高二数学（人教B版）选修2-1全册课件（打包30套PPT共1653张）

课件48张PPT。●课程目标
1．双基目标
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．
③通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
④通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．
⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．情感目标
①通过学习常用逻辑用语及其符号表达方式，提高逻辑分析、数学表达和逻辑思维能力．
②通过本章的学习，体会数学的美，养成一丝不苟，追求完美的科学态度．
③通过本章的学习，体会用对立统一的思想认识数学问题，培养学生辨证唯物主义思想方法．●重点难点
本章重点：命题的概念及四种命题间的相互关系；充分条件、必要条件；逻辑联结词的含义及命题真假的判断；全称量词与存在量词的有关概念．
本章难点：含有一个量词的命题的否定；含有逻辑联结词的命题的真假判断．●学法探究
1．这部分内容相对比较抽象，不易理解，学习中要注意多结合实例去理解概念．另外，用符号语言表述数学命题也增加了学习的难度，要逐步提高数学语言、符号语言的转换能力．
2．要学会类比的方法，将有关概念进行类比，以便更好地理解和运用．同时，还要用联系的观点去认识相关知识．如逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的交、并、补的联系；充分条件、必要条件、充要条件与四种命题的联系．3．本章内容与所学的知识有紧密的联系，这就需要有比较扎实的基础知识．如对充分条件、必要条件的判定，除要正确理解相关概念外，还要有一定的推理能力．
4．用集合的观点去理解相关概念，提高分析问题和解决问题的能力.
1.1　命题与量词
1．知识与技能
了解命题的概念，并能判断命题的真假．
2．过程与方法
通过生活与数学中的丰富实例，了解命题的概念．
3．情感态度与价值观
学会判断命题的真假，培养学生学习数学的兴趣．重点：了解命题的定义，判定命题的真假．
难点：判定一个句子是不是命题．1．要判断某个句子是否是命题，首先，要看这个句子的句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．其次，要看能不能判断其真假，也就是判断其是否成立，不能判断真假的语句，就不能叫做命题．
例如“这是一棵大树”，
不能叫命题，由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假．值得注意的是，在数学或其他科学技术中的一些猜想仍是命题．“在2050年前，中国将拥有自主产权的核动力航空母舰．”这样的猜想目前还不能判断其真假，但是随着时间的推移与科学技术的发展，总能判断它们的真假，因此，人们把这一类猜想仍算为命题．
2．开语句．例如：x>5，x2－1＝0，(x＋y)(x－y)＝0，这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句的真假的，这种含有变量的语句叫做开语句(条件命题)．开语句不是命题．1．一般地，我们把用________、________或________表达的，可以判断________的________叫做命题．
2．判断为________的语句叫做真命题．
判断为________的语句叫做假命题．
3．目前无法确定语句的真假，但从事物的本质而论，句子是可分辨真假的，这类________也算命题．
4．命题可以用________表示．
[答案]　1.语言　符号　式子　真假　语句
2．真　假　3.猜想
4．小写英文字母如p，q，r，…[例1]　判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
(2)x－2>0；
(3)集合{a，b，c}有3个子集；
(4)这盆花长得太好了！[解析]　(1)“f(x)＝3x(x∈R)是指数函数”是陈述句并且它是真的，因此它是命题．
(2)因为无法判断“x－2>0”的真假，所以它不是命题．
(3)“集合{a，b，c}有3个子集”是假的，所以它是命题．
(4)“这盆花长得太好了”无法判断真假，它不是命题．[解析]　上面6个语句中，(3)不是陈述句，所以它不是命题；(6)虽然是陈述句，但因为无法判断它的真假，所以它也不是命题；其余4个都是陈述句，而且都可以判断真假，所以它们都是命题，其中(1)(4)是真命题，(2)(5)是假命题．
[例2]　下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(写出序号)．
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”
②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”
③“一个数不是正数就是负数”；
④“大角所对的边大于小角所对的边”；
⑤“x＋y为有理数，则x、y也都是有理数”；
⑥“作△ABC∽△A′B′C′”．
[分析]　根据命题的概念，判断是否是命题、若是，再判断真假．[答案]　①③④⑤；①[分析]　因命题为真，故直接解不等式．[说明]　命题为真，也就是不等式成立．
设有两个命题：p：|x|＋|x－1|≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个真命题，求实数m的范围．[解析]　若p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1.若q为真命题，则7－3m>1，所以m<2，若p真q假则m∈?.若p假q真，则1综上所述，实数m的范围是1①若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；
②若m，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
上面命题中，真命题的序号是________．[误解]　①∵α∥β，而m?α，n?β，∴m∥n；
②由已知m，n?α，且m∥β，n∥β，∴α∥β；
同理可判定③④正确．
∴真命题序号为①②③④.
[辨析]　这类问题的解决主要用到有关定理、公理、推论、结论．要熟悉符号语言的表述方法．[正解]　在①中，α∥β，m?α，n?β，由面面平行的性质，只有当m，n是第三个与α，β相交的平面与α，β交线时，才有m∥n；在②中，由面面平行的判定定理，只有当m，n相交时，才能有α∥β.③④正确．
故真命题序号为③④.
[答案]　③④[答案]　C
[解析]　①②④⑤都是命题，③是祈使句，不是命题．2．(2008·湖南)设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是
(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α[答案]　D
[解析]　A、C显然错误，对于B，若m∥n，则得不到α∥β.
对于D，在α内任取一点A，过A作α⊥β，则a?α，又m⊥β，m?α，
∴m∥a，∴m∥α.故选D.
3．下列命题中真命题的个数为
(　　)
①面积相等的三角形是全等三角形
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0
③若a>b，则a＋c>b＋c
④矩形的对角线互相垂直
A．1个　　　 B．2个　　　 C．3个　　　 D．4个
[答案]　A
[解析]　只有③正确．二、填空题
4．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实根；
③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
[答案]　③　①②④⑤5．下面是关于四棱柱的四个命题：
①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．
[答案]　②④[解析]　②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如斜四棱柱．三、解答题
6．如果命题“当x>1时，函数y＝loga(x2＋2x－3)为减函数”是真命题，试确定实数a的取值范围．
[解析]　令u＝x2＋2x－3，当x>1时，u为增函数．
又函数y＝logau为减函数，
∴0理解全称量词、存在量词以及全称命题、存在性命题，并能判断命题的真假．
2．过程与方法
通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．
3．情感态度与价值观
通过本节的学习认识到两种命题在刻画现实问题、数学问题中的作用，从而激发学生的创新精神．重点：全称量词和存在量词的概念理解．
难点：对全称命题和存在性命题真假的判定．1．要注意结合例子用集合的观点去理解全称命题，与“所有”等价的说法有：“一切”、“每一个”、“任一个”等，由于自然语言的不同，同一个全称命题可以有不同的表述方法．注意：有时省去全称量词，仍为全称命题．例如：“正方形都是矩形”，省去了全称量词“所有”．因此，要结合具体问题做正确的判断．
存在性命题中的存在量词有“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等．2．全称命题的真假判定，要判定一个全称命题为真，必须限定集合M中的每一个x验证P(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明，要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．
存在性命题的真假判定，要判定一个存在性命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使P(x0)成立即可．否则，这一存在性命题为假．1．“________”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“________”表示，含有全称量词的命题，叫做________命题．
一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题．用符号简记为________．
2．“有一个”或“________”或“________”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，含有存在量词的命题，叫做________命题．一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为________．
[答案]　1.所有　?　全称　?x∈M，P(x)
2．有些　至少有一个　?　存在性　?x∈M，q(x)
[例1]　判断下列全称命题的真假：
(1)p：所有的单位向量都相等；
(2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0.
判断下列全称命题的真假：
(1)所有的素数是奇数；
(2)?x∈R，x2＋1≥1；
(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．
[例2]　判断下列命题的真假：
(1)p：?x0∈R，x＋2x0＋3≤0；
(2)p：存在等差数列{an}，其前n项和Sn＝n2＋2n－1.
判定下列存在性命题的真假：
(1)有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0；
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；
(3)有些整数只有两个正因数．[解析]　(1)因为?x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，所以使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”为假命题．
(2)因为垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在的两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．
(3)因为存在整数2只有两个因数1和2，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．[分析]　首先将三角方程进行化简，再结合三角函数图像求出x的范围，最后写成全称命题．[例4]　判断下列语句是全称命题还是存在性命题．
(1)有一个实数a，a不能取对数；
(2)自然数的平方是正数；
(3)三角函数都是周期函数吗？
(4)有的向量方向不定．[误解]　(1)不是命题，故不是全称命题，也不是存在性命题；
(2)不含量词，故不是全称命题，也不是存在性命题；
(3)无法判定；
(4)是存在性命题．
[辨析]　本题属于概念辨析题，解答时可根据全称量词与存在量词的概念进行判断．[正解]　因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为存在性命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)为全称命题．(3)不是命题．
综上所述：(1)(4)为存在性命题，(2)为全称命题，(3)不是命题．一、选择题
1．下列命题不是“?x∈R，x2>3”的表述方法的是
(　　)
A．有一个x∈R，使x2>3
B．对有些x∈R，使x2>3
C．任选一个x∈R，使x2>3
D．至少有一个x∈R，使x2>3
[答案]　C
[解析]由命题的否定知选C.[答案]　B3．(2010·湖南文，2)下列命题中的假命题是(　　)
A．?x∈R，lgx＝0 B．?x∈R，tanx＝1
C．?x∈R，x2＞0 D．?x∈R,2x＞0
[答案]　C
[解析]　本题主要考查全称命题和存在性命题真假的判断．
对于选项C，?x∈R，x2≥0，故C是假命题．二、填空题
4．下列语句：①被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形的对角线相等且互相平分．
其中是全称命题且为真命题的序号是________．
[答案]　④
[解析]　①是全称命题，但为假命题；　②不是命题；　③是存在性命题．5．下列命题：
①偶数都可以被2整除；
②正四棱锥的侧棱长相等；
③有的实数是无限不循环小数；
④有的菱形是正方形；
⑤存在三角形其内角和大于180°.
既是全称命题又是真命题的是________，既是存在性命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的命题的序号)．[答案]　①②　③④
[解析]　①②既是全称命题又是真命题，③④⑤是存在性命题③④为真命题，⑤为假命题．
三、解答题
6．判断下列命题是否为全称或存在性命题，并判断真假．
(1)有一个实数α，使tanα无意义；
(2)任何一条直线都有斜率；
(3)所有圆的圆心到其切线的距离等于半径；
(4)凡圆内接四边形，其对角互补．(3)全称命题，任何一个圆的圆心到其切线的距离等于半径．所以全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离等于半径”是真命题；
(4)全称命题，圆内接四边形对角互补．所以全称命题“凡圆内接四边形，其对角互补”是真命题．课件41张PPT。
1．2　基本逻辑联结词1．知识与技能
了解逻辑联结词“且”、“或”的意义，能判断命题“p且q”，“p或q”的真假．
2．过程与方法
通过学习，体会命题间的逻辑关系．
3．情感态度与价值观
通过学习，让学生体会探索的乐趣，培养学生的创新意识．重点：了解“且”与“或”的含义，能判定由“且”与“或”组成的新命题的真假．
难点：“或”的含义的理解．1．逻辑联结词“且”与“或”的含义．“且”与自然语言中的“并且”“和”相当．“或”与自然语言中的“或者”“可能”是相当的．但自然语言中的“或者”有两种用法：一是“不可兼”的“或”；二是“可兼”的“或”．而我们仅研究可兼“或”在数学中的含义．
2．命题p∧q与p∨q真假的判定．要判定p∧q的真假，关键是看p，q的真假，只有当p，q都为真时，p∧q才为真，其他三种情况p∧q都为假，要判断p∨q的真假，关键是看命题p，q的真假，只有当命题p，q都为假时，p∨q才为假，其他三种情况，p∨q都为真．3．命题“p∧q”、“p∨q”与集合的交、并运算联系密切，可借助集合的关系理解“p∧q”、“p∨q”的意义．要借助于具体的例子了解“且”、“或”的意义，同时要注意与“且”、“或”相近的意义．1．“________”“________”叫做逻辑联结词．
2．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作________，读作“________”．
3．用联结词“________”联结命题p和命题q，记作________，读作“________”．
4．完成下列真值表：[答案]　1.或　且
2．p∧q　p且q
3．或　p∨q　p或q
4．真　真　假　真　假　真　假　假
[例2]　判断下列命题的真假：
(1)2≤2；
(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．[解析]　(1)命题“2≤2”是由命题：p：2＝2；q：2<2用“或”联结后构成的新命题，即p∨q.
因为命题p是真命题，所以命题p∨q是真命题．
(2)命题“集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集”是由命题：p：集合A是A∩B的子集；q：集合A是A∪B的子集用“或”联结后构成的新命题，即p∨q.
因为命题q是真命题，所以命题p∨q是真命题．(3)命题“周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等”是由命题：p：周长相等的两个三角形全等；q：面积相等的两个三角形全等用“或”联结后构成的新命题，即p∨q.
因为命题p、q都是假命题，所以命题p∨q是假命题．[说明]　判断含有“且”“或”的命题的真假的方法步骤为：(1)分析命题的结构，找出组成它的命题p和q；(2)利用数学知识，判断命题p和q的真假，(3)利用真值表判定该命题的真假．
分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边．
(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧．
(3)方程x2－3x－4＝0的根是－4或1.[解析]　(1)这个命题是“p∧q”形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．因为p真q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦的两段弧．
因为p真q真，所以“p∧q”为真．(3)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：方程x2－3x－4＝0的一个根是－4，q：方程x2－3x－4＝0的一个根是1.
因为p假q假，所以“p∨q”为假．
[例3]　已知c>0，设p：函数y＝cx在R上递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R，如果“p或q”为真，且“p且q”为假，求c的范围．
[分析]　要求c的范围，可先由条件p、q分别求出c的范围；然后利用“p或q”为真，且“p且q”为假，确定c的范围．[说明]　本题以函数为载体将函数、不等式、简易逻辑有机地结合在一起．
解答这类题的一般步骤：(1)先求出命题p∧q，p∨q的命题p、q的参数成立条件；(2)其次根据命题p∧q，p∨q的真假判定命题p、q的真假；(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围．
已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．[例4]　已知命题p：不等式|x|＋|x－1|>m的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．[辨析]　解此类问题注意两点：(1)正确理解并化简所给命题；(2)理解问题的命题形式．
[正解]　由不等式|x|＋|x－1|>m的解集为R和绝对值的几何意义知m<1；
由f(x)＝－(5－2m)x是减函数知5－2m>1，
∴m<2.
又p∧q为假，p∨q为真，
∴p、q一真一假，如果p真q假，可得m无解；
如果p假q真，可得1≤m<2.
由以上两种情况可得，
实数m的取值范围是{m|1≤m<2}．一、选择题
1．“ab≠0”是指 (　　)
A．a≠0且b≠0
B．a≠0或b≠0
C．a、b至少有一个不为0
D．不都是0
[答案]　A
[解析]　当a＝0时不合题意，b＝0时也不合题意，∴a≠0且b≠0.2．命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是(　　)
A．p∨q　　　　　　　　　 B．p∧q
C．綈p D．以上都不对
[答案]　B
[解析]　△ABC是等腰直角三角形是由△ABC是等腰三角形与△ABC是直角三角形用“且”联结而成，是p∧q命题．3．对命题p：A∩?＝?，命题q：A∪?＝A，下列判断正确的是
(　　)
A．p且q为假
B．p或q为假
C．p且q为真；p或q为假
D．p且q为真，p或q为真
[答案]　D
[解析]　由题意知，p真，q也真．
故p且q为真，p或q为真．二、填空题
4．设命题p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.
[答案]　3　－35．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
[答案]　[3,8)[解析]　(1)“p或q”：2n－1(n∈Z)是奇数或是偶数，真命题；“p且q”：2n－1(n∈N)既是奇数又是偶数，假命题．
(2)“p或q”：a2＋b2<0或a2＋b2≥0(a，b∈R)，真命题；“p且q”：a2＋b2<0且a2＋b2≥0(a，b∈R)，假命题．
(3)“p或q”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题；“p且q”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．课件43张PPT。1．知识与技能
(1)了解逻辑联结词“非”的意义，会写一个命题的否定命题，能判断否定命题的真假．
(2)会对含有全称量词、存在量词的全称命题，存在性命题进行否定．
2．过程与方法
(1)通过对命题、全称命题与存在性命题的否定的学习，体会从特殊到一般的探索性的学习方法．
(2)通过学习，体会命题间的逻辑关系．
3．情感态度与价值观
通过学习，让学生体会探索的乐趣，培养学生的创新意识，提高学生的逻辑判断能力和逻辑思维能力．重点：了解逻辑联结词“非”的含义．
难点：对命题的否定．1．对一个命题的否定是全部否定，而不是部分否定．
2．在对全称命题否定时，要特别注意有的全称命题省略了全称量词．如p：实数的绝对值是正数．如将綈p写成：“实数的绝对值不是正数”就错了，正确的否定应为：“存在一个实数的绝对值不是正数．”
3．要注意：常用“都是”表示全称肯定，它的存在性否定为“不都是”，两者互为否定．用“都不是”表示全称否定，它的存在性肯定可用“至少有一个是”来表示．常用正面叙述词语及它的否定列举如下：
4.通过实例总结解题方法，提高解题能力，应记住常用词语的否定形式．
5．利用p与綈p一个为真，另一个必为假的性质，判断所写出的命题的否定是否正确．
6．用集合的观点去理解p与綈p的关系．1．“非”(否定)，逻辑联结词“非”是由日常用语中的“不是”、“全盘否定”“问题的反面”抽象而来的．
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作________，p与綈p的真假不同，一个为真，另一个必定为假，可类比集合中的补集加以理解．2．存在性命题的否定．存在性命题p：?x∈A，p(x)，它的否定是綈p：________，即否定存在性命题时，将存在量词变为全称量词，再否定它的性质，即存在性命题的否定是全称命题．
3．全称命题的否定．全称命题：q：?x∈A，q(x)，它的否定是綈q，________，即否定全称命题时，将全称量词变为存在量词，再否定它的性质，即全称命题的否定是______．[答案]　1.綈p
2．?x∈A，綈p(x)
3．?x∈A，綈q(x)　存在性命题[说明]　判断綈p的真假，一是利用p与綈p的真假不同的性质，由p的真假判断綈p的真假；二是利用所学知识直接判断綈p的真假．
写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)p：y＝sinx是周期函数；
(2)p：3<2；
[解析]　(1)綈p：y＝sinx不是周期函数，命题p是真命题，綈p是假命题；
(2)綈p：3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题.
[例2]　(1)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是
(　　)
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0(2)已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则(　　)
A．綈p∶?x∈R，sinx≥1
B．綈p∶?x∈R，sinx≤1
C．綈p∶?x∈R，sinx>1
D．綈p∶?x∈R，sinx>1
[分析]　“?x∈D，p(x)”的否定是“?x∈D，綈p(x)”．注意本题中的“≥”的否定是“<”．[答案]　(1)C　(2)C
[说明]　全称命题的否定为存在性命题，即：“?x∈A，p(x)”的否定为“?x∈A，綈p(x)”在写全称命题的否定时，先把全称量词改为存在量词，再否定p(x)．
写出下列全称命题的否定：
(1)p：所有能被3整除的整数是奇数；
(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.[解析]　(1)綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆．
(3)綈p：?x∈Z，x2的个位数字等于3.
[例3]　写出下列存在性命题的否定：
(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：有一个素数含三个正因数．
[分析]　存在性命题?x∈A，p(x)，命题的否定为?x∈A，綈p(x)．[解析]　(1)綈p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)綈p：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)綈p：每一个素数都不含三个正因数．
[说明]　注意(2)中“是”的否定为“都不是”．
写出下列命题的否定：
(1)p：有些实数的绝对值是正数；
(2)p：有些平行四边形是菱形；
(3)p：?x∈R，x2＋1<0.
[例4]　写出下列命题的否定：
(1)3是9的约数或18的约数；
(2)菱形的对角线相等且互相垂直；
(3)方程x2＋x－1＝0有两实根符号相同或绝对值相等；
(4)a>0，或b≤0.[解析]　(1)命题的否定是：3不是9的约数，也不是18的约数；
(2)命题的否定是：菱形的对角线不相等或不互相垂直；
(3)方程x2＋x－1＝0的两实数根符号不相同且绝对值不相等；
(4)a≤0，且b>0.[说明]　“p∨q”命题的否定为“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”命题的否定为“(綈p)∨(綈q)”．[例5]　已知全集U＝R，A?U，B?U，若命题p：a∈(A∪B)，则命题“非p”是 (　　)
A．非p：a∈A　　　　B．非p：a∈?UB
C．非p：a?(A∩B) D．非p：a∈[(?UA)∩(?UB)]
[误解]　C
[辨析]　没有看清题意，一般情况下，命题“p或q”的否定为“非p且非q”，所以a?(A∪B)等价于a∈[(?UA)∩(?UB)]．
[正解]　D[例6]　写出下列命题的否定．
(1)矩形的四个角都是直角；
(2)所有的方程都有实数解；
(3)4<3.
[误解]　(1)矩形的四个角都不是直角．(2)所有的方程都没有实数解．(3)4>3.[辨析]　(1)“四个角都是直角”的否定有以下几种情况：四个角都不是直角；有三个角不是直角；有两个角不是直角；有一个角不是直角．上述否定形式只指出了反面的一种情况而没有否定全部情况．(2)否定词使用错误．(3)认为4<3的反面是4>3，忽略了4＝3的情况．
[正解]　(1)矩形的四个角不都是直角．(2)有的方程没有实数解．(3)4≥3.一、选择题
1．(2009·天津)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是
(　　)
A．不存在x0∈R,2x0＞0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x0∈R,2x0≤0
D．对任意的x0∈R,2x0＞0
[答案]　D
[解析]　本小题主要考查命题的“非”．
由含有一个量词的命题的否定知选D.2．如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么
(　　)
A．命题p一定是假命题
B．命题q一定是假命题
C．命题q一定是真命题
D．命题q是真命题或假命题均可以
[答案]　D3．已知命题p：sinx＋cosx>1(x为锐角)，命题q：任意抛掷硬币2次，出现正面向上是必然事件，下列命题中真命题是
(　　)
A．綈p　　　　　　　　 B．p∧q
C．綈p∨綈q D．綈p∧綈q
[答案]　C二、填空题
4．(2010·安徽文，11)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．
[答案]　对?x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
[解析]　该题考查命题的否定．注意存在性命题的否定是全称命题．5．写出命题：?x∈N，x3>x2的否定为________．
[答案]　?x∈N，x3≤x2三、解答题
6．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)每条直线在y轴上都有一个截距；
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；
(3)存在一个四边形没有内切圆；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
[解析]　(1)假命题，存在一条直线在y轴上没有截距．
(2)假命题，存在一个二次函数的图象不与x轴相交．
(3)真命题，任意一个四边形都有内切圆．
(4)假命题，任意一个三角都有外接圆．课件59张PPT。
1．3　充分条件、必要条件与命题的四种形式1．知识与技能
(1)了解“如果是p，则q”形式的命题，并能判断命题的真假；
(2)理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；
(3)掌握充分条件、必要条件和充要条件的判定方法．
2．过程与方法
通过实例，探索充分条件、必要条件及充要条件的判定方法，学会用数学观点分析解决实际问题．3．情感态度与价值观
通过对“p?q”“q?p”的判断，使学生感受对立统一的思想，培养学生的辩证唯物主义观点，体会从特殊到一般的思维方法．重点：理解充分条件，必要条件的意义．
难点：对充分条件必要条件与充要条件的判定．1．对充分条件、必要条件的判定．
要判定充分条件、必要条件，首先要分清哪是条件，哪是结论，然后用条件推结论，再由结论推条件，最后下结论．
若p?q，且q p，则p是q的充分但不必要条件．
若p q，且q?p，则p是q的必要但不充分条件．
若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
若p?q，且q?p，则p是q的充要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．
设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
若A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若B?A，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件．3．学习中还应注意：
(1)学习本节内容，要多从分析实例入手理解概念，利用集合的观点加深理解．
(2)要判断充分条件、必要条件，就是利用已有知识，借助代数推理的方法，判断p是否推出q，q是否推出p.
(3)本节内容与以前所学知识有较密切的联系，需要有较扎实的基础知识作保障．1．“如果p，则(那么)q”形式的命题，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论，当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，就说 ，记作 ，读作“ ”．
2．如果p可推出q，则称p是q的 ；q是p的 ．
3．如果p?q，且q?p，则称p是q的 ，简称p是q的 ，记作 .
4．p是q的充要条件，又说成 ，或 ．由p可以推出qp?qp推出q充分条件必要条件充分必要条件充要条件p?qq当且仅当pp与q等价
[例1]　给出下列四组命题
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
试分别指出p是q的什么条件．[分析]　解答本题可先判断p?q是否成立，再判断q?p是否成立．[解析]　∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0 x－2＝0.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵两个三角形相似 两个三角形全等；
但两个三角形全等?两个三角形相似；
∴p是q的必要不充分条件．
(3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0无实根；
方程x2－x－m＝0无实根 m<－2.
∴p是q的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p?q；
而对角线相等的四边形不一定是矩形，
∴q p．∴p是q的充分不必要条件．
[说明]　用定义判断充分条件和必要条件的方法：
(1)如果p?q但q p，则p是q的充分条件，但不是必要条件；
(2)如果q?p但p q，则p是q的必要条件，但不是充分条件；
(3)如果p?q，则p是q的充要条件；
(4)如果p q且q p，则p既不是q的充分条件也不是q的必要条件．[例2]　在下列各项中选择一项填空：
A．充分不必要条件　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x<2，p是q的________；
(2)p：－1≤x≤6，q：|x－2|<3，p是q的________；
(3)p：x2－x－6＝0，q：x＝－2或x＝3，p是q的______．[解析]　(1)令A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|x<2}，显然A?B，所以p是q的充分不必要条件．
(2)令A＝{x|－1≤x≤6}，
B＝{x||x－2|<3}＝{x|－3显然B?A，所以p是q的必要不充分条件．
(3)令A＝{x|x2－x－6＝0}＝{x|x＝－2或x＝3}＝{－2,3}，B＝{－2,3}，显然A＝B，所以p是q的充要条件．
[答案](1)A　(2)B　(3)C[说明]　集合关系与充分、必要条件：集合A，B分别是使命题p，q为真命题的对象所组成的集合.
在下列四个结论中，正确的有 (　　)
(1)x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
(2)在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
(3)若a，b∈R，则“a2＋b2＝0”是“a，b全不为0”的充要条件；
(4)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件；
A．(1)(2)　　　　　　 B．(3)(4)
C．(1)(4) D．(2)(3)[答案]　C
[解析]　对于结论(1)，由x3<－8?x<－2?x2>4，但是x2>4?x<－2或x>2?x3<－8或x3>8，不一定有x3<－8，故(1)正确；对于结论(4)，由a2＋b2≠0?a，b不全为0，反之，由a，b不全为0?a2＋b2≠0，故(4)正确.
[例3]　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[分析]　首先分清条件与结论，条件是“a＋b＋c＝0”，结论是“方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1”；证明充分性是证明“条件”?“结论”，证明必要性是证明“结论”?“条件”．[证明]　必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得
ax2－bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
设x、y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
[证明]　充分性：如果xy＝0，那么，①x＝0，y≠0；②y＝0；x≠0；③x＝0，y＝0，于是|x＋y|＝|x|＋|y|.
如果xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0.
当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|.
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)＝－x＋(－y)＝|x|＋|y|.
总之，当xy≥0时，有|x＋y|＝|x|＋|y|.
必要性：由|x＋y|＝|x|＋|y|及x，y∈R，得(x＋y)2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2.
|xy|＝xy，∴xy≥0.
[例4]　已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个都大于1的根的充要条件．
[分析]　求充要条件就是求它的等价命题．
设集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，求B∪C＝B的充要条件．
[分析]　解答本题要先求出具体的B、C再分类进行讨论．[解析]　B∪C＝B?C?B，
∵A＝{x|－2≤x≤a}，
∴B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a＋3}，
又当－2≤a<0时，C＝{z|a2≤z≤4}，
当0≤a≤2时，C＝{z|0≤z≤4}，
当a>2时，C＝{z|0≤z≤a2}，[分析]　先化简两个集合，p是q的充分不必要条件所以{x|p(x)}?{x|q(x)}，由此构造关于m的不等式，最后求出m的取值范围．解法二：∵p是q的充分不必要条件，
∴綈p是綈q的必要不充分条件．
由解法一知，p：A＝{x|－2≤x≤10}，
q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
∴綈p：C＝{x|x<－2或x>10}，
綈q：D＝{x|x<1－m或x>1＋m，m>0}．[辨析]　解本例注意两个问题，一是正确的解不等式，二是理解綈p是綈q的充分而不必要条件的意义．一、选择题
1．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的
(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C[解析]　当a＝2时，直线2x＋2y＝0，显然平行于x＋y＝1，若直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行，则须满足a－2＝0，得a＝2.2．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(　　)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　B[解析]　若f(x)，g(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，g(－x)＝g(x)，
故h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)．
又∵f(x)，g(x)的定义域是R.
∴h(x)是偶函数．
∴f(x)，g(x)是偶函数?h(x)是偶函数．
令f(x)＝x，g(x)＝x2－x，
则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2是偶函数．
而f(x)，g(x)不是偶函数，
∴h(x)是偶函数?/ f(x)，g(x)是偶函数．3．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　根据线面垂直的定义知，l⊥α?l⊥m且l⊥n，
若m∥n时，l⊥m且l⊥n?/ l⊥α，故选A.[答案]　既不充分又不必要条件5．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的________条件．
[答案]　必要
[解析]　由A?B∴B?A∴B是A的必要条件三、解答题
6．已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若条件p是条件q的充分条件，求实数a的取值范围．课件49张PPT。1．知识与技能
通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题．
2．过程与方法
通过实例，让学生去发现四种命题形式间的逻辑关系，并能用命题间的关系去验证某些命题．
3．情感态度与价值观
在学习过程中，让学生通过具体的命题，经过归纳，初步的解释说明，感受探索的乐趣．重点：会分析四种命题的相互关系．
难点：正确地写出原命题的否命题．1．四种命题真假判断：
(1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假．
(2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假．
(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真．
(4)互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假．
综合上述四条可知，在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个．2．由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转化判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”，所以教材在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题等价性的理解．3．要注意：否命题与命题的否定是不同的，如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否命题是“若非p，则非q”而这个命题的否定是“若p则非q”，可见：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只能否定结论．例如，原命题“若∠A＝∠B，则a＝b”的否命题为“若∠A≠∠B，则a≠b”，而原命题的否定是“若∠A＝∠B，则a≠b”．1．四种命题的概念
把命题“如果p，则q”看作原命题，则它的
①逆命题是“ ”；
②否命题是“ ”；
③逆否命题是“ ”．如果q，则p如果非p，则非q如果非q，则非p2．四种命题间的关系
3．四种命题的真假性关系
(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是 ．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性 ．逆否命题没有关系
[例1]　若a、b、c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．
[分析]　认清命题的条件p和结论q，然后按定义书写逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假．[解析]　逆命题：“若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)有两个不相等的实数根，则ac<0.”它是假命题，如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2>0.
否命题：“若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根”，它是假命题，这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题的缘故．
逆否命题：“若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0.”它是真命题，因为原命题是真命题，它与原命题等价．[说明]　解答命题问题，识别命题的条件p与结论q的构成是关键．
命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．[解析]　逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
[例2]　写出下列各命题的否定形式及命题的否命题，并分别判断它们的真假：
(1)面积相等的三角形是全等三角形；
(2)所有的方程不都是不等式；
(3)自然数的平方是正数．[分析]　本题主要考查命题的否定及否命题之间的区别，命题的否定形式是对命题本身的否定，命题的否命题必须将命题的条件与结论同时否定．[解析]　原命题的否定形式：
(1)面积相等的三角形不一定是全等三角形．为真命题．
(2)所有的方程都是不等式，为假命题．
(3)自然数的平方不都是正数，为真命题．
原命题的否命题：
(1)面积不相等的三角形不是全等三角形，为真命题．
(2)有些方程是不等式，为假命题．
(3)有些自然数的平方不是正数，为真命题．[说明]　命题的否定形式与否命题是两个不同的概念，要注意区别，不能混淆．
写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．
(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根；
(2)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；
(3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.
[解析]　(1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根，假命题．
命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根，假命题．
(2)否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数，假命题．
命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是奇数，真命题．
(3)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零，真命题．
命题的否定：若abc＝0，则a、b、c全不为零，假命题.
[例3]　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
[分析]　可以先写出逆否命题，直接判断其真假，也可以利用原命题与逆否命题的等价关系去判断原命题的真假．问题中涉及不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解．[解析]　解法一：逆否命题为已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
对应方程的Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0.即抛物线与x轴无交点，
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故逆否命题为真．[例4]　已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，若至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．
[分析]　本题从正面解决难以入手，故要采用反证法，假设三个方程都无实数根，以此为条件推出均无实根的结论，再取其补集即可．[说明]　(1)适宜用反证法证明的数学命题：
①结论本身是以否定形式出现的一类命题；
②关于唯一性、存在性的命题；
③结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题；
④结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题．
(2)常见的“结论词”与“反设词”列表如下：[例5]　已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论．
(2)写出其逆否命题，并证明你的结论．[解析]　(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．
用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，则f(a)(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)因为一个命题?它的逆否命题，所以可证明原命题为真命题．∵a＋b≥0∴a≥－b，b≥－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
所以逆否命题为真．[例6]　设原命题为“已知A＝{x|－3否命题“已知A＝{x|－3逆否命题“已知A＝{x|－3先判断原命题真假：
由A∩B≠?知a>－3.∴原命题为假，从而逆否命题也为假；再判断否命题真假：
由A∩B≠?知a>－3.∴否命题为假，从而逆命题也为假；
[辨析]　判断命题真假，应注意原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价，这为我们解决此类问题提供了新的方法，但应注意要正确写出其余命题是判断正误的前提．[正解]　逆命题“已知A＝{x|－3B＝{x|x否命题“已知A＝{x|－2若A∩B＝?，则a≤－3，或a≥5”；
逆否命题“已知A＝{x|－3若a≤－3或a≥5则A∩B＝?”．
先判断原命题真假，由A∩B≠?，得a>－3，因此原命题为假．从而逆否命题为假；
再判断逆命题的真假．由上知，A∩B≠?时，a>－3，由{a|－3－3}，因此“－31．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b，且c≠d，则a＋c≠b＋d”，对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有 (　　)
A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．4个
[答案]　A
[解析]　原命题是假命题，如：3≠5,4≠2但3＋4＝5＋2，逆命题为：“a＋c≠b＋d”则a≠b且c≠d也是假命题；如：3＋4≠3＋5中，a＝b＝3，c＝4≠d＝5，
由原命题与其逆否命题等价，知否命题和逆命题均为假命题，故选A.2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是
(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
[答案]　B
[解析]　否命题同时否定条件和结论．3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是
(　　)
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除
[答案]　B
[解析]　一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题．二、填空题
4．设綈A是A的否定，如果綈A?B，那么A是綈B的________条件．
[答案]　必要
[解析]　利用原命题和逆否命题是等价的由于綈A?B的逆否命题为綈B?A，即A?綈B，所以A是綈B的必要条件，故应填必要．5．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是____________________________．
[答案]　圆的切线到圆心的距离等于半径三、解答题
6．写出命题“若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假．
[解析]　逆命题：若a>b，则a2>b2；
否命题：若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：若a≤b，则a2≤b2.
因为(－1)2>02，但－1<0，所以原命题不正确．
又因为－2>－3，但(－2)2<(－3)2，所以逆命题不正确．
由四种命题的关系知，四个命题都是假命题．课件38张PPT。本章归纳总结1．学习命题，首先是判断语句的真假，看是否是命题，然后再根据命题中是否含有量词和含有什么量词区别全称命题与存在性命题．
含有全称量词的命题叫做全称命题，常用符号“?”表示为：?x∈M，p(x)．含有存在量词的命题叫做存在性命题；常用符号“?”表示为：?x∈M，p(x)．一般地，全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题．2．准确分析命题的构成和理解“或”、“且”、“非”的含义是学习命题的关键．
另外对“且”“或”“非”的理解，可以结合集合的知识，如“或”可以联想到“并集”的概念，“且”可以联想到“交集”的概念，“非”可以联想到“补集”的概念它是对命题结论的否定．3．充要条件的判断是通过判断命题“若p则q”的真假来判断的．因此，充要条件与命题的四种形式之间的关系密切，可相互转化．
4．判断充要条件的方法有定义法、集合关系法、四种命题法、箭头图法等．
充分、必要条件问题涉及的知识面广，要求考生不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定形式的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要条件．
命题的逆命题、否命题、逆否命题之间的关系，在高考中时有涉及，有时作为叙述考题的工具，有时考查命题结构的变化、更多的时候是利用其等价关系(原命题与逆否命题、逆命题与否命题)判断命题真假或进行证明．[例1]　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
(1)如果a＝b，则a2＝b2；
(2)如果|2x＋1|≥1，则x2＋x>0；
(3)如果△ABC≌△PQR，则S△ABC＝S△PQR.[解析]　(1)逆命题为：如果a2＝b2，则a＝b.该命题是假命题．否命题为：如果a≠b，则a2≠b2，该命题是假命题．逆否命题为：如果a2≠b2，则a≠b.该命题是真命题．
(2)逆命题为：如果x2＋x>0，则|2x＋1|≥1.这是真命题．否命题为：如果|2x＋1|<1，则x2＋x≤0.这是真命题．
逆否命题为：若x2＋x≤0，则|2x＋1|≥1这是假命题．
(3)逆命题为：如果S△ABC＝S△PQR，则△ABC≌△PQR.这是假命题．否命题为：如果△ABC与△PQR不全等，则S△ABC≠S△PQR，这是假命题．
逆否命题为：如果S△ABC≠S△PQR，则△ABC与△PQR不全等，这是真命题．[说明]　①一个命题，一定要准确找出其条件和结论．交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．否定命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．否命题不是对原命题的否定．如命题p的否定是非p，只是否定命题的结论．交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
②两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
③两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；
(4)“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是
(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3[答案]　B
命题真假的判断是本章的重点内容，也是高考中的一种常见题型，一般在选择题或填空题中出现．多数与函数、向量、空间线面间的位置关系等其他部分的知识相结合进行考查，以命题的真假的判断方法为载体，综合考查数学中的重要知识点．在解决此类问题时，如果说明一个命题不正确，往往举一个反例说明即可．而要说明为真命题则需要有具体的依据或证明方法．[例2]　对于函数①f(x)＝lg(|x－2|＋1)；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x＋2)，判断如下三个命题的真假：
命题甲：f(x＋2)是偶函数；
命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；
命题丙：f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所在函数的序号是(　　)
A．①③　　　B．①②　　　C．③　　　　D．②[答案]　D
[说明]　本题考查幂函数、对数函数、三角函数的奇偶性和单调性函数的定义和对命题真假性的判断．考查了“数形结合”的思想、排除法．是一道综合性较强的选择题．
已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，下面三个命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β
则真命题的个数为 (　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
[答案]　C
[解析]　①③正确；②中，l⊥α，β⊥α，
∴l∥β或l?β，而m?β，
∴l与m平行、相交、异面都有可能，
∴②错误．故选C.
有关充分条件和必要条件的判断是高中数学的一个重点，与命题判断一样，也贯穿于整个高中数学的始终，与函数、不等式等重要知识点联系密切，是历年高考的热点．
命题A和B(有时也称题设A和B)的条件关系通常有四类：
(1)充分不必要条件：若A?B，且B A，则称A是B的充分不必要条件；(2)必要不充分条件：若A B，且B?A，则称A是B的必要不充分条件；
(3)充要条件：若A?B且B?A，则称A是B的充要条件；
(4)既不充分也不必要条件：若A B，且B A，则称A是B的既不充分也不必要条件．对充要条件问题的判断，有时候还可以利用命题与其逆命题的真假来判断：若原命题正确而其逆命题不正确，则为充分不必要条件；若原命题不正确而逆命题正确，则为必要不充分条件；若原命题正确逆命题也正确，则为充要条件；若原命题和逆命题都不正确，则为既不充分也不必要条件．[例3]　(2009·四川)已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的
(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件．[解析]　本小题主要考查不等式的性质和充要条件的概念．
由a－c>b－d变形为a－b>c－d，
因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，
∴a－c>b－d?a>b.
而a>b并不能推出a－c>b－d.
所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分条件．故选B.
[答案]　B∴0≤x<1或x>2，
②当x<0时，(x2－1)(x＋2)<0，
(x－1)(x＋1)(x＋2)<0，
∴－1综上所述，q中，－12，或x<－2.
∴p是q的充分不必要条件．
[答案]　A[说明]　①判断充分条件、必要条件、充要条件的问题，一般是先找出大前提、条件、结论后，再进行判断．
②从集合观点看，建立命题p，q相应的集合．p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：
若A?B，则p是q的充分条件；若A?B，则p是q的充分非必要条件；
若B?A，则p是q的必要条件；若B?A，则p是q的必要非充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是
(　　)
A．a⊥α，b∥β，α⊥β　　　
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a?α，b⊥β，α∥β
D．a?α，b∥β，α⊥β
[答案]　C
这一部分为新增内容，为体现新课标精神，高考中一定会考查，多以选择题、填空题的形式出现，解答题可与函数、方程相结合．
[例4]　(2009·山东东营3月)已知命题p：?x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1C．①③④ D．①②③④
[答案]　D
[说明]　判断一个命题是全称命题还是存在性命题，需要判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词．全称命题的否定是存在性命题，特称命题的否定是全称命题．
判断下列命题的真假．
(1)?x∈R，|x|>0.
(2)?a∈R，函数y＝logax是单调函数．
(3)?x∈R，x2>－1.
(4)?a∈{向量}，使a·b＝0.
[分析]由题目可获取以下主要信息：①给出一个具体的全称命题，或是存在性命题，②判定这些命题的真假．解答这类问题要注意量词的类型及含义．[解析]　(1)由0∈R，当x＝0时，|x|>0不成立，因此命题“?∈R，|x|>0”是假命题．
(2)由于1∈R，当a＝1时，y＝logax无意义，因此命题“?a∈R，函数y＝logax是单调函数”是假命题．
(3)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2>－1.
因此命题“?x∈R，x2>－1”是真命题．
(4)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“?a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．课件63张PPT。●课程目标
1．双基目标
(1)了解曲线的方程和方程的曲线的概念，会用坐标法求曲线的方程．
(2)掌握椭圆的定义，椭圆标准方程的两种形式及其推导过程．能够根据条件确定椭圆的标准方程，会运用待定系数法求椭圆的标准方程．
(3)掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a、b、c、e的几何意义，以及a、b、c、e之间的相互关系．
(4)了解双曲线的定义，并能根据双曲线定义恰当地选择坐标系，建立及推导双曲线的标准方程．
(5)会用待定系数法求双曲线标准方程中的a、b、c，能根据条件确定双曲线的标准方程．
(6)使学生了解双曲线的几何性质，能够运用双曲线的标准方程讨论它的几何性质，能够确定双曲线的形状特征．(7)了解抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程，能根据条件确定抛物线的标准方程．
(8)了解抛物线的几何性质，能运用抛物线的标准方程推导出它的几何性质，同时掌握抛物线的简单画法．
(9)通过抛物线四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析归纳能力．
(10)通过根据圆锥曲线的标准方程研究其几何性质的讨论，加深曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题和解决问题的能力，培养学生的数形结合、方程思想及等价转化思想．(11)能够利用圆锥曲线的有关知识解决与圆锥曲线有关的简单实际应用问题．2．情感目标
通过对椭圆、双曲线、抛物线概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力，通过画圆锥曲线的几何图形，让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣，通过圆锥曲线的统一性的研究，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育．●重点难点
本章重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质．
本章难点：求椭圆、双曲线、抛物线的方程，及几何性质的应用，以及坐标法．●学法探究
1．在求曲线方程时，有些轨迹问题中，含有隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，要认真审题，充分挖掘隐含条件，关键是找出动点所满足的几何条件．2．对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如①在求轨迹中，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；②涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；③在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．3．直线与圆锥曲线的位置关系：①有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，应注意数形结合；②有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理；③有关垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，简化运算．
直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线和圆锥曲线的方程的公共解问题，体现了方程的思想．数形结合也是解决直线和圆锥曲线位置关系的常用方法．4．五点重视：(1)重视定义在解题中的作用．(2)重视平面几何知识在解题中的简化功能．(3)重视根与系数关系在解题中“设而不求”的意义．(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一．(5)重视圆锥曲线的实际应用．
2.1　曲线与方程1．知识与技能
了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系．
掌握曲线的方程和方程的曲线的概念．
了解曲线与曲线的交点的问题．
2．过程与方法
通过曲线的学习，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想．
3．情感态度与价值观
结合已学过的曲线及方程的实例，进一步感受数形结合的思想，启发学生在研究问题，体会运动变化，对立统一的思想．重点：曲线和方程的概念．
难点：曲线与方向的关系．1．坐标法：借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫坐标法．
用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何，解析几何研究的主要问题是：
①根据已知条件，求出表示曲线的方程；
②通过曲线的方程，研究曲线的性质．解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何问题的一门数学学科，解析几何开创了数、形结合的研究方法，使数学的发展进入了一个新阶段，解析几何成为进一步学习数学、物理和其他一些学科的基础．2．在建立了直角坐标系之后，平面内的点和有序实数对之间就建立了一一对应关系，现在要求我们进一步研究平面内的曲线与含有两个变数的方程之间的关系，平面内的曲线可以被理解为平面内符合某种条件的点的集合(或轨迹)，也就是说：
(1)曲线上的每个点都要符合某种条件；(2)每个符合条件的点都要在曲线上．
既然平面内的点与作为它的坐标有序实数对之间建立了一一对应关系，那么对应于符合某种条件的一切点，它的坐标是应该有制约的，也就是说它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束，所以探求符合某种条件的点的轨迹问题，就变为探求这些点的横坐标与纵坐标受怎样的约束条件的问题，两个变数x、y的方程f(x，y)＝0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束，一般由已知条件列出等式，再将点的坐标代入这个等式，就得到x、y的方程，于是符合某种条件的点的集合，就变换到x、y的二元方程的解的集合，当然要求两集合之间有一一对应的关系，也就是：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
这样一来，一个二元方程也就可以看作它的解所对应的点的全体组成的曲线；二元方程所表示的x、y之间的关系，就是以(x，y)为坐标的点所符合的条件．这样的方程就叫做曲线的方程；反过来，这条曲线就叫做方程的曲线．在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间的关系(1)和(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的．从集合的角度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程f(x，y)＝0的实数解为坐标的点组成的点集．则由关系(1)可知A?B，由关系(2)可知B?A；同时具有关系(1)和(2)，就有A＝B.3．根据曲线方程的意义，可以由两条曲线的方程，求出这两条曲线的交点的坐标．
已知两条曲线C1和C2的方程分别为
F(x，y)＝0，G(x，y)＝0
则交点的坐标必须满足上面的两个方程．反之，如果(x0，y0)是上面两个方程的公共解，则以(x0，y0)为坐标的点必定是两条曲线的交点．因此，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要对方程组1．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上．
那么，曲线C叫做________，方程F(x，y)＝0叫做________．4．已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
则方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0当λ≠－1时，表示经过两已知圆交点的圆的方程，当λ＝－1时，若两圆相交，表示________的方程；若两圆相切，表示两圆公切线的方程．(但应注意此圆系中不包含圆C2)
[答案]　1.方程F(x，y)＝0的曲线　曲线C的方程
4．两圆公共弦所在直线
[分析]　点的坐标适合方程，则该点必在曲线上；若点在曲线上，则该点的坐标必适合曲线的方程．
已知两点A(1,0)，B(4,0)，曲线C为到点A的距离与到点B的距离之比为1 ∶ 2的点的集合，判断点M(－，1)，N(1,2)与曲线C的位置关系．[说明]　本题着重考查学生对基本概念的理解，曲线与方程的定义表明：曲线C的方程是F(x，y)＝0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，并且以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点都在曲线C上，这是识别曲线和方程关系的基本依据.
[例2]　求曲线2y2＋3x＋3＝0与曲线x2＋y2－4x－5＝0的公共点．[说明]　曲线和曲线的交点问题一定要具体解方程组去判断．
求曲线y＝x＋1和曲线y＝|x2－1|的交点个数．
[例3]　求经过点P(－2,4)，并且以两圆x2＋y2－6x＝0和x2＋y2＝4的公共弦为一条弦的圆的方程．
[分析]　解答本题可利用圆系方程求解．[解析]　设所求圆的方程为x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－4)＝0　(λ≠－1)
∵此圆过点P(－2,4)
∴4＋16＋12＋λ(4＋16－4)＝0
解得λ＝－2
∴所求圆的方程为x2＋y2－6x－2(x2＋y2－4)＝0
即x2＋y2＋6x－8＝0[说明]圆系方程的种类很多，适当选用某种形式对解决圆的一些问题会带来很大方便，下面两种形式是求圆的方程中常用的两种形式．
(1)经过两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0两交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)
(2)经过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dy＋Ey＋F＝0两交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0
求经过直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4交点，且过点P(－2,4)的圆的方程．
[解析]　设所求圆的方程为x2＋y2－4＋λ(x－y＋2)＝0
∵P(－2,4)在圆上，∴(－2)2＋42－4＋λ(－2－4＋2)＝0
∴λ＝4
∴所求圆的方程为x2＋y2－4＋4(x－y＋2)＝0
即x2＋y2＋4x－4y＋4＝0.[例4]　等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个顶点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[辨析]　造成以上错误的原因是没有认真思考题目要求的几何条件．A，B，C三点要组成一个三角形；A，B，C三点组成的三角形是一个等腰三角形．错解过程中，只根据第一个条件由|AC|＝|AB|求出方程，所得方程只满足第二个条件，而无法保证满足第一个条件，解题后没有进行检验．一、选择题
1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么 (　　)
A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P既在圆M上，也在直线l上
D．点P既不在圆M上，也不在直线l上
[答案]　C
[解析]　将P(2,1)代入圆M和直线l的方程，得(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，∴点P(1,2)既在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2上也在直线l：x＋y－3＝0上，故选C.2．已知命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点，都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题中正确的是(　　)
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点是坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点，有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0
[答案]　D
[解析]　根据曲线与方程的概念知．3．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的
(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　根据曲线与方程的概念知．二、填空题
4．如图所示曲线方程是__________________．
[答案]　|y|＝x
[解析]　曲线表示两条射线y＝x(x≥0)和y＝－x(x≥0)∴曲线方程为|y|＝x.5． 方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．
[答案]　四个点三、解答题
6．已知f(x)＝ax＋b(a≠0，a≠1)且y＝f(f(x))与y＝f(x)有交点P，求证：P点一定在曲线y＝f(f(f(x)))上．方法二：设点P坐标为(x0，y0)，则y0＝f(x0)
y0＝f(f(x0))＝f(y0)，
而f(f(f(x0)))＝f(f(y0))＝f(y0)＝y0.
∴(x0，y0)适合方程y＝f(f(f(x)))，
∴点P在曲线y＝f(f(f(x)))上．课件56张PPT。1．知识与技能
了解解析几何主要讨论的两个基本问题．
掌握求曲线方程的一般方法和步骤．
能够利用曲线的方程研究曲线的性质．
2．过程与方法
求曲线方程时，要注意数形结合思想的运用；在化简过程中，应注意转化一定要等价．
3．情感态度与价值观
通过本节的学习，使学生进一步体会曲线与方程的对立关系，感受坐标法的作用．重点：确定曲线的方程和借助方程研究性质．
难点：寻求动点所满足的关系．1．曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的特征来研究曲线的性质．
求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程，建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单．根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式．仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系结合基本公式列出等式，并进行化简．2．曲线的对称性．
在曲线方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，它关于x轴的对称点P′(x，－y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称．同理，如果以－x代x方程不变，那么曲线关于y轴对称，如果同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称．容易证明，如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称，事实上，设点P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，－y)必在曲线上，因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2(－x，y)必在曲线上，因为P(x，y)，P2(－x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．3．由方程研究曲线的性质与图象，主要从曲线的范围、对称性、截距几个方面可确定曲线的大致形状，画方程的曲线时，要保持方程变形的等价性．1．解析几何主要讨论下面的两个基本问题：
(1)由曲线求它的方程；
(2)利用方程研究曲线的性质．
2．求曲线方程的一般步骤：
(1)建立适当的直角坐标系；
(2)设动点M的坐标为(x，y)；
(3)把几何条件转化为坐标表示；
(4)证明．3．利用方程研究曲线的性质：
(1)曲线的组成；
(2)曲线与坐标轴的交点；
(3)曲线的对称性质；
(4)曲线的变化情况；
(5)画出方程的曲线．
[例1]　已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
[分析]　用直接法可求动点M的轨迹方程，并通过讨论λ的取值范围来确定轨迹方程表示的曲线．[解析]　如图所示，设MN切圆于N，于是动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝λ|MQ|}，常数λ>0，
∵圆的半径|ON|＝1，∴|MN|2＝
|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1.
设点M的坐标为(x，y)则[说明]　在求轨迹方程时，要注意：
① 全面、准确地理解题意，弄清题目中的已知和结论，发现已知和未知的关系，进行知识的重新组合．
②合理的进行数学语言间的转换，数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，通过审题画出必要的图形和示意图， 将不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式，将不便于进行数学处理的语言化为便于处理的数学语言．
③注意挖掘问题中的隐含条件．
④注意解题过程中的信息反馈，作出恰当的处理．[答案]　A[例2]　在△ABC中，B(－1,0)，C(1,0)，若BC边上的高为2，求垂心H的轨迹方程．
[分析]　由三角形垂心的定义得出：AC⊥BH，如图所示，则可由kAC·kBH＝－1，得到关于x，y的方程．[说明]　直接法求轨迹方程是求轨迹方程的最常用方法，当题设条件中动点坐标x，y之间的等量关系容易找时，一般用此法．
已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
[分析]　因为曲线在x轴上方，所以曲线上点的纵坐标y>0，动点M(x，y) 到定点A(0,2)的距离|MA|－y＝2，由此可求得曲线的方程．
[例3]　讨论方程x2y＋y－2x＝0的曲线的性质，并描绘其曲线．
[分析]　将方程转化为函数，利用函数的性质作图．(4)单调性：在x∈(－∞，－1]和x∈[1，＋∞)时，y递减，在x∈[－1,1]时，y递增．
(5)作图：通过列表描点作出函数在x≥0时的图象，再利用关于原点的对称性可画出它的全部图象，如图所示．[说明]　描点作图充分展示了曲线与方程的关系，当然描点法比较麻烦，这类问题往往应用化归的思想，将方程问题转化为函数问题，利用函数的性质迅速作图．
[例4]　某市环保部门对城市里的一条污水河进行改造，即用隔离物将其封闭，隔离物横截面为对称的抛物线段(如图所示)，封闭处污水河宽AB为10米，隔离物最高点O到污水河面的距离为2米，当外围水域涨水时，污水河面随之升高．[分析]　解答本题的关键是根据题意建立适当的坐标系，将实际问题转化为数学问题，求出曲线的方程．[例5]　过定点A(a，b)任作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴于M、N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．[辨析]　求曲线的轨迹方程，关键之一就是建立与动点M(x，y)有关的关系——方程．因观察认识的角度不同，所得关系也不同，解题时可以多角度思考．本例可直接翻译题设条件，也可将条件变形转化为更直接、更简单的几何关系．这一点对许多轨迹问题的解决皆有启示作用．一、选择题
1．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为
(　　)
A．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
B．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＋1＝0
C．4x＋3y＋10＝0和4x＋3y＝0
D．4x＋3y＋10＝0和4x＋3y＋1＝0
[答案]　A
[解析]　利用点到直线的距离公式易求．2．已知点M(－2,0)、N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是
(　　)
A．x2＋y2＝4(x≠±2)　　　 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝16 D．x2＋y2＝16(x≠±4)
[答案]　A
[解析]　由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M、N、P不能共线，故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故答案为A.3．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是
(　　)
A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
[答案]　C[答案]　x2＋(y－1)2＝1(y≠0)　以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)
[解析]　由题意，l1可为过原点除x轴的任意直线，l2可为过A(0,2)除y轴的任意直线，由平面几何性质知，向量a，b共线，方向相反，l1与a垂直，l2与b平行，则l1与l2相互垂直，交点P的轨迹是以(0,1)为圆心，OA为直径的圆周除去原点O的部分．5．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是____________．
[答案]　2x＋3y＋1＝0
[解析]　P(2,3)在a1x＋b1y＋1＝0上，代入得2a1＋3b1＋1＝0，同理2a2＋3b2＋1＝0.故(a1，b1)，(a2，b2)都在直线2x＋3y＋1＝0上，两点确定一条直线，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＋1＝0.三、解答题
6．求(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线x＋y＝0的对称曲线的方程．∴(x1－1)2＋(y1－1)2＝1，
∴有(－y－1)2＋(－x－1)2＝1，
即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.课件71张PPT。1．知识与技能
理解椭圆定义，掌握椭圆的标准方程，会求与椭圆有关的轨迹问题．
2．过程与方法
通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析、探索问题的能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法．
3．情感态度与价值观
通过椭圆定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化，对立统一的思想．重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．
难点：椭圆标准方程的建立和推导．1．对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上的点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．要注意到定义中对“常数”的限定的常数要大于|F1F2|.这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段； 当常数小于|F1F2|时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．2．求椭圆的方程， 首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择．怎样选择坐标系，要根据具体情况来确定．在一般情况下，应注意要使已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过两个定点F1、F2，并且使坐标原点与线段F1F2的中点重合，这样，两个定点的坐标比较简单，便于推导方程．在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，以便使导出的椭圆的方程形式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆．3．椭圆的两种标准方程中，总是a>b>0, 即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的哪个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就大．
a、b、c始终满足c2＝a2－b2，如果焦点在x轴上， 焦点坐标是(－c,0)，(c,0)；如果焦点在y轴上，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)．4．求椭圆的标准方程时，要首先进行“定位”，即确定焦点的位置；其次是进行定“量”，即求a、b的大小，a、b、c满足的关系有：①a2＝b2＋c2；②a>b>0；③a>c>0.
5．牵涉到椭圆上一点坐标问题，常考虑此点到两焦点的距离之和为2a，来确定标准方程中的a2.
1．平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的 ．
2．在椭圆定义中，条件2a>|F1F2|不应忽视，若2a<|F1F2|，则这样的点不存在；若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 ．椭圆焦点焦距线段3．椭圆的标准方程
[例1]　在椭圆9x2＋25y2＝225上求点P，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍．
[分析]　由P(x，y)到椭圆焦点的距离建立两个关于x，y的方程，可以求出x，y的值．[例2]　已知圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．[解析]　如图所示，M是AQ的垂直平分线与CQ的交点，连接MA，则|MQ|＝|MA|，
∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，
且|AC|＝2，
∴动点M的轨迹是椭圆，且其焦点为C，A，
已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是____________．
动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是__________．
[答案]　以F1、F2为焦点的椭圆　线段F1F2[说明]　1.点在椭圆上这个条件的转化常有两种方程：一是点的坐标满足椭圆的方程；二是点满足椭圆定义，若点P在椭圆上，则有|PF1|＋|PF2|＝2a.
2．平面内的点满足椭圆的定义，可得点P的轨迹是椭圆，进而求得椭圆的方程.
[分析]　根据题意，先判断椭圆的焦点位置，再设出椭圆的标准方程，从而确定a、b的值．[说明]　 根据已知条件，判定焦点的位置，设出椭圆的方程是解决此题的关键．[分析]　根据椭圆方程的特征求解．2．当椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上时，对应的方程才是标准方程，同一椭圆在不同坐标系下其方程是不同的．[答案]　B
[解析]　∵00,25－k>0且25－k>9－k，
∴a2＝25－k，b2＝9－k，
∴c2＝25－k－(9－k)＝16，
∴c＝4.
∴两椭圆有相等的焦距，选B.[分析]　只需求出|PF1|·|PF2|的值即可．
[例6]　(1)命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；(2)命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件
[分析]　由椭圆定义直接作出判断．[解析]　若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)．
所以甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，所以甲不是乙的充分条件．
综上所述，甲是乙的必要不充分条件．
[答案]　B[说明]　在用椭圆第一定义解题时，一定注意到条件：常数2a>|F1F2|＝2c.
若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1,0)，A′(1,0)的距离和为定值m，试求P点的轨迹方程．
[解析]　∵|PA|＋|PA′|＝m，|AA′|＝2，
(1)当m＝2时，P点的轨迹就是线段AA′.
∴其方程为y＝0(－1≤x≤1)．
(2)当m>2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A′为焦点的椭圆．
∵2c＝2,2a＝m，
在△ABC中，BC＝24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求△ABC的重心的轨迹方程．
[解析]　如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系．
[例7]　已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a、b、c，且a>c>b成等差数列，|AB|＝2，求顶点C的轨迹方程．[辨析]　上述解答中没有注意题设中的条件a>c>b，同时也忽略了隐含条件，即点C不能在x轴上，从而导致了变量x范围的扩大，使轨迹不满足“完备性”．求轨迹方程时“纯粹性”与“完备性”要同时具备，缺一不可，这就要求我们应结合图形，认真观察动点在各种可能位置的情形，以防疏漏或轨迹不满足纯粹性．[正解]　接上面有3x2＋4y2＝12，又a>b，即|BC|>|AC|，
∴点C只能在y轴的左边，即x<0.
又由于△ABC的三个顶点不能共线，即点C不能在x轴上，故x≠－2.
∴所求C点的轨迹方程为3x2＋4y2＝12(－2[说明]　(1)求轨迹方程与求轨迹是有区别的．求轨迹，不但要求出轨迹方程，还要指明轨迹是什么图形．
(2)求出轨迹方程后，注意考查曲线的完备性和纯粹性，以防“疏漏”和“不纯”．[答案]　B
[解析]　根据题意画出图形(如图所示)，
∵|AF1|＋|AF2|＝2，|BF1|＋|BF2|＝2，
∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4，
即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4.[答案]　A [答案]　D
[解析]　由椭圆的方程知a＝5，
∴2a＝10，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，
∵其中一段长为3，∴另一段长为7，故选D.
三、解答题
6．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．课件57张PPT。1．知识与技能
掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系．
通过根据椭圆的标准方程研究椭圆几何性质的讨论，使学生初步尝试利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质的基本方法，加深对曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题和解决问题的能力．
使学生能初步利用椭圆的有关知识来解决有关椭圆的实际问题．2．过程与方法
通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．
3．情感态度与价值观
通过本节的学习，使学生进一步体会曲线与方程的对立关系，感受坐标法在研究几何图形中的作用．
重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．
难点：椭圆的几何性质的实际应用．1．椭圆的对称性．
①判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据．
a．若把方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称；
b．若把方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称；
c．若把方程中的x，y同时换成－x、－y，方程不变，则曲线关于原点对称．②椭圆关于x轴、y轴对称也关于原点对称．
对于椭圆标准方程，把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y方程都不变，所以图形关于y轴、x轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
③对于曲线若具有关于x轴，y轴，原点对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．2．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．
3．根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的数学思想方法．1．椭圆的简单几何性质－a≤x≤a且－b
≤y≤b－b≤x≤b且－a≤
y≤aB1(0，－b)、B2(0，b)B1(－b,0)、B2(b,0)2b2aF1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)2cx轴、y轴(0,0)2.当椭圆的离心率越 ，则椭圆越扁；
当椭圆离心率越 ，则椭圆越趋近于圆．趋近于1趋近于0
[例1]　求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴和短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
[分析]　把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a、b、c即可求出需要的答案．[说明]　已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标．
求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[例2]　已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求此椭圆的标准方程．[说明]　由椭圆几何性质，求椭圆标准方程的一般步骤是：①求出a、b的值；②确定焦点所在坐标轴；③写出标准方程．
分别求出适合下列条件的椭圆的标准方程；
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[例3]　如图已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率．[说明]　给出椭圆方程，求离心率或已知离心率，即可转化为a，c关系，有时也需转化为b，c或a，b关系．[说明]　研究直线与椭圆的位置关系，一般通过解直线方程与椭圆方程所组成的方程组
对解的个数进行讨论，有两组不同实数解(Δ>0)时，直线与椭圆相交；有两组相同的实数解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切；无实数解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．[例5]　已知椭圆 ＋y2＝1和点M(－3,0)，N(0，－2)，直线l过点M与椭圆相交于A，B两点，那么∠ANB可以为钝角吗？如果你认为可以，请写出当∠ANB为钝角时，直线l的斜率k的取值范围；如果你认为不能．请加以证明．[辨析]　本题错解中误认为当A，B分别为椭圆与x轴的交点时，∠ANB最大，这是错误的，必须通过严密的推导才能得出处于什么样的位置时∠ANB最大．[答案]　B [答案]　B [答案]　A [答案]　12 课件64张PPT。1．知识与技能
能解决与椭圆有关的基本问题．
能处理与椭圆有关的综合问题．
2．过程与方法
掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．
3．情感态度与价值观
价值观：进一步体会曲线与方程的对立关系，感受坐标法在研究几何图形中的作用．
[例1]　(2010·湖南文，19)为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8 km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图)．考察范围为到A，B两点的距离之和不超过10km的区域．(1)求考察区域边界曲线的方程；
(2)如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2 km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
[分析]　本题考查椭圆的定义，过已知两点的直线方程，点到直线的距离公式，等比数列的求和公式等基础知识．
已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．[解析]　如图所示，连结AP，
∵l垂直平分AC，
∴|AP|＝|CP|，
∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4，
∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，
∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
[例2]　如图，直线y＝kx＋b与椭圆 ＋y2＝1，交于A、B两点，记ΔAOB的面积为S.
(1)求在k＝0,0(2)当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
[分析]　根据面积建立关系，并求解．[说明]　直线与椭圆相交时，转化为关于x(或y)的二次方程Δ>0、韦达定理、弦长公式是首先考虑的．
如图所示，已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最小，并求出最小值．
[例3]　P(1,1)为椭圆 ＝1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程．
[分析]　本题涉及弦的中点，属于中点弦问题，采用韦达定理或点差法求解．[说明]　解法一利用了韦达定理，解法二利用了点差法，点差法的步骤是：设点(即设出弦的端点坐标)―→代入(即代入曲线方程)―→作差(即两式相减)．(1)求椭圆的离心率；
(2)设Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
(3)设Q是椭圆上一点，当QF2⊥AB时，延长 QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程．[分析]　要求离心率e，可由kAB＝kOM寻找a、b、c之间的关系，要求∠F1QF2的取值范围，可考虑在△F1QF2中，用余弦定理求解，要求椭圆的方程要利用△F1PQ的面积为20的条件，由QF2⊥AB，可求出直线PQ的斜率，进而求出|PQ|，利用点到直线的距离公式求出△F1PQ的高，问题就可解决．
[说明]　本题主要考查椭圆的定义、性质、直线方程、点到直线的距离、解三角形、不等式等知识，综合性较强．
[例5]　如图所示，在大西北的荒漠上，A，B两地相距2 km，现在准备在荒漠上围成一片以AB为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园，按照规划，围墙总长度为8 km.
(1)农艺园的最大面积能达到多少？
(2)该荒漠上有一条直水沟刚好过点A，且与AB成45°角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，则暂时不加固的部分有多长？[分析]　(1)求农艺园的最大面积实际就是求平行四边形ADBC的面积最大值，结合图形和椭圆的几何性质易知，当点C位于短轴端点时，△ACB的面积最大．(2)实质就是求弦长．
有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m，短轴长60 m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？[分析]　因为椭圆和矩形都是中心对称图形，又矩形的各顶点都在椭圆上，所以它们有同一个对称中心．同时，椭圆分别关于长轴所在直线和短轴所在直线对称，所以该矩形也关于这两条直线都对称，因此以这两条直线为轴建立平面直角坐标系，可用椭圆的方程及矩形所满足的条件来解决问题．[解析]　解法一：分别以椭圆的长轴、短轴各自所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．
因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴都对称．已知椭圆的长轴长2a＝100 m，短轴长2b＝60 m，则椭圆的方程为[例6]　已知2x2＋3y2＝6，求x2＋y2＋2x的最值．[辨析]　产生错解的原因是没有考虑椭圆的范围，此题用椭圆的参数方程求解将更为准确．[答案]　C [答案]　B [答案]　必要不充分
[解析]　若F2为右焦点，则必有|MF1|＋|MF2|＝2a.
若|MF1|＋|MF2|＝2a，则F2可以在以M为圆心，以2a－|MF1|为半径的圆上，故为必要不充分条件．课件66张PPT。2．3　双曲线 1．知识与技能
了解双曲线的定义，并能根据双曲线定义恰当地选择坐标系，建立及推导双曲线的标准方程；
通过与椭圆的类比、对照，了解双曲线的标准方程，并培养学生分析、归纳、推理等能力．
掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的a，b，c；能根据条件确定双曲线的标准方程．2．过程与方法
通过双曲线定义及标准方程的推导过程，培养学生分析、类比、归纳与探索能力．
3．情感态度与价值观
通过本节的学习，再次体会数形结合的思想、坐标法，启发学生在研究问题时，抓住问题实质，严谨细致思考，规范写出解答，体会运动变化、对立统一的思想．
重点：双曲线的定义及其标准方程．
难点：双曲线的标准方程的推导．1．双曲线的定义与椭圆定义类似，在理解时应注意：
① 注意定义中的条件|F1F2|>2a的限定．若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹为两条射线；若|F1F2|<2a，则轨迹不存在．
②注意定义中的关键词“绝对值”，事实上若去掉定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支．3．双曲线标准方程中a、b、c之间的关系
在标准方程中，因为a、b、c三个量满足c2＝a2＋b2，所以a、b、c恰好构成一个直角三角形的三边，且c为斜边，(如图所示)．4．学习双曲线及其标准方程要与椭圆进行类比，找出其联系与区别．要注意直接运用定义解题，另外，数形结合的思想方法，方程的思想方法也是处理双曲线问题的重要思想方法，求双曲线方程的方法主要有轨迹法、直接法和待定系数法，要注意灵活运用．1．在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点之间的距离叫做双曲线的 ．双曲线焦点焦距2．双曲线的标准方程
[例1]　过双曲线 ＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|＝________.
[分析]　根据双曲线定义列出等式找关系．[解析]　|MF2|＋|NF2|－|MN|＝(|MF2|－|MF1|)＋(|NF2|－|NF1|)，
根据双曲线的定义，|MF2|－|MF1|＝2a，
|NF2|－|NF1|＝2a，
∴|MF2|＋|NF2|－|MN|＝2a＋2a＝4a＝8.
[答案]　8
[说明]　牢记双曲线定义，熟练应用是解题的关键．[例2]　如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[分析]　考查双曲线定义，能灵活运用条件求标准方程．
[例4]　在周长为48的直角三角形MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝ ，求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程．
在△ABC，A、B、C所对三边为a、b、c，B(－1,0)、C(1,0)，求满足sinC－sinB＝ sinA时，顶点A的轨迹，并画出图形．
[分析]　将三角函数式转化为长度关系，再由双曲线定义确定a.
[例6]　一炮弹在某处爆炸，在F1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5 000,0)处晚 s，已知坐标轴的单位长度为1 m，声速为340 m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程．
[分析]　由双曲线定义，建立距离差为常数的关系．[解析]　由声速为340 m/s可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340× ＝6 000 (m)，因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上，因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上，
设爆炸点P在坐标为(x，y)，
则|PF1|－|PF2|＝6 000，即2a＝6 000，a＝3 000.
而c＝5 000，∴b2＝5 0002－3 0002＝4 0002.
∵|PF1|－|PF2|＝6 000>0，∴x>0.[说明]　将实际问题量化，建立恰当的数学模型，使用准确的语言加以描述，检测学生的数学应用能力是高考命题改革的一大趋势．本题把数学知识和物理知识结合在一起，并且检测学生的数学建模能力．
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离都是1020 m．试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)[解析]　如图，以接报中心的原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，西、东、北观测点，则A(－1020,0)、B(1020,0)、C(0,1020)．
设P(x，y)为巨响发生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x.
因B点比A点晚4 s听到爆炸声，
故|PB|－|PA|＝340×4＝1360.[例7]　如图，在△ABC中，已知|AB|＝4 ，且三内角A、B、C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．[辨析]　条件中给出了角的关系，根据正弦定理，将角的关系转化为边的关系．由于A，B可视为定点，且|AB|＝4 ，从而可考虑用定义法求轨迹方程．一、选择题
1．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为 (　　)
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
[答案]　C
[解析]　根据双曲线的定义及在a＝c的情况时轨迹的形状可知答案为C.2．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示
(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
[答案]　D[答案]　C 二、填空题
4．a＝3，c＝5，焦点在y轴上的双曲线方程为________．[答案]　－2<λ<－1
[解析]　∵方程表示双曲线∴(2＋λ)·(1＋λ)<0，
∴－2<λ<－1.课件56张PPT。1．知识与技能
了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问题之中．会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质及图形四者之间的内在联系，分析和解决实际问题．
2．过程与方法
在与椭圆的性质类比中获得双曲线的几何性质，进一步体会数形结合的思想．掌握利用方程研究曲线的性质的基本方法．3．情感态度与价值观
使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决问题中的作用，从而培养学生分析、归纳、类比、推理等能力．重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质．
难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题，数形结合思想、方程思想、等价转化思想的运用．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．双曲线的几何性质见下表
[例1]　双曲线9x2－y2＝81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
求双曲线9y2－16x2＝144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程，离心率．
已知双曲线的渐近线方程为y＝± x，焦距为10，求双曲线方程．
[例3]　已知双曲线的渐近线方程为y＝± x，求此双曲线的离心率．[说明]　本题的主线是渐近线与离心率的关系，注意对焦点在x轴或y轴上两种进行分类讨论．[答案]　A [说明]　双曲线的综合应用是双曲线考查的重点内容，平时练习时多总结，多思考．
中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1、F2，且|F1F2|＝2 ，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3?7.
(1)求这两条曲线的方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．(2)设∠F1PF2＝θ，由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|×|PF2|cosθ＝|F1F2|2＝52①
由椭圆的定义，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝196②
由双曲线的定义，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36③
②－①，得
|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)＝72.
①－③，得
|PF1|·|PF2|(1－cosθ)＝8.[例6]　若一动点P(x，y)到两定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(0≤a≤2)，求点P的轨迹方程．
[误解]　由双曲线定义知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，
[辨析]　利用双曲线的定义求轨迹方程时，一定要注意0<2a<|F1F2|这一条件，若2a与|F1F2|大小不确定，必须讨论．[正解]　由已知条件，得|F1F2|＝2.
当a＝2时，轨迹为两条射线y＝0(x≥1)或y＝0(x≤－1)．
当0当a＝0时，轨迹是线段F1F2的垂直平分线，方程为x＝0.[答案]　D
[解析]　由已知有c2＝a2＋b2＝12. [答案]　C 3．(2008·辽宁)已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则m＝
(　　)
A．1　　　　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
[答案]　D二、填空题
4．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是( ，0)则双曲线的方程是________．5．(2009·湖南)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．三、解答题
6．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程．[解析]　解法1：切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10.
∵双曲线的一条渐近线与切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为3x±y＝0.
设所求的双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵点P(3，－1)在所求的双曲线上，∴λ＝80.课件47张PPT。1．知识与技能
能解决与椭圆有关的基本问题．
能处理与椭圆有关的综合问题．
2．过程与方法
通过双曲线定义和性质的学习，培养学生分析、类比、探索能力．
3．情感态度与价值观
通过本节学习，体会数形结合思想、培养规范解答．严谨思考的学习习惯．
[例1]　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[分析]　要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线组成方程组，对方程解的个数进行讨论．[说明]　判断直线与双曲线的公共点问题，要将直线方程与双曲线方程联立组成方程组，消去一个未知数后，可能得到一个一元二次方程，也可能得到一个一元一次方程，还可能得到一个不含未知数的式子，要根据方程系数讨论这样几种情况．2°当k＝2时，方程③变为一次方程，且有唯一解，因而直线①和双曲线仅有一个公共点，
故得到y＝2x＋1.
当k＝－2时， 同理可得直线y＝－2x＋3.[答案] C [例3]　在双曲线 ＝1上求一点，使它到直线l：x－y－3＝0的距离最短，并求出最短距离．
[分析]　作出直线l的平行线l′，使l′与双曲线相切，则切点到直线l的距离可用两平行线l，l′之间的距离来表示．[解析]　设与直线l：x－y－3＝0平行的双曲线的切线方程为x－y＋m＝0，
根据直线与双曲线相切的充要条件，
得m2＝k2a2－b2＝12×25－9＝16，
∴m＝±4，根据题意本题取m＝－4.
将y＝x－4代入双曲线方程并整理得16x2－200x＋625＝0，
[例4]　已知双曲线x2－ ＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4的对称点，求实数k的取值范围．
[分析]　由题意易知k＝0时不成立，故可设与直线l垂直的直线方程为y＝－ x＋b，与双曲线方程联立，构造关于k与b的方程，由根与系数的关系表示出中点坐标，由中点在直线l上，得出k与b的等量关系，反代回判别式求k的取值范围．[解析]　①当k＝0时，显然不成立．
②当k≠0时，在双曲线上任意取两点A，B，设AB的中点M的坐标为M(x0，y0)，由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－ x＋b，
将其代入3x2－y2＝3中，
得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0，
显然3k2－1≠0，即k2b2＋3k2－1>0.①[说明]　因为双曲线关于x轴、y轴和原点对称，所以有时应用双曲线自身的对称性或应用对称轴来求参数的范围．有些对称问题，如垂直或平行弦的问题，往往采用化中点弦的思路，还要注意与直线的位置的综合应用．[例5]　斜率为3的直线与等轴双曲线x2－y2＝6相交于两点P1、P2，试求P1P2中点P的轨迹方程．[辨析]　有关中点轨迹问题，点差法是常用方法．
[说明]　用点差法求解时，若忽略弦的存在性，忽略直线与双曲线仅有一个公共点的情形，则会导致求解范围的扩大，解题时一定要注意用Δ>0来确定变量的范围．[答案]　B 2．(2008·福建)双曲线 ＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为
(　　)
A．(1,3) B．(1,3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
[答案]　B[解析]　由双曲线几何定义，|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，
在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
∴6a≥2c，∴ ≤3，又e>1，∴1故选B.5．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线的标准方程为________．课件61张PPT。2．4　抛物线 1．知识与技能
通过本节学习，了解抛物线的定义、标准方程，能根据条件确定抛物线的标准方程，并注意标准方程的形式，掌握四种形式的特点，会利用待定系数法求抛物线的标准方程．
2．过程与方法
掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法，从而培养学生观察、类比、分析、计算的能力．3．情感态度与价值观
通过本节的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点：抛物线的定义及标准方程．
难点：建立标准方程时坐标系的选取．1．抛物线的定义要从以下几点考虑．
(1)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
(2)定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线，如到点F(1,0)和到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，其轨迹是一条直线．2．抛物线的标准方程．
一条抛物线，由于它在平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种不同的形式．
对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析．
共同点：(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ；(4)焦点到准线的距离均为p.不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为±2px，左端为y2，对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号，开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号．
如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．可用如下口诀帮助记忆：
对称轴要看一次项，符号确定开口方向．
如果y是一次项，负时向下，正向上．
如果x是一次项，负时向左，正向右．3．学习时要注意区分抛物线和双曲线的一支，初学者很容易将抛物线与双曲线的一支混淆．二者区别在于：当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的斜率(曲线在某一点的斜率是指曲线在这一点的切线的斜率)接近于坐标轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于和坐标轴所在直线平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的斜率接近于它的渐近线的斜率．1．平面内__________________________叫做抛物线，定点F叫做抛物线的________，定直线l叫做抛物线的________．
2．现将这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：3.抛物线上的点到焦点的距离，叫做________，当y2＝2px(p>0)时，抛物线上的点的坐标P(x0，y0)，焦点F( ，0)，则焦半径|PF|＝________.
[例1]　判断适合下列条件的动点的轨迹是何种曲线：
(1)过点P(0,3)且与直线y＋3＝0相切的动圆的圆心M的轨迹；
(2)到点A(0,2)的距离比到直线l?y＝－4的距离小2的动点P的轨迹．[解析]　(1)依题意，圆心M到点P的距离等于M到直线y＝－3的距离，∴动圆的圆心M的轨迹是以点P为焦点，以直线y＝－3为准线的抛物线．
(2)依题意，动点P到点A(0,2)的距离与到直线l?y＝－2的距离相等，∴P的轨迹是以点A为焦点，以直线y＝－2为准线的抛物线．
已知点B(4,0)，过y轴上的一点A作直线l⊥y轴，l与线段AB的中垂线的交点P的轨迹．
[解析]　依题意，|PA|＝|PB|，且|PA|为点P到y轴的距离，∴点P到点B的距离与到y轴的距离相等，其轨迹是以点B为焦点，以y轴为准线的抛物线.
[例2]　已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和m值．
(2)求抛物线的焦点和准线方程．(2)∵p＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)，
准线方程是x＝2.
[说明]　1.求抛物线方程的方法．
(1)定义值，直接利用定义求解．
(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．2．求抛物线焦点、准线的方程的方法．
首先要将抛物线方程化成标准形式，求出p后根据抛物线的图象写出焦点和准线的方程，注意垂线与x轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的
根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)经过点P(4，－2)；
(2)焦点在直线3x－4y－12＝0上．
[解析]　(1)∵点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，标准方程可设为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
将点P(4，－2)代入y2＝2px，得2p＝1；将P(4，－2)代入x2＝－2py，得2p＝8.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－8y.(2)由于有标准方程的抛物线的焦点在坐标轴上，故由直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点可得抛物线的焦点．
令x＝0，得y＝－3，令y＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
[例3]　已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．
[分析]　如图所示，根据抛物线的定义把PF转化为PQ，使折线段PA，PQ的两端点A，Q分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A，P，Q三点共线时距离达到最小．[说明]　确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最短时的位置，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移，转变为(1)的情形即可．
已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．
[例4]　某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一木船宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
[分析]　要解决本题，首先要建立适当的坐标系，求出拱桥的方程，然后求出船与桥恰有两个触点时的坐标，进而转化为水面与拱顶的距离．[说明]　本题是与抛物线有关的应用题，解题时，可画出示意图帮助解题，找相关点的坐标时， 要细心，如A、B相等．
一辆卡车高3 米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a米，求使卡车通过的a的最小整数值．[例5]　定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标．
[分析]　如图所示，线段AB 中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值，因此，只要研究A、B两点的横坐标之和最小即可．[解析]　如图，设F是抛物线y2＝x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，M点到准线的垂线为MN，N为垂足，则[说明]　本题从分析图形性质出发将三角形的性质应用到解析几何问题中，再结合抛物线的定义和方程，这使解答简捷准确．
如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．[解析]　(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px.
∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p·1，得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.[例6]　求抛物线x＝ay2(a≠0)的焦点坐标、准线方程．[辨析]　转化成标准方程，注意a的讨论． 一、选择题
1．抛物线y2＝20x的焦点坐标是
(　　)
A．(10,0)　　　　 B．(5,0)
C．(0,10) D．(0,5)
[答案]　B
[解析]　y2＝20x?y2＝2·10x　∴焦点在x轴正半轴其坐标为(5,0)．2．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3距离相等的点的轨迹是
(　　)
A．直线 B．抛物线
C．圆 D．双曲线
[答案]　A
[解析]　点(1,1)在直线x＋2y＝3上，∴轨迹为过点(1,1)且与x＋2y＝3垂直的直线．3．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是
(　　)
A．x＋4＝0 B．x－4＝0
C．y2＝8x D．y2＝16x
[答案]　D
[解析]　依题意可知M点到F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴，∴其方程为y2＝16x，故答案为D.[答案]　±8
[解析]　椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m＝±8.5．AB为抛物线y2＝2px的一条过焦点F的弦，A、B在准线上的射影分别为A1和B1，则∠A1FB1＝____.
[答案]　90°三、解答题
6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6.
(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5，2)到焦点的距离是6.课件58张PPT。1．知识与技能
了解抛物线的几何性质，并理解抛物线的几何性质与标准方程的关系，了解抛物线在实际问题中的应用，进一步理解抛物线的标准方程、几何性质及图形三者之间的内在联系．
2．过程与方法
在进行椭圆、双曲线、抛物线的几何性质类比中获得抛物线的性质，进一步体会数形结合思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．3．情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想，启发学生用类比归纳法，经过严谨细致思考，得到正确结论，体会对立统一思想．重点：抛物线的几何性质．
难点：抛物线几何性质的运用．1．以抛物线y2＝2px(p>0)①为例研究．
(1)范围．
因为p>0，由方程①可知，对于抛物线上的点M(x，y)，x≥0，所以，这条抛物线在y轴的右侧，当x增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性．
以－y代y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．(3)顶点．
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程①中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点．
(4)离心率．
抛物线上的点M与到焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，按抛物线的定义知，e＝1.2．抛物线不是双曲线的一支，这可以从以下三个方面来理解：
(1)从圆锥曲线的定义来看，虽然双曲线与抛物线有其共同点，但由于比值e的取值不同，从而双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异．
(2)曲线的延伸趋势不相同，当抛物线y2＝2px(p>0)上的点趋于无穷远时，它在这一点切线的斜率接近于x轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于与x轴平行；而双曲线上的点趋近于无穷远时，它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率．
(3)双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线．3．抛物线的离心率是定值1，它说明所有的抛物线都相似，即所有的抛物线形状相同．
p是抛物线焦点到准线的距离，由方程y2＝2px知，对于同一个x的值，p值越大，|y|也越大，不妨说抛物线开口也越大，这样可以较好地理解不同的p值与抛物线开口大小的关系，如图所示．①当k≠0时，
当Δ>0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；
当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；
当Δ<0时，直线和抛物线相离，无公共点．
②若k＝0时，则直线y＝b与抛物线y2＝2px(p>0)相交，有一个公共点，特别地，当直线l的斜率不存在时，设x＝m，则当m>0时，l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，与抛物线相切，有一个公共点；当m<0时，与抛物线相离，无公共点．抛物线的定义、图形及几何性质
[例1]　正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
[分析]　设出正三角形的不是顶点的两点的坐标．根据点在曲线上，列方程找关系．[解析]　如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y＝2px1，y＝2px2.
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0
∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2，
由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．
由于AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°.
若将本例改为直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，且一直角边的方程是y＝2x，斜边长是5 ，求此抛物线方程．
[例2]　给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a>0，P是抛物线上的一点，且|PA|＝d，试求d的最小值．
[分析]　注意分类讨论在这类题目中的应用．[说明]　虽然d的目标函数f(x0)是根号下关于x0的二次函数，但由于x0和a都有限制条件，必须分类讨论求最小值，否则会出错．
已知抛物线y2＝6x和点A(4,0)，点M在此抛物线上运动，求点M与点A的距离的最小值，并指出此时点M的坐标．[例3]　已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：(1)x1x2为定值；[例4]　已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0)，直线与抛物线相交于A、B.
(1)求证：|AB|＝；
(2)求|AB|的最小值．[例5]　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2 ，求这条抛物线的方程．一、选择题
1．(2009·湖南文，2)抛物线y2＝－8x的焦点坐标是
(　　)
A．(2,0)　　　　 B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
[答案]　B
[解析]　考查抛物线的标准方程及性质．
y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，
由2p＝8得 ＝2，∴焦点F(－2,0)．[答案]　B [答案]　B 二、填空题
4．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是________．
[答案]　x2＝±24y
[解析]　∵顶点距离与焦点距离为6，即 ＝6，
∴2p＝24，又∵对称轴为x轴，
∴抛物线方程为：x2＝±24y.5．顶点在原点，焦点在x轴上且正焦弦(过焦点和对称轴垂直的弦)长为6的抛物线方程是__________．
[答案]　y2＝6x或y2＝－6x
[解析]　正焦弦即通径为2p，∴2p＝6，
∴方程为y2＝6x或y2＝－6x.三、解答题
6．求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．课件39张PPT。1．知识与技能
能够解决抛物线有关的基本问题．
能处理与抛物线有关的综合问题．
2．过程与方法
进一步体会数形结合思想，掌握抛物线有关性质．
3．情感态度与价值观
发展学生严谨思考的学习习惯．
[例1]　求抛物线y2＝64x上的点到直线4x＋3y＋46＝0的距离的最小值，并求取得最小值时的抛物线上点的坐标．
[分析]　本题可应用点到直线的距离公式转化为求二次函数的最小值；也可以转化为求与已知直线平行并且与抛物线只有一个公共点(相切)的直线与已知直线的距离．代入①得y＝－24，x＝9，即点P(9，－24)到直线4x＋3y＋46＝0的距离最近．
[说明]　此例利用后面学习的导数的几何意义解决更简单，请同学们注意．[答案]　A
[例2]　过抛物线y2＝2x的顶点作互相垂直的弦OA、OB.
(1)求AB中点的轨迹方程；
(2)证明AB与x轴交点为定点．
[分析]　(1)AB中点由A、B确定，而A、B由OA的斜率确定，可通过参数求轨迹方程．(2)只要写出直线AB的方程，即能看出过定点．
(2)由(1)知，直线AB的方程为y＋2k＝ (x－2k2)．
令y＝0，得它与x轴的交点为(2,0)，其坐标与k无关，故为定点．
[说明]　中点轨迹问题常常利用韦达定理建立联系；定点问题一般先取定点的一个坐标，求出另一坐标，是常数，问题得证．
设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．求证：直线AC经过原点O.[例3]　已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上．若抛物线上一动点P到A 、F两点距离之和的最小值为4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若l0是过点A且垂直于x轴的直线，是否存在直线l，使得l与抛物线C交于两个不同的点M，N且MN恰被l0平分？若存在，求出l的倾斜角θ的范围；若不存在，请说明理由．[分析]　由于P点在抛物线上，F点为焦点，故存在应用定义的条件．
[解析]　(1)过P点作抛物线C准线的垂线，垂足为H.
由定义，|PH|＝|PF|，
当H，P，A三点共线时，|PA|＋|PF|最小，
∴(|PA|＋|PF|)min＝|AH|＝ ＋2＝4，
∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.(2)由条件知，过A且与x轴垂直的直线l0为x＝2，设满足条件的直线l存在，并设其方程为y＝kx＋b(k≠0)．
代入y2＝8x，整理得
k2x2＋2(kb－4)x＋b2＝0①
∵l与C交于不同的两点M，N，
∴方程①的Δ＝4(kb－4)2－4k2b2>0，
由MN被x＝2平分，有[说明]　①抛物线上一点与焦点的距离在做题时若出现，要注意定义的用法．
②熟练掌握存在性问题的解法．[例4]　设集合A＝{(x，y)|x2＝y}，B{(x，y)|x2＋(y－m)2＝1}，若A∩B≠?，求m的取值范围．[辨析]　Δ≥0，即m≤ 是抛物线与圆有交点的必要条件，而不是充分条件，故单纯套用判别式求解很容易出错，由图象知，曲线相交还需满足m≥－1.一、选择题
1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是
(　　)
A．2x－y＋3＝0　
B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0
D．2x－y－1＝0
[答案]　D[解析]　∵切线方程与直线2x－y＋4＝0平行，
∴切线方程为y＝2x＋b，联立得
∴x2＝2x＋b，即x2－2x－b＝0.
由于交点为切点，故方程只含有一个根，即需要判别式Δ＝(－2)2－4×(－b)＝0
∴b＝－1.
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.[答案]　C [解析]　准线x＝－2，Q(－2,0)，设y＝k(x＋2)
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，
－1≤k<0或0是[－1,1]，故选C.[答案]　B 二、填空题
4．(2010·浙江理，13)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．三、解答题
6．已知抛物线y2＝4x，直线x－y＋3＝0，求抛物线上的点到直线的最小距离．课件76张PPT。2．5　直线与圆锥曲线 1．知识与技能
掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定，直线和圆锥曲线相交时弦长的计算、弦的中点及与相交的问题等．
圆锥曲线的最值问题．
2．过程与方法
掌握利用方程思想研究直线与圆锥曲线之间的关系的方法．
3．情感态度与价值观
通过本节学习，让学生体验研究解析几何的基本思想和基本方法．提高学生分析和解决问题的能力．重点：直线与圆锥曲线的位置关系．
难点：直线和圆锥曲线的综合问题和最值问题．1．对于联立直线方程和圆锥曲线方程所得到的一元二次方程，一定要对二次项系数是否为零进行判断．当二次项系数为零，得到惟一解，此时是直线与双曲线或抛物线相交的情况，而不是相切的．
2．涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．3．牵涉到直线与圆锥曲线的相交问题，且求解的问题涉及到两根之和或两根之差的形式，均可采用韦达定理的方法进行转化，试试是否可行，但千万不可忽视，“Δ”是前提保障．
4．直线与圆锥曲线位置关系的判定，也可采用数形结合的方法，尤其在双曲线中要注意渐近线的特殊性．6．对于有关范围问题研究，一般从判别式“Δ”考虑，尤其是与交点问题的考虑；有些时候也要从曲线方程本身的限制着手；也有些要从式子的特征考虑．例如m2就要求m2≥0，我们还可了解椭圆、双曲线、抛物线内部(包含焦点的部分)点所具有的不等式关系．7．求最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值问题；二是求直线或圆锥曲线中的几何元素的最值以及这些元素存在时确定与之有关的一些问题．
在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．1．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：f(x，y)＝0，消去y(或消去x)，得到关于x(或y)的方程mx2＋nx＋p＝0，此时方程组的个数与方程mx2＋nx＋p＝0的解的个数是一致的，当m≠0时，(m＝0时在双曲线中是与渐近线平行的直线，与双曲线相交但只有一个交点；在抛物线中是与对称轴平行的直线，也与抛物线相交但只有一个交点．)方程mx2＋nx＋p＝0是一个一元二次方程，此时方程解的个数(即为直线与圆锥曲线交点的个数)可由判别式Δ＝b2－4ac来判断如下：
(1)Δ>0?相交；
(2)Δ＝0?相切；
(3)Δ<0?相离．2．“设而不求”的方法、韦达定理和弦长公式．
(1)设而不求的方法：
若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般地，首先设出坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中有四个参数x1，y1，x2，y2它们的作用，只是过渡性符号，通常是不要求求出的，但有利于用韦达定理等解决问题，是直线和圆锥曲线位置关系中常用的方法．3．与弦的中点有关问题求解常用方法：
(1)韦达定理法：
利用到韦达定理中两根之和形式与中点公式的联系．
(2)点差法：
将点的坐标代入曲线方程，对方程作差，利用平方差公式可出现中点形式和斜率形式．
[例1]　若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 ＝1总有公共点，求m的取值范围．
[分析]　直线与椭圆的位置关系由椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常先消元再利用判别式，可求m的取值范围．
(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)．
∵直线与椭圆总有公共点，∴Δ≥0对任意k∈R都成立．
∵m>0，∴5k2≥1－m恒成立，
∴1－m≤0，即m≥1；又椭圆的焦点在x轴上，
∴0求过点P(0,1)且与抛物线y2＝x只有一公共点的直线方程．
[例2]　顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得弦长|AB|＝3 ，求抛物线方程．
[分析]　设出抛物线的方程，运用公式求解．
抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
[例3]　求过定点(0,1)的直线被双曲线x2－ ＝1截得的弦中点轨迹方程．
[解析]　因为斜率不存在时该直线与双曲线无交点，所以设直线的方程为y＝kx＋1.
设它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y)．
设椭圆x2＋3y2＝3与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
[例4]　在平面直线坐标系xOy中，抛物线y＝x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示)．
(1)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；
(2)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
[分析]　重心轨迹可由重
心坐标公式建立等式．[说明]　本题考查直线与抛物线的位置关系、轨迹问题、最值问题，考查了推理运算能力及综合运用知识解题的能力．
已知直线l为椭圆x2＋4y2＝4的切线，并与坐标轴交于A、B两点．试求|AB|的最小值；若椭圆和圆C：(x－1)2＋y2＝r2永远相交，试求r的最小值和最大值．[例5]　已知双曲线x2－ ＝1，过点A(1,1)能否作直线m，使m与已知双曲线交于Q1，Q2两点，且A是线段Q1Q2的中点，这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
[分析]　假设存在，代入曲线方程，由中点坐标公式建立联系，或用点差法求解．[说明]　这是一类“探索性”或“存在性”问题，解决这类问题的思路是，先假设存在，然后利用已知条件求解，若求不出，则说明不存在，若求出，则也不一定存在，还需看是否符合题意，本例中涉及到直线与双曲线相交，必须满足联立方程后整理出来的方程的判别式Δ>0，结果发现当k＝2时，联立后的方程无解，所以此直线不存在．
若将例题中的双曲线方程换为 －y2＝1其他不变，该如何解决此题？[例6]　已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过P(－2,0)及线段AB的中点Q.
(1)求k的取值范围．
(3)求直线l在y轴上的截距b的取值范围．[辨析]　直线与二次曲线相交，将直线方程代入曲线方程化为关于x(或y)的方程后，注意：①二次项系数不为0；②Δ>0还是Δ≥0；③韦达定理．一、选择题
1．如图所示，若ab≠0且a≠b，则ax－y＋b＝0与bx2＋ay2＝ab，所表示的曲线只可能是 (　　)[答案]　C
[解析]　过(2,0)点作直线l∥y轴交渐近线于A(2,2)，B(2，－2)两点，直线y＝k(x－2)＋b过(2，b)，当(2，b)点在线段AB上时，总有交点，故选C.[答案]　D [答案]　B
[解析]　将y＝x代入y＝ax2＋1得
ax2－x＋1＝0，∵相切，∴Δ＝0，
即1－4a＝0，∴a＝ .故选B.二、填空题
4．曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4有两个不同的交点，则k的取值范围是________．5．一个正三角形三个顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为________．三、解答题
6．已知双曲线的方程为x2－ ＝1.
(1)求以A(2,1)为中点的弦所在直线的方程；
(2)以点B(1,1)为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由．课件42张PPT。本章归纳总结2．要能够根据需要，根据椭圆、双曲线、抛物线标准方程中a、b、p的几何意义画出草图．
3．学习本章，不仅为了掌握圆锥曲线的定义和性质，还要通过对它们的研究，进一步学习如何用代数方法研究几何问题，即掌握坐标法，要学习一些常见的求曲线方程的方法，以及如何利用曲线的方程，讨论曲线的几何性质．
4．学习这一章要注意学习如何利用运动、变化的观点思考问题，如何运用数学研究运动变化的现实世界，以提高分析问题和解决问题的能力．5．本章研究几何图形时，大量采用了坐标法，利用曲线的方程讨论曲线的性质，解决几何问题．由于几何研究的对象是图形，而图形的直观性会帮助我们发现问题，启发我们的思路，找出解决问题的有效方法，所以在解本章题目时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来．
6．圆锥曲线在生产和日常生活中有许多重要的应用，为了解决与椭圆、双曲线、抛物线有关的实际问题，首先要把实际问题转化为数学问题，如何对实际问题进行数学抽象，如何通过选择适当的坐标系使问题变得简单．
椭圆既是圆锥曲线中的重要内容，也是高考的热点，椭圆的定义、标准方程以及几何性质仍是未来高考考查的主要内容之一，既有选择题、填空题，又有对综合能力要求较高的解答题，在近几年经常与数列或向量知识相结合命题，与其他知识交汇处命题的题目难度将有所提高．[说明]　本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，椭圆的几何性质、最值不等式，求轨迹方程等方面的知识，特别是解直线与圆锥曲线的位置关系问题中的函数与方程的思想，分类讨论思想，数形结合思想等重要思想方法在该题中得到了充分的体现．(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)椭圆C上一动点P(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为P1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．
双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点和热点之一，以选择题、填空题为主．其次考查以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，这类问题以解答题为主，预测未来的高考会从以下几个方面来命题；
(1)运用双曲线的定义解决双曲线上的一点到焦点的距离、焦点弦(过焦点的弦)等有关问题，双曲线的定义仍将是今后考查的重点；(2)灵活运用双曲线的几何性质，解决离心率、渐近线问题，也是今后考查的重点，有关离心率的问题将会是一个热点．
[解析]　本题主要考查双曲线的定义和离心率及求最值的方法．
由题意知，P在右支上，[答案]　B
[说明]　灵活、熟练掌握双曲线定义、性质，是判断双曲线综合问题的先决条件．
直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点，O为坐标原点．
1.抛物线是历年高考的重点，在高考中除考查抛物线定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数的单调性、对称性以及应用性问题结合起来考查，题型以选择题、填空题为主，重在考查基础知识，少数是中等题或难题．
2．预测在未来的高考中，着重考查抛物线的定义、标准方程、几何性质，仍将以选择题、填空题为主，也会出现与其他知识结合起来的综合题，若出现与向量、三角、数列相结合构成的实际问题，则综合性较强且难度较大．[答案]　B
[说明]　本例考查抛物线、双曲线有关定义、性质等基础知识，这也是考试中常见的题型．
抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是 (　　)
[答案]　C
1.直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题，是解析几何部分综合性最强的问题 ，也是以往高考的重点和热点问题．高考中，大多是以解答题的形式出现且难度较大，往往成为体现试题区分度的题目．2．这部分内容考查的重点在直线与椭圆、抛物线的位置关系和应用数形结合思想解题，降低了对双曲线的考查要求．预测在今后的高考中，本部分内容因其知识、方法的综合性强和能力要求高，仍将成为新高考的重点和热点．特别是与其他知识的交汇命题更应引起同学们的注意．在联立方程消元后要注意二次项系数是否为0，判别式与0的关系以及弦长公式的应用等问题，还要注意整体代换、换元等常用的解题方法．(1)求椭圆的方程；
(2)设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM＝∠AF1T.[说明]　直线与圆锥曲线关系的题目，一直是高考的重中之重，思路明确，但一般运算量较大，对学生运算能力要求较高．
(2008·北京)已知△ABC的顶点A、B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．[解析]　(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，
所以AB所在直线的方程为y＝x.
设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．所以|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11.
所以当m＝－1时，AC边最长．(这时Δ＝－12＋64>0)
此时AB所在直线的方程为y＝x－1.课件60张PPT。●课程目标
1．双基目标
1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘向量运算的性质，会运用上述知识熟练地进行空间向量的运算．
2．理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，会用所学知识解决立体几何中有关的简单问题．
3．掌握空间的向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质及运算律，会用它解决立体几何中的简单问题．4．理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，会判断两个向量平行或垂直；掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式，并会用这些公式解决有关问题．
5．理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
6．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)，能够用向量方法解决线线、线面、面面的夹角及距离问题．7．在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题中，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力．2．情感目标
让学生经历由平面向量向空间向量推广的过程，感悟运算、推理在探索和发现中的作用，感受理性思维的力量，提高学生的数学素养．
●重点难点
本章重点：空间向量及其运算，以空间向量为工具通过空间向量的运算证明空间直线与直线、直线与平面、两个平面的平行和垂直，求空间两条直线、直线与平面所成的角、二面角的大小，求空间点到平面的距离．本章难点：用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系，能用向量方法证明有关线、面关系的一些定理，并能解决线线、线面、面面的夹角及距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．●学法探究
空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示具有大小和方向的量，它们的运算：加法、减法、数乘、数量积也完全相同．因此，利用空间向量解决立体几何问题，也是先利用空间向量表示空间点、直线、平面等元素，建立立体几何与空间向量的联系，进行空间向量的运算；作出运算结果的几何解释，进而得出几何结论。在学习过程中，我们要注意空间向量与平面向量的类比，体会空间向量在立体几何中的作用．3．1　空间向量及其运算
1．知识与技能
通过本节的学习，理解向量的概念掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．
2．过程与方法
通过与平面向量的类比、学习空间向量的运算，探究它们的共同与不同之处．
3．情感态度与价值观
激发学生善于发现，勇于探索的精神．
重点：向量的概念及其运算
难点：向量的运算1．空间向量的加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似，这些运算不但适合中学里的代数运算律，而且有很多性质与实数性质完全相同．
空间任意两个向量都可以(通过平移)转化为平面向量，两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．此即为空间向量和的多边形法则．
用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点上，这时的和向量就为零向量．3．空间向量的加法和数乘向量运算与平面向量一样，满足如下运算律
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a；
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.1. 在空间，具有________的量叫做向量．
2．同向且等长的有向线段表示________．
3．表示向量a的有向线段的长度叫做向量的________，记作|a|.
4．有向线段所在的直线叫做________．
5．如果空间向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做________，a平行于b，记作________．
6．空间向量的加法与数乘向量满足__________________以及数乘分配律．[答案]　1.大小和方向
2．同一向量或相等的向量
3．长度或模
4．向量的基线
5．共线向量或平行向量　a∥b
6．加法交换律、结合律
[例1]　给出以下命题：
①若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.
②若λa＝0，则λ＝0或a＝0.
③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题的序号是________．[解析]　①正确．∵m＝n，
∴m与n的长度相等，方向相同．
又n＝p，∴n与p的长度相等，方向相同，
∴m与p的长度相等，方向相同，即m＝p.
②正确．由数乘向量的定义知
|λa|＝|λ|·|a|＝|0|，
∴|λ|·|a|＝0，∴|λ|＝0或|a|＝0，
即λ＝0或a＝0.③错误．∵0与任何空间向量平行，
∴a∥0，0∥c，但a与c有可能不平行．
所以①②正确．
[答案]　①②
[说明]　数学概念是数学体系的基础，准确掌握数学概念的内涵和外延是进一步学好数学的前提，空间向量的相关概念也是如此．熟练掌握空间向量的有关概念是解决这类问题的关键．
给出以下命题：
①零向量无方向；
③λ(μa)＝(λμ)a；
④a，b，c为空间向量，则有|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|.
其中命题正确的序号为________．
[答案]　③
[例2]　如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的中心，化简下列向量表达式， 并在图中标出化简结果的向量．[分析]　由加法法则直接化简．
[说明]　化简向量表达式一定要观察立体图形，运用向量的三角形法则或平行四边形法则，把空间向量转化为平面向量解决．
已知正方体ABCD—A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有 (　　)[答案]　C
[解析]　如图所示．[分析]　要想用a、b、c表示出所给向量，只需结合图形，充分运用空间向量的加法和数乘向量的运算律即可．
[解析]　如图所示．[说明]　用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
设四面体ABCD的三条棱＝b，，＝c，＝d.求四面体其他各棱，以及面BCD上的中线和向量，其中Q是三角形BCD的重心．[例4]　如图所示，ABCD －A′B′C′D中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式的x、y、z的值：[说明]　用不共面的向量表示空间的其他向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，包括加法的平行四边形法则及加法、减法的三角形法则．[例5]　给出下列命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，是a＝b；
③若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；
④空间向量的减法满足结合律；
⑤在四边形ABCD中，一定有＋＝；
⑥在正方体ABCD—A1B1C1D1中，必有＝；
⑦若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑧空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确的命题序号为________．[误解]　①③⑤⑦⑧
[辨析]　根据空间向量的基本概念，加、减法和数乘运算法则，以及性质判断．
[正解]　①根据向量的平移知①错误；
②向量的模相等，只是表示空间向量的有向线段长度相等，而体现不出方向间关系，故②错误；
③a，b是相反向量，则a＝－b，∴|a|＝|b|，③正确；
④向量只定义加法且有结合律，减法不具有结合律，④错误；
⑤一般的四边形不具有＋＝，只有平行四边形才能成立．⑤错误；⑦显然正确；
⑧空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑧错．
[答案]　③⑥⑦一、选择题
1．空间四边形ABCD中
(　　)
A．a＋b－c　　　　　B．c－a－b
C．a－b－c D．b－a＋c
[答案]　B2．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有 (　　)
A．1个　　　B．2个　　　
C．3个　　　D．4个
[答案]　C3．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则下列各式中成立的是(　　)
[答案]　B三、解答题
6．已知ABCD为正方形，P是ABCD所成平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：课件56张PPT。1．知识与技能
通过本节学习理解向量共线的条件，共面向量定理和空间向量基本定理．
能够判定空间向量是否共面．
了解基向量、基底的概念、空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
2．过程与方法
通过对空间向量基本定理的学习，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的数学思想．3．情感态度与价值观
事物之间可以相互转化，渗透由特殊到一般的思想，通过对空间向量基本定理的运用，增强学生的应用意识．
重点：共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理．
难点：空间向量分解定理．1．共线向量定理
(1)在前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这个条件在空间也是成立的，即有：共线向量定理：对空间两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数x，使a＝xb.
(2)对于空间任意两个向量a、b(b≠0)，共线向量定理可分解为以下两个命题：①a∥b?存在唯一实数x使a＝xb；②存在唯一实数x，使a＝xb?a∥b.
①是共线向量的性质定理，②是空间向量共线的判定定理，若要作此结论判定a、b的基线平行，还需a(或b)上有一点不在b(或a)上 说明：①在此定理中必须要有b≠0这个条件，②在a＝xb中，对于确定的x和b，a＝xb表示空间与b平行的且长度为|xb|的所有向量，③利用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线．2．共面向量基本定理
①a∥α是指a的基线在平面α内或平行平面α.②共面向量是指这些向量的基线平行或在同一平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面．
③在证明充要条件问题时，要证明两个方面充分性和必要性．④共面向量的充要条件给出了平面的向量表示，说明任意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此已知共面条件化为向量式，以便于我们对向量进行运算．⑤ 利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等．
三个向量共面，又称做三个向量线性相关．反之，如果三个向量不共面，则称做三个向量线性无关．可用此结论证明四点共面问题．
三个非零向量a、b、c，其中无二者共线，则它们共面的充要条件是存在三个非零实数l、m、n，使la＋mb＋nc＝0 .3．空间向量基本定理
①用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．
②空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
③由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.
要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．1．共线向量定理
对于空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数x，使________________
2．共面向量定理　如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x，y，使________________．
3．空间向量分解定理　如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x，y，z，使p＝____________________.
表达式xa＋yb＋zc，叫做a，b，c的______________________．4．如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋ zc能生成所有的空间向量，a，b，c叫做空间的一个________，记作________________，其中a，b，c都叫做________．
5．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
[答案]　1.a＝xb
2．c＝xa＋yb
3．xa＋yb＋zc　线性表达式或线性组合[说明]　判断向量a，b共线的方法有两种：
(1)定义法
即证明a∥b先证明a，b所在基线平行或重合．
(2)利用“a＝xb?a∥b”判断此种方法依据题目条件分为两类题型：
①a＝x1e1＋y1e2＋z1e3，b＝x2e1＋y2e2＋z2e3(其中e1，e2，e3不共面)，令a＝λb，即(x1－λx2)e1＋(y1－λy2)e2＋(z1－λz2)e3 ②a，b为立体图形中的有向线段，一般方法是选择一个(或多个)含有a，b的空间封闭多边形建立向量等式，并将其化简求得关系式a＝λb即可．[说明]　(1)判断三个以上空间向量共面的一般方法，先选择其中两个向量(或依题意选择适当的一组基底)，另外向量(或所有向量)用这两向量(基向量)表示成a＝xb＋yc形成即可完成．[分析]　本题是空间向量分解定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就表示所需向量，再对照目标即基底{a，b，c}，将不符合的向量化作新的所需向量，如此反复，直到所涉及向量都可用基底表示．
[说明]　用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则、加法、减法的三角形法则．A．A、B、D　　　　　　　B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
[分析]　要证明三点共线，需证明从同一点发出的两个向量共线．[答案]　A
已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＝________，y＝________.
[答案]　－13　8
[解析]　a∥b，∴b＝λa.
∴(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp，[辨析]　利用向量共面的充要条件，也可考虑利用向量共面的定义来证明．一、选择题
1．下列命题中正确的是 (　　)
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb
[答案]　C
[解析]　由零向量定义知选C.2．若e1，e2是同一个平面α内的两个向量，则(　　)
A．平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
B．若存在实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
C．若e1，e2不共线，则空间任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D．若e1，e2不共线，则平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
[答案]　D
[解析]　由共面向量定理知选D.[答案]　D5．已知a，b，c不共面，且m＝3a＋2b＋c，n＝x(a－b)＋y(b－c)－2(c－a)，若m∥n，则x＋y＝__________________.
[答案]　－4
[解析]　∵n＝(x＋2)a＋(y－x)b－(y＋2)c，三、解答题
6．对于任意空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面．
[解析]　如图所示，空间四边形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得，课件57张PPT。1．知识与技能
掌握空间两个向量的夹角，两个向量互相垂直的概念及表示方法．
掌握异面直线，两条异面直线所成的角，两条异面直线互相垂直的概念．
掌握两个向量的数量积的概念，性质和计算方法以及运算律．
能够初步在几何体中求两个向量的夹角及数量积的运算和有关简单问题的证明．2．过程与方法
培养学生推理论证、逻辑思维能力、空间想象和几何直观能力．
3．情感态度与价值观
让学生感悟推理、运算在探索和发现中的作用，提高学生数学素养和学习兴趣。
重点：理解掌握两个向量的夹角，异面直线的概念，两个向量的数量积的概念，理解两个向量的数量积的性质和计算方法运算律以及应用．
难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量问题计算．由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表明符号及向量的模的概念和表示的符号等，都与平面向量相同．要正确理解向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成失误较多．
两个向量的夹角的注意问题：①＝；②与表示点的符号(a，b)不同；③<－a，b>＝＝π－.空间两个向量的数量积的意义，与平面上两个向量的数量积的意义实际上是一样的，只要能理解任意两个向量共面，就可把空间两个向量的数量积转化为平面内两个向量的数量积．
很显然，当＝0时，a·b＝|a|·|b|，
当为锐角时，a·b>0，
当为钝角时，a·b<0，
当＝π时，a·b＝－|a|·|b|.空间两个向量的数量积的性质．
与平面上两个向量的数量积一样，空间两个向量的数量积也具有如下性质．
a．a·e＝|a|cos
b．a⊥b?a·b＝0
c．|a|2＝a·a
d．|a·b|≤|a||b| 两个向量数量积的性质的作用：
性质a.可以帮助我们求两个向量的夹角．
性质b.用于判断空间两个向量的垂直．
性质c.主要用于对向量模的计算．
性质d.主要用于不等式的证明．通常规定0°≤≤180°
且＝
如果＝90°，则称________________，记作________．2．两个向量一定共面．但在作向量a，b时，它们的基线可能不同在任一平面内，我们把不同在任一平面内的两条直线叫做________．把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做________，如果所成的角是直角，则称两条异面直线________．
3．把平面向量的数量积
a·b＝|a||b|cos
也叫做两个空间向量a，b的________________．4．两个向量的数量积是一个实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：
(1)a·e＝____________；
(2)a⊥b?________；
(3)|a|2＝________；
(4)|a·b|≤|a||b|.
空间两个向量的数量积同样满足如下运算律：
(1)(λa)·b＝________________
(2)a·b＝________；(交换律)
(3)(a＋b)·c＝________________(分配律)．[答案]　1.向量a与b的夹角　　a与b互相垂直　a⊥b
2．异面直线　两条异面直线所成的角　互相垂直
3．数量积(或内积)
4．(1)|a|cos　(2)a·b＝0　(3)a·a
(1)λ(a·b)　(2)b·a　(3)a·c＋b·c
[例1]　设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：(1)a·b；(2)(3a－2b)·(a＋2b)．
[分析]　利用数量积公式进行运算．
[解析]　(1)∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴a·b＝3×4×cos120°＝－6.
(2)∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2＝3|a|2＋4|a||b|cos120°－4|b|2，
向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，求a·b，a2，b2，(a＋2b)·(a－b)．　
[例2]　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点．求下列向量的数量积：
将本例中每条边和对角线长都等于a改为1，去掉中点G，计算：　
[例3]　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角． [说明]　求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示．
[例4]　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.[说明]　a⊥b?a·b＝0，事实上， 用向量法证线线垂直问题是向量的数量积的应用．
已知：在空间四边形OABC中(如图)，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.[分析]　可直接运用|a|2＝a·a.
[解析]　|a＋ b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c| 2＋2(a·b＋a·c＋b·c)[说明]　公式：(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b2|＋|c2|＋2a·c＋2a·b＋2b·c，应牢记并能熟练的应用．
已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角为60°，则AC1的长是多少？[例6]　如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．[辨析]　把两点间距离表示出来，由a2＝|a|2求距离，但应注意向量的角，三角形内角的区别．一、选择题
1．下列式子中正确的是 (　　)
A．|a|·a＝a2
B．(a·b)2＝a2·b2
C．(a·b)c＝a(b·c)
D．|a·b|≤|a||b|
[答案]　D
[解析]　∵a·b＝|a||b|cosθ，
∴|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.
故选D.[答案]　B
[解析]　由向量夹角定义知选B.3．已知向量a，b，c，两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝ (　　)
[答案]　A
[解析]　∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，二、填空题
4．已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2，b＝e1－2e2的夹角为________．
[答案]　120°[答案]　0三、解答题
6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，若正方体的棱长为1.课件51张PPT。1．知识与技能
了解空间直角坐标系的建立，理解空间向量的坐标及点的坐标的概念，掌握空间向量运算法则，会用坐标运算法则求向量的坐标．
掌握空间向量平行和垂直的条件，能够证明空间两个向量的平行和垂直．
掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．
2．过程与方法
学会运用空间向量的坐标解决空间位置关系的方法．
3．情感态度与价值观
让学生感受空间关系的深邃，体验数学的美．
重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直条件，两个向量的夹角与向量长度的坐标、计算公式．
难点：空间向量平行、垂直的条件及两个向量的夹角向量长度的坐标计算公式．1．设P是空间任意一点，过点P作3个轴的垂直平面，分别与Ox，Oy，Oz轴相交于Q，R，S.如图所示，它们在各轴上的坐标依次为x，y，z.于是对于点P就确定了3个有顺序的实数x，y，z，叫做点P的坐标，记作P的横坐标，纵坐标，竖坐标．反之，任意给定了3个有序的实数x，y，z，我们在x轴，y轴，z轴上分别作出以x，y，z为坐标的点Q，R，S，过Q，R，S分别作出和Ox，Oy，Oz垂直的平面，设它们相交于P，显然，P的坐标就是(x，y，z)．2．空间向量的坐标运算类似于平面两向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具．
3．运用空间向量的坐标运算证明平行、垂直问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合向量平行、垂直的条件进行论证，最后转化为几何结论．
4．运用空间向量的坐标运算解决立体几何中的平行与垂直关系，避开了抽象的逻辑推理和复杂的空间想象，为研究问题带来了很大方便，遇到立体几何问题，我们应当有利用空间向量的坐标运算解决问题的意识和想法． 1．空间向量的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a＋b＝________；
(2)a－b＝________；
(3)λa＝________(λ∈R)；
(4)a·b＝________；
(5)a∥b?________?________，________，________；
(6)a⊥b?________?________；2．空间中两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则[答案]　1.(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(3)(λa1，λa2，λa3)
(4)a1b1＋a2b2＋a3b3
(5)a＝λb　a1＝λb1　a2＝λb2　a3＝λb3
(6)a·b＝0　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
[例1]　设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b.
[解析]　2a＋3b＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．
3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(9－4,15－2，－12－16)＝(5,13，－28)．
a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21.
[说明]　向量的坐标运算法则是解题的关键．
在上例中，求(a－b)·(a＋b)的值．
[解析]　(a－b)(a＋b)＝[(3,5，－4)－(2,1,8)]·[(3,5，－4)＋(2,1,8)]＝(1,4，－12)·(5,6,4)＝5＋24－48＝－19.
[说明]　已知两个向量的坐标，证明这两个向量平行或垂直，就是根据a·b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，c∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.
若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
[解析]　(1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)．
a－3b＝(1＋3×2,5－3×3－1－3×5)＝(7，－4，－16)．
∵(ka＋b)∥(a－3b)，(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
[分析]　根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可．[说明]　本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度，应用空间向量的坐标运算解决立体几何问题，使复杂的线面关系的论证、角、距离的计算变得程序化．[解析]　以C为坐标原点，CB，CA，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz.[例4]　如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．[分析]　借助于向量垂直、平行坐标运算建立方程，进一步求解．
正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点．
求证：(1)AE⊥D1F；
(2)AE⊥平面A1D1F.[例5]　如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值． [辨析]　正确利用两向量的夹角公式及模长公式．
[正解]　如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．[答案]　C
[解析]　∵B(1,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)．[答案]　B
[解析]　∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，
2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，A．(－2，－4，－1) B．(－2，－4,1)
C．(－2,4，－1) D．(2，－4，－1)
[答案]　A二、填空题
4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________．
[答案]　直角三角形
5．已知a＝(2,3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则a·(b＋c)＝________，a＋6b－8c＝________.
[答案]　9　(14,3,3)三、解答题
6．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．
(2)已知：a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，求x＋y的值．课件70张PPT。3．2　空间向量在立体几何中的应用1．知识与技能
理解直线的方向向量．
掌握空间直线的向量参数方程及线段的向量公式．
能够确定直线上点的位置．
能够用向量语言证明线线、线面、面面的平行关系．
2．过程与方法
用向量的观点研究直线和直线与直线的位置关系．
3．情感态度与价值观
让学生体会代数与几何的完美结合，说明事物可以相互联系与相互转让的．
重点：理解直线的向量参数方程及向量中点公式．
难点：利用向量证明平行垂直问题．
1．直线的方向向量是一个很重要的概念，由定点A和方向向量a不仅可以确定直线l的位置，还可具体表示出l上的任意点；还可确定直线平行的条件，计算两条直线所成的角等．
2．判定直线平行或垂直：v1∥l，v2∥m，l∥m?v1∥v2；l⊥m?v1⊥v2.5．设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?______________________________.
[答案]　1.直线l的参数方程(t为参数)
3．v1∥v2
4．v∥v1(或v∥v2)或存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2
5．v1⊥v2，cosθ＝cos
[例1]　设a，b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1、l2的位置关系．
(1)a＝(2，－1，－2)，b＝(6，－3，－6)；
(2)a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)；
(3)a＝(0,0,1)，b＝(0,0，－3)．
[分析]　设l1、l2的方向向量分别为a，b，则l1∥l2?a∥b，l1⊥l2?a⊥b，由此判断．[解析]　(1)显然有b＝3a，即a∥b，∴l1∥l2(或l1与l2重合)．
(2)观察知a≠b，又a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(3)显然b＝－3a，即a∥b，故l1∥l2(或l1与l2重合)．
[说明]　首先根据a，b的坐标，对a，b的关系(平行、垂直或其他情况)作出初步判断，然后再用有关知识给予验证，从而得到相关结论．直线的方向向量在研究线线、线面位置关系，求角或距离等有关问题时要用到，希望注意．　
l，m是两条直线，方向向量分别是a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若l∥m，则 (　　)
A．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2
B．x1＝kx2，y1＝py2，z＝qz2
C．x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
D．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2
[答案]　D
[解析]　由向量平行的充要条件可得.
[例2]　在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
[证明]　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，
A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)
∵|AP|＝2|PA1|，
在正方体AC1中，O，M分别为BD1，D1C1的中点．证明：OM∥BC1.
[解析]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系Dxyz.
[例3]　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点M，N分别在AE，BD上，且AM＝DN.
求证：MN∥平面BCE.
[例4]　正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AC的中点．证明：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.
如图所示，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点．
求证：EF⊥CF.[解析]　建立如图的空间直角坐标系D—xyz.
[例5]　如图，已知F是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求异面直线A1C1与DF所成角的余弦值．[说明]　求两条异面直线所成角常用的方法有两种：
(1)向量法：即通过两条直线方向向量的夹角来求两条异面直线的夹角．
(2)定义法(平移法)：由两条异面直线所成角定义将求两条异面直线所成角的大小转化为平面角求解．求解的方法是解三角形．
在本例给出的正方体中，E为棱AA1的中点，求异面直线BE与AC所成角的大小．[分析]　利用线面平行满足的条件，转化为向量运算求待定量．方法二：如图，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系．[说明]　运用空间向量将几何推理转化为向量运算时，应注意处理和把握以下两大关系：一是一些几何题能用纯几何法和向量法解决，体现了纯几何法和向量法在解题中的相互渗透，选哪种方法，多多体验；二是向量法解题时也有用基向量法和坐标向量法两种选择，根据题目中所给的空间体选择合适的解题途径．如正方体、长方体、直棱柱等往往通过建系用坐标方法解决更为方便．[例7]　已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形∠ABC＝60°，AB＝2PA，E是线段BC中点．
(1)判断PE与AD关系；
(2)在线段PD上是否存在一点F，使得CF∥平面PAE，，并给出证明．
[误解]　(1)取A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设PA＝1，则P(0,0,1)，B(2,0,0)，O(0,2,0)，C(2,2,0)，E(2,1,0)，[辨析]　首先应建立适当的空间直角坐标系，其次用向量表示形式验证求解．
[正解]　∵四边形ABCD是∠ABC＝60°的菱形，E为边BC的中点，
∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AE，PA⊥AD，以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图，设AB＝2，A．(－1,3，－3)　　　　　 B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
[答案]　B[答案]　BA．λ＝28 B．λ＝－28
C．λ＝14 D．λ＝－14
[答案]　D二、填空题
4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，则x＝____.[解析]　代入夹角公式，求得．课件62张PPT。1．知识与技能
掌握平面的法向量的概念及性质．
理解平面的向量表示．
2．过程与方法
用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行或垂直问题．
3．情感态度与价值观
培养学生转化的数学思想，增强应用意识．
重点：平面法向量的概念及性质．
难点：利用法向量法解决几何问题．
平面的法向量从大纲上要求是了解，但实际上应用较广泛，如判定平面的平行或垂直问题，可转化为研究其法向量的平行或垂直问题；求线面角、面面角问题、距离问题都可结合平面的法向量解决．因此在学习时适当提高要求，理解法向量的求法及简单应用．
给定一个点A和一个向量a，那么过点A的向量a为法向量的平面是确定的，平面的向量方程为·a＝0(M为平面内任一点)．设直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；l⊥α?u∥v?u＝kv(k∈R)?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
三垂线定理及逆定理这两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明．这是因为由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知：只有平面内的直线，若能满足和斜线的射影垂直，才能保证和斜线与射影所在平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直．三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在引用时要清楚以下问题：(1)从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”；其逆定理的条件是“和斜线垂直”．(2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题；逆定理正好相反．1．已知平面α，如果一个向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做________________________________．
3．设n1、n2分别是平面α、β的法向量，
α∥β或α与β重合?________；
α⊥β?________.4．如果一条直线和________________________垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
5．如果在________内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的________垂直，则它也和这条________垂直；反之，如果和这个平面的一条________垂直，那么它也和这条斜线的________垂直．[分析]　解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量．[说明]　求一个平面的法向量一般有两种方法．(1)几何法：利用几何条件找出一条与平面垂直的直线，在其上取一条有向线段即可．
(2)代数法：即坐标法，步骤如下 ：
①设出平面的法向量n＝(x，y，z)．
②找出平面内的两个不共线向量v1，v2.
若本例条件不变，求平面SBD的一个法向量．
[解析]　同例中坐标系，则∵B(0,1,0)，
[例2]　如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M，分别为棱BB1、CD、AA1的中点．
(1)证明：C1M∥平面ADE；
(2)证明：平面ADE⊥平面A1D1F.[分析]　因为是正方体，所以此题可利用向量的坐标运算来解．
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点．
(1)求AE与D1F所成的角；
(2)求证AE⊥平面A1D1F.
[例3]　在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD.求证AD⊥BC.
[分析]　要证明AD⊥BC，根据三垂线定理，只需证明AD在平面BCD内的射影和BC垂直，因此，可作AO⊥平面BCD于O点，问题即转化为证明OD⊥BC.[解析]　方法一：如图所示，作AO⊥平面BCD于O点，连结BO、CO、DO，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD上的射影．∵AB⊥CD，∴BO⊥CD(三垂线定理的逆定理)，
同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心．
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC(三垂线定理)．[说明]　应用三垂线定理证明两异面直线垂直，关键是确定其中一条直线在另一条直线所在平面上的射影．
[例4]　如图所示：正方体AC1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFDB.[分析]　根据面面平行的定义可证一个面中的两条相交直线与另一个面中的两条相交直线对应平行，也可以证明这两个平面的法向量平行．BE∩EF＝E，
BE、EF?平面EFDB，
∴平面AMN∥平面EFDB.
方法二：
如图，分别以DA、DC、DD1所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为a，
则A(a,0,0)，A1(a,0，a)，
D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，
B(a，a,0)，C1(0，a，a)且AN∩NM＝N，BE∩DB＝B，
∴平面AMN∥平面EFDB.
[说明]　本题方法一和方法三的证明依据是面面平行的判定定理，用向量法使逻辑问题算法化，方法二主要用法向量来确定平面．本题也可用共面向量定理，证明AM∥平面EFDB，AN∥平面EFDB.
已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F.
[解析]　建立如图所示的直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2，2)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，[例5]　在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC.
[误解]　建立如图所示的空间直角坐标系．∴可得EF⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BEF.
[辨析]　建立适当的空间直角坐标系，认真细心的计算，问题可正确解决．∴EF⊥AB，EF⊥BC.
又∵AB∩BC＝B，∴EF⊥平面ABC.
又∵EF?平面BEF，
∴平面ABC⊥平面BEF.
方法二：∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.
又∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，∴平面BEF⊥平面ABC.一、选择题
1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则 (　　)
A．l∥α　　　　　　　B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
[答案]　B
[解析]　∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥a.2．已知∠ABC＝90°，BC∥平面α，AB与平面α斜交，那么∠ABC在平面α内的射影是 (　　)
A．锐角
B．直角
C．锐角或直角
D．锐角或直角或钝角
[答案]　B
[解析]　设B，C在平面α内的射影分别为B′，C′，则BB′C′C为矩形，BC∥B′C′，
∴B′C′⊥AB，由三垂线定理B′C′⊥AB′，故选B.3．如果一条直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是 (　　)
A．平行　　　　　　　　 B．垂直
C．l?α D．不确定
[答案]　D
[解析]　直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，故选D.二、填空题
4．设两条不重合的直线a，b的方向向量分别是e1，e2，平面α的法向量是n，有下面命题：
[答案]　②③④
[解析]　对①，有b⊥α，不正确．
易判断，②③④正确．[答案]　通过点A且与向量n垂直的平面三、解答题
6．如图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，求证：平面AEF∥平面C1GH.课件53张PPT。1．知识与技能
掌握直线和平面所成的角．
能够求直线和平面所成的角．
2．过程与方法
通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力．
3．情感态度与价值观
培养学生辩证的看待事物，体会事物在一定条件下可以相互转化．
重点：直线和平面所成的角．
难点：求直线和平面所成的角．2．公式cosθ＝cosθ1·cosθ2.如图所示，OA为平面α的斜线，AB是OA的平面α内的射影，AC为平面α内过A 点的任一直线，设∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，则
cosθ＝cosθ1·cosθ2.
(1)由0(3)公式也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与射影，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线所成的角．
若已知θ1，θ2，θ中的两个值可以求另一个值．1．如图：
cosθ＝________.
2．最小角定理
斜线和________所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中的最小角．3．直线与平面的夹角
(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为________．
(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为________．
(3)斜线与它在平面内的________叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．[答案]　1.cosθ1·cosθ2
2．它在平面内的射影
3．(1)90°　(2)0°　(3)射影所成的角　
[例1]　如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD与平面PAB所成的角．[说明]　定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜线与其平面内射影的夹角．此种方法的关键在于确定斜线在平面内的射影．
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值．[解析]　(1)证明：连结AC，AC交BD于O，连接EO.
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线，
∴PA∥EO.
而EO?平面EDB且PA?平面EDB.
所以，PA∥平面EDB.
(2)作EF⊥DC交DC于F，连结BF.
设正方形ABCD的边长为a，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC.∴EF∥PD，F为DC的中点．
∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中．[分析]　解答本题首先建立空间直角坐标系，求出平面AFEG的法向量和AH的方向向量，再求两向量夹角余弦的绝对值即可．[解析]　建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,0,1)，A(0,4,0)，F(4,4,1)，E(4,0,2)，H(2,0,0)，令x＝1，则z＝－4，y＝－1.
即n＝(1，－1，－4)，
即AH与平面AFEG的夹角为θ，
在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点．
(1)求证：CM⊥EM.
(2)求CM与平面CDE所成的角．[解析]　以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，设EA＝a，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0，a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0)．[例3]　(2010·湖南理，18)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．[点评]　本题考查了直线与平面所成的角，直线与平面平行的性质与判定．综合考查了学生空间想象能力、探究能力和运算能力．[误解]　建立如图所示的直角坐标系，根据题意得：①建立适当的空间直角坐标系；
②将斜线和它在平面上的射影或者斜线和平面的法线用向量或坐标表示出来；
③利用向量的夹角公式求解．A．90°　　　　　　　　B．60°
C．45° D．30°
[答案]　D[解析]　由已知O为外心，且AB⊥OC，
2．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是 (　　)
A．0°<θ<180° B．0°≤θ≤90°
C．0°<θ≤90° D．0°<θ<90°
[答案]　D
[解析]　由斜线和平面所成的角定义知选D.3．直线l与平面θ成45°角，若直线l在α内的射影与α内的直线m成45°角，则l与m所成的角是 (　　)
A．30°　　　 B．45°　　　
C．60°　　　 D．90°
[答案]　C二、填空题
4．若AB与平面α成30°角，且A∈α，则AB与α内不过点A的所有直线所成角中的最大角________．
[答案]　90°
[解析]　在平面α内，过A点垂直于AB在平面内射影的直线与AB所成角最大，为90°.5．自平面α外一点P向平面α引垂线段PO及两条斜线段PA，PB，它们在平面α内的射影长分别为2cm和12cm，且这两条斜线与平面α所成的角相差45°，则垂线段AO的长为________．
[答案]　4cm或6cm
[解析]　设PA，PB与α所成角分别为α1，α2，且α1＝α2＋45°，三、解答题
6．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．[解析]　取CD的中点M，则EM∥PD，
又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，
∴BE在平面ABCD上的射影为BM，
∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角，
如图建立空间直角坐标系，
设PD＝DC＝1，
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，课件51张PPT。1．知识与技能
掌握二面角的有关概念．
能够求二面角的大小．
2．过程与方法
通过二面角的平面角的空间模型，培养空间想象能力．
3．情感态度与价值观
建立学习空间向量的自信心、培养学习数学的兴趣．重点：能够找出二面角的平面角，求二面角的大小；利用二面角的面的法向量求二面角的大小．
难点：在适当位置找出二面角的一个平面角以及判定二面角的大小与法向量夹角之间的大小关系．1．二面角平面角的作法
(1)定义法
由二面角平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点．求解用到的解三角形知识．
(2)垂面法
作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．
(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．二面角的求法
(1)几何法：其步骤为：
①作(找)出二面角的平面角；
②写出(或证明)作(找)平面角的过程；
③计算：利用解三角形知识求解．
(2)向量法
方法一：分别在二面角α—l—β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用〈n1，n2〉度量这个二面角的大小．1．从一条直线出发的________所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的________，每个平面叫做二面角的________，棱为l，两个面分别为α，β的二面角记为________．
2．一个平面________于二面角α—l—β的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则________叫做二面角α—l—β的平面角．
3．平面角是________的二面角叫做直二面角，相交成________的两个平面，叫做相互垂直的平面．4．二面角的平面角，它的两边在________内，且都________于棱，两个条件缺一不可．
5．本节约定，二面角的范围是________．
[答案]　1.两个半平面　棱　面　α—l—β
2．垂直　∠AOB
3．直角　直二面角
4．二面角两个面　垂直
5．(0，π)
[例1]　如图：ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A—VB—C的大小．[说明]　(1)所谓定义法，就是在二面角的棱上取一适当点作出平面角，然后解三角形即可(或者作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线构成的角)．
(2)求二面角的步骤：
①作(找)出二面角的平面角；
②写出(或证明)所作平面角即为所求二面角的平面角；
③利用解三角形的知识求解．[解析]　∵∠SAB＝∠SAC＝90°，
∴SA⊥面ABC.
∴AC为SC在底面ABC上的射影．
又∠ACB＝90°，
∴SC⊥BC.
∴∠SCA为二面角S—BC—A的平面角．
[例2]　如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小．[分析]　解答本题可首先求出平面PCD和平面PAB的法向量，再求其夹角大小，然后转化为平面PCD与平面PAB夹角的大小．
在本例中求二面角A—PB—D的大小．[例3]　如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为m的正方形，侧棱AA1的长为n，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求二面角A1－AB－D的余弦值．[分析]　由于不易建立空间直角坐标系，故可借助于向量所成的角，求二面角大小．
[解析]　如图，过A1作A1E⊥BA交BA的延长线于点E，
∵ABCD为正方形，
如图所示，甲站在水库底面上的点A，乙站在水坝斜面上的点B.从A、B到直线l(库底与水坝CD的交线)的距离AC和BD分别是a和b，CD长度为c，甲乙之间拉紧的绳长为d.求库底水坝所成二面角的余弦值．[例4]　正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B(如图②)．在图②中求平面ABD与平面EFD所成二面角．[辨析]　求二面角大小，一要注意准确计算，二要注意观察二面角是锐角还是钝角，以确定求出来的余弦值是正还是负．一、选择题
1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则 (　　)
A．l∥α　　　　　　　　 B．l?α
C．l⊥α D．l?α或l∥α
[答案]　D
[解析]　因为a·b＝0，所以a⊥b，故选D.2．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的角的度数为(　　)
A．30°　　　 B．45°　　　
C．60°　　　 D．90°
[答案]　B
[解析]　∠DPA为二面角平面角，而在Rt△PAD内，∠APD＝45°.故选B.3．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD的夹角的余弦值为(　　)
[答案]　B
二、填空题
4．正方体AC1中平面ABCD与平面A1BCD1的夹角为________．
[答案]　45°
[解析]　∠A1BA为平面角．5．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，E为BB1的中点，则平面AEC与平面ABC的夹角为________．三、解答题
6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1BC1与底面ABCD所成角的余弦值．课件69张PPT。1．知识与技能
了解距离的概念．
会求点面距、线面距和面面距．
2．过程与方法
利用向量的方法求点面、线面和面面距．
3．情感态度与价值观
培养学生转化的数学思想、增强应用意识，提高解决实际问题的能力．重点：点与面的距离．
难点：利用向量法求距离问题．3．点到直线的距离
(1)点到直线垂线段的作法
在立体几何中，点到直线的垂线段是由三垂线定理确定的．
(2)点到直线距离的求法
①几何法
由三垂线定理将立体几何问题转化为平面几何中的解直角三角形问题，进行求解． 4．点到平面的距离的求法
(1)几何法
①由点到平面的距离的定义转化为平面几何中的解直角三角形问题，进行求解．
②由已知点和平面内不共线的三点构成三棱锥，转化为体积问题，进而用等积法求解．
(2)向量法
如图，BO⊥平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是线段BO的长度．
求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：
①求出该平面的一个单位法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出单位向量与斜线段向量的数量积的绝对值，即点到平面的距离．1．距离的概念
图形F1内的任何一点与图形F2内的任一点间的距离的________，叫做图形F1与图形F2的距离．
2．点到平面的距离
一点到______的距离叫做这一点到这个平面的距离．
3．直线与与它平行平面的距离
一条直线上________到它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离．4．两个平行平面的距离
(1)两个平面的公垂线：和两个平行平面同时________的直线，叫做这两个平面的公垂线．
(2)两个平面的公垂线：________夹在平行平面间的部分，叫做两个平行平面的公垂线段．
(3)两个平行平面的距离：两个平行平面的________的长度，叫做两个平行平面的距离．
[答案]　1.最小距离
2．它在一个平面内正射影
3．任一点
4．垂直 　公垂线　公垂线段
[例1]　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求点A到截面A1BD的距离．
[分析]　可先确定A到截面的垂线段，再利用向量求对应向量的模，也可借助平面的法向量求解．
[解析]　解法一：如图作AH⊥平面A1BD于H，连结A1H、BH、DH，由Rt△AHA1≌Rt△AHB≌Rt△AHD，知HA1＝HB＝HD，故H是△A1BD的外心，
已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，CG垂直于ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
[分析]　转化为A1B1上一点到平面ABE的距离．[说明]　求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解过程最简单为准则．
已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E、F分别为AB、BC的中点．求直线AC到平面PEF的距离．
[例3]　如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1＝3，底面边长AB＝2，E、F分别为棱BC、B1C1的中点．
(1)求证：平面BD1F∥平面C1DE；
(2)求平面BD1F与平面C1DE间的距离．[分析]　首先用面面平行的判定定理证明(1)，然后两平行平面间的距离就是平面BD1F内任一点到平面C1DE的距离，转化为点面距来求解．
[说明]　平面α∥平面β，则α、β间的距离就是α内任一点到β的距离，这是立体几何、空间向量中转化思想方法的典型实例．
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为A1B1、CD的中点，G为AB的中点．[例4]　如图甲所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
[分析]　根据已知条件建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解．
[说明]　直线和平面的距离与两平行平面的距离可转化为点到平面的距离来求．
已知正方体AC1的棱长为1，E、F、G分别为AB、AD、AA1的中点．
求证：平面EFG∥平面B1CD1，并求两平行平面间的距离．
由平面EFG∥平面B1CD1，则平面EFG内任两点到面B1CD1的距离都相等，都等于两平行平面间的距离．
在平面EFG内取点E，则E到平面B1CD1的距离即为所求．[辨析]　(1)求点到平面的距离主要有三种方法：直接法，等积法和向量法，直接法的关键是确定点在平面上射影的位置．等积法的关键是构造出相应的四面体，向量法的关键是求出平面的法向量，如果能建系的话，一般用第三种方法较好，但要计算准确；
(2)直线与平面平行时，线到面距离转化为线上某点到面的距离．一、选择题
1．直线l上有两点A、B到平面α的距离相等且不等于零，则l与α (　　)
A．平行　　　　　　　　 B．相交
C．重合 D．平行或相交
[答案]　D
[解析]　平行或相交时均有直线上的两点到平面α的距离相等且不为零．2．从平面α外一点P引直线与α相交，使点P与交点的距离等于1，则这样的直线 (　　)
A．仅可作两条
B．可作无数条
C．可作一条或无数条或不能作
D．仅可作一条
[答案]　C
[解析]　当P点与平面α的距离d＝1时，恰能作1条，01时不能作．3．已知点A、B和平面α的距离分别是40和70，P为AB上一点，且AP?PB＝3?7，则P到平面α的距离是(　　)
A．49　　　 B．9　　　
C．49或7　　　 D．7
[答案]　C
[解析]　A、B两点在平面同侧或异侧时，P点到平面α的距离不同，故选C.二、填空题
4．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BC、CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为______．5．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1.若二面角C—AB—C1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为________．三、解答题
6．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点．(1)求异面直线PA与DE所成的角；
(2)求点D到平面PAB的距离．课件52张PPT。本章归纳总结1．空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．
2．a·b＝0?a⊥b是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．
4．直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．5．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法
(1)线线平行
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线平行，只需证明两直线的方向向量垂直，即a⊥b?a·b＝0.(3)线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量，
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．(4)线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线方向向量与平面法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
6．运用空间向量求空间角
(1)求两异面直线所成角(2)求线面角
求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ.即可求出直线与平面所成的角θ其关系是sinθ＝| cosφ|.(3)求二面角
用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．
7．运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．(1)点与点的距离
点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．
(2)点与面的距离
点面距离的求解步骤是：
①求出该平面的一个法向量；
②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可得到要求的点面距离．
1.空间向量有关概念的辨析题、空间向量中的所有概念都是严密、精练、准确的，在出辨析题时往往改变、缺失概念中的某些条件或者忽略概念规定的特殊情况．所以对基本概念的理解要做到全面、准确、深入．
②若a·b<0，则〈a，b〉是钝角；
③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量；
④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面．
其中错误命题的个数是 (　　)
A．1　　　 B．2　　　
C．3　　　 D．4
[答案]　D[说明]　正确理解，掌握空间向量的基本概念和公式，才能迅速解决此类问题．
以下四个命题中，正确的命题个数为 (　　)
①若a，b共线，则a与b所在直线平行
②若a，b所在直线是异面直线，则a与b一定不共面
③若a，b，c三向量两两共面，则由a，b，c三向量一定也共面
④若a，b，c三向量共面，则a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线所确定的平面一定平行
A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个[答案]　A
[解析]　a，b共线时，a与b所在的直线平行或重合，∴①不正确；空间任意两向量共面，②不正确；由②知a，b，c一定两两共面，但无法保证a，b，c共面，③不正确；a，b，c共面时，a，b所在的直线可能异面，∴④不正确．2．空间向量的运算及其坐标表示法
空间向量的运算是其应用的主要途径，尤其是两个向量的数量积是应用的重点，空间向量运算的坐标表示是立体几何中的证明、计算转化成代数问题的唯一通道，尤其是立体几何中的开放性问题可转化成代数中的解方程问题，从而得到简单的解答．[解析]　根据图形的结构特点，可建立空间直角坐标系，通过点和向量的坐标将问题转化成代数方程是否有解的问题．如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设直线AP上有一点M(0,0，z0)，设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由[说明]　利用空间向量的运算，可以完成空间中的有关计算、证明等题型．
如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．
1.利用空间向量解决平行垂直问题，直线与直线的平行转化为共线向量；直线与直线的垂直转化为数量积为0；直线与平面的平行转化为直线的方向向量用平面内两不共线向量表示出来或直线的方向向量与平面法向量表示，而面面平行与垂直，也是从两平面的法向量的平行与垂直体现的．[例3]　(2010·安徽·理，18)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB；
(3)求二面角B－DE－C的大小．
[解析]　∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC.
又EF∥AB，∴EF⊥BC.
又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.
∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.
又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABC.[点评]　综合法更注重推理，方法巧妙，计算量不大，对空间想象能力以及逻辑推理能力要求较高，而向量法更多的是计算而且方法统一，具有格式化，易于掌握．从近几年高考尤其新课标地区的高考题来看主要以向量法的考察为主，较少使用综合法．
如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.(1)求证：PC∥平面EBD；
(2)求平面PCD与平面PAB所成的角的大小(用反三角函数表示)．
2．利用空间向量求异面直线所成角、线面角及二面角大小，简化了这类题型的思维量．
[例4]　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点．
(1)求直线A1C与DE所成的角；
(2)求直线AD与平面B1ED所成的角．
[解析]　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．[说明]　向量所成角与异面直线所成角、线面角及二面角的大小之间有着密切联系，注意范围，这也是这三类角的最主要求法．
3．利用空间向量求距离
立体几何求距离是高考的一个热点问题，求解的常见方法有作出所求的线段构造三角形、解这个三角形或利用等面积、等体积转化或运用向量来解决．
[例5]　四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2BC＝2，侧面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，F是AB中点，AD中点为O，求O到平面EFC的距离．