2.1.2 幂的乘方与积的乘方
第2课时 积的乘方
课题 第2课时 积的乘方 授课人
教学目标 知识技能 通过探索积的乘方的运算法则,进一步体会和巩固幂的意义.会运用积的乘方法则进行计算.
数学思考 经历探索积的乘方的法则的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.
问题解决 利用积的乘方的运算法则解决简单的问题.
情感态度 通过小组合作与交流,培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于增强学生挑战困难的勇气和信心.
教学重点 积的乘方的运算.
教学难点 积的乘方法则的推导及幂的三个运算法则的区别与联系.
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体
(续表)
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.叙述同底数幂的乘法法则,并用字母表示.语言叙述:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.字母表示:am·an=am+n(m,n都是正整数).2.叙述幂的乘方法则,并用字母表示.语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘.字母表示:(am)n=amn(m,n都是正整数).课堂演练:计算:(1)(x4)3;(2)a·a5;(3)x7·x9(x2)3.学生活动:完成上面的演练题,并从中领会这两个幂的运算法则. 通过复习,承上启下,为新课做好铺垫.
活动一:创设情境导入新课 【课堂引入】教师活动:巡视,关注学生的练习,并请3位学生上台演示,然后再提出下面的问题.同学们思考怎样计算(2a3)4,每一步的根据是什么?学生活动:先独立完成上面的问题,再小组讨论.(2a3)4=(2a3)·(2a3)·(2a3)·(2a3)(乘方的含义)=(2×2×2×2)·(a3·a3·a3·a3)(乘法交换律、结合律)=24·a12(乘方的意义与同底数幂的乘法运算)=16a12.教师活动:应用以上分析问题的过程,再计算(ab)4,并说出每一步的根据是什么. 从学生已有的知识出发,引入积的乘方的运算法则.
活动二:实践探究交流新知 【探究】 积的乘方法则用幂的概念计算:(ab)4.问题1:请同学们通过计算,观察乘方的结果,由此你能得出什么规律?问题2:如果设n为正整数,将上式中的指数改成n,即(ab)n,其结果是什么?归纳总结:积的乘方等于积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.(ab)n=(ab)·(ab)·…·(ab)\s\do4(n个))=(a·a·a·…·a)\s\do4(n个))·(b·b·b·…·b)\s\do4(n个))=anbn.拓展思考:三个或三个以上的积的乘方,如(abc)n(n为正整数)的结果你能猜想出来吗?你能推导出来吗? 通过学生自己概括总结,既培养了学生的参与意识,又训练了他们的归纳及口头表达能力.
活动三:开放训练体现应用活动三:开放训练体现应用 【应用举例】例1 [教材第34页例6] 计算:(1)(-2x)3;(2)(-4xy)2;(3)(xy2)3;(4).变式训练1.用简便方法计算:(1)0.12516×(-8)17;(2)×;(3)0.12515×(-215)3.2.已知2m=3,2n=5,求23m+2n的值. 通过教师有意识的引导,让学生在现有知识的基础上开动脑筋、积极思考,这是理解法则、推导法则的关键.
【拓展提升】例2 计算:(1)a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2;(2)2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7.(3)(-2xy)4.解第(3)小题时教师引导学生猜想是否可以把(ab)n=anbn推广,即(abc)n=anbncn?大家可以亲自推导一下.学生小组讨论、分组合作,交流本组得到的结论.(abc)n=(abc)·(abc)·…·(abc)\s\do4(n个abc))=(a·a·…·a)\s\do4(n个a))·(b·b·…·b)\s\do4(n个b))·(c·c·…·c)\s\do4(n个c))=anbncn.教师让学生在交流中完善自己的答案,进一步引导学生分析上述例题中的第(3)小题.将(ab)n=anbn推广后,得到了(abc)n=anbncn.教师要提醒学生:对每一个因式都分别乘方,不要漏乘任何一个因式.例3 已知16m=4×22n-2,27n=9×3m+3,求m,n的值. 1.知识的综合与拓展,提高学生运用新知识解决问题的能力.2.教师引导学生探索,必要时进行适当的启发和提示.
活动四:课堂总结反思 【当堂训练】计算下列各式:(1)·;(2)(a-b)3·(a-b)4;(3)(-a5)5;(4)(-2xy)4;(5)(3a2)n;(6)(xy3n)2-[(2x)2]3;(7)(x4)6-(x3)8;(8)-p·(-p)4;(9)(tm)2·t;(10)(a2)3·(a3)2. 当堂训练,及时反馈学习效果.
【课堂总结】1.课堂小结:积的乘方:(ab)n=anbn(n是正整数).使用范围:底数是积的乘方.方法:把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.通过本节课的学习,你有什么新的体会和收获?2.布置作业:(1)教材P34练习第1,2,3题.(2)教材P40习题2.1A组第2(3),2(4),4题. 注重课堂小结,激发学生参与的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会.
活动四:课堂总结反思 框架图式总结,重点突出,一目了然.
【教学反思】①[授课流程反思]在建构新的法则时,应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系.②[讲授效果反思]在运用幂的运算法则时,注意知识的拓展,底数和指数可以是数,也可以是整式,对三个以上因式的积也适用.③[师生互动反思]教师要提醒学生在运算的过程中注意每一步的依据,还要防止符号上的错误.④[习题反思]好题题号____________________________________________错题题号____________________________________________ 反思,更进一步提升.
2.1整式的乘法
3.积的乘方
学习目标: 1.通过探索积的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义.
2.积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.
学习重点:积的乘方的运算.
学习方法:采用“探究──交流──合作”的方法,让学生在互动中掌握知识.
学习过程:
一、情境引入:
计算:(1)(x4)3 = (2)a·a5 = (3)x7·x9(x2)3=
二、探索新知
活动:参考(2a3)2的计算,说出每一步的根据。再计算(ab)n。
(1)(2a3)2= 2a3·2a3 = 2·2·a3·2a3 =2( ) a( )
(2)(ab)2= = =a( ) b( )
(3)(ab)3= = =a( ) b( )
(4) 归纳总结得出结论:(ab)n==a( )b( ) (n是正整数).
用语言叙积的乘方法则:
同理得到:(abc)n = (n是正整数).
三、范例学习
【例1】计算:(1)(2b)3; (2)(-5a)3 (3)(xy3)2; (4)(-3x)4.
【例2】计算:(1)(-8)2004·(-0.125)2005
四、学以致用【课本P144练习.】
1、计算下列各式:
(1)(-)2·(-)3= (2)(a-b)3·(a-b)4= (3)(-a5)5=
(4)(-2xy)4= ; (5)(3a2)n= ; (6)(x4)6-(x3)8=
(7);-p·(-p)4= (8);(tm)2·t= ; (9)(a2)3·(a3)2= .
2、判断(错误的予以改正)
①a5+a5=a10 ( ) ②(x3)5=x8( ) ③a3×a3= a6 ( )
④y7y=y8( ) ⑤a3×a5= a15 ( ) ⑥(x2)3 x4 = x9( )
⑦b4×b4= 2b4 ( ) ⑧(xy3)2=xy6( ) ⑨(-2x)5 = -2x3( )
五、课堂小结
六、布置作业 【课本P148习题15.1第1、2题.】
自主检测
积的乘方,等于 .用公式表示:(ab)n=_______(n为正整数).
1.下面各式中错误的是( ).
A.(24)3=212 B.(-3a)3=-27a3 C.(3xy2)4=81x4y8 D.(3x)2=6x2
2.下面各式中正确的是( ).
A.3x2·2x=6x2 B.(xy2)2=x2y4 C.(2xy)3=6x3y3 D.x3·x4=x12
3.当a=-1时,-(a2)3的结果是( ).
A.-1 B.1 C.a6 D.以上答案都不对
4、如果(ambn)3=a9b12,那么m,n的值等于( )
A.m=9,n=4 B.m=3,n=4 C.m=4,n=3 D.m=9,n=6
5.a6(a2b)3的结果是( )
A.a11b3 B.a12b3 C.a14b D.3a12b 4.
6.(ab)2=______,(ab)3=_______.
7.(a2b)3=_______,(2a2b)2=_______,(-3xy2)2=_______.(-ab2c)2=______
8.42×8n=2( )×2( )=2( ).,
9、若x3=-8a6b9,则x=_______.
10、计算.
(1)(-ab)2; (2)(x2y3)4; (3)(2×103)2; (4)(-2a3y4)3. (5)[(x+y)(x+y)2] 3
(6) (-)2008·()2008
11.下面的计算是否正确?如有错误,请改正.
(1)(xy2)3=xy6; (2)(-2b2)2=-4b4.
12.已知xn=5,yn=3,求(xy)3n的值.
13.已知:am=2,bn=3,求a2m+b3n的值.
14.用简便方法计算下列各题.
(1)(-8)2006×(-)2005; (2)(-0.125)12×(-1)7×(-8)13×(-)9.2.1.2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
课题 第1课时 幂的乘方 授课人
教学目标 知识技能 通过从特殊到一般,从数到字母的探索,结合同底数幂的乘法法则,归纳幂的乘方的法则,会运用幂的乘方法则进行计算.
数学思考 经历根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则推导出幂的乘方法则的过程,发展学生的合情推理意识.在双向应用幂的乘方运算公式中,培养学生思维的灵活性.
问题解决 经历一系列的探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通过情境教学,培养学生的应用能力.
情感态度 培养学生合作交流的意识和探索精神,让学生体会数学的应用价值.
教学重点 理解并掌握幂的乘方法则.
教学难点 幂的乘方与同底数幂的乘法的区别与联系.
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体
(续表)
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 上节课我们学习了同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即am·an=am+n(m,n都是正整数).请同学们完成下面的问题:判断,正确的打“√”,错误的打“×”.(1)x3·x5=x15; ( )(2)x·x3=x3; ( )(3)x3+x5=x8; ( )(4)x2·x2=2x4; ( )(5)(-x)2·(-x)3=(-x)5=-x5. ( ) 学生回忆并回答,以此来巩固知识,为探索幂的乘方做好准备.
活动一:创设情境导入新课 【课堂引入】一个正方体的棱长是102毫米,你能计算出它的体积吗?如果将这个正方体的棱长扩大为原来的10倍,那么这个正方体的体积是原来的多少倍?师生活动:正方体的体积等于棱长的立方,所以棱长为102毫米的正方体的体积V=(102)3立方毫米;如果棱长扩大为原来的10倍,即棱长变为102×10毫米,即103毫米,此时正方体的体积变为V1=(103)3立方毫米.(102)3,(103)3很显然不是最简,此时在教师的引导下进一步探索其结果.根据幂的意义可知,(102)3表示3个102相乘,于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106;同样根据幂的意义可知(103)3=103×103×103=103+3+3=109.于是就求出了V=106立方毫米,V1=109立方毫米. 从学生已有的知识出发,让学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程.
活动二:实践探究交流新知 探究】 幂的乘方法则根据幂的概念,计算下列各式并说明理由.(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n.学生活动:学生根据自己的理解独立完成分析.(1)(62)4=62×62×62×62=68.(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6.(3)(am)2=am·am=am+m=a2m.(4)(am)n=am·am·…·am\s\do4(n个))=am+m+…+m\s\do4(n个))=amn.观察计算结果,你发现了什么规律性的结论?你能总结你的发现吗?归纳总结:幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.即(am)n=amn(m,n都是正整数). 通过问题的提出,利用乘方的意义和同底数幂的乘法法则,让学生自己主动建构,获取新知
活动三:开放训练体现应用活动三:开放训练体现应用 【应用举例】例1 [教材第32页例4] 计算:(1)(105)2;(2)-(a3)4.教师活动:启发学生共同完成例题.学生活动:在教师的启发下,完成例题的问题,并进一步理解幂的乘方法则.开始练习幂的乘方的运算时,不要着急直接套入公式(am)n=amn中,而应进一步体会乘方的意义和幂的意义.只要明白了算理,熟悉后就可直接代入,师生共同分析学生的解答中可能存在的问题.幂的乘方法则的逆用:amn=(am)n=(an)m.例2 幂的乘方的逆运算:(1)x13·x7=x( )=( )5=( )4=( )10;(2)a2m=( )2=( )m(m为正整数).变式训练1.已知3×9n=37,求n的值.2.已知a3n=5,b2n=3,求a6nb4n的值.3.设n为正整数,且x2n=2,求9(x3n)2的值. 学生通过例题及变式训练巩固刚刚学习的新知识,在此基础上加深知识的应用.
【拓展提升】例3 计算:(1)5(a3)4-13(a6)2;(2)7x4·x5·(-x)7+5(x4)4-(x8)2;(3)[(x+y)3]6+[(x+y)9]2;(4)[(b-3a)2]n+1·[(3a-b)2n+1]3(n为正整数).例4 阅读下列解题过程:试比较2100与375的大小.解:∵2100=(24)25=1625,375=(33)25=2725,而16<27,∴2100<375.请根据上述解答过程,比较255,344,433的大小.解题思路:255,344,433的指数分别是55,44和33,并不相同,因此,我们不能直接进行比较,但是,我们发现,255=(25)11=3211,344=(34)11=8111,433=(43)11=6411,这样就可以把原来不同指数的幂转化成同指数的幂.根据底数大小即可判断出255,344,433的大小关系.方法归纳:熟练利用amn=(an)m=(am)n进行变形是解题的关键.指数(为正整数)相同,底数(为正数)大的幂也大,底数(为正数)小的幂也小. 1.应用提高、拓展创新,增强学生的应考能力.2.学生通过拓展训练可以加深对幂的乘方的理解,灵活运用幂的乘方的运算法则.
活动四:课堂总结反思 【当堂训练】1.计算:-x2·x2·(x2)3+x10.教师活动:巡视,关注中等、中下的学生,多媒体显示练习题.图2-1-2学生活动:书面练习、板演.2.如果甲球的半径是乙球的n倍,那么甲球的体积是乙球的n3倍.地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍,它们的体积分别约是地球的多少倍?3.如果(9n)2=312,则n的值是( )A.4 B.3 C.2 D.14.若2×8n×16n=222,求n的值.5.已知x2n=5,求(-x3n)2的值. 当堂检测,及时反馈学习效果.
【课堂总结】1.课堂小结:(1)(am)n=amn(m,n都是正整数).幂的乘方,底数不变,指数相乘.(2)知识拓展:这里的底数、指数可以是数,可以是字母,也可以是单项式或多项式.(3)幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的区别在于,一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.2.布置作业:(1)教材P32练习第1,2,3题.(2)教材P40习题2.1A组第2(1),2(2)题. 注重课堂小结,激发学生参与的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会.
活动四:课堂总结反思 框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】①[授课流程反思]通过练习的方式引入,教师要引导学生分析错误的原因.②[讲授效果反思]对于同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项这三个法则,要理解它们的联系与区别.在利用法则解题时,要正确选用法则,防止相互之间发生混淆(如错用:am·an=amn,(am)n=am+n),并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯.③[师生互动反思]引导学生注意书写步骤和格式,使学生归纳解题注意事项,明确法则使用的条件.④[习题反思]好题题号__________________________________________错题题号______________________________________ 反思总结,体会得与失,更进一步提升.'
课题: 幂的乘方
学习目标:
1.能说出幂的乘方的运算性质,并会用符号表示;
2.使学生能运用幂的乘方法则进行计算,并能说出每一步运算的依据;
学习重点:1.掌握幂的乘方法则,并会用它熟练进行运算。
2.幂的乘方法则的推导过程。
学习难点:会双向运用幂的乘方公式,培养学生思维的灵活性。
学习过程
一、预习导航
一个正方体的边长是102cm,则它的体积是多少
请一位同学在黑板上写下100个104的乘积,谁能有简便的写法呢?根据乘方的定义,100个104相乘,可以写成(104)100。你会计算吗?
二、小组合作探究:
1.尝试:做一做:先说出下列各式的意义,再计算下列各式,并说明每一步计算的理由:
⑴ (62)4= ⑵ (a2)3 =
⑶ (am)2= (4)(am)n=
问题:从上面的计算中,你发现了什么规律?
2.概括总结.上面各式括号中都是幂的形式,然后再乘方.请你给这种运算起个名字。我们今天就学习它的性质
3.概念巩固:一般地有,
于是得(am)n = am n(m, n都是正整数)
这就是说,幂的乘方,底数不变,指数相乘.
法则说明:
1.公式中的底数a可以是具体的数,也可以是代数式.
2.注意幂的乘方中指数相乘,而同底数幂的乘法中是指数相加.
4.典型例题:
例 1: 计算:
(1)(106)2;(2)(am)4(m为正整数);(3)-(y3)2;(4)(-x3)3.
⑸ 3; ⑹ 5.
例 2: 计算:
x2·x4+(x3)2; (2)(a3)3·(a4)3.
三、当堂达标:
1、
2、= ; = ;
3、= = ;
4、 = ;
5、若则= 。
6、若,则=
7.计算题:
(1) (2)
(3) -(a)3 (4)
(5) (6)7 ;
(7) (-a3)2·(-a2)3 (8)(x2)n-(xn)2 ;
(9)(-a)·a+(-4a)·a-5(a)
8、若,求的值。
四、学后反思