第1章直角三角形解答题练习（湖南地区专用）2021－2022学年下学期湖南省各地湘教版八年级数学期中复习 （word版含解析）

直角三角形解答题
1．（2021·湖南怀化·八年级期中）如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，AD⊥BC于O，∠B=50°，求∠A和∠C．
2．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝CF．
3．（2021·湖南常德·八年级期中）如图，在中，，，D是AB上一点，，．
（1）求证：；
（2）求AC长．
4．（2021·湖南·长沙市实验中学八年级期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC：
（2）已知AC=18，BE=4，求AB的长．
5．（2021·湖南常德·八年级期中）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m．
（1）求OB的长度；
（2）如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？
6．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若BE＝2，AD＝5，求线段AF的长．
7．（2021·湖南常德·八年级期中）如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积为14，求DE的长．
8．（2021·湖南株洲·八年级期中）已知：如图、相交于点，，，求证：．
9．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=82°，∠C=40°，求∠DAE的度数．
10．（2021·湖南邵阳·八年级期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，ED垂直平分AB于点D，若AC＝9，BC＝6，求的长．
11．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，
（1）请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的（ ）．
A.角平分线；B.垂直平分线；C. 高；D.中线
（2）若中，，，，求AC的长．
12．（2021·湖南·通道侗族自治县教育科学研究室八年级期中）如图，在锐角中，于D，于是的中点，连接、、．
求证：是等腰三角形．
13．（2021·湖南·张家界市民族中学八年级期中）如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，求的长．
14．（2021·湖南邵阳·八年级期中）已知：如图∠B=∠E=90°，AC=DF，FB=EC，求证：AB=DE．
15．（2021·湖南·通道侗族自治县教育科学研究室八年级期中）三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，最大边长是12，求最小边的长．
16．（2021·湖南·长沙市明德天心中学八年级期中）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
17．（2021·湖南怀化·八年级期中）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
18．（2021·湖南·通道侗族自治县教育科学研究室八年级期中）如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点．
（1）求证：垂直平分；
（2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由．
19．（2021·湖南株洲·八年级期中）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60 的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.
(1)A城是否受到这次台风的影响 为什么
(2)若A城受到这次台风影响,则A城遭受这次台风影响有多长时间
20．（2021·湖南常德·八年级期中）已知:如图，中, , 且于交的延长线于.
(1)求证:
(2)如果连接,请写出与的关系并证明
21．（2021·湖南永州·八年级期中）在一条笔直的公路上有两个停靠站，公路旁有一块地正在开发，现在C处时常需要爆破作业，如图，已知A，B两站相距2km，且，为安全起见，爆破点C周围半径500米范围内任何人不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封闭？请说明理由()
22．（2021·湖南·张家界市民族中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，求∠BDA的度数．
23．（2021·湖南常德·八年级期中）如图，在和中，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）是何种三角形？证明你的结论．
24．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，△是等边三角形，是AC边上的高，延长至，使．
（1）求证：；
（2）过点作垂直，垂足为，若，求△的周长．
25．（2021·湖南常德·八年级期中）如图，在中，，于，是斜边的中点．
（1）若，，求的长；
（2）若，求的度数．
26．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，在△中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD＝2，M、N分别是AB、CE的中点．
（1）求证：△ADB≌△CDE；
（2）求∠MDN的度数．
（3）若CD＝5，求△AMD的面积．
27．（2021·湖南张家界·八年级期中）综合与探究：
如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．
（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B＝30°，∠C＝70°，则∠CAD＝　 　°，∠DAE＝　 　°；
②若∠B＝45°，∠C＝65°，则∠DAE＝　 　°；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
28．（2021·湖南娄底·八年级期中）如图，已知中，，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1) 出发2秒后，求PQ的长；
(2) 当点Q在边BC上运动时，通过计算说明PQ能否把的周长平分？
(3) 当点Q在边AC上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
29．（2021·湖南常德·八年级期中）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．请仅用无刻度的直尺作图：
（1）在图中画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△A′B′C′；（不写画法）
（2）请你判断△ABC的形状，并加以证明；
（3）若点P是MN上的动点，求的最小值．
30．（2021·湖南娄底·八年级期中）阅读以下材料，完成以下两个问题，
[阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：AE平分．
结合此题，，点B是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角，有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示．以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长FE至G，使，连结CG．
在和中，
，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴平分．
问题：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
31．（2021·湖南·长沙市实验中学八年级期中）在△ABC中，AB=AC=10cm．
（1）如图1，AM是△ABC的中线，MD⊥AB于D点，ME⊥AC于E点，MD=3cm，则ME= cm．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接DE交AM于点F，试猜想：
①FD FE（填“>”、“=”或“＜”）；
②AM DE （填位置关系）．
（3）如图3，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上由B向C运动，同时点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由C向A运动，设点P的运动时间为t秒．问：运动时间t为多少时，△BDP与△PQC全等
32．（2021·湖南常德·八年级期中）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：
①旋转角的度数 ；线段OD的长为 ．
②求∠BDC的度数；
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．．
【解析】
先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两个锐角互余可得的度数，然后根据平行线的性质可得的度数．
【详解】
解：于点，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、垂直、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握各性质和定义是解题关键．
2．见解析
【解析】
根据角平分线的性质可得DE＝DF，∠DEB＝∠DFC，进而证明 Rt△BDE≌Rt△CDF，即可证明BE＝CF．
【详解】
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质与定义，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：，，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
4．（1）见解析；（2）．
【解析】
（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案．
【详解】
（1）证明：，，
，
在和中，
，
∴，
，
，，
平分；
（2）解：，，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
5．（1）0.7m；（2）0.4m．
【解析】
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）设梯子的A端下滑到D，如图，求得OC＝0.7+0.8＝1.5m，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得
m；
（2）设梯子的A端下滑到D，如图，
∵OC＝0.7+0.8＝1.5，
∴在Rt△OCD中，m
∴AD＝OA﹣OD＝﹣2＝0.4m，
∴梯子顶端A下移0.4m．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理.
6．（1）见解析；（2）7
【解析】
(1)根据角平分线的性质可以得出，利用直角三角形全等的判定定理（HL）即可证明三角形全等；
(2)由（1）可得：，即可得出AF的长度．
【详解】
解：（1）证明：∵AC平分，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴，，
在和中，
，
∴，
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】
题目主要考查三角形全等的判定和性质、角平分线的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
7．DE＝2
【解析】
过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图，利用角平分线的性质得到DF＝DE．再利用三角形面积公式得到×DE×10＋×DF×4＝14，然后解方程即可．
【详解】
解：过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，
∴DF＝DE．
∵△ABC的面积为14，
∴S△BCD+S△ACD＝14，
∴×DE×10+×DF×4＝14，
即5DE+2DE＝14，
∴DE＝2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．见解析
【解析】
根据HL定理证明三角形全等即可；
【详解】
证明：∵，
∴与都是直角三角形，
又∵，（公共边），
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等证明，准确分析证明是解题的关键．
9．∠DAE的度数为21°．
【解析】
根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据三角形的外角性质得到∠AEC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【详解】
解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-82°-40°=58°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=29°；
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=8°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=29°-8°=21°．
∴∠DAE的度数为21°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
10．6.5
【解析】
根据中垂线的性质得BE=AE，再利用勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】
解：∵ED垂直平分AB于点D，
∴BE=AE，
设BE=AE=x，则CE=9-x，
∵在Rt△BCE中，∠C＝90°，
∴，
解得：x=6.5．
∴AE=6.5．
【点睛】
本题主要考查勾股定理以及中垂线的性质，根据勾股定理，列出方程是解题的关键．
11．（1）B；（2）9．
【解析】
（1）连接，，根据作图过程可得，，所以可得直线MN是线段AB的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，又知在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半，可得的长度，从而求得，进而可以求得的值．
【详解】
解：（1）连接，，根据作图过程可得，
，，
∴可得直线MN是线段AB的垂直平分线；
故选：B；
（2）由（1）可知直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴，
∵中，，，，
∴,
∴，
∴，
即．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的判断定理与性质定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握定理内容解答问题是解题关键．
12．证明见详解
【解析】
根据垂直定义确定△BEC与△BDC均为直角三角形，∠BEC=∠BDC=90°，根据是的中点可证EF=DF即可．
【详解】
证明：∵于D，于
∴△BEC与△BDC均为直角三角形，∠BEC=∠BDC=90°
∵是的中点
∴EF=，DF=，
∴EF=DF，
∴是等腰三角形．
【点睛】
本题考查直角三角形的判定，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的判定，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形判定是解题关键．
13．2
【解析】
过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POD=∠OPC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出PE=PC=2，则PD=2．
【详解】
解：过点P作PE⊥OA于点E，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴PE=PD．
∵PC∥OB，
∴∠POD=∠OPC，
∴∠PCE=∠POC+∠OPC
=∠POC+∠POD
=∠AOB=30°，
∴PE=PC=2，
∴PD=2．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解题的关键是作辅助线构造含30°角的直角三角形．
14．见解析
【解析】
由FB=CE可得BC=FE，又∠B=∠E=90°，根据“HL”证得Rt△ABC≌Rt△DEF，问题得证．
【详解】
证明：∵FB=CE，
∴BC=FE，
在Rt△ABC与Rt△DEF中
∵AC=DF，BC=EF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AB=DE；
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定方法“HL”是解题的关键．
15．6
【解析】
先根据三角形三个内角之比为1：2：3求出各角的度数判断出三角形的形状，再根据含30度角的直角三角形的性质求解．
【详解】
解：∵三角形三个内角之比为1：2：3，
∴设三角形最小的内角为x，则另外两个内角分别为2x，3x，
∴x+2x+3x=180°，
∴x=30°，3x=90°，
∴此三角形是直角三角形．
∴它的最小的边长，即30度角所对的直角边长为：×12=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形内角和定理和含30度角的直角三角形的性质.
16．（1）①；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC；
（2）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线．
【详解】
（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；
故答案为：①；
（2）如图，
连接MC、NC．
根据作图的过程知，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∠AOC=∠BOC，
∴OC为的平分线．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
17．（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA．
【详解】
（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；
（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
【点睛】
考查线段的垂直平分线的作法以及角平分线的判定，熟练掌握线段的垂直平分弦的作法是解题的关键.
18．（1）见解析；（2）．理由见解析．
【解析】
（1）根据角平分线的性质可得，根据等腰三角形的判定定理，可得，结合中垂线的判定定理，即可得到结论；
（2）由，可得，同理可得，进而即可得到结论．
【详解】
（1）证明：为的角平分线，，，
，，
，
，
点A、都在的垂直平分线上，
垂直平分；
（2）解：．
理由：，平分，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理以及中垂线的判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．
19．（1）A城受台风影响；（2）6h
【解析】
（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，根据勾股定理求得AC的长，与200km比较即可得结论；
（2）点A到直线BF的长为200km的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】
（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；
（2）设BF上点D，DA=200km，则还有一点G，有AG=200km．
因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，
在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，
由勾股定理得，CD===120km，
则DG=2DC=240km，
遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（h）．
20．(1)详见解析;(2) 垂直平分
【解析】
（1）证明AC是∠EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）先写出BE与AC的关系，再根据题意和图形，利用线段的垂直平分线的判定即可证明．
【详解】
（1）证明：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE=CB；
（2）AC垂直平分BE，
证明：由（1）知，CE=CB，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴∠CEA=∠CBA=90°，
在Rt△CEA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE=AB，CE=CB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．公路AB段不需要临时封锁
【解析】
做CD⊥AB交AB于D点，Rt△ABC由勾股定理得BC的长度，然后在在Rt△BCD中，根据30°/60°/90°的边角关系，得到CD的长度，大于500米，因此即可判断不需要封闭．
【详解】
解：如图，作CD⊥AB交AB于D点
∵∠ABC=，∠BAC=
∴ ∠C=90°
在Rt△ABC中，AB=2，∠ABC=30°
∴ AC=1
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
BC==
又∵在Rt△BCD中，∠DBC=30°
∴CD=(km)≈865(m)
∵ CD>500m
∴不必封闭
故答案为：公路AB段不需要临时封锁．
【点睛】
本题考查了应用勾股定理求解第三边的长度，30°/60°/90°直角三角形的边角关系，解题的关键是熟记30°/60°/90°对边的长度比为1：：2．
22．70°．
【解析】
在直角△EBD中，利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AD＝BD，从而得∠BAD＝∠B＝55°，再根据三角形内角和定理即可求得．
【详解】
解：∵ED⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
又∵∠E＝35°，
∴∠B＝90°－∠E＝55°，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝55°，
∴∠BDA＝180°－∠B－∠BAD＝70°．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）是等腰三角形，证明见解析
【解析】
（1）根据已知条件，用HL直接证明Rt△ABC≌Rt△DCB即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等得到∠ACB＝∠DBC，即可证明△OBC是等腰三角形．
【详解】
证明：（1）在和中，
，为公共边，
∴
（2）是等腰三角形
∵
∴
∴
∴是等腰三角形
【点睛】
此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的判定的理解和掌握，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题关键．
24．（1）见解析；（2）36
【解析】
（1）由等边三角形的性质可知，，再由CE=CD，可得出，由三角形外角性质即可求出，即证明，从而得出结论DB=DE；
（2）根据题意可知， ，即可求出，利用含角的直角三角形的性质可推出，最后再根据等边三角形的性质即可求出其周长．
【详解】
解：∵是等边三角形，BD是AC边上的高，
∴，
∴．
∵CE=CD，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴DB=DE．
（2）根据题意可知，
∵，
∴，
∴．
∵是等边三角形，BD是AC边上的高，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，含角的直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．
25．（1）；（2）45°
【解析】
（1）利用勾股定理求出AB，再利用斜边上中线等于斜边一半，求出CM即可；
（2）根据已知条件，求出，在利用直角三角形锐角互余求出，再由等边对等角，则问题可解．
【详解】
解：（1）在中，，
是中点，
（2） ，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半、以及三角形内角和的知识，解答关键是根据题意利用三角形的外角性质求解．
26．（1）见解析；（2）90°；（3）
【解析】
（1）由垂直的定义得到，根据已知条件即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形中线的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，根据各角之间的关系即可得到结论；
（3）由（1）得，根据三角形的面积公式即可求出的面积，从而得到的面积．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，
∴，
在与中，
，
；
（2） ∵ ，
∴，
∵M、N分别是AB、CE的中点及直角三角形中线的性质，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵ ，
∴，，
∴，
∵M是AB的中点，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
27．（1）①40，20；②10；③∠DAE＝(∠C-∠B)，理由见解析；（2）∠DFE＝(∠C﹣∠B)，理由见解析
【解析】
（1）①根据三角形内角和求出，然后根据角平分线的定义求出，根据AE⊥BC，进而求得∠DAE的度数；
②根据①中的方式求解即可；
③根据①中计算过程推到即可；
（2）根据三角形内角和以及三角形外角的性质等知识点进行推到即可．
【详解】
解：（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴，
∵AD是∠BAC角平分线，
∴，
∵AE⊥BC，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40，20；
②∵∠B＝45°，∠C＝65°，
∴，
∵AD是∠BAC角平分线，
∴，
∵AE⊥BC，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10；
③∠DAE＝(∠C-∠B)，理由如下：
在△AEC中，∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°-∠AEC-∠C＝180°-90°-∠C＝90°-∠C，
∴∠DAE＝∠CAD-∠EAC＝×(180°-∠B-∠C)＝(90°-∠B-∠C)-( 90°-∠C)＝ (∠C-∠B)；
（2）判断与思考；∠DFE＝(∠C﹣∠B)，理由如下：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝＝90°-(∠C+∠B)，
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+90°-（∠C+∠B）＝90°+(∠B-∠C)，
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°- [90°+(∠B-∠C)]＝90°-90°-(∠B-∠C)，
∴∠DFE＝(∠C-∠B)．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握基础知识是解本题的关键．
28．（1）2cm（2）点Q在边BC上运动时， PQ不能把△ABC的周长平分（3）5.5秒或6秒或6.6秒
【解析】
（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，根据勾股定理即可求得PQ的长；
（2）由勾股定理求出AC，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【详解】
解：（1）BQ=2×2=4cm
BP=AB-AP=8-2×1=6cm
∵∠B=90°
∴PQ===2（cm）
（2）由勾股定理得：AC===10（cm）
根据题意得：BQ=2tcm，CQ=（6-2t）cm，PA=tcm，BP=（8-t）cm
若PQ能把△ABC的周长平分，则BQ+BP=CQ+PA+AC
即2t+8-t=6-2t+t+10
解得：t=4
此时CQ=6-2t=-2
∴t=4不合题意
∴点Q在边BC上运动时， PQ不能把△ABC的周长平分
（3）①当CQ=BQ时，如图1所示
则∠C=∠CBQ
∵∠ABC=90°
∴∠CBQ+∠ABQ=90°
∠A+∠C=90°
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11
∴t=11÷2=5.5秒
②当CQ=BC时，如图2所示
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒
③当BC=BQ时，如图3所示
过B点作BE⊥AC于点E
则BE===4.8（cm）
∴CE==3.6cm
∴CQ=2CE=7.2cm
∴BC+CQ=13.2cm
∴t=13.2÷2=6.6秒
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时
△BCQ为等腰三角形
【点睛】
本题考查勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意方程思想、分类讨论思想的应用．
29．（1）见解析；（2）△ABC是等腰直角三角形，证明见解析；（3）
【解析】
（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理逆定理得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：△ABC关于MN的对称点是A'，B'，C'，即可得解，
图中所作△A′B′C′即为所求；
（2）由题可知：∵AB2＝12+42＝17，BC2＝12+42＝17，AC2＝32+52＝34，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）连接A'B，与MN相交于点P，连接AP，
，
，
∴A'B即为PA+PB的最小值，
∴，
故PA+PB的最小值是．
【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理等知识，正确利用轴对称求最短路线是解题关键．
30．见解析
【解析】
根据题干图（1）的证明，可延长AE至G，使，连接DG．在和中利用“SAS”易证，得到结论，．由，可间接证明，最后由平行线的性质即可间接证明出，即AE平分．
【详解】
图（2）的证明：
证明：延长AE至G，使，连接DG，如题干图（2）所示：
在和中，，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AE平分．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义．阅读材料，根据图（1）的证明理解图（2）的辅助线作法是解答本题的关键．
31．（1）3；（2）①=，②⊥；（3）运动时间t为或时，△BDP与△PQC全等．
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的性质可求解；
（2）由题意易证Rt△ADM≌Rt△AEM，则有AD=AE，然后问题可求解；
（3）由题意易得AD=BD=5cm，然后根据△BDP与△PQC全等分两种情况进行分类求解即可．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，AM是△ABC的中线，
∴∠BAM=∠CAM，
又∵DM⊥AB，ME⊥AC，
∴MD=ME=3cm，
故答案为：3；
（2）在Rt△ADM和Rt△AEM中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△AEM（HL），
∴AD=AE，
又∵∠BAM=∠CAM，
∴DF=EF，AM⊥DE，
故答案为：=，⊥；
（3）∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=5cm，
∵△BDP与△PQC全等，
∴BP=CP，BD=CQ=5cm或BP=CQ，BD=PC=5cm，
当BP=CP，BD=CQ=5cm，
∴t=，
当BP=CQ，BD=PC=5cm，
∵BC=8cm，
∴BP=CQ=3cm，
∴t=，
综上所述：运动时间t为或时，△BDP与△PQC全等．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．
32．（1）①，4；②；（2），证明见解析．
【解析】
（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；
②由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝150°；
（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝OB，然后根据勾股定理的逆定理，当 时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．
【详解】
解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
∵旋转至，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
故答案为：60°，4；
②在中，，，，
∵，即
∴为直角三角形，，
∴；
（2）时，，
理由如下：
∵绕点顺时针旋转后得到，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵当时，为直角三角形，，
∴，即
∴当满足时，．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．
答案第1页，共2页