苏科版八年级数学下册 11.3 用反比例函数解决问题 教案

11．3用反比例函数解决问题（1）教学设计
教学目标：
1．能利用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题．
2．在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型．
3．经历“实际问题—建立模型—拓展应用”的过程，培养分析和解决问题的能力．
重点：是把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，利用反比例函数的图像和性质解决实际问题．
难点：用反比例函数解决实际问题．
教学过程：
一、问题情境
问题1：观察下面问题：
南京与上海的距离约为300km，一辆汽车从南京出发，以速度v（km/h）开往上海，全程所用时间为t（h），速度v随时间为t的变化而变化；
21 写出v关于 t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围；
②画出函数的图像；
③请提出一个利用反比例函数图像解决的问题，并尝试解决；
④利用反比例函数解决实际问题，要注意哪些问题？
二、应用
问题2：小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．
（1）如果小明以每分钟 120 字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？
（2）完成录入的时间t（分）与录入文字的速度v（字/分）有怎样的函数关系？
（3）要在3h内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？
（不等式模型）在解决问题过程中，有两种方法图像和方程解
（4）在直角坐标系中，作出相应函数的图像；
（5）你能利用图像对（3）作出直观解释吗？
分析：通过生活中的实际问题得出具体的反比例函数，其目的是丰富具体的反比例函数的实例，增强学生对反比例函数的认识．通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面．
解：（1）当速度是120字/min时，时间是＝200min．
（2）根据题意，得到t＝，其中v＞0．
（3）根据函数表达式，做出函数图像：
（4）当t＝180时，180＝，v＝＝≈133．3．所以至少要录入134字/min．
说明：条件“3h内”即t的范围是0＜t≤3，而要求“每分钟至少应录入多少个字”是求v的取值范围，这是个不等式的问题．由于反比例函数t＝，当v＞0时，t随v的增大而减小，所以，当t取得最大值时，v有最小值．
所以当0＜t≤3时，v≥，即v≥134．因此我们可以通过等式去解决这个问题 ．
（5）当t＝180时，v＝．
根据图像，可以发现，当t≤180时，v≥，
即v≥134．
说明：利用反比例函数图像和性质解决问题时，要注意自变量的取值范围（正整数），同时也要能从数和形两个方面解决问题．
问题3：某厂计划建造一个容积为4×104m3的长方体蓄水池．
（1）蓄水池的底面积S(m2）与其深度h(m）有怎样的函数关系？
（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么它的底面积应为多少？
（3）如果考虑绿化以及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，那么它的深度至少应为多少米（精确到0.01）？
（4）能否利用函数图像解释（3）中的问题？
分析：本题是关于几何体的面积与体积的关系问题，根据长方体底面积×深度＝长方体体积，得到Sh＝4×104．
解：（1）由Sh＝4×104，得S＝，其中h＞0，S是h的反比例函数．
（2）当h＝5时，S＝8000．
（3）因为蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，所以S≤100×60＝6000．
因为40000＞0，所以当h＞0时，S随h的增大而减少．所以h≥＝≈6．67．
所以深度至少为6．67m．
（或：当S＝6000时，h＝＝≈6．67）
（4）略．
说明：本题第（2）问是根据深度，确定底面积，即方程模型；第（3）问可以利用方程，也可以根据反比例函数性质，转化为不等式模型．也可以利用函数图像解释，体现了建立模型－解释与应用的过程．
三、拓展应用
问题4：据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图8所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用．从消毒开始，持续多长时间，师生不能进入教室？
分析：本题首先要根据图像提供的信息，确定相应的函数表达式，然后根据函数图像和性质解决问题．要注意的是这里是由正比例函数与反比例函数组成的分段函数，要说明相应的自变量的取值范围，这也是两种函数在同一个问题中的应用问题．
解：（1）设反比例函数表达式为y＝(k＞0)．由题意知点B（25，6）在反比例函数图像上，
∴将（25，6）代入表达式得，k＝25×6＝150，
则函数表达式为y＝（x≥15）．又∵点A是反比例函数图像与正比例图像的交点，
将y＝10代入得，10＝，x＝15．∴A(15，10)．
设正比例函数表达式为y＝nx（n＞0）．
将A(15，10)代入上式，得n＝．
则正比例函数表达式为y＝x（0≤x＜15）．
（2）由题意知，当y≥2时，不能进入教室．所以当0≤x＜15时，x ≥2，x≥3．∴3≤x＜15；当x＞15时，≥2，x≤75．∴15＜x≤75．综上，当y≥2时，3≤x≤75，即持续时间为75－3＝72分钟，学生不能进入教室．
或：当3≤x＜15时，y＝x，y随x的增大而增大，∴2≤y＜10．当15≤x≤75时，y随x的增大而减小，∴2≤y≤10．∴3≤x≤75时，2≤y≤10．
所以从3到75分钟内不能进入教室，即持续时间为75－3＝72分钟，学生不能进入教室．
答：从药物释放开始，师生至少在第3分钟到第75分钟内不能进入教室，持续时间为75－3＝72分钟，学生不能进入教室．
思考：这里也可以借助于函数图像解决问题：
根据图像可以得到：当3≤x≤75时，2≤y≤10．
持续时间为75－3＝72分钟，学生不能进入教室．
说明：这里是反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．问题（2）中可以利用函数的性质或图像，也可以建立相应的不等式模型解决问题．
四、练习
1．一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系的图象大致是 ( )．
2．水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天
售价x(元/千克) 400 250 240 200 150 125 120
销售量y(千克) 30 40 48 60 80 96 100
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．
（1）写出这个反比例函数的表达式，并补全表格；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
3．甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；…，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．
（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？
（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p＝），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；
（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．
分析：这是关于打折销售问题，按照甲、乙商场的优惠方案计算.（1）400≤x＜600，少付200元；（2）同问题（1），少付200元，p＝；利用反比例函数性质可知p随x的变化情况；（3）分别计算出购x（200≤x＜400）甲、乙商场的优惠额，进行比较即可．
解：（1）510－200＝310（元）
（2）∵p＝，∴p随x的增大而减小．
（3）购x元（200≤x＜400）在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x－0.6x＝0.4x．
当0.4x＜100，即200≤x＜250时，选甲商场优惠；
当0.4x＝100，即x＝250时，选甲乙商场一样优惠；
当0.4x＞100，即250＜x＜400时，选乙商场优惠；
说明：关于打折销售问题，根据优惠措施，列出有关代数式，值得注意这样的优惠一般都是有范围的，在一定的范围内适合如第（3）问．
这里的三个问题突出了模型的建立过程和应用模型解决问题的思路，体现了建立模型－解释与应用的过程．
五、小结
1．如何利用反比例函数解决实际问题？
2．利用反比例函数解决实际问题的过程中，要注意什么问题？
v
t
O
v
t
O
180
A
eq \F(400,3)
2
3
75