2.7正方形同步优生辅导测评2021-2022学年湘教版八年级数学下册 （word版含答案）

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（　　）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．下列说法错误的是（　　）
A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形
C．若AB＝BC且AC＝BD，四边形ABCD是正方形
D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形
3．如图，延长正方形ABCD边B至点E，使AE＝BD，则∠E为（　　）
A．22.5° B．25° C．30° D．45°
4．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．3
5．如图，正方形ABCD的边长为8，点E在对角线AC上，且∠EBC＝22.5°，EF⊥BC于点F，则EF的长为（　　）
A．2 B．2 C． D．
6．如图，已知点E是正方形ABCD的边AD的延长线上一点，连接CE，过点A作AH⊥CE，交CD边于点F，垂足为点H，若DF＝1，FC＝2，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．4
二．填空题（共7小题，满分35分）
7．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AC平分∠BAD．欲使四边形ABCD是正方形，则还需添加添加 　　.（写出一个合适的条件即可）
8．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF⊥AD，垂足为点F．若AF＝3，EC＝5，则正方形ABCD的面积为 　 　．
9．在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　．
10．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 　 　度．
11．如图，在直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A（﹣2，0），B（3，0）．现固定点A，B在x轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上的点D′，则点C的对应点C′的坐标为 　 　．
12．如图，在正方形ABCD中，对角线为AC，在BC延长线上取一点F，有AC＝CF，AF与DC相交于点E，AB＝4，则CF＝　 　，∠AEC＝　 　．
13．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为9和1，则图1中菱形的面积为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
15．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
16．如图，在矩形ABCD中，Q是BC的中点，P是AD上一点，连接PB、PC，E、F分别是PB、PC的中点，连接QE、QF．
（1）求证：四边形PEQF是平行四边形．
（2）①当点P在什么位置时，四边形PEQF是菱形？证明你的结论；
②矩形ABCD的边AB和AD满足什么条件时，①中的菱形PEQF是正方形？（直接写出结论，不需要说明理由）
17．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝　 　°时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝　 　°时，四边形ABDF为菱形．
18．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD、BE．
（Ⅰ）求证：CE＝AD；
（Ⅱ）如图2，当点D是AB中点时，连接CD．
（i）四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（ii）当∠A＝　 　°时，四边形BECD是正方形．（直接写出答案）
19．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
20．如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：A、由AB＝BC得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由∠ABC＝90°得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由AB＝BC得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由AC＝BD得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由AC＝BD得对角线相等的平行四边形是矩形，由AC⊥BD得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以能得出平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由AB＝BC得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由AC⊥BD得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以不能得到平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
A．∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；
B．∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；
C．∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∵AC＝BD，
∴菱形ABCD是正方形；故该选项不符合题意；
D．∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项符合题意；
故选：D．
3．解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，且∠CAB＝45°，
又∵BD＝AE，
∴AE＝CA，
∴∠E＝∠ACE，
∵∠CAB＝∠ACE+∠E＝2∠E＝45°，
∴∠E＝22.5°．
故选：A．
4．解：连接BP，如图，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴四边形PEBF为矩形，
∴EF＝BP，
当BP⊥AC，BP最短，
在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，
根据勾股定理可解得BP＝3，
∴EF得最小值为3．
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，
∵AB＝8，
∴AC＝8，
∵∠EBC＝22.5°，
∴∠ABE＝67.5°，
∴∠AEB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝8，
∴CE＝AC﹣AE＝8﹣8，
∵EF⊥BC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE＝8﹣4，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠ADC，
∵AH⊥CE，
∴∠AHC＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，∠DCE+∠CFH＝90°，
∵∠AFD＝∠CFH，
∴∠DAF＝∠DCE，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（ASA），
∴DF＝DE，
∵DF＝1，
∴DE＝1，
∵CF＝2，
∴DC＝1+2＝3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分35分）
7．解：∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠BAC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴BA＝BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴当AC＝BD或∠BAD＝90°，四边形ABCD为正方形，
故答案为：AC＝BD或∠BAD＝90°．
8．解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝EC＝5，
∵EF⊥AD，若AF＝3，
∴EF＝＝4，
∴DF＝4，AD＝4+3＝7，
∴正方形ABCD的面积为49，
故答案为：49．
9．解：如图，∵图中的四边形为正方形，
∴∠ABD＝90°，AB＝DB，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC＝BE，
∵DE2+BE2＝BD2，
∴ED2+AC2＝BD2，
∵S1＝AC2，S2＝DE2，BD2＝1，
∴S1+S2＝1，
同理可得S3+S4＝3，
∴S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．
故答案为4．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，且AC为正方ABCD的对角线，
∴△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB＝45°，
∴∠AED＝∠AEB，
∵∠AEB为△EBC的外角，
∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝25°+45°＝70°，
∴∠AED＝70°，
故答案为70．
11．解：∵点A（﹣2，0），B（3，0），
∴AB＝5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD′＝AD＝AB＝5，
∵AO＝2，
∴OD′＝＝＝，
∵C′D′＝5，C′D′∥AB，
∴C′（5，），
故答案为：（5，）．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ACB＝45°，
∴AC＝4，
∴CF＝AC＝4，
∴∠CAF＝∠CFA＝22.5°，
∴∠AEC＝∠CFA+∠DCF＝112.5°，
故答案为4，112.5°．
13．解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，
则：，
化简得：ab＝4，
∴菱形的面积为，
故答案为8．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形，
理由：由（1）知，△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
∵D是BC的中点，
∴DB＝DC，
∴AF＝DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴四边形ADCF是正方形．
15．证明：（1）∵ ABCD，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC （三线合一）
即 BD⊥AC，
∴ ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形
∴∠EAO＝60°，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，
∵ ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形．
16．（1）证明：在△PBC中，E、F分别是PB、PC的中点，Q是BC的中点，
∴QE、QF为△PBC的中位线，
∴QE∥PF，QF∥PE，
∴四边形PEQF是平行四边形；
（2）解：①当点P为AD的中点时，四边形PEQF是菱形，
理由是：当P为AD的中点时，AP＝PD，
由勾股定理得：PB＝，
PC＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴PB＝PC，
∵E、F分别是PB、PC的中点，
∴PE＝PF，
由（1）知：四边形PEQF是平行四边形，
∴四边形PEQF是菱形；
②矩形ABCD的边AB和AD满足AD＝2AB时，①中的菱形PEQF是正方形，
理由是：∵AD＝2AB，AD＝2AP，
∴AB＝AP，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴∠APB＝45°，
同理可得∠CPD＝45°，
∴∠EPF＝90°，
∴①中的菱形PEQF是正方形．
17．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∵AD＝CD＝BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∴AD＝AF；
（2）解：①∵AF∥CD，AF＝CD，AD＝AF，
∴四边形ADCF是菱形，
当四边形ADCF为正方形时，∠DCF＝90°，
∴∠ACB＝∠ACF＝45°；
②∴CD＝CF，
当四边形ABCF为菱形时，BD＝DF，则DC＝DF，
∴CD＝CF＝DF，
∴△DCF为等边三角形，
∴∠DCF＝60°，
∴∠ACB＝∠ACF＝30°．
故答案为：45，30．
18．解：（Ⅰ）证明：连接CD，
∵m∥AB，
∴EC∥AD
∵DE⊥BC，∴∠CFD＝90°，
∵∠BCD+∠DCA＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°，
∴∠DCA＝∠CDE，
∴DE∥AC
∴四边形DECA是平行四边形，
∴CE＝DA
（Ⅱ）（i）四边形BECD是菱形．
∵由（Ⅰ）知：四边形DECA是平行四边形，
∴CE＝DA，CE∥AD
在Rt△ABC中，∵点D是AB的中点，
∴BD＝DC＝DA，
又∵CE＝DA，CE∥AD
∴四边形BECD是菱形．
（ii）当∠A＝45°时，
由于四边形DECA是平行四边形，
∴∠EDB＝∠A＝45°，
又∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠EDB＝45°，
∴∠EBD＝90°．
由于四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形．
故答案为：45°
19．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝（﹣1）＝2﹣．
20．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，
∵CE＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝．