11.3运用正余弦定理解应用题(苏教版(2019）必修第二册） 学案

1.3正余弦定理的应用举例
知识点
（一）. 解三角形应用题的步骤
解三角形在实际生活中有着非常广泛的应用，如测量、航海物理等方面都要用到解三角形的知识.其解题的一般步骤是：
(1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解．
(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
（二）. 解三角形应用题的基本思路
实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解
（三）. 实际测量问题中的一些名词、术语
名称 定义 图示
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）
方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
坡角和坡度 坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示.坡比是坡角的正切值.
（四）. 解三角形应用中的常见问题
(1)测量高度与距离问题
求AB 图形 需要测量的元素 解法
求竖直 高度 底部可达 ∠ACB＝α， BC＝a 解直角三角形AB＝atanα
底部不可达 ∠ACB＝α，∠ADB＝β， CD＝a 解两个直角三角形 AB＝
∠ACB＝α，∠BCD＝β， ∠BDC＝γ，CD＝a 先求∠CBD＝π-β-γ，再用 正弦定理求, 解直角三角形
求水平 距离 山两侧(不可通也不可视） ∠ACB＝α， AC＝b，BC＝a 用余弦定理 AB＝
河两岸（可视不可达） ∠ACB＝α，∠ABC＝β， CB＝a 用正弦定理
河对岸（两点都不可达） ∠ADC＝α，∠BDC＝β， ∠BCD＝δ，∠ACD＝γ， CD＝a 在△ADC中，； 在△BDC中，； 在△ABC中，用余弦定理求AB
(2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)．
二、典型例题
类型一：距离问题
【例1】. 如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°， ∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离．
【解】：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝150°.
因为AB∥CD，所以∠C＝180°－150°＝30°.
在△ABD中，AB＝6，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°，
所以AD＝＝＝3，所以BD＝＝＝3＋3.
在Rt△DBC中，CD＝＝＝6＋6.
所以C，D之间的距离为(6＋6)m.
【变式1】
如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？
【解】：在△ACD中，应用正弦定理得
＝＝＝20(1＋)(m)，
在△BCD中，应用正弦定理得＝＝40(m)．
在△ABC中，由余弦定理得AB＝＝20(m)．W
【变式2】．
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图1 3 7中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
【解】：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)
②第一步：计算AM.
在△ABM中，由正弦定理，得.
第二步：计算AN.
在△ABN中，由正弦定理，得.
第三步：计算MN.在△AMN中，由余弦定理，
得.
【变式3】．
我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°(如图所示)．求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)．
【解】：在△ACD中，∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°,CD=6000，∠ACD=45°
根据正弦定理有，
同理，在△BCD 中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°,CD=6000，∠BCD=30°
根据正弦定理有，
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，
根据勾股定理有
所以炮兵阵地到目标的距离为 米．
【总结升华】
求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．
类型二：测量高度问题（往往涉及仰角与俯角）
【例2】. 某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.
【解】：由上图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，
在.
由正弦定理，得所以
在中，
所以
在中，所以（米）
故所求塔高为米.
【变式1】(2018湖北高考)　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
【解】：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m．
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．
[变问法]在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求的值．
【解】：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，
由例题可知，∠CBE＝75°，BC＝300，
所以CE＝BC·sin∠CBE＝300sin75°＝300×＝150＋150.
所以＝＝＝.
【变式2】
如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________m.
【解】：延长CD交过A，B的水平线于点E，F，
因为∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，
所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，
所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.
所以AC＝AB＝40，
在△ACD中，由正弦定理得，＝，
即＝，解得CD＝.
【总结升华】测量高度问题的解题思路
高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度，常出现仰角与俯角的问题，要注意它们的区别与联系.
类型三：航海问题（多和方位角方向角有关）
【例3】.如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为()km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船 并求出所需要的时间.
【解】：设缉私船追上走私船需，则，.由余弦定理，得
，
由正弦定理，得，
所以，而，
所以
所以，.
所以，即，所以
答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.
【变式1】．
若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)
A．北偏东15°方向上　　　　 B．北偏西15°方向上
C．北偏东10°方向上 D．北偏西10°方向上
【解】：如图所示，∠ACB＝90°.
又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°.
因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.
所以点A在点B的北偏西15°方向上．故选B.
【变式2】
如图所示，海中小岛A的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
【解】：船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC(或AB)，再算出A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.
在中，，，，
所以，
由正弦定理知：，所以
所以
于是A到BC所在直线的距离为(海里)，它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.
【总结升华】
解决角度问题的三个注意事项：
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．
三、巩固练习
1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A． m　　B． m C． m D. m
(第1题图) (第2题图)
2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于(　　)
A．100米 B．50(＋1)米 C．100(＋1)米 D．200米
3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)
A．7 km B．8 km C．9 km D．6 km
(第3题图) (第4题图)
4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40 m，并在点C测得塔顶A的仰角为30°.则塔高AB为（ ）m.
A．20 B． C． D．40
5.有一长为10m的斜坡，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为，则坡底要延长（ ）
A.5m B.10m C.m D.m
6．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为(　　)
A．30 m B．60 m C．30 m D．40 m
(第6题图) (第7题图)
7. 《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)(　　)
A．1 255步　　　 B．1 250步 C．1 230步 D．1 200步
（2021 甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．
由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，
则，两点到水平面的高度差约为　　
A．346 B．373 C．446 D．473
9. 一艘船以的速度向正北方向航行,船在处看见灯塔在船的东北方向上,后船在处看见灯塔在船的北偏东的方向上,这时,船与灯塔的距离 .
10.(2014 新课标Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝　 　m．
（第8题图） （第9题图）
（第10题图） （第11题图）
11. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于　 　m．(结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73).
12．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？
为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
14.（2013 江苏）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，．
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
15．如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
16．某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60°方向10 km处．
(1)求集镇A，B间的距离；
(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．
如图,山顶有一座石塔BC,已知石塔的高度为a.
(1)若以B,C为观测点,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为,在塔底C处测得A处的俯角为,用a,,表示山的高度；
(2)若将观测点选在地面的直线AD上,其中D是塔顶B在地面上的射影.已知石塔高度a=20,当观测点E在AD上满足时看BC的视角(即∠BEC)最大,求山的高度h.
四、答案与解析
1．【解析】：在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°
所以∠ABC＝30°，由正弦定理：
所以AB＝＝m．故选A.
2. 【解析】：选C.设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x.
在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝AB＝x.
因为BD－BC＝CD，所以x－x＝200，解得x＝100(＋1)．故选C.
3. 【解析】：在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(－D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos D，解得cos ∠D＝－，所以AC＝＝7.故选A.
4. 【解析】：因为∠BCD=75°，∠BDC=60°，所以∠CBD=45°，
在△BCD中，由正弦定理得：，即，
解得，又，所以.故选B.
5. 【解析】：在△ABB’中由正弦定理,得，故选C.
6.【解析】：在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20(m)．过点A作AN⊥CD于点N，如图所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40(m)．在Rt△CMD中，CD＝40×sin 60°＝60(m)，故通信塔CD的高为60 m.故选B.
7.【解析】：因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝.
因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝.
又BC＝DE，所以＝，即＝，所以HB＝30 750步，
又＝，所以AH＝＝1 255(步)．故选A.
8.【解答】：过作于，过作于，
则，，，，，，
所以，
则在中，，所以
在△中，由正弦定理知，，
所以，
所以，
故选：．
9. 【解答】：如图所示： ，，，
在中，根据正弦定理.
10.【解答】：△ABC中，因为∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，
所以AC＝＝100．
△AMC中，因为∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
所以∠AMC＝45°，由正弦定理可得，
即 ，解得AM＝100．
Rt△AMN中，MN＝AM sin∠MAN＝100×sin60°＝150(m)，
11. 【解析】：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝46m，
所以．
又因为Rt△ABD中，∠ABD＝67°，可得
所以BC＝CD－BD＝79.58－19.5＝60.08≈60m
12.【解析】：设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，
在△BCD中，BC=(100-50x)海里，BD=30x海里()， ∠CBD=60°，由余弦定理得：
,
所以当(小时)时，CD2最小，从而得CD最小,
所以航行小时，两船之间距离最近．
13．【解析】：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米．
在△ABC中，AB＝≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，
由正弦定理sin∠ACB＝·AB＝，
所以∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，所以∠BAC＝30°，所以BC＝AC＝1，
在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
所以△ACD为等边三角形，所以CD＝1.
因为×60＝5，所以在BC上需5分钟，CD上需5分钟．
答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
14. 【解析】：（1）在中，因为，，所以，，
从而
由正弦定理，得．
答：索道的长为．
假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，
所以由余弦定理得
因，即，
答：当时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，得，
乙从出发时，甲已经走了，还需走才能到达．
设乙步行的速度为，由题意得，解得，
答：为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内．
15.【解】：(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，AP＝1，所以AB＝APtan 60°＝.
在Rt△PAC中，∠APC＝30°，所以AC＝APtan 30°＝.
在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
所以.
则船的航行速度为÷＝2(千米/时)．
(2)在△ACD中，，sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝＝＝，
.
由正弦定理得＝，所以AD＝＝＝.
故此时船距岛A有千米．
16.【解】：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，
根据余弦定理得，
所以AB＝14.
故集镇A，B间的距离为14 km.
(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．
设切点为C，连接OC(图略)，则OC⊥MN.
设OM＝x，ON＝y，MN＝c，
在△OMN中，由MN·OC＝OM·ON·sin 120°，得×3c＝xysin 120°，即xy＝2c，
由余弦定理，得c2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy≥3xy，所以c2≥6c，解得c≥6，
当且仅当x＝y＝6时，c取得最小值6.
所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6 km.
17.【解析】:在中,
由正弦定理得：,所以，
则，
设，
所以
当且仅当，即时,最大,从而最大，
由题意,,解得h=180.
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