湖南省长沙市雅礼实验中学2021-2022学年九年级下学期入学考数学试卷
1．（2022九下·长沙开学考）-2的相反数是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
2．（2022九下·长沙开学考）不等式 在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022九下·长沙开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022九下·长沙开学考）在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． 圆锥 B． 正方体
C． 三棱柱 D． 圆柱
5．（2022九下·长沙开学考）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
6．（2022九下·长沙开学考）如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
7．（2022九下·长沙开学考）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是 ，堤高 ，则坡面AB的长度是（ ）m
A．8 B．16 C． D．
8．（2022九下·长沙开学考）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱.多出3钱；每人出7钱，差4钱.问人数，物价各是多少？若设共有 人，物价是 钱，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022九下·长沙开学考）函数 与 （ ）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022九下·长沙开学考）如图，在中，，，以点为圆心，以AB的长为半径作弧交于点D，连接BD，再分别以点，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．垂直平分线段
C． D．
11．（2022九下·长沙开学考）若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
12．（2022九下·长沙开学考）分解因式： ．
13．（2022九下·长沙开学考）在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的值为 ．
14．（2022九下·长沙开学考）将抛物线 向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 .
15．（2022九下·长沙开学考）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 .
16．（2022九下·长沙开学考）如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点O；③作射线 ，交 于点D.若点D到 的距离为1，则 的长为 .
17．（2022九下·长沙开学考）计算：．
18．（2022九下·长沙开学考）先化简再求值： ，其中 .
19．（2022九下·长沙开学考）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角 为 ，求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果精确到 ，取 ）
20．（2022九下·长沙开学考）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词.为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”.根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图.请结合统计图，回答下列问题.
（1）参加这次调查的学生总人数为 人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率.
21．（2022九下·长沙开学考）如图，在四边形 中， ，点 在 上， ，垂足为 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 平分 ，求 和 的长．
22．（2022九下·长沙开学考）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 ， 两种农作物为原料开发了一种有机产品， 原料的单价是 原料单价的1.5倍，若用900元收购 原料会比用900元收购 原料少 .生产该产品每盒需要 原料 和 原料 ，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒.
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是 元（ 是整数），每天的利润是 元，求 关于 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过 元（ 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润.
23．（2022九下·长沙开学考）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D.连接AD，AC，BC.使∠CAD＝∠B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝ ，求BC的长.
24．（2022九下·长沙开学考）将 绕点A按逆时针方向旋转 度，并使各边长变为原来的n倍，得 ，如图①，我们将这种变换记为 .
（1）如图①，对 作变换 得 ，则 ；直线 与直线 所夹的锐角为 度；
（2）如图②， 中， ，对 作变换 得 ，使点B、C、 在同一直线上，且四边形 为矩形，求 和n的值；
（3）如图③， 中， ，对 作变换 得 ，使点B、C、 在同一直线上，且四边形 为平行四边形，求 和n的值.
25．（2022九下·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段 的长满足 ，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线 为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C.且
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为 上方抛物线上的动点，过点P作 ，垂足为D.
①求 的最大值；
②连接 ，当 与 相似时，求点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-2的相反数是2，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式 在数轴上表示为：
.
故答案为：D.
【分析】含有“=”用实心圆点，可排除A，B；小于向左边画，可排除C，由此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，原计算错误，不符合题意；
B、 ，原计算错误，不符合题意；
C、 ，正确，符合题意；
D、 ，原计算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据幂的乘方法则判断A的正误；根据合并同类项法则判断B的正误；根据同底数幂的乘法法则判断C的正误；根据完全平方公式判断D的正误.
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、主视图是等腰三角形，故A符合题意；
B、主视图是正方形，故B不符合题意；
C、主视图是矩形，故C不符合题意；
D、主视图是矩形，故D不符合题意.
故答案为：A
【分析】分别求出各几何体的主视图，再判断即可.
5．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件.
故答案为：D.
【分析】必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件。随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义并结合各选项即可判断求解.
6．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故答案为：A．
【分析】先求出△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，再求出△ABC与△DEF的周长比是：1：2即可作答。
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：2，
∴BC：AC＝1：2，
∵BC＝4m，
∴AC＝8m，
则
（m）.
故答案为：C.
【分析】由坡比可得BC：AC＝1：2，据此求出AC，再利用勾股定理求出AB即可.
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是 钱，则根据可得：
故答案为：D.
【分析】若设共有x人，根据物价不变可列方程，即8x-3=7x+4；若设物价是y钱，根据人数不变可列方程.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 时， ， 在一、二、四象限， 在一、三象限，无选项符合．
时， ， 在一、三、四象限， （ ）在二、四象限，只有D符合；
故答案为：D．
【分析】利用一次函数的图象与其系数的关系及反比例函数图象与其系数的关系逐项判定即可。
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】由题意可得：，点P在线段BD的垂直平分线上
，点A在线段BD的垂直平分线上
AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上，BE=DE，故A不符合题意；
，，
且
为等边三角形且
，
平分
，
，
垂直平分，故B不符合题意；
，，
，
，
，故C符合题意；
，
，
，故D不符合题意
故答案为：C．
【分析】由作图痕迹可推出AP平分∠BAD且AP为线段BD的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得BE=DE，据此判断A；根据含30°角的直角三角形的性质可得，易证△ABD时等边三角形，可得，即得由角平分线的定义可得=∠C，利用等角对等边可得AE=CE，即可判断DE垂直平分AC，据此判断B；证明，可得
，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此判断C；由，，BD=BE，可得，据此判断D.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得： ；
故答案为 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ；
故答案为 ．
【分析】先提取公因式5，再利用平方差公式因式分解即可。
13．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点 代入反比例函数 得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为-2．
【分析】将点A的坐标代入反比例求出k的值，再将B的值代入计算即可求出m的值。
14．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 向右平移1个单位所得直线解析式为： ；
再向下平移3个单位为： .
故答案为： .
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可.
15．【答案】
【知识点】轴对称的性质；可能性的大小
【解析】【解答】由图知，将原图沿图中的任意一条直径所在直线对折，会发现原图中黑色区域，恰好是原图面积的一半，因此，往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的频率是
，飞镖落在白色区域的频率是
.故相等.
【分析】本题考查可能性大小的应用，关键是根据原图，判断出飞镖落在黑色与白色区域的频率都是
.
16．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作 于点E，
由作图步骤知，AD平分 ，
，点D到 的距离为1，
∵
∴∠B=∠CAB=45°，
∴∠EDB=180°-∠DEB-∠B=45°=∠B，
∴DE=BE=1，
在Rt△DEB中，由勾股定理
∴BC=DC+BD=1+ .
故答案为1+ .
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由作图步骤知AD平分∠BAC，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得CD=DE，右等腰直角三角形的性质易得DE=BE，在Rt△DEB中，用勾股定理可求得BD的值，再由线段的构成BC=DC+BD可求解.
17．【答案】解：原式==6
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将特殊角的函数值代入进行计算。
18．【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把x的值的代入化简后的分式计算可求解.
19．【答案】解：根据在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米知；
在 中， ，
(千米)，
，
又由在P处测得B点的仰角 为 ，
为等腰直角三角形，
，
（千米），
天舟二号从A处到B处的平均速度为： ，
答：天舟二号从A处到B处的平均速度为 .
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用含30°角的直角三角形的性质得出 (千米)，由勾股定理求出DP的长，求出△BDP为等腰直角三角形，可得BD=DP，由AB=BD-AD可求出AB的长，由路程÷时间=平均速度计算即得结论.
20．【答案】（1）40
（2）108°
（3）解：C类别人数为 （人），
补全图形如下：
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】 (1)解：结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，
∴参加这次调查的学生总人数为
（人），
故答案为：40；
(2)解：结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，
∴扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是
，
故答案为：
；
【分析】（1）利用A类别人数除以所占比例，即得这次调查的学生总人数；
（2）利用B类别人数百分比乘以360°即得结论；
（3）先求出C类别人数，再补图即可；
（4） 利用树状图列举出共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8， 然后利用概率公式计算即可.
21．【答案】（1）证明：∵ ，
∴AD∥CE，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， 平分 ， ，
∴ ，
∴EF=CE=AD，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）证出AD//CE，再由AE//DC，即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数定义求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3，然后由角平分线的性质得到EC=EF=3，最后由平行四边形的性质求解即可。
22．【答案】（1）解：设 原料单价为 元，则 原料单价为 元.
依题意，得 .
解得， ， .
经检验， 是原方程的根.
∴每盒产品的成本为： （元）.
答：每盒产品的成本为30元
（2）解：
（3）解：∵抛物线 的对称轴为 =70，开口向下
∴当 时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；
当 时，每天的最大利润为 元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列分式方程可求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费＋其他成本计算每盒产品的成本即可求解；
（2）根据利润等于售价-成本即可列出函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式，由函数的性质即可求解．
23．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠CAD＋∠BAC＝90°，
即∠BAD＝90°，
∴AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，
∵tan∠CAD＝ ＝ ，AD＝4，
∴DM＝2，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥OA，DM⊥AD，
∴OA∥DM，
∴∠M＝∠OAC，
∵∠OCA＝∠DCM，
∴∠DCM＝∠M，
∴DC＝DM＝2，
在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，
即OA2＋42＝（OC＋2）2＝（OA＋2）2，
∴OA＝3，
∴AB＝6，
∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD＝ ，
∴tanB＝tan∠CAD＝ ＝ ，
∴BC＝2AC，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴62＝5AC2，
∴AC＝ ，
∴BC＝ .
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 由圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠B＋∠BAC＝90°，结合已知条件可得∠BAD＝90°，据此证明；
（2）过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，求出DM的值，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA，由平行线的性质可得∠M＝∠OAC，推出∠DCM＝∠M，得到DC＝DM＝2，在Rt△OAD中，由勾股定理可得OA的值，进而得到AB的值，由∠CAD的正切函数可得BC＝2AC，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的值，进而得到BC的值.
24．【答案】（1）7；40
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵四边形 是平行四边形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC＝36°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠B＝∠B，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，BC＝2，
∴ ，
∴AB＝1+ 或1﹣ （舍），
∵AB＞0，
∴ ，
∴ .
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 (1)解：如图，设直线BC与直线
的交点为H，
交BH于O.
根据题意得：△ABC∽
，
，
，
，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
故答案为：7，40.
【分析】（1）根据题意得△ABC∽
，根据变换 的定义及相似三角形的性质即可求解；（2）根据矩形的性质可求出
， 根据含30°直角三角形的性质可得
，继而得解；
（3） 根据平行线四边形的性质可得
，再证明
可得
，据此求出AB，从而得出
，利用 求出n值.
25．【答案】（1）解：令 中x=0，则y=2，故OC=2，
设OB=x(x>0)，则OA=4OB=4x，
∵ 为“黄金”抛物线，
∴ ，代入数据：
4=4x ，解得x=1(负值舍去)，
∴OB=1，OA=4，
∴B(1，0)，A(-4，0)代入 中，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 .
（2）解：①过P点作PH⊥x轴于H点，交AC于E点，如下图所示：
则∠PDE=∠DHA=90°，∠PED=∠AEH，
∴∠P=∠CAO，
∴ ，
∴ ，即
故要使得 最大，只要PE最大即可，接下来求PE的最大值，
设直线AC的解析式为：y=mx+n，代入A(-4，0)、C(0，2)，
∴ ，解得： ，
∴直线AC解析式为： ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵P为 上方抛物线上的动点，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为2，此时PD有最大值为 ，
故PD的最大值为 .
②分类讨论：
情况一：当 时，此时 ，如下图所示：
此时 轴，
∴P点与C点纵坐标相等为2，
将 代入 中：
∴ ，解得 ， (舍去)，
∴此时 坐标为 ；
情况二：当 时， ，如下图所示：
此时AC为∠PCO的角平分线，将△ACO沿AC翻折，使得点O落在点G处，此时G、P、C三点共线，
设G(x，y)，则GO的中点I坐标为 在直线AC： 上，将I点坐标代入AC解析中得到： ，整理得到： ，
由折叠得到GC =OC ，
∴ ，
联立①、②两式解得 或 (舍去)，
∴ ，
设直线GC解析式为： ，代入 和 ，
∴ ，解得 ，
∴直线GC解析式为： ，与二次函数 联立得：
，解得 或 ，
又P在第二象限，故 舍去，
∴此时P坐标为 ，
综上所述，P坐标为 或 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先求出C（0，2）可得OC=2，根据黄金抛物线及OA=4OB，可求出OB=1，OA=4，即得A、B坐标，将其代入抛物线解析式中求出a、b值即可；
（2）①过P点作PH⊥x轴于H点，交AC于E点， 利用三角形内角和可求出∠P=∠CAO， 从而得出 ， 即得 ， 故要使得 最大，只要PE最大即可. 求出直线AC解析式为 ， 设 ，则 ， 可得，根据二次函数的性质气促胡PE的最大值，继而得解；
② 分两种情况：（1）当 时，此时 （2） 当 时， 据此分别解答即可.，
1 / 1湖南省长沙市雅礼实验中学2021-2022学年九年级下学期入学考数学试卷
1．（2022九下·长沙开学考）-2的相反数是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-2的相反数是2，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．（2022九下·长沙开学考）不等式 在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式 在数轴上表示为：
.
故答案为：D.
【分析】含有“=”用实心圆点，可排除A，B；小于向左边画，可排除C，由此可得答案.
3．（2022九下·长沙开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，原计算错误，不符合题意；
B、 ，原计算错误，不符合题意；
C、 ，正确，符合题意；
D、 ，原计算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据幂的乘方法则判断A的正误；根据合并同类项法则判断B的正误；根据同底数幂的乘法法则判断C的正误；根据完全平方公式判断D的正误.
4．（2022九下·长沙开学考）在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． 圆锥 B． 正方体
C． 三棱柱 D． 圆柱
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、主视图是等腰三角形，故A符合题意；
B、主视图是正方形，故B不符合题意；
C、主视图是矩形，故C不符合题意；
D、主视图是矩形，故D不符合题意.
故答案为：A
【分析】分别求出各几何体的主视图，再判断即可.
5．（2022九下·长沙开学考）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件.
故答案为：D.
【分析】必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件。随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义并结合各选项即可判断求解.
6．（2022九下·长沙开学考）如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故答案为：A．
【分析】先求出△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，再求出△ABC与△DEF的周长比是：1：2即可作答。
7．（2022九下·长沙开学考）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是 ，堤高 ，则坡面AB的长度是（ ）m
A．8 B．16 C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：2，
∴BC：AC＝1：2，
∵BC＝4m，
∴AC＝8m，
则
（m）.
故答案为：C.
【分析】由坡比可得BC：AC＝1：2，据此求出AC，再利用勾股定理求出AB即可.
8．（2022九下·长沙开学考）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱.多出3钱；每人出7钱，差4钱.问人数，物价各是多少？若设共有 人，物价是 钱，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是 钱，则根据可得：
故答案为：D.
【分析】若设共有x人，根据物价不变可列方程，即8x-3=7x+4；若设物价是y钱，根据人数不变可列方程.
9．（2022九下·长沙开学考）函数 与 （ ）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 时， ， 在一、二、四象限， 在一、三象限，无选项符合．
时， ， 在一、三、四象限， （ ）在二、四象限，只有D符合；
故答案为：D．
【分析】利用一次函数的图象与其系数的关系及反比例函数图象与其系数的关系逐项判定即可。
10．（2022九下·长沙开学考）如图，在中，，，以点为圆心，以AB的长为半径作弧交于点D，连接BD，再分别以点，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．垂直平分线段
C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】由题意可得：，点P在线段BD的垂直平分线上
，点A在线段BD的垂直平分线上
AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上，BE=DE，故A不符合题意；
，，
且
为等边三角形且
，
平分
，
，
垂直平分，故B不符合题意；
，，
，
，
，故C符合题意；
，
，
，故D不符合题意
故答案为：C．
【分析】由作图痕迹可推出AP平分∠BAD且AP为线段BD的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得BE=DE，据此判断A；根据含30°角的直角三角形的性质可得，易证△ABD时等边三角形，可得，即得由角平分线的定义可得=∠C，利用等角对等边可得AE=CE，即可判断DE垂直平分AC，据此判断B；证明，可得
，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此判断C；由，，BD=BE，可得，据此判断D.
11．（2022九下·长沙开学考）若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得： ；
故答案为 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．（2022九下·长沙开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ；
故答案为 ．
【分析】先提取公因式5，再利用平方差公式因式分解即可。
13．（2022九下·长沙开学考）在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点 代入反比例函数 得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为-2．
【分析】将点A的坐标代入反比例求出k的值，再将B的值代入计算即可求出m的值。
14．（2022九下·长沙开学考）将抛物线 向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 向右平移1个单位所得直线解析式为： ；
再向下平移3个单位为： .
故答案为： .
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可.
15．（2022九下·长沙开学考）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 .
【答案】
【知识点】轴对称的性质；可能性的大小
【解析】【解答】由图知，将原图沿图中的任意一条直径所在直线对折，会发现原图中黑色区域，恰好是原图面积的一半，因此，往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的频率是
，飞镖落在白色区域的频率是
.故相等.
【分析】本题考查可能性大小的应用，关键是根据原图，判断出飞镖落在黑色与白色区域的频率都是
.
16．（2022九下·长沙开学考）如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点O；③作射线 ，交 于点D.若点D到 的距离为1，则 的长为 .
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作 于点E，
由作图步骤知，AD平分 ，
，点D到 的距离为1，
∵
∴∠B=∠CAB=45°，
∴∠EDB=180°-∠DEB-∠B=45°=∠B，
∴DE=BE=1，
在Rt△DEB中，由勾股定理
∴BC=DC+BD=1+ .
故答案为1+ .
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由作图步骤知AD平分∠BAC，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得CD=DE，右等腰直角三角形的性质易得DE=BE，在Rt△DEB中，用勾股定理可求得BD的值，再由线段的构成BC=DC+BD可求解.
17．（2022九下·长沙开学考）计算：．
【答案】解：原式==6
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将特殊角的函数值代入进行计算。
18．（2022九下·长沙开学考）先化简再求值： ，其中 .
【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把x的值的代入化简后的分式计算可求解.
19．（2022九下·长沙开学考）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角 为 ，求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果精确到 ，取 ）
【答案】解：根据在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米知；
在 中， ，
(千米)，
，
又由在P处测得B点的仰角 为 ，
为等腰直角三角形，
，
（千米），
天舟二号从A处到B处的平均速度为： ，
答：天舟二号从A处到B处的平均速度为 .
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用含30°角的直角三角形的性质得出 (千米)，由勾股定理求出DP的长，求出△BDP为等腰直角三角形，可得BD=DP，由AB=BD-AD可求出AB的长，由路程÷时间=平均速度计算即得结论.
20．（2022九下·长沙开学考）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词.为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”.根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图.请结合统计图，回答下列问题.
（1）参加这次调查的学生总人数为 人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率.
【答案】（1）40
（2）108°
（3）解：C类别人数为 （人），
补全图形如下：
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】 (1)解：结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，
∴参加这次调查的学生总人数为
（人），
故答案为：40；
(2)解：结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，
∴扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是
，
故答案为：
；
【分析】（1）利用A类别人数除以所占比例，即得这次调查的学生总人数；
（2）利用B类别人数百分比乘以360°即得结论；
（3）先求出C类别人数，再补图即可；
（4） 利用树状图列举出共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8， 然后利用概率公式计算即可.
21．（2022九下·长沙开学考）如图，在四边形 中， ，点 在 上， ，垂足为 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 平分 ，求 和 的长．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴AD∥CE，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， 平分 ， ，
∴ ，
∴EF=CE=AD，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）证出AD//CE，再由AE//DC，即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数定义求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3，然后由角平分线的性质得到EC=EF=3，最后由平行四边形的性质求解即可。
22．（2022九下·长沙开学考）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 ， 两种农作物为原料开发了一种有机产品， 原料的单价是 原料单价的1.5倍，若用900元收购 原料会比用900元收购 原料少 .生产该产品每盒需要 原料 和 原料 ，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒.
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是 元（ 是整数），每天的利润是 元，求 关于 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过 元（ 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润.
【答案】（1）解：设 原料单价为 元，则 原料单价为 元.
依题意，得 .
解得， ， .
经检验， 是原方程的根.
∴每盒产品的成本为： （元）.
答：每盒产品的成本为30元
（2）解：
（3）解：∵抛物线 的对称轴为 =70，开口向下
∴当 时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；
当 时，每天的最大利润为 元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列分式方程可求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费＋其他成本计算每盒产品的成本即可求解；
（2）根据利润等于售价-成本即可列出函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式，由函数的性质即可求解．
23．（2022九下·长沙开学考）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D.连接AD，AC，BC.使∠CAD＝∠B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝ ，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠CAD＋∠BAC＝90°，
即∠BAD＝90°，
∴AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，
∵tan∠CAD＝ ＝ ，AD＝4，
∴DM＝2，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥OA，DM⊥AD，
∴OA∥DM，
∴∠M＝∠OAC，
∵∠OCA＝∠DCM，
∴∠DCM＝∠M，
∴DC＝DM＝2，
在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，
即OA2＋42＝（OC＋2）2＝（OA＋2）2，
∴OA＝3，
∴AB＝6，
∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD＝ ，
∴tanB＝tan∠CAD＝ ＝ ，
∴BC＝2AC，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴62＝5AC2，
∴AC＝ ，
∴BC＝ .
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 由圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠B＋∠BAC＝90°，结合已知条件可得∠BAD＝90°，据此证明；
（2）过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，求出DM的值，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA，由平行线的性质可得∠M＝∠OAC，推出∠DCM＝∠M，得到DC＝DM＝2，在Rt△OAD中，由勾股定理可得OA的值，进而得到AB的值，由∠CAD的正切函数可得BC＝2AC，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的值，进而得到BC的值.
24．（2022九下·长沙开学考）将 绕点A按逆时针方向旋转 度，并使各边长变为原来的n倍，得 ，如图①，我们将这种变换记为 .
（1）如图①，对 作变换 得 ，则 ；直线 与直线 所夹的锐角为 度；
（2）如图②， 中， ，对 作变换 得 ，使点B、C、 在同一直线上，且四边形 为矩形，求 和n的值；
（3）如图③， 中， ，对 作变换 得 ，使点B、C、 在同一直线上，且四边形 为平行四边形，求 和n的值.
【答案】（1）7；40
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵四边形 是平行四边形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC＝36°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠B＝∠B，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，BC＝2，
∴ ，
∴AB＝1+ 或1﹣ （舍），
∵AB＞0，
∴ ，
∴ .
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 (1)解：如图，设直线BC与直线
的交点为H，
交BH于O.
根据题意得：△ABC∽
，
，
，
，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
故答案为：7，40.
【分析】（1）根据题意得△ABC∽
，根据变换 的定义及相似三角形的性质即可求解；（2）根据矩形的性质可求出
， 根据含30°直角三角形的性质可得
，继而得解；
（3） 根据平行线四边形的性质可得
，再证明
可得
，据此求出AB，从而得出
，利用 求出n值.
25．（2022九下·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段 的长满足 ，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线 为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C.且
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为 上方抛物线上的动点，过点P作 ，垂足为D.
①求 的最大值；
②连接 ，当 与 相似时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：令 中x=0，则y=2，故OC=2，
设OB=x(x>0)，则OA=4OB=4x，
∵ 为“黄金”抛物线，
∴ ，代入数据：
4=4x ，解得x=1(负值舍去)，
∴OB=1，OA=4，
∴B(1，0)，A(-4，0)代入 中，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 .
（2）解：①过P点作PH⊥x轴于H点，交AC于E点，如下图所示：
则∠PDE=∠DHA=90°，∠PED=∠AEH，
∴∠P=∠CAO，
∴ ，
∴ ，即
故要使得 最大，只要PE最大即可，接下来求PE的最大值，
设直线AC的解析式为：y=mx+n，代入A(-4，0)、C(0，2)，
∴ ，解得： ，
∴直线AC解析式为： ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵P为 上方抛物线上的动点，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为2，此时PD有最大值为 ，
故PD的最大值为 .
②分类讨论：
情况一：当 时，此时 ，如下图所示：
此时 轴，
∴P点与C点纵坐标相等为2，
将 代入 中：
∴ ，解得 ， (舍去)，
∴此时 坐标为 ；
情况二：当 时， ，如下图所示：
此时AC为∠PCO的角平分线，将△ACO沿AC翻折，使得点O落在点G处，此时G、P、C三点共线，
设G(x，y)，则GO的中点I坐标为 在直线AC： 上，将I点坐标代入AC解析中得到： ，整理得到： ，
由折叠得到GC =OC ，
∴ ，
联立①、②两式解得 或 (舍去)，
∴ ，
设直线GC解析式为： ，代入 和 ，
∴ ，解得 ，
∴直线GC解析式为： ，与二次函数 联立得：
，解得 或 ，
又P在第二象限，故 舍去，
∴此时P坐标为 ，
综上所述，P坐标为 或 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先求出C（0，2）可得OC=2，根据黄金抛物线及OA=4OB，可求出OB=1，OA=4，即得A、B坐标，将其代入抛物线解析式中求出a、b值即可；
（2）①过P点作PH⊥x轴于H点，交AC于E点， 利用三角形内角和可求出∠P=∠CAO， 从而得出 ， 即得 ， 故要使得 最大，只要PE最大即可. 求出直线AC解析式为 ， 设 ，则 ， 可得，根据二次函数的性质气促胡PE的最大值，继而得解；
② 分两种情况：（1）当 时，此时 （2） 当 时， 据此分别解答即可.，
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