辽宁省朝阳县柳城高中2013届高三上学期期末考试数学（理）试题

（试卷满分150分 考试时间120分钟）
一、选择题（每题5分，共计60分）
1.若集合=（ ）
A． B． C． D．
2．已知全集U＝R，AU，如果命题p：∈A∪B，则命题“非p”是 （　　）
A．非p：A B．非p：∈CUB
C．非p：A∩B D．非p：∈（CUA）∩（CUB）
3.“实数”是“直线相互平行”的（ ）.
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则
锥体被截面所分成的两部分的体积之比为 （　 ）
A．1∶ B．1∶9　　 C．1∶　 D．1∶
5.函数 ，则的图象大致是（ ）

A. B. C. D.
6.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量，若，且的大小分别为 （ ）
A． B． C． D．
7设等差数列的前n项和为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15.
8.下列函数：（1）y=x2;?(2)y=;?(3)y=2x;(4)y=log2x.其中不是偶函数且在区间
（0， +∞）上也不是减函数的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3
9. 平面，直线，，且，则与（　　）.
A.　　　　B.与斜交　　　　C.　　　D.位置关系不确定
10．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
11. 不等式组表示的平面区域是（　　）
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，
的图象如图所示，则不等式的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题5分，共计20分）
13.定义在[－2，2]上的偶函数时，单调递减，若则实数m的取值范围是 。
14．设是△内一点，且，，定义，其中、、分别是△、△、△的面积，若，则的最小值是　　　　　。
15.当x= 时，函数取得最小值。
16．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD—A1B1C1D1内灌注
一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据
倾斜度的不同，有下列命题：
（1）水的部分始终呈棱柱形；
（2）水面四边形EFGH的面积不会改变；
（3）棱A1D1始终与水面EFGH平行；
（4）当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值。
其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题（共计70分，其中17题10分，其它各题均为12分）
. 17．（本小题10分）已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且┐p是┐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题满分12分)已知＝(cos＋sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).
(1)设f(x)＝ ·，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，且a1，a2，a3，…，an构成数列{an}，又f(1)=n2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：．
20．(本小题满分12分)已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．
21．(本小题满分12分).如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
(2)证明：BD∥平面PEC；
(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.
22．(本小题满分12分)．设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若，求不等式的解集．
高三数学理参考答案：
1.若集合=（ ）
A． B． C． D．
答案：C.
2．已知全集U＝R，AU，如果命题p：∈A∪B，则命题“非p”是 （　　）
A．非p：A B．非p：∈CUB
C．非p：A∩B D．非p：∈（CUA）∩（CUB）
答案:D
3.“实数”是“直线相互平行”的（ ）.
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A.
4．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为 （　 ）
A．1∶ B．1∶9　　 C．1∶　 D．1∶
答案：D
5.函数 ，则的图象大致是（ ）

A. B. C. D.
答案：B.
6.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量，若，且的大小分别为 （ ）
A． B． C． D．
答案：D.
7设等差数列的前n项和为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
答案：C.
8. 下列函数：（1）y=x2;?(2)y=;?(3)y=2x;(4)y=log2x.其中不是偶函数且在区间（0，+∞）上也不是减函数的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：D
9. 平面，直线，，且，则与（　　）.
A.　　　　B.与斜交　　　　C.　　　D.位置关系不确定
答案：D
10．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好
都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面
运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
11. 不等式组表示的平面区域是（　　）
答案：B
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，
的图象如图所示，则不等式的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
13.定义在[－2，2]上的偶函数时，单调递减，若则实数m的取值范围是 。
答案：
14．设是△内一点，且，，定义，其中、、分别是△、△、△的面积，若，则的最小值是　　　　　。
答案18
15.当x= 时，函数取得最小值。
答案：-1.
16．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD—A1B1C1D1内灌注
一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据
倾斜度的不同，有下列命题：
（1）水的部分始终呈棱柱形；
（2）水面四边形EFGH的面积不会改变；
（3）棱A1D1始终与水面EFGH平行；
（4）当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值。
其中所有正确命题的序号是 .
答案①③④；
17．（本小题10分）已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且┐p是┐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
17．解法一：由p：|1－|≤2，解得－2≤x≤10
∴“非p”：A＝｛x|x＞10或x＜－2｝．--------------3分
由q：x2－2x＋1－m2≤0，解得1－m≤x≤1＋m（m＞0）
∴“非q”：B＝｛x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0｝-----------3分
由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：AB．
　解得0＜m≤3．
∴满足条件的m的取值范围为{m|0＜m≤3｝．------------10分
解法二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换．
由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．
即“非q”“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“pq，但qp”．
即p是q的充分而不必要条件．
由|1－|≤2，解得－2≤x≤10，
∴p＝{x|－2≤x≤10}
由x2－2x＋1－m2＞0，解得1－m≤x≤1＋m（m＞0）
∴q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}
由p是q的充分而不必要条件可知：
qp　解得0＜m≤3．
∴满足条件的m的取值范围为{m|0＜m≤3．
18.(本小题满分12分)已知＝(cos＋sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).
(1)设f(x)＝ ·，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)设有不相等的两个实数x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值.
18、解：(1)由f(x)＝·得
f(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos
＝cos2－sin2－2sincos
＝cosx－sinx
＝cos(x＋)，
所以f(x)的最小正周期T＝2π.-------------------6分
又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
故f(x)的单调递减区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z).---------8分
(2)由f(x)＝1得cos(x＋)＝1，故cos(x＋)＝.
又x∈，于是有x＋∈，得x1＝0，x2＝－，
所以x1＋x2＝－----------12分.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，且a1，a2，a3，…，an构成数列{an}，又f(1)=n2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：．
19．（1）由题意：f(1)=a1+a2+…+an=n2，(n∈N*)
n=1时，a1=1
n≥2时，an=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+…+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1
∴对n∈N*总有an=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.-------6分
(2)
------8分
----------------12分
20．(本小题满分12分)已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．
20． 解：∵e＝＝＝，∴a2＝2b2.
因此，所求椭圆的方程为x2＋2y2＝2b2，-------------2分
又∵AB为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB的中点，
设A(2－m,1－n)，B(2＋m,1＋n)，则
?-----8分
?得2b2＝16.
故所求椭圆的方程为x2＋2y2＝16.------------12分
21．(本小题满分12分).如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
(2)证明：BD∥平面PEC；
(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.
21． 解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，
22．设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若，求不等式的解集．
22.解： (1) , 由,得 .
因为 当时,； 当时,； 当时,；
所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .--------------6分
由 ,
得：. -------------9分
故：当 时, 解集是：；
当 时，解集是： ；
当 时, 解集是：.-------------------12分