沪科版数学七年级下册 第8章 整式乘法和因式分解 单元测试题(word解析版)
文档属性
| 名称 | 沪科版数学七年级下册 第8章 整式乘法和因式分解 单元测试题(word解析版) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 540.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-31 16:34:48 | ||
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文档简介
第8章 整式乘法和因式分解 单元测试
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国·七年级期末）如果xm＝2，xn＝，那么xm+n的值为（ ）
A．2 B．8 C． D．2
（2021·广东番禺·七年级期末）下列运算中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·上海金山·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·湖北潜江·七年级期末）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．6 D．8
5．（2022·湖南·七年级单元测试）已知x+y=4 ，xy=3 ，则x2+ y2的值为（ ）
A．22 B．16 C．10 D．4
6．（2021·北京·七年级期中）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东中山·七年级期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A．40 B． C．20 D．23
（2022·全国·七年级单元测试）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A． B．
C． D．
9．（2022·山西·七年级期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯是目前世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将数0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国·七年级单元测试）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·北京·七年级期中）若，，则的值为 __．
12．（2021·广东茂南·七年级期末）若单项式与b的和仍是单项式，则的值是________．
13．（2021·全国·七年级单元测试）若长方形的面积是6a3＋5ab＋3a，长为3a，则它的宽为____．
14．（2021·全国·七年级单元测试）旧知回顾：在七年级学方根”时，我们会直接开方解形如的方程（解为）．解题运用：方程解为_________．
15．（2022·福建·厦门外国语学校七年级期末）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的周长是_________．
16．（2021·山东莱西·七年级期中）已知ab＝2，＝，则多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值为______．
17．（2021·江苏·无锡市天一实验学校七年级期中）熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为__________．
18．（2021·北京·七年级期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示，则______．（填“”，“”或“”）
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·江苏海门·七年级期中）计算：
(1)（﹣2x2y）3（3xy2）2﹣12x3y3（﹣5x5y4）
(2)（﹣15x4y2+12x3y3﹣6x2y3）÷（﹣3x2y）
(3)4（a﹣b）2﹣（2a+b）（﹣b+2a）
20．（2021·全国·七年级单元测试）因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
21．（2022·吉林市第五中学七年级期末）如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．
(1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式 ；
(2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．
22．（2021·全国·七年级单元测试）阅读下列材料：
①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以．
②；．
根据以上材料，解答下列问题：
（1），则______ ；______ ；______ ；
（2），求的值．
23．（2022·福建·泉州五中七年级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；
(2)解决问题：如果，求的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
24．（2021·上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2022）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2022）的值．
25．（2022·广东乐昌·七年级期末）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式
例如．求代数式的最小值．
原式
．
可知当时，有最小值，最小值是-3．
(1)分解因式：__________．
(2)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数．
(3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
第8章 整式乘法和因式分解 单元测试
单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国·七年级期末）如果xm＝2，xn＝，那么xm+n的值为（ ）
A．2 B．8 C． D．2
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法进行运算即可．
【详解】解：如果xm＝2，xn＝，
那么xm+n＝xm×xn＝2×＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法公式．
（2021·广东番禺·七年级期末）下列运算中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数相除法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了同底数相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数相除法则，熟练掌握同底数相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数相除法则是解题的关键．
3．（2022·上海金山·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，多项式乘多项式的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、2x+3x=5x，故A不符合题意；B、2a2 3a=6a3，故B符合题意；C、（x-2）（x+3）=x2+x-6，故C不符合题意；D、2x3 3x2=6x5，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查合并同类项，单项式乘单项式，多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（2022·湖北潜江·七年级期末）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【分析】先将原式根据单项式乘以多项式法则及完全平方公式法则去括号，合并同类项，再将式子的值代入计算求出答案．
【详解】解：∵
=
=
=
∵，
∴原式==8，
故选：D．
【点睛】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
5．（2022·湖南·七年级单元测试）已知x+y=4 ，xy=3 ，则x2+ y2的值为（ ）
A．22 B．16 C．10 D．4
【答案】C
【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可．
【详解】解：．
故选择C．
【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键．
6．（2021·北京·七年级期中）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式及图形的特点找到长度关系即可依次判断．
【详解】解：、因为正方形图案的边长7，同时还可用来表示，故，正确；、由图象可知，即，正确；、由和，可得，，错误；、由，，可得，，所以，正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．
7．（2022·广东中山·七年级期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A．40 B． C．20 D．23
【答案】C
【分析】根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可
【详解】解：阴影部分面积等于
∵，，
∴阴影部分面积等于
故答案为：C
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．
（2022·全国·七年级单元测试）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．然后对各选项逐个判断即可．
【详解】解：A、两因式之间用加号连结，是和的形式不是因式分解，故本选项不符合题意；B、是因式分解，故本选项符合题意；C、将积化为和差形式，是多项式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；D、两因式之间用加号连结，是和的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键 ．
9．（2022·山西·七年级期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯是目前世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将数0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000034=，
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10 n，其中1≤a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（2021·全国·七年级单元测试）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】左图中阴影部分的面积＝a2 b2，右图中矩形面积＝（a＋b）（a b），根据二者面积相等，即可解答．
【详解】解：由题意可得：a2 b2＝（a b）（a＋b）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了乘法的平方差公式，属于基础题型．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·北京·七年级期中）若，，则的值为 __．
【答案】
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及利用幂的乘方运算法则解答即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【详解】解：，
，
解得，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
12．（2021·广东茂南·七年级期末）若单项式与b的和仍是单项式，则的值是________．
【答案】1
【分析】由题意知与是同类项，有，求出的值，然后代入求解即可．
【详解】解：由题意知与是同类项
∴
解得
∴
故答案为：1．
【点睛】本题考查了同类项，0指数幂．解题的关键在于正确的计算．
13．（2021·全国·七年级单元测试）若长方形的面积是6a3＋5ab＋3a，长为3a，则它的宽为____．
【答案】2a2+b+1
【分析】根据整式的除法即可求出答案．
【详解】解：（6a3+5ab+3a）÷3a
=2a2+b+1，
故答案为：2a2+b+1．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．
14．（2021·全国·七年级单元测试）旧知回顾：在七年级学方根”时，我们会直接开方解形如的方程（解为）．解题运用：方程解为_________．
【答案】，．
【分析】先将原方程化为，即可类比题目中解方程的方法求解即可．
【详解】解：，
，
合并同类项，得，
移项，得，
解得，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程及整式的乘法运算，掌握平方根的定义是解答此题的关键．
15．（2022·福建·厦门外国语学校七年级期末）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的周长是_________．
【答案】4m+12##12+4m
【分析】根据面积的和差，可得长方形的面积，根据长方形的面积公式，可得长方形的长，根据长方形的周长公式，可得答案．
【详解】解：由面积的和差，得
长方形的面积为（m+3）2-m2=（m+3+m）（m+3-m）=3（2m+3）．
由长方形的宽为3，可得长方形的长是（2m+3），
长方形的周长是2[（2m+3）+3]=4m+12．
故答案为：4m+12．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，整式的加减，利用了面积的和差．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2021·山东莱西·七年级期中）已知ab＝2，＝，则多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值为______．
【答案】18
【分析】已知第二个等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，把ab＝2代入求出a+b的值，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵ab=2，，
∴，即a+b=3，
则原式=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=2×32
=2×9
=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．（2021·江苏·无锡市天一实验学校七年级期中）熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为__________．
【答案】
【分析】科学计数法指的是将一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），即可求出答案．
【详解】解：题中，其中a=1.56，n=-4，满足科学计数法要求，
故答案为：．
【点睛】本题主要考察了科学计数法的表示方法，要清楚地知道科学计数法是将一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），其中a、n必须要满足上述条件．
18．（2021·北京·七年级期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示，则______．（填“”，“”或“”）
【答案】
【分析】由题意直接根据正方形和长方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：方案一：如图1，，
方案二：如图2，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的面积，正确识别图形是解题的关键．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·江苏海门·七年级期中）计算：
(1)（﹣2x2y）3（3xy2）2﹣12x3y3（﹣5x5y4）
(2)（﹣15x4y2+12x3y3﹣6x2y3）÷（﹣3x2y）
(3)4（a﹣b）2﹣（2a+b）（﹣b+2a）
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】
（1）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可．
（2）根据多项式除以单项式法则求出即可．
（3）先算乘方和乘法，再合并同类项即可．
【详解】(1)解：
(2)
解：
(3)
解：
【点睛】本题考查了整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（2021·全国·七年级单元测试）因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）利用完全平方公式进行分解因式．
（2）含有公因式2，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
（3）含有公因式2xy，因此先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式．
（4）含有公因式（a-b），因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：（1）
（2）．
（3）原式
（4）原式=
【点睛】本题主要考查提公因式法与公式法因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
21．（2022·吉林市第五中学七年级期末）如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．
(1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式 ；
(2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．
【答案】(1)（a+b）2=a2+2ab+b2
(2)需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．
【分析】
（1）根据两种计算图2面积的方法可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）由计算（2a+b）2的结果可得此题结果．
【详解】(1)解：∵图2中正方形的面积可表示为：（a+b）2和a2+2ab+b2，
∴可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
(2)
解：由计算（2a+b）2=4a2+4ab+b2可得，
需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能准确地根据图形列出算式，和根据算式得到相应的图形．
22．（2021·全国·七年级单元测试）阅读下列材料：
①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以．
②；．
根据以上材料，解答下列问题：
（1），则______ ；______ ；______ ；
（2），求的值．
【答案】（1）4， 14，194；（2）
【分析】
（1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得的值，然后平方即可求得的值，然后再平方求得的值；
（2）首先方程两边除以2x即可求得的值，然后平方即可求得的值，，然后利用题目提供的立方差公式求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
，
；
故答案为：4；14；194；
（2）∵，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式以及立方差公式，正确理解完全平方公式的变形是关键．
23．（2022·福建·泉州五中七年级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；
(2)解决问题：如果，求的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
【答案】(1)（a+b）2=a2+2ab+b2；(2)39；(3)8
【分析】
（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；
（2）根据完全平方公式变形即可求解；
（3）根据长方形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．
【详解】(1)解：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
(2)
∵a+b=，ab=12，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=63-24=39；
(3)
设8-x=a，x-2=b，
∵长方形的两邻边分别是8-x，x-2，
∴a+b=8-x+x-2=6，
∵（8-x）2+（x-2）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=62-2ab=20，
∴ab=8，
∴这个长方形的面积=（8-x）（x-2）=ab=8．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
24．（2021·上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2022）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2022）的值．
【答案】(1)；；(2)(3)①；②-2
【分析】
（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；
（2）由（1）直接可得关系式；
（3）①由（a-b）2=a2+b2-2ab=13，（a+b）2=a2+b2+2ab=25，两式子直接作差即可求解；②设2021-a=x，a-2022=y，可得x+y=1，再由已知可得x2+y2=5，先求出xy=-2，再求（2021-a）（a-2022）=-2即可．
【详解】解：(1)方法一：∵大正方形的边长为（a+b），
∴S=（a+b）2；
方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，
∴S=b2+ab+ab+a2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
(2)
由（1）可得（a+b）2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；
(3)
①∵（a-b）2=a2+b2-2ab=13①，
（a+b）2=a2+b2+2ab=25②，
由①-②得，-4ab=-12，
解得：ab=3；
②设2021-a=x，a-2022=y，
∴x+y=1，
∵（2021-a）2+（a-2022）2=5，
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2=1，
∴2xy=1-（x2+y2）=1-5=-4，
解得：xy=-2，
∴（2021-a）（a-2022）=-2．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键．
25．（2022·广东乐昌·七年级期末）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式
例如．求代数式的最小值．
原式
．
可知当时，有最小值，最小值是-3．
(1)分解因式：__________．
(2)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数．
(3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】(1)（a-3）（a+1）；(2)见解析；(3)m=6，n=4，最小值为5．
【分析】
（1）把a -2a-3化为a -2a+1-4的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（2）首先把x +y -4x+2y+6配方写成（x-2）2+（y+1）2+1，根据平方的非负性即可求解；
（3）用拆项的方法首先把多项式化为m2-2m（n+2）+（n+2）2+n2-8n+16+5的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值．
【详解】(1)解：a -2a-3
=a -2a+1-4
=（a-1）2-4
=（a-1-2）（a-1+2）
=（a-3）（a+1）；
(2)
解：多项式x +y -4x+2y+6的值总为正数，理由：
x +y -4x+2y+6
=x -4x+4+y +2y+1+1
=（x-2）2+（y+1）2+1，
∵（x-2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x-2）2+（y+1）2+1≥1，
∴多项式x +y -4x+2y+6的值总为正数；
(3)
解：m -2mn+2n -4m-4n+25
=m2-2m（n+2）+（n+2）2+n2-8n+16+5
=（m-n-2）2+（n-4）2+5，
当m-n-2=0，n-4=0时代数式有最小值，
解得m=6，n=4，最小值为5．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方、完全平方式，熟练掌握这三个知识点的综合应用，用拆项法把多项式化为完全平方的形式是解题关键
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国·七年级期末）如果xm＝2，xn＝，那么xm+n的值为（ ）
A．2 B．8 C． D．2
（2021·广东番禺·七年级期末）下列运算中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·上海金山·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·湖北潜江·七年级期末）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．6 D．8
5．（2022·湖南·七年级单元测试）已知x+y=4 ，xy=3 ，则x2+ y2的值为（ ）
A．22 B．16 C．10 D．4
6．（2021·北京·七年级期中）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东中山·七年级期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A．40 B． C．20 D．23
（2022·全国·七年级单元测试）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A． B．
C． D．
9．（2022·山西·七年级期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯是目前世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将数0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国·七年级单元测试）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·北京·七年级期中）若，，则的值为 __．
12．（2021·广东茂南·七年级期末）若单项式与b的和仍是单项式，则的值是________．
13．（2021·全国·七年级单元测试）若长方形的面积是6a3＋5ab＋3a，长为3a，则它的宽为____．
14．（2021·全国·七年级单元测试）旧知回顾：在七年级学方根”时，我们会直接开方解形如的方程（解为）．解题运用：方程解为_________．
15．（2022·福建·厦门外国语学校七年级期末）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的周长是_________．
16．（2021·山东莱西·七年级期中）已知ab＝2，＝，则多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值为______．
17．（2021·江苏·无锡市天一实验学校七年级期中）熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为__________．
18．（2021·北京·七年级期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示，则______．（填“”，“”或“”）
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·江苏海门·七年级期中）计算：
(1)（﹣2x2y）3（3xy2）2﹣12x3y3（﹣5x5y4）
(2)（﹣15x4y2+12x3y3﹣6x2y3）÷（﹣3x2y）
(3)4（a﹣b）2﹣（2a+b）（﹣b+2a）
20．（2021·全国·七年级单元测试）因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
21．（2022·吉林市第五中学七年级期末）如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．
(1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式 ；
(2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．
22．（2021·全国·七年级单元测试）阅读下列材料：
①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以．
②；．
根据以上材料，解答下列问题：
（1），则______ ；______ ；______ ；
（2），求的值．
23．（2022·福建·泉州五中七年级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；
(2)解决问题：如果，求的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
24．（2021·上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2022）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2022）的值．
25．（2022·广东乐昌·七年级期末）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式
例如．求代数式的最小值．
原式
．
可知当时，有最小值，最小值是-3．
(1)分解因式：__________．
(2)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数．
(3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
第8章 整式乘法和因式分解 单元测试
单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国·七年级期末）如果xm＝2，xn＝，那么xm+n的值为（ ）
A．2 B．8 C． D．2
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法进行运算即可．
【详解】解：如果xm＝2，xn＝，
那么xm+n＝xm×xn＝2×＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法公式．
（2021·广东番禺·七年级期末）下列运算中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数相除法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了同底数相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数相除法则，熟练掌握同底数相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数相除法则是解题的关键．
3．（2022·上海金山·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，多项式乘多项式的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、2x+3x=5x，故A不符合题意；B、2a2 3a=6a3，故B符合题意；C、（x-2）（x+3）=x2+x-6，故C不符合题意；D、2x3 3x2=6x5，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查合并同类项，单项式乘单项式，多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（2022·湖北潜江·七年级期末）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【分析】先将原式根据单项式乘以多项式法则及完全平方公式法则去括号，合并同类项，再将式子的值代入计算求出答案．
【详解】解：∵
=
=
=
∵，
∴原式==8，
故选：D．
【点睛】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
5．（2022·湖南·七年级单元测试）已知x+y=4 ，xy=3 ，则x2+ y2的值为（ ）
A．22 B．16 C．10 D．4
【答案】C
【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可．
【详解】解：．
故选择C．
【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键．
6．（2021·北京·七年级期中）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式及图形的特点找到长度关系即可依次判断．
【详解】解：、因为正方形图案的边长7，同时还可用来表示，故，正确；、由图象可知，即，正确；、由和，可得，，错误；、由，，可得，，所以，正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．
7．（2022·广东中山·七年级期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A．40 B． C．20 D．23
【答案】C
【分析】根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可
【详解】解：阴影部分面积等于
∵，，
∴阴影部分面积等于
故答案为：C
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．
（2022·全国·七年级单元测试）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．然后对各选项逐个判断即可．
【详解】解：A、两因式之间用加号连结，是和的形式不是因式分解，故本选项不符合题意；B、是因式分解，故本选项符合题意；C、将积化为和差形式，是多项式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；D、两因式之间用加号连结，是和的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键 ．
9．（2022·山西·七年级期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯是目前世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将数0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000034=，
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10 n，其中1≤a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（2021·全国·七年级单元测试）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】左图中阴影部分的面积＝a2 b2，右图中矩形面积＝（a＋b）（a b），根据二者面积相等，即可解答．
【详解】解：由题意可得：a2 b2＝（a b）（a＋b）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了乘法的平方差公式，属于基础题型．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·北京·七年级期中）若，，则的值为 __．
【答案】
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及利用幂的乘方运算法则解答即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【详解】解：，
，
解得，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
12．（2021·广东茂南·七年级期末）若单项式与b的和仍是单项式，则的值是________．
【答案】1
【分析】由题意知与是同类项，有，求出的值，然后代入求解即可．
【详解】解：由题意知与是同类项
∴
解得
∴
故答案为：1．
【点睛】本题考查了同类项，0指数幂．解题的关键在于正确的计算．
13．（2021·全国·七年级单元测试）若长方形的面积是6a3＋5ab＋3a，长为3a，则它的宽为____．
【答案】2a2+b+1
【分析】根据整式的除法即可求出答案．
【详解】解：（6a3+5ab+3a）÷3a
=2a2+b+1，
故答案为：2a2+b+1．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．
14．（2021·全国·七年级单元测试）旧知回顾：在七年级学方根”时，我们会直接开方解形如的方程（解为）．解题运用：方程解为_________．
【答案】，．
【分析】先将原方程化为，即可类比题目中解方程的方法求解即可．
【详解】解：，
，
合并同类项，得，
移项，得，
解得，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程及整式的乘法运算，掌握平方根的定义是解答此题的关键．
15．（2022·福建·厦门外国语学校七年级期末）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的周长是_________．
【答案】4m+12##12+4m
【分析】根据面积的和差，可得长方形的面积，根据长方形的面积公式，可得长方形的长，根据长方形的周长公式，可得答案．
【详解】解：由面积的和差，得
长方形的面积为（m+3）2-m2=（m+3+m）（m+3-m）=3（2m+3）．
由长方形的宽为3，可得长方形的长是（2m+3），
长方形的周长是2[（2m+3）+3]=4m+12．
故答案为：4m+12．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，整式的加减，利用了面积的和差．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2021·山东莱西·七年级期中）已知ab＝2，＝，则多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值为______．
【答案】18
【分析】已知第二个等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，把ab＝2代入求出a+b的值，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵ab=2，，
∴，即a+b=3，
则原式=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=2×32
=2×9
=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．（2021·江苏·无锡市天一实验学校七年级期中）熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为__________．
【答案】
【分析】科学计数法指的是将一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），即可求出答案．
【详解】解：题中，其中a=1.56，n=-4，满足科学计数法要求，
故答案为：．
【点睛】本题主要考察了科学计数法的表示方法，要清楚地知道科学计数法是将一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），其中a、n必须要满足上述条件．
18．（2021·北京·七年级期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示，则______．（填“”，“”或“”）
【答案】
【分析】由题意直接根据正方形和长方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：方案一：如图1，，
方案二：如图2，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的面积，正确识别图形是解题的关键．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·江苏海门·七年级期中）计算：
(1)（﹣2x2y）3（3xy2）2﹣12x3y3（﹣5x5y4）
(2)（﹣15x4y2+12x3y3﹣6x2y3）÷（﹣3x2y）
(3)4（a﹣b）2﹣（2a+b）（﹣b+2a）
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】
（1）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可．
（2）根据多项式除以单项式法则求出即可．
（3）先算乘方和乘法，再合并同类项即可．
【详解】(1)解：
(2)
解：
(3)
解：
【点睛】本题考查了整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（2021·全国·七年级单元测试）因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）利用完全平方公式进行分解因式．
（2）含有公因式2，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
（3）含有公因式2xy，因此先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式．
（4）含有公因式（a-b），因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：（1）
（2）．
（3）原式
（4）原式=
【点睛】本题主要考查提公因式法与公式法因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
21．（2022·吉林市第五中学七年级期末）如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．
(1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式 ；
(2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．
【答案】(1)（a+b）2=a2+2ab+b2
(2)需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．
【分析】
（1）根据两种计算图2面积的方法可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）由计算（2a+b）2的结果可得此题结果．
【详解】(1)解：∵图2中正方形的面积可表示为：（a+b）2和a2+2ab+b2，
∴可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
(2)
解：由计算（2a+b）2=4a2+4ab+b2可得，
需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能准确地根据图形列出算式，和根据算式得到相应的图形．
22．（2021·全国·七年级单元测试）阅读下列材料：
①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以．
②；．
根据以上材料，解答下列问题：
（1），则______ ；______ ；______ ；
（2），求的值．
【答案】（1）4， 14，194；（2）
【分析】
（1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得的值，然后平方即可求得的值，然后再平方求得的值；
（2）首先方程两边除以2x即可求得的值，然后平方即可求得的值，，然后利用题目提供的立方差公式求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
，
；
故答案为：4；14；194；
（2）∵，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式以及立方差公式，正确理解完全平方公式的变形是关键．
23．（2022·福建·泉州五中七年级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；
(2)解决问题：如果，求的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
【答案】(1)（a+b）2=a2+2ab+b2；(2)39；(3)8
【分析】
（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；
（2）根据完全平方公式变形即可求解；
（3）根据长方形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．
【详解】(1)解：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
(2)
∵a+b=，ab=12，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=63-24=39；
(3)
设8-x=a，x-2=b，
∵长方形的两邻边分别是8-x，x-2，
∴a+b=8-x+x-2=6，
∵（8-x）2+（x-2）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=62-2ab=20，
∴ab=8，
∴这个长方形的面积=（8-x）（x-2）=ab=8．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
24．（2021·上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2022）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2022）的值．
【答案】(1)；；(2)(3)①；②-2
【分析】
（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；
（2）由（1）直接可得关系式；
（3）①由（a-b）2=a2+b2-2ab=13，（a+b）2=a2+b2+2ab=25，两式子直接作差即可求解；②设2021-a=x，a-2022=y，可得x+y=1，再由已知可得x2+y2=5，先求出xy=-2，再求（2021-a）（a-2022）=-2即可．
【详解】解：(1)方法一：∵大正方形的边长为（a+b），
∴S=（a+b）2；
方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，
∴S=b2+ab+ab+a2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
(2)
由（1）可得（a+b）2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；
(3)
①∵（a-b）2=a2+b2-2ab=13①，
（a+b）2=a2+b2+2ab=25②，
由①-②得，-4ab=-12，
解得：ab=3；
②设2021-a=x，a-2022=y，
∴x+y=1，
∵（2021-a）2+（a-2022）2=5，
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2=1，
∴2xy=1-（x2+y2）=1-5=-4，
解得：xy=-2，
∴（2021-a）（a-2022）=-2．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键．
25．（2022·广东乐昌·七年级期末）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式
例如．求代数式的最小值．
原式
．
可知当时，有最小值，最小值是-3．
(1)分解因式：__________．
(2)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数．
(3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】(1)（a-3）（a+1）；(2)见解析；(3)m=6，n=4，最小值为5．
【分析】
（1）把a -2a-3化为a -2a+1-4的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（2）首先把x +y -4x+2y+6配方写成（x-2）2+（y+1）2+1，根据平方的非负性即可求解；
（3）用拆项的方法首先把多项式化为m2-2m（n+2）+（n+2）2+n2-8n+16+5的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值．
【详解】(1)解：a -2a-3
=a -2a+1-4
=（a-1）2-4
=（a-1-2）（a-1+2）
=（a-3）（a+1）；
(2)
解：多项式x +y -4x+2y+6的值总为正数，理由：
x +y -4x+2y+6
=x -4x+4+y +2y+1+1
=（x-2）2+（y+1）2+1，
∵（x-2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x-2）2+（y+1）2+1≥1，
∴多项式x +y -4x+2y+6的值总为正数；
(3)
解：m -2mn+2n -4m-4n+25
=m2-2m（n+2）+（n+2）2+n2-8n+16+5
=（m-n-2）2+（n-4）2+5，
当m-n-2=0，n-4=0时代数式有最小值，
解得m=6，n=4，最小值为5．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方、完全平方式，熟练掌握这三个知识点的综合应用，用拆项法把多项式化为完全平方的形式是解题关键