，其方法是：如果 a、b 是三角形已知的两边长，且 a >b。那么周长的取值范围满足2a<<2( a 十 b ).
一．选择题（共7小题）
1．不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．伸缩门 D．矩形门的斜拉条
2．等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．12或15 B．12 C．15 D．18
3．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
4．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
5．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（共5小题）
8．三边长均为整数的三角形周长为50，其最长边是最短边的2倍长，则最短边长是 ．
9．多边形木架具有不稳定性，但加钉一些木条可以使其保持形状不变
多边形 4 5 6 7
至少要加钉木条根数 1 2 3 4
根据上面规律，要使一个2n（n≥2）边形的木架形状不变，至少要钉 根木条．
10．如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 ．
11．设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ ．
12．已知△ABC三边分别为a、b、c，若a＝3，b＝4，则c的取值范围是 ；已知四边形ABCD四边分别为a、b、c、d，若a＝3，b＝4，d＝10，则c的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
13．由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
（1）1cm，2cm，3.5cm；
（2）4cm，5cm，9cm；
（3）6cm，8cm，13cm．
14．已知三角形的两边长分别为3cm和7cm．
（1）试确定三角形第三边长x的取值范围．
（2）若第三边的长为偶数，求三角形的周长．
（3）若三角形为等腰三角形，则三角形的周长为 cm．
15．已知等腰三角形的周长为21cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm的两个三角形，求等腰三角形的腰长．
16．已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
17．如图，D，E是△ABC内两点，求证：AB+AC＞BD+DE+CE．
9.1.3三角形三边关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．伸缩门 D．矩形门的斜拉条
【解答】解：伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
2．等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．12或15 B．12 C．15 D．18
【解答】解：∵三角形中任意两边之和大于第三边
∴当另一边为3时3+3＝6不符
∴另一边必须为6
∴周长为3+6+6＝15
故选：C．
3．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
4．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
故|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0．
故选：D．
5．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有4，
故选：C．
6．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解答】解：由三角形三边关系可得，
，
解得2＜n＜10，
∴正整数n有7个：3，4，5，6，7，8，9．
故选：D．
7．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
8．三边长均为整数的三角形周长为50，其最长边是最短边的2倍长，则最短边长是 11或12 ．
【解答】解：设最短边长为x，最长的边长为2x，则第三边长为50﹣3x，
∴该三角形三边的关系有，
解得：10＜x＜12.5，
∵三边长均为整数，
∴最短的边长为11或12．
故答案为：11或12．
9．多边形木架具有不稳定性，但加钉一些木条可以使其保持形状不变
多边形 4 5 6 7
至少要加钉木条根数 1 2 3 4
根据上面规律，要使一个2n（n≥2）边形的木架形状不变，至少要钉 （2n﹣3） 根木条．
【解答】解：∵4﹣1＝3，5﹣2＝3，6﹣3＝3，7﹣4＝3，…
∴要使一个2n边形木架不变形，至少需要（2n﹣3）根木条固定．
故答案为：（2n﹣3）．
10．如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 a＞5 ．
【解答】解：因为﹣2＜2＜5，
所以a﹣2＜a+2＜a+5，
所以由三角形三边关系可得a﹣2+a+2＞a+5，
解得：a＞5．
则不等式的解集是：a＞5．
故答案为：a＞5．
11．设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ a﹣3b+c ．
【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边，
∴a﹣b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝a﹣b+c﹣（a+b﹣c）+（a﹣b﹣c）
＝a﹣b+c﹣a﹣b+c+a﹣b﹣c
＝a﹣3b+c．
故答案为：a﹣3b+c．
12．已知△ABC三边分别为a、b、c，若a＝3，b＝4，则c的取值范围是 1＜c＜7 ；已知四边形ABCD四边分别为a、b、c、d，若a＝3，b＝4，d＝10，则c的取值范围是 3＜c＜17 ．
【解答】解：由三角形的三边关系，得
第三边的取值范围是：4﹣3＜x＜4+3，
解得1＜x＜7．
由三角形的三边关系，得
4﹣3＜对角线的长＜4+3，即1＜对角线的长＜7，
则c的取值范围是10﹣7＜c＜10+7，即3＜c＜17．
故答案为：1＜x＜7；3＜c＜17．
三．解答题（共5小题）
13．由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
（1）1cm，2cm，3.5cm；
（2）4cm，5cm，9cm；
（3）6cm，8cm，13cm．
【解答】解：（1）∵1+2＝3＜3.5，
∴不能组成三角形；
（2）∵4+5＝9，
∴不能组成三角形；
（3）∵6+8＞13，
∴能组成三角形．
14．已知三角形的两边长分别为3cm和7cm．
（1）试确定三角形第三边长x的取值范围．
（2）若第三边的长为偶数，求三角形的周长．
（3）若三角形为等腰三角形，则三角形的周长为 17 cm．
【解答】解：（1）根据三角形三边关系，得7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10；
（2）因为4＜x＜10，且x是偶数，所以x＝6或x＝8；
所以三角形的周长为3+7+6＝16cm或3+7+8＝18cm；
（3）若三角形是等腰三角形，则第三边只能是7cm，
周长为3+7+7＝17cm，
故答案为17．
15．已知等腰三角形的周长为21cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm的两个三角形，求等腰三角形的腰长．
【解答】解：设腰长为xcm，底边长为ycm．
（1）若腰比底边长，
根据题意得，
解得；
（2）若底边比腰长，
根据题意得，
解得．
故这个三角形的腰长是8cm或6cm．
16．已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
【解答】解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
②∵a＝5，b＝2，c为整数，
∴5﹣2＜c＜2+5，
∴c的最小值为4，c的最大值为6，
∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．
17．如图，D，E是△ABC内两点，求证：AB+AC＞BD+DE+CE．
【解答】证明：延长DE、ED分别交AB、AC于F、G，
在△AFG中：AF+AG＞FG①，
在△BFD中：FB+FD＞BD②，
在△EGC中：EG+GC＞EC③，
∵FD+ED+EG＝FG，
∴①+②+③得：
AF+FB+FD+EG+GC+AG＞FG+BD+EC，
即：AB+FD+EG+AC＞FG+BD+EC，
AB+AC＞FG﹣FD﹣EG+BD+EC，
∴AB+AC＞BD+ED+EC．
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