2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学下册8.6三角形内角和定理 优生辅导训练（word版 含解析）

2021-2022学年鲁教版七年级数学下册《8-6三角形内角和定理》优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
2．如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（　　）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠C＝∠A+∠B，∠B＝2∠A﹣12°，则∠B的度数为（　　）
A．78° B．58° C．56° D．34°
4．如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F．若∠CAB＝40°，∠B＝50°，则∠BDE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外面时，此时测得∠1＝112°，∠A＝40°，则∠2的度数为（　　）
A．32° B．33° C．34° D．38°
6．将一副三角板如图放置，∠FDE＝∠A＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，且点D在BC上，点B在EF上，AC∥EF，则∠FDC的度数为（　　）
A．150° B．160° C．165° D．155°
7．如图，已知AB，CD是两条相交线段，连结AD，CB，分别作∠DAB和∠BCD的平分线相交于点P，若∠D＝50°，∠B＝40°，则∠P的度数为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．30°
8．有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，在△ABC中，∠DBA+∠DCA＝n°，则∠A的度数是（　　）
A．90°+n° B．45°+n° C．90°﹣n° D．180°﹣n°
9．如图，延长△ABC的边AC到点E，过点E作DE∥BC，BG平分∠ABC，EF平分∠AED交BG的反向延长找于点F．已知3∠A＝4∠F，则∠A的大小为（　　）
A．75° B．74° C．72° D．70°
10．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　）
A．87° B．84° C．75° D．72°
11．如图，在直角△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AD是∠CAB的平分线，交边BC于点D，过点C作△ACD中AD边上的高线CE，则∠ECD的度数为（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
12．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠E＝90°，则∠BDC的度数为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
二．填空题
13．如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连结GF，ED．则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为 　 　．
14．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，D、E分别是AB、AC上两点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F，此时，∠F＝35°，则∠1的度数为　 　．
15．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是　 　．
16．如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝90°，则∠A的度数为 　 　．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于48°，则∠A＝　 　．
18．如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠EDF的度数为 　 　．
19．如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2…依次类推，则∠A4＝　 　度．
三．解答题
20．如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
（1）若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长；
（2）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小．
21．∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　 　°；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝　 　°；
②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．
22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如三个内角分别为20°，40°，120°的三角形是“倍角三角形”．
如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．
（1）△AOB　 　（填“是”或“不是”）倍角三角形；
（2）若△AOC为“倍角三角形”，求∠OAC；
（3）若△ABC为“倍角三角形”，求∠ACB．
23．（1）如图1，在△ABC纸片中，点D在边AC上，点E在边AB上，沿DE折叠，当点A落在CD上时，∠DAE与∠1之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；
（2）若折成图2时，即点A落在△ABC内时，请找出∠DAE与∠1，∠2之间的关系式并说明理由．
24．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AD，CF分别是BC，AB边上的高，且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N．
（1）试找出图中所有的等腰三角形，请写出来；
（2）图中是否有等边三角形？若有，请找出并说明理由．
25．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 　 　；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 　 　．
26．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）猜想直线AB与直线CD有怎样的位置关系？说明你的理由；
（2）若点G为直线CD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①如图2，当点G在射线FD上运动时，若β＝56°，求α的度数；
②当点G在直线CD上运动时，请直接写出α和β的数量关系．
参考答案
一．选择题
1．解：∵DF⊥AB（已知），
∴∠EFA＝90°（垂直定义），
在△AEF中，∠EFA＝90°，∠A＝35°（已知），
∴∠AEF＝180°﹣∠EFA﹣∠A＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
又∵∠CED＝∠AEF（对顶角相等），
∴∠CED＝55°，
在△CDE中，∠CED＝55°，∠ECD＝85°（已知），
∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣55°﹣85°＝40°．
故选：B．
2．解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，
设∠ABD＝β，∠ACD＝θ，
∴∠DBC＝3β，∠DCB＝3θ，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+4β+4θ＝180°，
∴β+θ＝45°﹣，
∴∠BDC＝180°﹣3（β+θ）＝180°﹣3×（45°﹣）＝45，
故选：A．
3．解：∵∠C+∠A+∠B＝180°，∠C＝∠A+∠B，
∴∠A+∠B＝90°．
∵∠B＝2∠A﹣12°，
∴∠A+2∠A﹣12°＝90°．
∴∠A＝34°．
∴∠B＝56°．
故选：C．
4．解：∵∠CAB＝40°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠AFC＝∠AFE＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD＝×40°＝20°，
又∵AF＝AF，
∴△ACF≌△AEF（ASA）
∴AC＝AE，
∵AD＝AD，∠CAD＝∠EAD，
∴△ACD≌△AED （SAS），
∴DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵∠ACE＝90°﹣20°＝70°，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝20°+20°＝40°，
故选：B．
5．解：如图，设A′D与AD交于点O，
∵∠A＝40°，
∴∠A′＝∠A＝40°，
∵∠1＝∠DOA+∠A，∠1＝112°，
∴∠DOA＝∠1﹣∠A＝112°﹣40°＝72°，
∵∠DOA＝∠2+∠A′，
∴∠2＝∠DOA﹣∠A′＝72°﹣40°＝32°．
故选：A．
6．解：∵AC∥EF，
∴∠DBE＝∠C＝45°，
∴∠FBD＝135°，
∵∠E＝60°，∠EDF＝90°，
∴∠F＝30°，
∴∠FDC＝∠F+∠FBD＝30°+135°＝165°，
故选：C．
7．解：设∠DAB＝2x，∠DCB＝2y，
∵AP平分∠DAB，CP平分∠DCB，
∴∠DAP＝∠PAB＝＝x，∠DCP＝∠PCB＝∠DCB＝y，
∵∠D+∠DAP+∠AMD＝180°，∠P+∠DCP+∠CMP＝180°，
∵∠AMD＝∠CMP，
∴∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP，
同理∠B+∠PCB＝∠P+∠PAB，
∵∠D＝50°，∠B＝40°，
∴50°+x＝∠P+y，40°+y＝∠P+x，
相加得：50°+x+40°+y＝∠P+x+∠P+y，
解得：∠P＝45°，
故选：B．
8．解：∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∵∠A+∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，
∵∠DBA+∠DCA＝n°，
∴∠A＝90°﹣n°，
故选：C．
9．解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠AED，
∵BG平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠ABG＝∠ABC，∠AEF＝∠AED，
∴∠AEF＝∠AED＝∠ACB，
∵∠AGF是△EFG的一个外角，
∴∠AGB＝∠F+∠AEF
＝∠F+∠ACB，
在△ABG中，∠A+∠ABG+∠AGB＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠F+∠ACB＝180°，
∠A+∠F+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∠A+∠F+（180°﹣∠A）＝180°，
整理得：∠A+∠F＝90°，
∵3∠A＝4∠F，
∴∠F＝∠A，
∴∠A+∠A＝90°，
解得：∠A＝72°．
故选：C．
10．解：如图，
由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
11．解：∵∠CAB＝90°，AD是∠CAB的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝45°，
∵CE⊥AD，
∴∠ECA＝∠CEA﹣∠CAE＝45°，
∵∠BCA＝∠CAB﹣∠B＝20°，
∴∠ECD＝∠ACE﹣∠BCA＝25°，
故选：C．
12．解：在△BEC中，
∵∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，
∴∠DBC＝∠EBC，∠DCB＝∠ECB，
∴∠DBC+∠DCB＝×90°＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝135°，
故选：D．
二．填空题
13．解：∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∵∠GCF＝∠ACB，∠DBE＝∠ABC，
∴∠GCF+∠DBE＝90°，
∵∠G+∠F+∠GCF＝∠D+∠B+∠DBE＝180°，
∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE＝360°，
∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED＝270°，
故答案为：270°．
14．解：∵∠B＝50°，∠F＝35°，
∴∠ADE＝∠B+∠F＝85°，
∵∠A＝60°，
∴∠1＝∠A+∠ADE＝60°+85°＝145°，
故答案为：145°．
15．解：如图，
由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故答案为80°．
16．解：连接BC，如图，
∵∠BDC＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣130°＝50°，
∵∠BGC＝90°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣90°＝90°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD＝∠ABD+∠ACD＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．
17．解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，
∴D是AB的中点
∴CD＝AB＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，
当∠CPD＝48°时，∠B＝48°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝42°；
当∠PCD＝48°时，∠DCB＝∠B＝48°，
∴∠A＝42°；
当∠PDC＝48°时，
∵∠PCD＝DCB＝48°，∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠A＝∠BDC＝24°；
故答案为：42°或24°．
18．解：∵AD，AE为△ABC的高线，角平分线，
∴∠EAB＝∠BAC，∠ADC＝90°．
∵∠DAC＝21°，∠B＝25°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC
＝69°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣25°﹣69°
＝86°．
∴∠BAE＝43°．
∴∠AED＝∠BAE+∠B
＝43°+25°
＝68°．
∵DF⊥AE，
∴∠EFD＝90°．
∴∠EDF＝90°﹣∠DEA
＝90°﹣68°
＝22°．
故答案为：22°．
19．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理可得∠A2＝∠A1＝×∠A＝∠A，
由此可得一下规律：∠An＝∠A，
当∠A＝64°时，∠A4＝∠A＝4°，
故答案为：4．
三．解答题
20．解：（1）∵AD是△ABC的中线，BD＝5，
∴BC＝2BD＝2×5＝10，
∵AF⊥BC，S△ABC＝40，
∴，
∴AF＝8；
（2）在△ABE中，∠BED为它的一个外角，且∠BED＝40°，∠BAD＝25°，
∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°，
∵BE是△ABD的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×15°＝30°，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
在Rt△ABF中，∠BAF＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°．
21．解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135；
（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠ABN＝150°，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+α，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．
22．解：（1）∵AB⊥OM，∠MON＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠AOB＝2∠ABO，
∴△AOB 是“倍角三角形”，
故答案为：是；
（2）∵∠AOC＝60°，△AOC为“倍角三角形”，
∴当∠AOC＝2∠OAC时，∠OAC＝30°，
当∠AOC＝2∠ACO时，∠OAC＝90°，
当∠ACO＝2∠OAC时，∠OAC＝40°，
当∠OAC＝2∠ACO时，∠OAC＝80°，
综上所述，∠OAC为30°、90°、40°或80°；
（3）∵∠ABC＝30°，△ABC为“倍角三角形”，
∴当点C在线段OB上时，有4种情况：
①∠ACB＝2∠ABC，这时∠ACB＝60°，
②∠ABC＝2∠BAC，这时∠ACB＝135°，
③∠BAC＝2∠ABC，这时∠ACB＝90°，
④∠ACB＝2∠BAC，这时∠ACB＝100°，
当点C在射线BN上时，有2种情况：
①∠BAC＝2∠ACB，这时∠ACB＝10°，
②∠ACB＝2∠BAC，这时∠ACB＝20°，
综上所述，∠ACB为60°、135°、90°、100°、10°或20°．
23．解：（1）结论：∠1＝2∠DAE．
理由：如图1中，延长BE交CD于R．
由翻折可知，∠EAD＝∠R，
∵∠1＝∠EAD+∠R，
∴∠1＝2∠EAD．
（2）结论：∠1+∠2＝2∠EAD．
理由：如图2中，延长BE交CD的延长线于T，连接AT．
由翻折可知，∠EAD＝∠ETD，
∵∠1＝∠EAT+∠ETA，∠2＝∠DAT+∠DTA，
∴∠1+∠2＝∠EAT+∠ETA+∠DAT+∠DTA＝∠EAD+∠ETD＝2∠EAD．
24．解：（1）∵∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AD、CF都是高，
∴∠DAC＝45°，
∴CD＝AD，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝30°，
∴∠APF＝60°，
∵∠ABC＝60°BE是∠ABC的角平分线，
∴∠MBD＝30°，
∴∠BMD＝60°，
∴NP＝NM，
∴△MNP为等腰三角形；
∵∠ABC＝60°，BE是∠ABC平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴∠ABM＝∠BAD＝30°，
∴AM＝BM即△ABM是等腰三角形，
在△BFC中，∠BCF＝180°﹣∠ABC﹣∠BFC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴∠CBE＝∠BCF＝30°，
∴BN＝CN即△BCN是等腰三角形，
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝30°+45°＝75°，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝EB即△ABE是等腰三角形，
在△ACD中，∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠BCA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠CAD＝∠BCA＝45°，
∴AD＝CD即△ACD是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ACD，△ABM，△ABE，△BCN，△MNP；
（2）由∠BMD＝60°，
∴△MNP为等边三角形．
25．解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，
由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，
∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，
①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴∠P＝26°．
（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，
∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，
∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，
∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，
∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，
∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，
∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝90°+（∠B+∠D）．
（4）∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠FAP＝∠PAO，∠PCE＝∠PCB，
在四边形APCB中，（180°﹣∠FAP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，
在四边形APCD中，∠PAD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，
①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，
∴∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．
26．解：（1）结论：AB∥CD．
理由：如图1中，
∵EM平分∠AEF交CD于点M，
∴∠AEM＝∠MEF，
∵∠FEM＝∠FME．
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD．
（2）①如图2中，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGF＝β＝56°，
∴∠AEG＝124°，
∵∠AEM＝∠MEF，∠HEF＝∠HEG，
∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝62°，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE＝90°，
∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝28°．
②结论：α＝β或α＝90°﹣β．
理由：当点G在F的右侧时，可得α＝β．
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGF＝β，
∴∠AEG＝180°﹣β，
∵∠AEM＝∠MEF，∠HEF＝∠HEG，
∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝90°﹣β，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE＝90°，
∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝β．
当点G在FM上时，可得α＝90°﹣β．
理由：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF＝β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF
＝（∠AEF﹣∠FEG）
＝∠AEG
＝β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，
即α＝90°﹣β；
当点G在点M的左侧时，可得α＝90°﹣β．
理由：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF＝β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF
＝（∠AEF﹣∠FEG）
＝∠AEG
＝β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，
即α＝90°﹣β．