沪科版数学八年级下册 第17章 一元二次方程 单元测试题(word解析版)
文档属性
| 名称 | 沪科版数学八年级下册 第17章 一元二次方程 单元测试题(word解析版) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 363.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-31 16:27:24 | ||
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文档简介
第17章 一元二次方程 单元测试
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国·八年级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．xy﹣5＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣16＝0
2．（2021·四川邛崃·八年级期末）方程中，一次项系数是（ ）
A．7 B． C． D．0
3．（2020·浙江浙江·八年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京顺义·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜－2 B．m＞－1 C．m＜0 D．m≥0
5．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）
A．x2﹣3x+2 B．2x2﹣2x+1 C．2x2﹣xy﹣y2 D．x2+3xy+y2
6．（2021·安徽岳西·八年级期末）已知是方程的两根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）若关于x的方程2x2＋bx＋c＝0的两根为2、﹣1，则多项式2x2＋bx＋c可因式分解为（ ）
A．2x2＋bx＋c＝（x﹣2）（x＋1） B．2x2＋bx＋c＝2（x＋2）（x﹣1）
C．2x2＋bx＋c＝（x＋2）（x﹣1） D．2x2＋bx＋c＝2（x﹣2）（x＋1）
8．（2021·广东·惠州一中八年级期中）某超市月份营业额为万元，月、月、月总营业额为万元，设平均每月营业额增长率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·浙江·嵊州市三界镇蒋镇学校八年级期中）某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则有题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·安徽·八年级期末）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·广东揭西·八年级期末）已知一元二次方程（m－2）＋3x－4＝0，那么m的值是_____．
12．（2022·广东蓬江·八年级期末）一元二次方程2x（x﹣1）﹣3＝0的一次项系数为 _____．
13．（2022·广东花都·八年级期末）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个解，则4m+2n的值是 _____．
14．（2022·湖南衡阳·八年级期末）已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝_____．
15．（2022·天津·八年级期末）如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____．
16．（2022·湖南岳阳·九年级期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．不一定有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
17．（2021·北京·北师大实验中学八年级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 __________________．
18．（2021·北京市第五中学分校八年级阶段练习）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，设原正方形空地的边长为xm．则可列出的方程是______．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·山东·日照市田家炳实验中学八年级期末）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
（2）x2+2 x﹣3=0（配方法）
（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）
20．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，设方程的两根分别为x1，x2，求x12+x22的值；
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
21．（2022·北京丰台·八年级期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
22．（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）某画室的同学们，将自己创作的画作制成了精美的书签套盒，非在网上进行售卖，备受欢迎，某商店老板了解后决定购进一批该书签在店内销售．经过对接，画室给出的进价是10元/盒．
(1)据调查，商店老板计划首月销售1680盆，每盒售价12元，经过首月试销售，老板发现单盒书签每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望书签月销量不低于1620盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，生产原料价格上调，故每盒书签进价提高了，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量1620盒增加了，于是月销售利润达到了3564元，求a的值．
23．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）某校文化节期间，八年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
(2)要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
24．（2022·重庆江津·八年级期末）某区大力发展花椒经济，帮助农民走富裕之路．去年花椒大获丰收，椒农张大爷共售出A、B两种鲜花椒900千克，A种鲜花椒售价是6元/千克，B种鲜花椒售价是8元/千克，全部售出后总销售额为6000元．
(1)去年椒农张大爷售出A、B两种花椒各多少千克？
(2)今年花椒又获得丰收，张大爷借助某直播平台销售鲜花椒．A种鲜花椒让利销售，其单价比去年下降了，B种鲜花椒的单价比去年上涨了2a%，结果A种鲜花椒的销量是去年的2倍，B种鲜花椒的销量比去年减少了a%，总销售额比去年增加了60%．求a的值．
25．（2022·重庆南开中学八年级期末）重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元．
(1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？
(2)因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？
第17章 一元二次方程 单元测试
单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国·八年级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．xy﹣5＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣16＝0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【详解】解：A．x+2y＝1是二元一次方程，故此选项不符合题意．B．xy﹣5＝0是二元二次方程，故此选项不符合题意；C．当a＝0时，是一元一次方程，故此选项不符合题意；D．x2﹣16＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（2021·四川邛崃·八年级期末）方程中，一次项系数是（ ）
A．7 B． C． D．0
【答案】C
【分析】根据系数的定义即可得出答案．
【详解】解：方程的一次项系数为：，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的一般形式，理解系数的定义是解题关键．
3．（2020·浙江浙江·八年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先移项，再利用完全平方公式进行配方即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解题关键．
4．（2021·北京顺义·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜－2 B．m＞－1 C．m＜0 D．m≥0
【答案】B
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（ 2）2 4×（ m）＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝（ 2）2 4×（ m）＞0，
解得m＞ 1．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2 4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）
A．x2﹣3x+2 B．2x2﹣2x+1 C．2x2﹣xy﹣y2 D．x2+3xy+y2
【答案】B
【分析】利用十字乘法把选项A，C分解因式，可判断A，C，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B，D，从而可得答案.
【详解】解： 故A不符合题意；
令
所以在实数范围内不能够因式分解，故B符合题意；
故C不符合题意；
令
所以在实数范围内能够因式分解，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.
6．（2021·安徽岳西·八年级期末）已知是方程的两根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，即，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：是方程的根，
，
，
，
，是方程两根，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程解的定义．
7．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）若关于x的方程2x2＋bx＋c＝0的两根为2、﹣1，则多项式2x2＋bx＋c可因式分解为（ ）
A．2x2＋bx＋c＝（x﹣2）（x＋1） B．2x2＋bx＋c＝2（x＋2）（x﹣1）
C．2x2＋bx＋c＝（x＋2）（x﹣1） D．2x2＋bx＋c＝2（x﹣2）（x＋1）
【答案】D
【分析】若一元二次方程有两个实数根与，则该一元二次方程可写为的形式，由此可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程2x2＋bx＋c＝0的两根为2、﹣1
∴此方程即为
也即2x2＋bx＋c可因式分解为
∴
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程与一元一次方程的根的关系，掌握此关系是关键，本题也说明，可以用解一元二次方程的方法来对二次三项式进行因式分解．
8．（2021·广东·惠州一中八年级期中）某超市月份营业额为万元，月、月、月总营业额为万元，设平均每月营业额增长率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设平均每月营业额的增长率为x，则第二个月的营业额为：90(1+x)，第三个月的营业额为：90(1+x)2，再由三个月的总营业额为144万元列出方程即可．
【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，则第二个月的营业额为：90(1+x)，第三个月的营业额为：90(1+x)2，
则由题意列方程为：90+90(1+x)+90(1+x)2=144．
故选D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系列出方程．
9．（2021·浙江·嵊州市三界镇蒋镇学校八年级期中）某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则有题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额＋二月份的营业额＋三月份的营业额＝1200，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为300×（x＋1），
∴三月份的营业额为300×（x＋1）×（x＋1）＝300×（x＋1）2，
∴可列方程为300＋300×（x＋1）＋300×（x＋1）2＝1200．
即300[1＋（x＋1）＋（x＋1）2]＝1200．
故选：B．
【点睛】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b，得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
10．（2021·安徽·八年级期末）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1 x2=2n＞0、y1 y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．
【详解】解：设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·广东揭西·八年级期末）已知一元二次方程（m－2）＋3x－4＝0，那么m的值是_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行计算即可．
【详解】解：由题意可得：
且，
且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，即．
12．（2022·广东蓬江·八年级期末）一元二次方程2x（x﹣1）﹣3＝0的一次项系数为 _____．
【答案】-2
【分析】观察发现原方程为一元二次方程的一般式，找出所对应的a，b及c，其中b的值即为一次项的系数．
【详解】解：化简2x（x-1）-3=0得，
2x2-2x-3=0，
∴a=2，b=-2，c=-3，
∴一次项的系数为-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题要求学生熟练掌握一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0，（a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，a，b，c为常数且a≠0）．学生找一次项时容易把负号忽略，认为一次项的系数为1，做题时应注意不要掉了符号．
13．（2022·广东花都·八年级期末）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个解，则4m+2n的值是 _____．
【答案】8
【分析】由x=2是一元二次方程x2+mx+n=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2m+n的值，从而得解．
【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，
∴4+2m+n=0，
∴2m+n=-4．
∴4m+2n=8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解．
14．（2022·湖南衡阳·八年级期末）已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝_____．
【答案】2
【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
【详解】解：设x2+y2＝z，原方程化为（z+1）（z+3）＝15，即z2+4z﹣12＝0．
解得z＝2，z＝﹣6（不符合题意，舍），
所以x2+y2＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
15．（2022·天津·八年级期末）如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____．
【答案】
【分析】先求出m的值，再代入代数式求解即可．
【详解】解： x2＋2x－3＝0
m是方程x2＋2x－3＝0的实根
或
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式的计算问题，掌握解一元二次方程的方法、代入法是解题的关键．
16．（2022·湖南岳阳·九年级期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．不一定有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】根据一元二次方程个的判别式进行判断即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程，
方程有两个不相等的实数根．
故选D
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
17．（2021·北京·北师大实验中学八年级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 __________________．
【答案】
【分析】根据2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一元二次方程．
【详解】解：设年平均增长率为x，
根据题意可列方程：15（1＋x）2＝21.6．
故答案为：15（1＋x）2＝21.6．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2021·北京市第五中学分校八年级阶段练习）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，设原正方形空地的边长为xm．则可列出的方程是______．
【答案】
【分析】可设原正方形的边长为m，则剩余的空地长为m，宽为m．根据长方形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：设原正方形空地的边长为xm，根据题意，得：
．
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式，另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·山东·日照市田家炳实验中学八年级期末）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
（2）x2+2 x﹣3=0（配方法）
（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）
【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝1，x2＝﹣3；（3）x1＝3，x2＝﹣2；（4）x1＝﹣1，x2＝2．
【分析】
（1）直接利用开方法进行求解即可得到答案；
（2）直接利用配方法进行求解即可得到答案；
（3）直接利用公式法进行求解即可得到答案；
（4）直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；
【详解】解：（1）∵
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵x2+2x＝3，
∴x2+2x+1＝4，
∴（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x1＝1，x2＝﹣3；
（3）∵x2﹣x﹣6＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣6）＝25，
∴x＝，
∴x1＝3，x2＝﹣2；
（4）∵
∴（x+1）（2﹣x）＝0，
∴x+1＝0或2﹣x＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.
20．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，设方程的两根分别为x1，x2，求x12+x22的值；
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
【答案】（1）；（2）8；（3）2
【分析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围即可；
（2）把x＝1代入方程，求出，进而求出的值；
（3）首先求出方程的根为，且根为整数，则为完全平方数，结合k的取值范围即可求出k的值．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）当时，方程为，
解得，
则．
（3）∵k为正整数，且，
∴k＝1或2．
根据一元二次方程根的公式可得方程的根为
又根为整数，
∴为完全平方数，
∴．
【点睛】本题考查的是二次函数根与系数的关系，掌握二次函数根与系数的公式是解决本题的关键．
21．（2022·北京丰台·八年级期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
【答案】：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据冰场的面积是原空地面积的列出方程，解方程后再求通道的宽度即可．
【详解】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，
，
解得，，（舍去），
则上、下通道的宽度为（米），左、中、右通道的宽度（米），
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解．
22．（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）某画室的同学们，将自己创作的画作制成了精美的书签套盒，非在网上进行售卖，备受欢迎，某商店老板了解后决定购进一批该书签在店内销售．经过对接，画室给出的进价是10元/盒．
(1)据调查，商店老板计划首月销售1680盆，每盒售价12元，经过首月试销售，老板发现单盒书签每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望书签月销量不低于1620盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，生产原料价格上调，故每盒书签进价提高了，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量1620盒增加了，于是月销售利润达到了3564元，求a的值．
【答案】(1)每盒售价最高为15元；(2)．
【分析】
（1）设每盒售价为x元，根据首月销售1680盆，书签每增长1元，月销量就将减少20盒．月销量不低于1620盒，列不等式1680-(x-12)×20≥1620，解不等式即可；
（2）先求出每盒书签利润为：，销量为：1620+810a，根据总利润=每盒利润×销量，列方程 ，解方程即可．
【详解】(1)解：设每盒售价为x元，
根据题意得： 1680-(x-12)×20≥1620，
解得：x≤15，
则每盒售价最高为15元．
(2)
解：每盒书签利润为：，销量为：1620+810a，
根据题意列方程得： ，
整理得：，
解得（舍去）．
【点睛】本题考查列一元一次不等式应用题，与列一元二次方程解销售问题应用题，掌握列一元一次不等式应用题，与列一元二次方程解销售问题应用题是解题关键．
23．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）某校文化节期间，八年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
(2)要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
【答案】(1)；(2)40元或60元
【分析】
（1）利用待定系数法即可得到y与x的函数表达式；
（2）根据销售利润达到800元，可得方程，解方程即可得到销售单价.
【详解】(1)解：当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为
把（20，60），（80，0）代入，得，
解得，
∴
(2)
由题意得，
解得，，
答：销售单价定为40元或60元时，销售总利润达到800元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
24．（2022·重庆江津·八年级期末）某区大力发展花椒经济，帮助农民走富裕之路．去年花椒大获丰收，椒农张大爷共售出A、B两种鲜花椒900千克，A种鲜花椒售价是6元/千克，B种鲜花椒售价是8元/千克，全部售出后总销售额为6000元．
(1)去年椒农张大爷售出A、B两种花椒各多少千克？
(2)今年花椒又获得丰收，张大爷借助某直播平台销售鲜花椒．A种鲜花椒让利销售，其单价比去年下降了，B种鲜花椒的单价比去年上涨了2a%，结果A种鲜花椒的销量是去年的2倍，B种鲜花椒的销量比去年减少了a%，总销售额比去年增加了60%．求a的值．
【答案】(1)去年椒农张大爷售出种花椒600千克，售出种花椒300千克
(2)的值为30
【分析】
（1）设去年椒农张大爷售出种花椒千克，售出种花椒千克，再根据两种花椒的销售总量和销售总额建立方程组，解方程组即可得；
（2）先分别求出两种花椒的单价和销量，再根据“总销售额比去年增加了”建立方程，解方程即可得．
【详解】(1)解：设去年椒农张大爷售出种花椒千克，售出种花椒千克，
由题意得：，
解得，
答：去年椒农张大爷售出种花椒600千克，售出种花椒300千克；
(2)
解：今年种花椒的单价为元/千克，种花椒的单价为元/千克，
今年种花椒的销量为（千克），种花椒的销量为千克，
则，
整理得：，
解得或（不符题意，舍去），
答：的值为30．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，正确建立方程组和方程是解题关键．
25．（2022·重庆南开中学八年级期末）重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元．
(1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？
(2)因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？
【答案】(1)普通席280元，嘉宾席320元；(2)220元．
【分析】
（1）设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元，根据题意可得方程，求解即可得到答案；
（2）设普通席普通票增加张数为张，根据题意可得方程：，得到答案．
【详解】(1)解：设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元，
依题意得：，
解之得：，
∴嘉宾席单张票价为元，
答：普通席280元，嘉宾席320元．
(2)
设普通席普通票增加张数为张，
则，依题意得：，
解之得：，
∴12月份普通席的票价是元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方的应用，找准数量关系，能根据各数量之间的关系，正确列出方程是解题得关键
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国·八年级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．xy﹣5＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣16＝0
2．（2021·四川邛崃·八年级期末）方程中，一次项系数是（ ）
A．7 B． C． D．0
3．（2020·浙江浙江·八年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京顺义·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜－2 B．m＞－1 C．m＜0 D．m≥0
5．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）
A．x2﹣3x+2 B．2x2﹣2x+1 C．2x2﹣xy﹣y2 D．x2+3xy+y2
6．（2021·安徽岳西·八年级期末）已知是方程的两根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）若关于x的方程2x2＋bx＋c＝0的两根为2、﹣1，则多项式2x2＋bx＋c可因式分解为（ ）
A．2x2＋bx＋c＝（x﹣2）（x＋1） B．2x2＋bx＋c＝2（x＋2）（x﹣1）
C．2x2＋bx＋c＝（x＋2）（x﹣1） D．2x2＋bx＋c＝2（x﹣2）（x＋1）
8．（2021·广东·惠州一中八年级期中）某超市月份营业额为万元，月、月、月总营业额为万元，设平均每月营业额增长率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·浙江·嵊州市三界镇蒋镇学校八年级期中）某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则有题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·安徽·八年级期末）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·广东揭西·八年级期末）已知一元二次方程（m－2）＋3x－4＝0，那么m的值是_____．
12．（2022·广东蓬江·八年级期末）一元二次方程2x（x﹣1）﹣3＝0的一次项系数为 _____．
13．（2022·广东花都·八年级期末）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个解，则4m+2n的值是 _____．
14．（2022·湖南衡阳·八年级期末）已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝_____．
15．（2022·天津·八年级期末）如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____．
16．（2022·湖南岳阳·九年级期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．不一定有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
17．（2021·北京·北师大实验中学八年级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 __________________．
18．（2021·北京市第五中学分校八年级阶段练习）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，设原正方形空地的边长为xm．则可列出的方程是______．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·山东·日照市田家炳实验中学八年级期末）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
（2）x2+2 x﹣3=0（配方法）
（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）
20．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，设方程的两根分别为x1，x2，求x12+x22的值；
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
21．（2022·北京丰台·八年级期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
22．（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）某画室的同学们，将自己创作的画作制成了精美的书签套盒，非在网上进行售卖，备受欢迎，某商店老板了解后决定购进一批该书签在店内销售．经过对接，画室给出的进价是10元/盒．
(1)据调查，商店老板计划首月销售1680盆，每盒售价12元，经过首月试销售，老板发现单盒书签每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望书签月销量不低于1620盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，生产原料价格上调，故每盒书签进价提高了，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量1620盒增加了，于是月销售利润达到了3564元，求a的值．
23．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）某校文化节期间，八年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
(2)要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
24．（2022·重庆江津·八年级期末）某区大力发展花椒经济，帮助农民走富裕之路．去年花椒大获丰收，椒农张大爷共售出A、B两种鲜花椒900千克，A种鲜花椒售价是6元/千克，B种鲜花椒售价是8元/千克，全部售出后总销售额为6000元．
(1)去年椒农张大爷售出A、B两种花椒各多少千克？
(2)今年花椒又获得丰收，张大爷借助某直播平台销售鲜花椒．A种鲜花椒让利销售，其单价比去年下降了，B种鲜花椒的单价比去年上涨了2a%，结果A种鲜花椒的销量是去年的2倍，B种鲜花椒的销量比去年减少了a%，总销售额比去年增加了60%．求a的值．
25．（2022·重庆南开中学八年级期末）重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元．
(1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？
(2)因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？
第17章 一元二次方程 单元测试
单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国·八年级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．xy﹣5＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣16＝0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【详解】解：A．x+2y＝1是二元一次方程，故此选项不符合题意．B．xy﹣5＝0是二元二次方程，故此选项不符合题意；C．当a＝0时，是一元一次方程，故此选项不符合题意；D．x2﹣16＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（2021·四川邛崃·八年级期末）方程中，一次项系数是（ ）
A．7 B． C． D．0
【答案】C
【分析】根据系数的定义即可得出答案．
【详解】解：方程的一次项系数为：，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的一般形式，理解系数的定义是解题关键．
3．（2020·浙江浙江·八年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先移项，再利用完全平方公式进行配方即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解题关键．
4．（2021·北京顺义·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜－2 B．m＞－1 C．m＜0 D．m≥0
【答案】B
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（ 2）2 4×（ m）＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝（ 2）2 4×（ m）＞0，
解得m＞ 1．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2 4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）
A．x2﹣3x+2 B．2x2﹣2x+1 C．2x2﹣xy﹣y2 D．x2+3xy+y2
【答案】B
【分析】利用十字乘法把选项A，C分解因式，可判断A，C，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B，D，从而可得答案.
【详解】解： 故A不符合题意；
令
所以在实数范围内不能够因式分解，故B符合题意；
故C不符合题意；
令
所以在实数范围内能够因式分解，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.
6．（2021·安徽岳西·八年级期末）已知是方程的两根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，即，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：是方程的根，
，
，
，
，是方程两根，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程解的定义．
7．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）若关于x的方程2x2＋bx＋c＝0的两根为2、﹣1，则多项式2x2＋bx＋c可因式分解为（ ）
A．2x2＋bx＋c＝（x﹣2）（x＋1） B．2x2＋bx＋c＝2（x＋2）（x﹣1）
C．2x2＋bx＋c＝（x＋2）（x﹣1） D．2x2＋bx＋c＝2（x﹣2）（x＋1）
【答案】D
【分析】若一元二次方程有两个实数根与，则该一元二次方程可写为的形式，由此可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程2x2＋bx＋c＝0的两根为2、﹣1
∴此方程即为
也即2x2＋bx＋c可因式分解为
∴
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程与一元一次方程的根的关系，掌握此关系是关键，本题也说明，可以用解一元二次方程的方法来对二次三项式进行因式分解．
8．（2021·广东·惠州一中八年级期中）某超市月份营业额为万元，月、月、月总营业额为万元，设平均每月营业额增长率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设平均每月营业额的增长率为x，则第二个月的营业额为：90(1+x)，第三个月的营业额为：90(1+x)2，再由三个月的总营业额为144万元列出方程即可．
【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，则第二个月的营业额为：90(1+x)，第三个月的营业额为：90(1+x)2，
则由题意列方程为：90+90(1+x)+90(1+x)2=144．
故选D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系列出方程．
9．（2021·浙江·嵊州市三界镇蒋镇学校八年级期中）某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则有题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额＋二月份的营业额＋三月份的营业额＝1200，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为300×（x＋1），
∴三月份的营业额为300×（x＋1）×（x＋1）＝300×（x＋1）2，
∴可列方程为300＋300×（x＋1）＋300×（x＋1）2＝1200．
即300[1＋（x＋1）＋（x＋1）2]＝1200．
故选：B．
【点睛】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b，得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
10．（2021·安徽·八年级期末）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1 x2=2n＞0、y1 y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．
【详解】解：设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·广东揭西·八年级期末）已知一元二次方程（m－2）＋3x－4＝0，那么m的值是_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行计算即可．
【详解】解：由题意可得：
且，
且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，即．
12．（2022·广东蓬江·八年级期末）一元二次方程2x（x﹣1）﹣3＝0的一次项系数为 _____．
【答案】-2
【分析】观察发现原方程为一元二次方程的一般式，找出所对应的a，b及c，其中b的值即为一次项的系数．
【详解】解：化简2x（x-1）-3=0得，
2x2-2x-3=0，
∴a=2，b=-2，c=-3，
∴一次项的系数为-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题要求学生熟练掌握一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0，（a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，a，b，c为常数且a≠0）．学生找一次项时容易把负号忽略，认为一次项的系数为1，做题时应注意不要掉了符号．
13．（2022·广东花都·八年级期末）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个解，则4m+2n的值是 _____．
【答案】8
【分析】由x=2是一元二次方程x2+mx+n=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2m+n的值，从而得解．
【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，
∴4+2m+n=0，
∴2m+n=-4．
∴4m+2n=8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解．
14．（2022·湖南衡阳·八年级期末）已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝_____．
【答案】2
【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
【详解】解：设x2+y2＝z，原方程化为（z+1）（z+3）＝15，即z2+4z﹣12＝0．
解得z＝2，z＝﹣6（不符合题意，舍），
所以x2+y2＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
15．（2022·天津·八年级期末）如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____．
【答案】
【分析】先求出m的值，再代入代数式求解即可．
【详解】解： x2＋2x－3＝0
m是方程x2＋2x－3＝0的实根
或
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式的计算问题，掌握解一元二次方程的方法、代入法是解题的关键．
16．（2022·湖南岳阳·九年级期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．不一定有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】根据一元二次方程个的判别式进行判断即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程，
方程有两个不相等的实数根．
故选D
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
17．（2021·北京·北师大实验中学八年级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 __________________．
【答案】
【分析】根据2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一元二次方程．
【详解】解：设年平均增长率为x，
根据题意可列方程：15（1＋x）2＝21.6．
故答案为：15（1＋x）2＝21.6．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2021·北京市第五中学分校八年级阶段练习）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，设原正方形空地的边长为xm．则可列出的方程是______．
【答案】
【分析】可设原正方形的边长为m，则剩余的空地长为m，宽为m．根据长方形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：设原正方形空地的边长为xm，根据题意，得：
．
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式，另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·山东·日照市田家炳实验中学八年级期末）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
（2）x2+2 x﹣3=0（配方法）
（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）
【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝1，x2＝﹣3；（3）x1＝3，x2＝﹣2；（4）x1＝﹣1，x2＝2．
【分析】
（1）直接利用开方法进行求解即可得到答案；
（2）直接利用配方法进行求解即可得到答案；
（3）直接利用公式法进行求解即可得到答案；
（4）直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；
【详解】解：（1）∵
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵x2+2x＝3，
∴x2+2x+1＝4，
∴（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x1＝1，x2＝﹣3；
（3）∵x2﹣x﹣6＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣6）＝25，
∴x＝，
∴x1＝3，x2＝﹣2；
（4）∵
∴（x+1）（2﹣x）＝0，
∴x+1＝0或2﹣x＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.
20．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，设方程的两根分别为x1，x2，求x12+x22的值；
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
【答案】（1）；（2）8；（3）2
【分析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围即可；
（2）把x＝1代入方程，求出，进而求出的值；
（3）首先求出方程的根为，且根为整数，则为完全平方数，结合k的取值范围即可求出k的值．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）当时，方程为，
解得，
则．
（3）∵k为正整数，且，
∴k＝1或2．
根据一元二次方程根的公式可得方程的根为
又根为整数，
∴为完全平方数，
∴．
【点睛】本题考查的是二次函数根与系数的关系，掌握二次函数根与系数的公式是解决本题的关键．
21．（2022·北京丰台·八年级期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
【答案】：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据冰场的面积是原空地面积的列出方程，解方程后再求通道的宽度即可．
【详解】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，
，
解得，，（舍去），
则上、下通道的宽度为（米），左、中、右通道的宽度（米），
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解．
22．（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）某画室的同学们，将自己创作的画作制成了精美的书签套盒，非在网上进行售卖，备受欢迎，某商店老板了解后决定购进一批该书签在店内销售．经过对接，画室给出的进价是10元/盒．
(1)据调查，商店老板计划首月销售1680盆，每盒售价12元，经过首月试销售，老板发现单盒书签每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望书签月销量不低于1620盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，生产原料价格上调，故每盒书签进价提高了，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量1620盒增加了，于是月销售利润达到了3564元，求a的值．
【答案】(1)每盒售价最高为15元；(2)．
【分析】
（1）设每盒售价为x元，根据首月销售1680盆，书签每增长1元，月销量就将减少20盒．月销量不低于1620盒，列不等式1680-(x-12)×20≥1620，解不等式即可；
（2）先求出每盒书签利润为：，销量为：1620+810a，根据总利润=每盒利润×销量，列方程 ，解方程即可．
【详解】(1)解：设每盒售价为x元，
根据题意得： 1680-(x-12)×20≥1620，
解得：x≤15，
则每盒售价最高为15元．
(2)
解：每盒书签利润为：，销量为：1620+810a，
根据题意列方程得： ，
整理得：，
解得（舍去）．
【点睛】本题考查列一元一次不等式应用题，与列一元二次方程解销售问题应用题，掌握列一元一次不等式应用题，与列一元二次方程解销售问题应用题是解题关键．
23．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）某校文化节期间，八年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
(2)要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
【答案】(1)；(2)40元或60元
【分析】
（1）利用待定系数法即可得到y与x的函数表达式；
（2）根据销售利润达到800元，可得方程，解方程即可得到销售单价.
【详解】(1)解：当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为
把（20，60），（80，0）代入，得，
解得，
∴
(2)
由题意得，
解得，，
答：销售单价定为40元或60元时，销售总利润达到800元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
24．（2022·重庆江津·八年级期末）某区大力发展花椒经济，帮助农民走富裕之路．去年花椒大获丰收，椒农张大爷共售出A、B两种鲜花椒900千克，A种鲜花椒售价是6元/千克，B种鲜花椒售价是8元/千克，全部售出后总销售额为6000元．
(1)去年椒农张大爷售出A、B两种花椒各多少千克？
(2)今年花椒又获得丰收，张大爷借助某直播平台销售鲜花椒．A种鲜花椒让利销售，其单价比去年下降了，B种鲜花椒的单价比去年上涨了2a%，结果A种鲜花椒的销量是去年的2倍，B种鲜花椒的销量比去年减少了a%，总销售额比去年增加了60%．求a的值．
【答案】(1)去年椒农张大爷售出种花椒600千克，售出种花椒300千克
(2)的值为30
【分析】
（1）设去年椒农张大爷售出种花椒千克，售出种花椒千克，再根据两种花椒的销售总量和销售总额建立方程组，解方程组即可得；
（2）先分别求出两种花椒的单价和销量，再根据“总销售额比去年增加了”建立方程，解方程即可得．
【详解】(1)解：设去年椒农张大爷售出种花椒千克，售出种花椒千克，
由题意得：，
解得，
答：去年椒农张大爷售出种花椒600千克，售出种花椒300千克；
(2)
解：今年种花椒的单价为元/千克，种花椒的单价为元/千克，
今年种花椒的销量为（千克），种花椒的销量为千克，
则，
整理得：，
解得或（不符题意，舍去），
答：的值为30．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，正确建立方程组和方程是解题关键．
25．（2022·重庆南开中学八年级期末）重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元．
(1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？
(2)因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？
【答案】(1)普通席280元，嘉宾席320元；(2)220元．
【分析】
（1）设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元，根据题意可得方程，求解即可得到答案；
（2）设普通席普通票增加张数为张，根据题意可得方程：，得到答案．
【详解】(1)解：设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元，
依题意得：，
解之得：，
∴嘉宾席单张票价为元，
答：普通席280元，嘉宾席320元．
(2)
设普通席普通票增加张数为张，
则，依题意得：，
解之得：，
∴12月份普通席的票价是元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方的应用，找准数量关系，能根据各数量之间的关系，正确列出方程是解题得关键