1.1.1命题
一、选择题
1．下列语句中是命题的是( )
A．|x＋a| B．0∈N
C．集合与简易逻辑 D．真子集
[答案] B
[解析] 由命题定义知选B.
2．已知命题：①若ac>bc，则a>b；②若a>b，则<；③若x＋2＝0，则x＋2≤0；④若p≥0，则p2≥p.其中真命题的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] ①当c≤0时，不一定有a>b恒成立，是假命题；②当a>0时，b<0，不等式<不成立，是假命题；③是真命题；④当0
p不成立，是假命题，故选A.
3．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
[答案] D
[解析] 由于向量c与b不共线，故①错，[(b·c)a－(c·a)b]·c＝0，故③错．
4．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a、b相交，则α、β相交
D．若α、β相交，则a、b相交
[答案] D
[解析] 如图所示，因为α、β为两个不同的平面，所以若α∩β为＝c，但平面α、β不会重合．因为a⊥α，b⊥β，所以a与b不一定相交．故“α、β相交，则a、b相交”是假命题．
5．关于直线m、n与平面α、β有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
[答案] D
[解析] m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n可能相交或异面，故①不成立，排除A、C；若m⊥α，n⊥β，m⊥n成立，故②正确，排除B.
6．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a>1时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
[答案] D
[解析] 由△＝16－4a≥0，知a≤4，故D正确．
7．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] 命题①忽视两条直线可以相交，命题②两平面可以相交、平行，命题③l1，l2可以异面或相交，命题④中与l1，l2都相交的两直线可以相交，故选D.
8．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
9．给定下列命题：
①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a>b，则a＋c>b＋c；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[答案] B
[解析] ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②显然为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形；④为真命题．
10．设α、β、γ为两两不重合的平面，c、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②如果α∥β，c?α，则c∥β；
③如果α∩β＝c，β∩γ＝m，γ∩α＝n，c∥γ，则m∥n.
其中真命题个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
[答案] B
[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，如两个平面在第三个平面上(一本书立在课桌上)．②正确．③正确．
二、填空题
11．有下列四个命题：
①如果x＋y＝0，则x、y互为相反数；
②全等三角形面积相等；
③如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实数解；
④2是合数．
其中真命题是________．(填上正确命题的所有序号)
[答案] ①②③
12．设有两个命题：
①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；②函数f(x)＝logmx是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．
[答案] m≥1或m＝0
[解析] ①为真时，m≥0；②为真时，0∴①真②假时或m≤0∴m≥1或m＝0；
∴②真①假时∴m∈?.∴m≥1或m＝0.
13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)
[答案] x轴 －3－log2x
[解析] f(x)＝3＋log2x，
关于x轴对称的曲线为－g(x)＝3＋log2x
即g(x)＝－3－log2x.
14．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号________(写出所有真命题的序号)．
[答案] (1)(2)
[解析] 本题主要考查平面间的位置关系．考查学生对知识的掌握程度．
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β是正确的；(2)由线面平行判定定理知(2)正确；(3)由α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，不能推出α和β垂直；(3)不正确；(4)直线l与α垂直能够推出l与α内的两条直线垂直，而l与α内的两条直线垂直不能推出直线l与α垂直，∴(4)不正确．
三、解答题
15．判断下列语句是否是命题，并说明理由．
①是无限循环小数；
②x2－3x＋2＝0；
③一条直线l，不是与平面α平行就是相交；
④x2＋2x－3<0；
⑤二次函数的抛物线太美了！
⑥4是集合{1,2,3}的元素．
[解析] ①是命题，且是假命题．
②不是命题，因为语句中含有变量x，有没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．
③直线l与平面α的位置有三种：平行、相交和在平面内，为假命题．
④在x未赋值之前，不能判断其真假，不是命题．
⑤感叹句，不是命题．
⑥由于4?{1,2,3}，所以“4是集合{1,2,3}的元素”为假命题．
16．已知“x1”是假命题，求a满足的条件．
[解析] 由x1是假命题，则a≤0.故a满足的条件是a≤0.
17．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．
(1)任何负数都大于零；
(2)△ABC与△A1B1C1是全等三角形；
(3)x2＋x>0；
(4)??A；
(5)6是方程(x－2)(x－6)＝0的解；
(6)方程x2－2x＋5＝0有实数解．
[解析] (1)能构成命题，且是假命题．
(2)两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法确定，故不是命题．
(3)因为x是未知数，无法判断x2＋x是否大于零，所以不是命题．
(4)空集是任何非空集合的真子集，集合A是否非空集合无法判断，故不是命题．
(5)6确实是所给方程的解，所以这一语句是命题，且是真命题．
(6)由于给定方程的判别式Δ＝4－4＝－16<0，知方程x2－2x＋5＝0无实根，故这是命题，但为假命题．
18．判断下列命题的真假．
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}．
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点．
④把函数y＝3sin的图象向右平移，得到y＝3sin2x的图象．
⑤函数y＝sin在[0，π]上是减函数．
[解析] 命题①中y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，
显然其最小正周期为π，∴①是真命题．
②当k＝2m(m∈Z)时，则α＝mπ，其角的终边在x轴上，∴②是假命题．
③在同一坐标系中，作出y＝sinx与y＝x 的图象观察知图象只在原点处有一个交点，∴③是假命题．
命题④中，向右平移变为
y＝3sin＝3sin2x，命题为真命题．
命题⑤中y＝sin＝－cosx在[0，π]上为增函数，命题为假命题．
1.1.2量词
一、选择题
1．下列命题是全称真命题的是( )
A．?x∈R，x2>0 B．?x∈Q，x2∈Q
C．?x∈Z，x2>1 D．?x，y∈R，x2＋y2>0
[答案] B
2．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二·一班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
[答案] C
3．下列命题为存在性命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
[答案] D
[解析] A、B、C为全称命题．
4．下列命题：
①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称命题的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
[答案] B
[解析] ②③含有全称量词“任意”．
5．(2009·宁夏、海南)有四个关于三角函数的命题：
p1：?x∈R，sin2＋cos2＝
p2：?x、y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny
p3：?x∈[0，π]，＝sinx
p4：sinx＝cosy?x＋y＝
其中假命题的是( )
A．p1，p4 B．p2，p4
C．p1，p3 D．p3，p4
[答案] A
[解析] 本题主要考查命题的真假．
p1是假命题，∵?x∈R，sin2＋cos2＝1，
p2是真命题，例如：当x＝y＝时，
sin(x－y)＝sinx－siny＝0.
p3是真命题，
∵?x∈[0，π]，sinx≥0，
∴＝|sinx|＝sinx.
p4是假命题，例如：sin＝cosπ x＋y＝.
6．已知A表示点，a，b，c表示直线，M、N表示平面，给出下列命题，其中是真命题的序号为( )
①a⊥M，b?M，若b∥M，则b⊥a；
②a⊥M，若a⊥N，则M∥N；
③a?M，b∩M＝A，c为b在M上的射影，若a⊥c，则a⊥b.
A．① B．②
C．①②③ D．②③
[答案] C
7．下列命题中是全称命题且是真命题的个数是( )
①每一个二次函数的图象都开口向上
②存在一条直线与两个相交平面垂直
③存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6<0成立
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] A
[解析] 只有①是全称命题，但它是假命题，故选A.
8．下列命题中是存在性命题且是真命题的个数是( )
①?x∈R，x≤0.②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数．③?x∈{x|x是无理数}，x3是无理数．
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] D
[解析] ①②③均是存在性命题，且都为真命题．故选D.
9．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是( )
A．?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
B．?x，y∈R，使x2＋y2≥2xy
C．?x>0，y>0，使x2＋y2≥2xy
D．?x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy
[答案] A
10．(2009·鞍山高二检测)四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2＝0；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①中只有当x＝2或x＝1是方程的根所以①为假命题；②中x＝±为无理数故②也为假命题；③中方程无解；④中不等式解集为{x|x∈R且x≠1}故选A.
二、填空题
11．用符号“?”与“?”表示下面含有量词的命题：
(1)自然数的平方大于零______________________；
(2)存在一对整数，使2x＋4y＝3__________________________.
[答案] (1)?x∈N，x2>0；(2)?x，y∈Z，使2x＋4y＝3
12．有下列四个命题：①22340能被3或5整除；②不存在x∈R，使得x2＋x＋5<0；③对任意的实数x，均有x＋1>x；④方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根．
其中假命题有________．(只填序号)
[答案] ④
13．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．
[答案] ①④
14．设有两个命题：
①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；
②函数f(x)＝logmx是增函数．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数m的取值范围是________．
[答案] 0≤m≤1
[解析] ①是真命题则m≥0，②是真命题则m>1，若①真②假，则0≤m≤1；若②真①假，则m不存在，综上，0≤m≤1.
三、解答题
15．用符号“?”与“?”表示下面含有量词的命题．
(1)不等式|x－1|＋|x－2|<3有实数解；
(2)如果a，b是偶数，则a＋b也是偶数．
(3)一定有实数α、β，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；
(4)一定有整数x、y，使得3x－2y＝10；
(5)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有一个解．
[解析] (1)?x∈R，使|x－1|＋|x－2|<3.
(2)?a，b∈R，且a，b为偶数，使a＋b为偶数．
(3)?α、β∈R，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；
(4)?x、y∈Z，使得3x－2y＝10；
(5)?a∈R，?b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．
16．判断下列命题的真假．
(1)对于任意0(2)存在异号实数a，c，使方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根．
(3)?x∈R，|x|>x；
(4)对数函数都是单调函数．
[解析] (1)真，因为|x－2|<3?－1(2)真，∵a、c异号，
∴ac<0，∴△＝b2－4ac>0.
(3)假，当x＝0时，|x|＝x.
(4)真．
17．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假．
(1)若a>0且a≠1，则对任意实数x，ax>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1(3)?T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sinx|；
(4)?x∈R，使x2＋1<0.
[解析] (1)(2)是全称命题(3)(4)是存在性命题．
(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，
∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan0＝tanπ
∴命题(2)是假命题．
(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x∈R，x2＋1>0.
∴命题(4)是假命题．
18．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)，?x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)<1恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] ∵(x－a)⊙(x＋a)<1
∴(x－a)[1－(x＋a)]<1
∴－x2＋x＋a2－a－1<0
即x2－x－a2＋a＋1>0
∵?x∈R，上述不等式恒成立．
∴Δ<0
即1－4(－a2＋a＋1)<0
解得－∴实数a的取值范围是(－，)．
1.2.1“且”与“或”
一、选择题
1．下列为假命题的是( )
A．3是7或9的约数
B．两向量平行，其所在直线平行或重合
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．如果x2＋y2＝0，则x＝0且y＝0
[答案] C
[解析] 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故对于“且”形式的命题C，其一为假必为假．A、B、D皆真．
2．命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是( )
A．没有使用联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
D．使用了逻辑联结词“非”
[答案] B
[解析] x＝±2是指x＝2或x＝－2.
3．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( )
A．10或15是5的倍数
B．方程2x2－4x－6＝0的两根是3和－1
C．方程x2＋1＝0没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
[答案] B
[解析] 由联结词意义知选B.
4．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”；其中假命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
[答案] A
[解析] 命题①②③都正确．
5．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是( )
A．“p∨q”为假 B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真 D．以上都不对
[答案] B
[解析] ∵p为真，q为假，∴“p∨q”为真，故选B.
6．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么( )
A．命题p，q都是真命题
B．命题p，q都是假命题
C．命题p，q只有一个是真命题
D．命题，p，q至少有一个是真命题
[答案] C
[解析] “p∨q”为真，则至少p、q有一真，
p∧q为假，则至少p、q有一假，
∴p、q一真一假，故选C.
7．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( )
A．简单命题
B．“p∨q”形式的复合命题
C．“p∧q”形式的复合命题
D．“?p”形式的复合命题
[答案] C
[解析] 由定义可知选C.
8．(2009·烟台4月考)已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R”，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
[答案] A
[解析] ∵x2－a≥0在x∈[1,2]上恒成立，
∴a≤x，∴p：a≤1；
由Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴q：a≥1或a≤－2.
若p∧q为真，则，
∴a＝1或a≤－2，故选A.
9．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
[答案] C
[解析] 点p(x，y)满足，可验证各选项中，只有C成立．
10．已知命题p：不等式|x－1|>m的解集是R，命题q：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数．如果命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(0,2)
C．[0,2) D．(－∞，2)
[答案] C
[解析] 由命题p可得m<0，由命题q可得m<2，又由命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，得命题p与q一真一假，如果命题p真q假，则可得此不等式组无解；如果命题p假q真，则可得得0≤m<2.故应选C.
二、填空题
11．选用“∧”、“∨”填空，使下列命题成为真命题．
(1)x∈(A∪B)，则x∈A________x∈B；
(2)x∈(A∩B)，则x∈A________x∈B；
[答案] ∨；∧
12．命题p：如果两三角形全等，则这两个三角形相似；q：如果两三角形相似，则这两三角形全等．在命题“p∧q”、“p∨q”中，真命题是________，假命题是______．
[答案] p∨q p∧q
[解析] 由题意知，p真q假．
13．分别用“p∨q”、“p∧q”填空：
(1)命题“集合A?B”是________的形式；
(2)命题“≥2”是________的形式；
(3)命题“60是10与12的公倍数”是______的形式．
[答案] (1)p∧q (2)p∨q (3)p∧q
14．若命题p：a∈{a，b}，q：{a}?{a，b}，则：①p∨q为真；②p∨q为假；③p∧q为真；④p∧q为假．以上对复合命题的判断正确的是________(填上所有你认为正确的序号)．
[答案] ①③
[解析] 因为命题p：a∈{a，b}是真命题，命题q：{a}?{a，b}是真命题，所以p∨q为真命题，p∧q为真命题．
三、解答题
15．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题．
(1)96是48与16的倍数；
(2)方程x2＋3x＋2＝0的根是x＝±1；
(3)不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2，或x<－1}．
[解析] (1)这个命题是p且q的形式，其中p：96是48的倍数；q：96是16的倍数．
(2)这个命题是p或q的形式，其中p：方程x2＋3x＋2＝0的根是1，q：方程x2＋3x＋2＝0的根是－1；
(3)这个命题是p或q的形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}；q：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}．
16．分别指出由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”的真假．
(1)p：正多边形有一个内切圆；q：正多边形有一个外接圆．
(2)p：角平分线上的点到角两边距离不相等；
q：线段中垂线上的点到线段两端点距离相等．
(3)p：2∈{2,3,4}；q：{矩形}∩{菱形}＝{正方形}．
(4)p：正六边形的对角线都相等；q：凡是偶数都是4的倍数．
[解析] (1)∵p真、q真．
∴p或q真；p且q真．(2)∵p假、q真，∴p或q真；p且q假．
(3)∵p真、q真，∴p或q真；p且q真．
(4)∵p假、q假，∴p或q假；p且q假．
17．已知命题p：1∈{x|x2(1)当a为何值时，“p或q”为真命题；
(2)当a为何值时，“p且q”为真命题．
[解析] 当a>1时，1∈{x|x2当a≤1时，p为假；
当a>4时，2∈{x|x2当a≤4时，q为假．
∴(1)当a>1时，p或q为真；
(2)当a>4时，p且q为真．
18．命题p：函数g(x)＝lg(x2＋2ax＋4)的值域为R.
命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是增函数．
若p或q为假，求实数a的取值范围．
[解析] ∵p或q为假，∴p假q假
p为假，则4a2－4×4<0，∴a2<4
即－2q为假，则5－2a>1，∴a<2，∴－2∴实数a的取值范围(－2,2)．
1.2.2“非”（否定）
一、选择题
1．如果命题“綈p或綈q”是真命题，命题“綈p且綈q”是假命题，那么( )
A．命题p和q都是真命题
B．命题p和q都是假命题
C．命题p与“綈q”的真假相同
D．命题p与“綈q”的真假不同
[答案] C
[解析] “綈p或綈q”是真命题，说明綈p与綈q至少有一为真命题，而綈p是綈q是假命题，说明綈p与綈q至少有一为假命题，所以綈p和綈q有一真命题一假命题，∴p与“綈q”真假相同．
2．命题：“?x∈R，都有x2－x＋1>0”的否定是( )
A．?x∈R，都有x2－x＋1≤0
B．?x∈R，使x2－x＋1>0
C．?x∈R，使x2－x＋1≤0
D．以上选项均不正确
[答案] C
[解析] 原命题是全面肯定，则它的非命题应是部分否定，故选C.
3．已知全集S＝R，A?S，B?S，若命题p：∈A∪B，则命题“非p”是( )
A.?A B.??sB
C.?A∩B D.∈(?sA)∩(?sB)
[答案] D
[解析] 由命题的否定可得D.
4．若ab<0(a，b∈R)，则点F(a，b)在第二或第四象限，可拆成下列两个简单命题( )
A．ab<0，则P(a，b)在第二象限或ab<0，则P(a，b)在第四象限
B．P(a，b)在第二象限，则ab<0，若P(a，b)在第四象限，则ab<0
C．a>0，b<0，则P(a，b)在第四象限，a<0，b>0，则P(a，b)在第二象限
D．以上拆法均不正确
[答案] C
5．下列命题中真命题的个数是( )
①?x∈R，x4>x2；
②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
③命题“?x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“?x∈R，x3－x2＋1>0”．
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 真命题只有③，故选B.
6．(2009·北京高二检测)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
[答案] D
7．命题“存在实数x，|x＋1|≤0且x2≥1”是( )
A．“p∨q”的形式 B．“?p”的形式
C．真命题 D．假命题
[答案] C
[解析] 所给命题既不是“p∨q”的形式，也不是“?p”的形式，它是一个真命题，如x＝－1时命题成立．
8．由下列各组命题构成的复合命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真的一组为( )
A．p：∈Q，q：??A
B．p：π<3，q：5>3
C．p：a∈{a，b}，q：{a}?{a，b}
D．p：Q?R，q：N＝Z
[答案] B
[解析] 若“綈p”为真，则p为假．
又p∨q为真，p∧q为假，所以q为真．
故选B.
9．已知命题p：若平面α⊥β，平面γ⊥β，则有α∥γ.命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则有α∥β.对于这两个命题，下列结论中正确的是( )
A．p∧q为真 B．p∨q为假
C．p∨q为真 D．(綈p)∨(綈q)为假
[答案] B
[解析] 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两个平面α，β也可能相交，故选B.
10．已知命题p：7≠8，q：3>4，则下列说法正确的是( )
A．“p∨q”为真，“p∧q”为真，“綈p”为假
B．“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真
C．“p∨q”为假，“p∧q”为假，“綈p”为假
D．“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为假
[答案] D
[解析] ∵p为真q为假，∴p∨q为真，p∧q为假．
綈p为假，綈q为真．故选D.
二、填空题
11．若“p∧q”与“p∨q”均为假，则綈p，綈q的真假为________．
[答案] 均为真
[解析] 由命题“且”，“或”知p、q都是假，∴綈p、綈q都是真．
12．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1[答案] p∨q，?p
[解析] p的范围应为?，故p为假；q为真，故“p∨q”与“?p”为真，而“p∧q”与“?p”为假．
13．已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z且“p∧q”与“?q”同时为假命题，则x的值为________．
[答案] －1、0、1、2
[解析] ∵“p∧q”为假，
∴p、q至少有一个命题为假，又“?q”为假，
∴q为真，从而可知p为假．
由p为假且q为真，
可得|x2－x|<6且x∈Z，
即??
故x的值为－1、0、1、2.
14．下列说法错误的是________．
①“p且q”的否定是“綈p或綈q”
②若q为真，则綈q为假
③若p∧q为真，则綈p为假
④命题p：若M∪N＝M，则N?M，命题q：5?{2,3}，则命题“p且q”为假
[答案] ④
[解析] ④中p为真q为真，所以p且q为真．
三、解答题
15．写出下列命题的“否定”，并判断其真假：
(1)p：?x∈R；x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[解析] (1)?p：?x∈R，x2－x＋<0.是假命题，因为由?x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立．
(2)?q：至少存在一个正方形不是矩形．是假命题．
(3)?s：?x∈R，x3＋1≠0.是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.
16．已知：p：|3x－4|>2，q：>0，求綈p和綈q对应的x值的集合．
[解析] 由p：|3x－4|>2，得p：x>2或x<，∴綈p：≤x≤2.
即綈p：{x|≤x≤2}．
由q：>0，得q：x>2或x<－1，
∴綈q：－1≤x≤2，即綈q：{x|－1≤x≤2}．
17．已知命题p：x在函数f(x)＝log3(x2－x－6)的定义域内，命题q：x∈Z.若p∧q为假命题，綈q为假命题，求实数x的取值范围．
[解析] ∵p∧q假，綈q假，
∴q真，p假．
∴?
∴x∈{－2，－1,0,1,2,3}．
18．已知p：方程x2－mx＋m＋3＝0有两个不等的负根，q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋24＝0无实根．若p∨q为真．p∧q为假．求实数m的取值范围．
[解析] 当p为真命题时，有
即?
?－3当q为真命题时有Δ＝[2(m－2)]2－4(－3m＋24)<0，
即m2－4m＋4＋3m－24<0?m2－m－20<0?－4∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q中有一真命题，一假命题，即p真q假或p假q真．
∴或
?－4所以所求实数m的取值范围是(－4，－3]∪[－2,5)．
1.3.1推出与充分条件、必要条件
一、选择题
1．(2009·北京)“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 考查任意角的三角函数值．
“α＝＋2kπ(k∈Z)”?“cos2α＝”，
“cos2α＝”“α＝＋2kπ”(k∈Z)
因为α还可以等于2kπ－(k∈Z)，∴选A.
2．(2009·湖南)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 考查平面向量平行的条件．
∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b.
反之，a＝3b时也有a∥b，但a＋b≠0.故选A.
3．(2009·福建，7)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2
[答案] B
[解析] 本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．
易知选项A、C、D推不出α∥β，只有B可推出α∥β，且α∥β不一定推出B，
B项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B.
4．(2009·浙江，2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 本小题主要考查不等式的性质及充要条件．
当a>0且b>0时， a＋b>0且ab>0；
当ab>0时，a，b同号，又a＋b>0，
∴a>0，且b>0.故选C.
5．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件
D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件
[答案] A
[解析] P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0x∈P?x∈Q.但x∈Q x∈p，
∴x∈P是x∈Q的充分不必要条件．故选A.
6．.(2010·福建文，8)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] 本题主要考查充分必要条件问题．
当x＝4时，|a|＝＝5
当|a|＝＝5时，解得x＝±4.
所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．
7．(2010·广东理，5)“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
[答案] A
[解析] 一元二次方程式x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，∴m≤，故“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0”有实数解的充分不必要条件．
8．a<0是方程ax2＋1＝0有一个负数根的( )
A．必要不充分条件
B．充分必要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ①∵a<0，ax2＋1＝0?x2＝－>0.
∴ax2＋1＝0有一个负根．
∴充分性成立．
②若ax2＋1＝0有一个负根，
那么x2＝－>0，可是a<0.
∴必要性成立．故选B.
9．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 充分性：当a＝1时，直线x＋y＝0和直线x－y＝0垂直；
必要性：若直线x＋y＝0和x－ay＝0垂直，由－1·＝－1，∴a＝1，故选C.
10．(2009·山东)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力．
由已知m?α，若α⊥β则有m⊥β，或m∥β或m与β相交；反之，若m⊥β，
∵m?α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β.
∴α⊥β是l⊥β的必要不充分条件．故选B.
二、填空题
11．条件甲：“a>1”是条件乙：“a>”的__________条件．
[答案] 充要
[解析] a>1?a>成立
反之：a>时即a2－a>0解得a>1.
12．“lgx>lgy”是“>”的______________条件．
[答案] 充分不必要
[解析] 由lgx>lgy?x>y>0?>充分条件成立．
又由>成立，当y＝0时，lgx>lgy不成立，必要条件不成立．
13．不等式ax2＋ax＋a＋3>0对一切实数x恒成立的充要条件是________．
[答案] a≥0
[解析] ①当a＝0时，原不等式为3>0，恒成立；
②当a≠0时，用数形结合的方法则有
?a>0.
∴由①②得a≥0.
14．函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件为________．
[答案] b≥0
[解析] 对称轴为x＝－，
要使y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上单调，
只需满足－≤0，即b≥0.
三、解答题
15．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．
[解析] x2－x－2>0的解是x>2或x<－1，由4x＋p<0得x<－.
要想使x<－时x>2或x<－1成立，必须有－≤－1，即p≥4，所以当p≥4时，－≤－1?x<－1?x2－x－2>0.
所以p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．
16．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
[解析] 解不等式x2－8x－20>0，得p：A＝{x|x>10或x<－2}．
解不等式x2－2x＋1－a2>0得
q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}
依题意：p?q，但是q不能推出p，说明A?B.
于是有(说明“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能同时取到)
解得0∴正实数a的取值范围是017．设a，b，c为△ABC的三边，求证：x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
[解析] 充分性：
∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2，
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，
∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，
∴该方程有两个根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样，另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为
x2＋2cx－(a2－c2)＝0，
即x2＋2cx－(a－c)(a＋c)＝0，
∴[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
∴该方程有两个根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)，
可以发现x1＝x3，
∴这两个方程有公共根．
必要性：设β是两方程的公共根，
则，
由①＋②得：β＝－(a＋c)或β＝0(舍去)，
将β＝－(a＋c)代入①并整理可得：a2＝b2＋c2，
∴∠A＝90°.
18．求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[解析] 由于二次项系数是字母，因此，首先要对方程ax2＋2x＋1＝0判定是一元一次方程还是一元二次方程．
(1)当a＝0时，为一元一次方程，其根为x＝－，符合要求；
(2)当a≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4－4a≥0从而a≤1；
又设方程ax2＋2x＋1＝0的根为x1·x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
①因而方程ax2＋2x＋1＝0有一个正根、一个负根的充要条件是?a<0；
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是?0综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.
1.3.2命题的四种形式
一、选择题
1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 原命题和它的逆否命题为真．
2．(2009·重庆高考)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
[答案] B
3．下列说法中，不正确的是( )
A．“若p则q”与“若q则p”是互逆命题
B．“若綈p则綈q”与“若q则p”是互否命题
C．“若綈p则綈q”与“若p则q”是互否命题
D．“若綈p则綈q”与“若q则p”是互为逆否命题
[答案] B
[解析] “若綈p则綈q”与“若q则p”互为逆否命题．
4．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中以下结论成立的是( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
[答案] D
[解析] 原命题为真，则它的逆否命题为真．
5．如果命题p的否命题为r，命题r的逆命题是s，则s是p的逆命题t的( )
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
[答案] C
[解析] 不妨设p为“若m，则n”则r为“若綈m，则綈n，”则s为“若綈n则綈m”，p的逆命题为“若n则m”，∴s是p的逆命题t的否命题．
6．给定原命题：“若a2＋b2＝0，则a、b全为零”，下面正确的是( )
A．逆命题：若a、b全不为0，则a2＋b2＝0
B．否命题：若a2＋b2≠0，则a，b全为0
C．逆否命题：若a、b不全为0，则a2＋b2≠0
D．以上都不对
[答案] C
[解析] 由四种命题的关系可得C.
7．如果x2＝1，则x＝1的否命题为( )
A．如果x2≠1，则x＝1
B．如果x2＝1，则x≠1
C．如果x2≠1，则x≠1
D．如果x≠1，则x2≠1
[答案] C
[解析] “若p则q”的否命题形式为“若綈p则綈q”．
8．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是( )
A．若ab≠0，则a≠0或b≠0
B．若a≠0或b≠0，则ab≠0
C．若ab≠0，则a≠0且b≠0
D．若a≠0且b≠0，则ab≠0
[答案] D
[解析] 注意a＝0或b＝0的否定是a≠0且b≠0，故选D.
9．给出命题：如果函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[答案] C
[解析] 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题，否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题只有一个．
10．命题“如果函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．如果loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．如果loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．如果loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．如果loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
[答案] A
[解析] 根据逆否命题的定义，易得答案．
二、填空题
11．已知下列四个命题：
①a是正数； ②b是负数；
③a＋b是负数； ④ab是非正数．
选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的命题是____________________．
[答案] 若a是正数且a＋b是负数，则一定有b是负数．
逆否命题为真命题，即该命题为真，a是正数，且a＋b是负数，则b一定是负数，故填a是正数且a＋b是负数，则b一定是负数．
12．(2009·江苏南京4月考)以命题“如果2x2－3x－2＝0，则x＝－或x＝2”为原命题，在它的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定这四个命题中，有______个真命题，其中它的否定形式的逆命题是________．
[答案] 3 如果x≠－且x≠2，则2x2－3x－2＝0
[解析] 当2x2－3x－2＝0时(2x＋1)(x－2)＝0.
∴x＝－或x＝2，
∴原命题及其逆否命题是真命题．
反之，当x≠－且x≠2时，2x2－3x－2≠0，
∴否命题和逆命题也是真命题．
其否定为：如果2x2－3x－2＝0则x≠－且x≠2，
其逆命题为：
如果x≠－且x≠2，则2x2－3x－2＝0.
13．(1)命题“如果a>b，则2a>2b－1”的否命题是______________．
(2)命题“已知a，b∈R，如果|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”的逆否命题是______________．
[答案] (1)如果a≤b，则2a≤2b－1
(2)已知a，b∈R，如果a≠1或b≠1，则|a－1|＋|b－1|≠0
14．命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[答案] [－3,0]
[解析] 因为ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得
解得－3≤a<0.
故－3≤a≤0.
三、解答题
15．若m≤0或n≤0，则m＋n≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，同时指出它们的真假．
[解析] 逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，逆命题为真；
否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，否命题为真；(逆命题与否命题是等价的)
逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，逆否命题为假．(逆否命题与原命题等价)
16．命题：“已知p>0，q>0，若p＋q≤2，则p3＋q3＝2”写出它的逆命题，判断其真假，并证明你的结论．
[解析] 逆命题：已知p>0，q>0，若p3＋q3＝2，则p＋q≤2，为真命题．
证明：设p＋q>2，∵p>0，q>0，
∴(p＋q)3＝p3＋3p2q＋3pq2＋q3＝p3＋q3＋3pq(p＋q)>8.
又p3＋q3＝2，∴3pq(p＋q)>6，即pq(p＋q)>2.
因为p3＋q3＝(p＋q)(p2－pq＋q2)＝2，
所以pq(p＋q)>(p＋q)(p2－pq＋q2)，
于是有(p－q)2<0，这是不可能的，故必有p＋q≤2.
17．写出以下原命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；
(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．
[解析] (1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学；(假)
否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑；(假)
逆否命题：如果不会使用电脑，那就学不好数学．(假)
(2)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7；(真)
否命题：x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0；(真)
逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0则x≠3且x≠7.(真)
(3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形；(真)
否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形；(真)
逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形．(真)
(4)逆命题：若ab是奇数，则a，b都是奇数；(真)
否命题：若a或b是偶数，则ab是偶数；(真)
逆否命题：若ab是偶数，则a或b是偶数．(真)
18．证明：如果m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
[证明] 将“如果m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“如果m＋n>2，则m2＋n2≠2”．
由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，所以m2＋n2≠2.
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
第一章
一、选择题
1．(2010·北京理，6)a、b为非零向量．“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b，如a⊥b，则有a·b＝0，如果同时有|b|＝|a|，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f(x)为一次函数，则a·b＝0，因此可得a⊥b，故该条件必要．
2．(2008·安徽，7)a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 当a<0时，x1·x2＝<0，
∴方程ax2＋2x＋1＝0有一个负根；
当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0的根为x＝－.
∴a<0是方程ax2＋2x＋1＝0有一个负数根的充分不必要条件，故选B.
3．对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：?x∈R，x>0；?p：?x∈R，x≤0
B．p：?x∈R，x2≤－1；?p：?x∈R，x2>－1
C．p：如果x<2，那么x<1；?p：如果x<2，那么x≥1D.p：?x∈R，使x2＋1≠0；?p：?x∈R，x2＋1＝0
[答案] C
[解析] 利用全称命题和存在性命题的否定形式进行判断，C中实际上是一个“对全称命题”的否定，应为“?x∈R，当x<2时，使x≥1”．
二、填空题
4．如果命题“p且q”与“?p”都是假命题，则命题q是________(真、假)命题．
[答案] 假
[解析] “p且q”假，说明p、q至少有一为假；“?p”假，说明p真，故知q为假．
5．(2009·山东日照3月考)设p：
(x、y∈R)，q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，若綈q是綈p的充分不必要条件，则r的取值范围是________________．
[答案]
[解析] 由已知綈q?綈p，∴p?q，
由线性规划知，p表示如下阴影部分：
由p?q的几何意义，阴影在以原点为圆心，半径为r的圆外．∴r∈.
三、解答题
6．若M、A、B三点不共线，且存在实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2，求证：A、B、C三点共线的充要条件是λ1＋λ2＝1.
[解析] 必要性：
若A、B、C三点共线，则存在实数λ，使得＝λ.
＝－＝λ1＋λ2－＝(λ1－1)＋λ2，
而＝－，
∴(λ1－1)＋λ2＝λ－λ，
即所以λ1＋λ2＝1.
充分性：
若λ1＋λ2＝1，则＝－＝λ1＋λ2－＝(λ1－1)＋λ2＝－λ2＋λ2＝λ2，
∵与共线，即A、B、C三点共线，综上所述，结论成立．
2.1.1曲线与方程的概念
一、选择题
1．下列各组方程中表示相同曲线的是( )
A．x2＋y＝0与xy＝0
B.＝0与x2－y2＝0
C．y＝lgx2与y＝2lgx
D．x－y＝0与y＝lg10x
[答案] D
[解析] ∵lg10x＝x，故x－y＝0与y＝lg10x表示相同的曲线．
2．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k＝( )
A．±3 B．0
C．±2 D. 一切实数
[答案] A
[解析] 两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.
3．与x轴距离等于2的点的轨迹方程是( )
A．y＝2 B．y＝±2
C．x＝2 D．x＝±2
[答案] B
4．给出下列曲线，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是( )
①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③＋y2＝1；④－y2＝1.
A．①③ B．②④
C．①②③ D．②③④
[答案] D
[解析] y＝－2x－3与4x＋2y－1＝0平行，无交点；将y＝－2x＋3代入x2＋y2＝3得5x2＋12x＋6＝0
Δ＝144－4×5×6＝24>0故有两个交点；
同理y＝－2x－3与±y2＝1也有交点．故选D.
5．曲线y＝x2与x2＋y2＝5的交点，是( )
A．(2,1)
B．(±2,1)
C．(2,1)或(2，5)
D．(±2,1)或(±2，5)
[答案] B
[解析] 易知x2＝4y代入x2＋y2＝5得y2＋4y－5＝0得(y＋5)(y－1)＝0解得y＝－5，y＝1，y＝－5不合题意舍去，∴y＝1，解得x＝±2.
6．设曲线F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为P，那么曲线F1(x，y)－F2(x，y)＝0必定( )
A．经过P点 B．经过原点
C．经过P点和原点 D．不一定经过P点
[答案] A
[解析] 设A点坐标为(x0，y0)，∴F1(x0，y0)＝0，F2(x0，y0)＝0，∴F1(x0，y0)－F2(x0，y0)＝0，∴F1(x，y)－F2(x，y)＝0过定点P.是否有F1(0,0)＝F2(0,0)未知，故是否过原点未知．
7．方程x2＋xy＝x的曲线是( )
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
[答案] C
[解析] 由x2＋xy＝x得x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0，∴表示两条直线．
8．曲线y＝－与曲线y＝－|ax|(a∈R)的交点个数一定是( )
A．2 B．4
C．0 D．与a的取值有关
[答案] A
[解析] 画出图形，易知两曲线的交点个数为2.
9．若曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个交点，则( )
A．m∈R B．m∈(－∞，1)
C．m＝1 D．m∈(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 两方程联立得x的二次方程，由Δ>0可得m>1.
10．(2009·山东泰安)方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的曲线有两个交点，则a的取值范围是( )
A．a>1 B．0C．? D．01
[答案] A
[解析] y＝a|x|＝式中a>0，分别画图象，观察可得a>1时，两曲线有两个交点．
二、填空题
11．方程＝表示的曲线是________．
[答案] 两条线段
[解析] 由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0，∴y＝|x|，|x|≤1
∴曲线表示两条线段．
12．圆心为(1,2)且与直线5x－12y－7＝0相切的圆的方程是________．
[答案] (x－1)2＋(y－2)2＝4
[解析] 圆心到直线的距离等于半径，则
r＝＝＝2
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
13．已知直线y＝2x－5与曲线x2＋y2＝k，当k________时，有两个公共点；当k________时，有一个公共点；当k________时，无公共点．
[答案] k>5；k＝5；0[解析] 首先应用k>0，再联立y＝2x－5和x2＋y2＝k组成方程组，利用“△”去研究．
14．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为____．
[答案] 2
[解析] 利用x≥0，y≥0时，有x＋y＝1；x≥0，y≤0时，x－y＝1；x≤0，y≥0时，有－x＋y＝1；x≤0，y≤0时，－x－y＝1，作出图形为一个正方形，其边长为，面积为2.
三、解答题
15．已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A、B两点，且|AB|＝5，求实数b的值．
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)
联立方程组
消去y整理得2x2＋bx－2＝0，①
运用x1＋x2＝－，x1·x2＝－1及y1－y2＝(2x1＋b)－(2x2＋b)＝2(x1－x2)，得
|AB|＝
＝
＝·＝·＝5.
解得b2＝4，b＝±2.
而①式中Δ＝b2＋16>0一定成立，故b＝±2.
16．求方程(x＋y－1)＝0的曲线．
[解析] 把方程(x＋y－1)＝0写成
或x－y－2＝0
由得
∴表示射线x＋y－1＝0(x≥)
∴原方程表示射线x＋y－1＝0(x≥)和直线x－y－2＝0.
17．已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，求b的取值范围．
[解析] 解法1：由方程组
得
消去x，得到2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．
l与c有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，
可得
解得1≤b<
解法2：在同一直线坐标系内作出y＝x＋b与y＝的图形，如图所示，易得b的范围为1≤b<.
18．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为3，求m的值．
[解析] 设直线x＋y－m＝0与曲线y＝x2相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点
由②代入①得：x2＋x－m＝0
∴
|AB|＝|x1－x2|
＝＝·
∴由·＝3得
∴1＋4m＝9，∴m＝2.
2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线
的性质
一、选择题
1．方程y＝表示的曲线是( )
[答案] B
[解析] y＝＝，故选B.
2．直角坐标系内到x轴的距离与到y轴的距离之差等于1的点的轨迹方程为( )
A．|x|－|y|＝1 B．|y|－|x|＝1
C．||x|－|y||＝1 D．|x±y|＝1
[答案] B
3．方程xy2＋x2y＝1所表示的曲线( )
A．关于直线y＝x对称
B．关于y轴对称
C．关于x轴对称
D．关于原点对称
[答案] A
4．已知A(－1,0)、B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
[答案] B
[解析] |AB|＝5，∴C到AB的距离d＝＝4，设C(x，y)、AB所在的直线为4x－3y＋4＝0
∴4＝
∴|4x－3y＋4|＝20
∴4x－3y＋4＝20或4x－3y＋4＝－20
故4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0，故选B.
5．方程(x＋1)·(y－1)＝1(x≠0)表示的曲线关于____对称( )
A．直线y＝x
B．直线y＝x＋2
C．直线y＝－x
D．(－1 ，－1)中心
[答案] B
[解析] 曲线(x＋1)(y－1)＝1，即y－1＝可看作曲线y＝沿x轴向左平移1个单位，沿y轴向上平移1个单位得到的，而y＝关于y＝x对称，故曲线y－1＝关于直线y＝x＋2对称．
6．下面所给图形的方程是图中的曲线方程的是( )
[答案] D
[解析] A不是，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(，－)的坐标适合方程x2＋y2＝1，但不在所给曲线上；B不是，理由同上，如点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给曲线上；C不是，因为曲线上的点的坐标都不是方程的解，如(－1,1)在所给曲线上，但不适合方程lgx＋lgy＝1.
7．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1 ,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程( )
A．2x＋y＋1＝0
B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0
D．2x－y＋5＝0
[答案] D
[解析] 设Q为(x，y)，
∵|PM|＝|MQ|，∴M为PQ中点．
∴P为(－2－x,4－y)．
∵P在直线2x－y＋3＝0上，
∴y＝2x＋5，∴选D.
8．平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为( )
A．3x－y－20＝0(x≠13)
B．3x－y－10＝0(x≠13)
C．3x－y－12＝0(x≠13)
D．3x－y－9＝0(x≠13)
[答案] A
[解析] 设AC、BD交于点O，
∵A、C分别为(3，－1)(2，－3)，
∴O为(，－2)，设B为(x，y)，
∴D为(5－x，－4－y)．
∵D在3x－y＋1＝0上，
∴15－3x＋4＋y＋1＝0，由于A、B、C、D不共线则应除去与直线AC的交点(13,19)，故所求轨迹方程为3x－y－20＝0(x≠13)．
9．设动点P是抛物线y＝2x2＋1上任意一点，点A(0，－1)，点M使得＝2，则M的轨迹方程是( )
A．y＝6x2－ B．y＝3x2＋
C．y＝－3x2－1 D．x＝6y2－
[答案] A
[解析] 设M为(x，y)，
∵＝2， A(0，－1)，
∴P(3x,3y＋2)．
∵P为y＝2x2＋1上一点，
∴3y＋2＝2×9x2＋1＝18x2＋1，
∴y＝6x2－.故选A.
10．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D. (x＋)2＋y2＝1
[答案] C
[解析] 设P点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有＝x，＝y.
∴x1＝2x－3，y1＝2y.
∵(x1，y1)在x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1即(2x－3)2＋4y2＝1.
二、填空题
11．点P(a，b)是单位圆上的动点，则Q(a＋b，ab)的轨迹方程是________．
[答案] x2－2y－1＝0
[解析] ∵P(a，b)在单位圆上，
∴a2＋b2＝1，∴(a＋b)2－2ab＝1，
∴x2－2y＝1为Q的轨迹方程．
12．已知△ABC为圆x2＋y2＝4的一个内接三角形，且：?：?＝1：3： 5，则BC中点M的轨迹方程为________．
[答案] x2＋y2＝1
[解析] 如图建系
设BC中点为M(x，y)，连接OB、OC、OM，
由于∠BOC＝120°，所以∠OBC＝30°，
所以OM＝OB＝1.于是M点的轨迹方程为x2＋y2＝1.
13．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为______．
[答案] x2＋y2＝4
[解析] 设P(x，y)，x2＋y2＝1的圆心为O，
∵∠APB＝60°，OB＝2，
∴x2＋y2＝4.
14．与点(2，－3)的连线的倾斜角为的点M的轨迹方程是________．
[答案] x＋y＋3－2＝0(x≠2)
[解析] 所求动点M的轨迹为过(2，－3)点，斜率k＝tanπ＝－的直线．
由点斜式得y＋3＝－(x－2)
即x＋y＋3－2＝0(x≠2)．
三、解答题
15．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上，且AP?PM＝3，求动点P的轨迹方程．
[解析] 设点M、P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得
得，
因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2×－＋3＝0，即8x－4y＋3＝0，
从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0
16．(2009·邯郸高二检测)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数，求动点M的轨迹方程．
[解析] 如图，设MN切圆于N，
则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝|MQ|}，
∵圆半径|ON|＝1，
∴|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1，
设M(x，y)，则由|MN|2＝|MO|2－1＝2|MQ|2
得，x2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2]，
整理得：x2＋y2－8x＋9＝0.
17．已知两点M(－1,0)，N(1,0)且点P使·，·，·成公差小于0的等差数列．
点P的轨迹是什么曲线？
[解析] 设P(x，y)由M(－1,0)，N(1,0)得
＝－＝(－1－x，－y)，
＝－＝(1－x，－y)，
＝－＝(2,0)，
∴·＝2(1＋x)，
·＝x2＋y2－1，
·＝2(1－x)
于是·，·，·是公差小于零的等差数列等价于
，
即，
∴点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆(不含端点)
18．点P与两顶点A(－4,0)、B(4,0)的连线所成的角∠APB＝45°，求动点P的轨迹方程．
[解析] (1)当kAP或kPB不存在时，动点P为(4,8)，(－4,8)，(－4，－8)，(4，－8)．
(2)当kAP、kPB存在时，设P(x，y)若y>0，有＝1，化简得x2＋y2－8y－16＝0(y>0)，检验知(4,8)和(－4,8)
均适合上式．若y<0，有＝1，化简得x2＋y2＋8y－16＝0(y<0)，检验知(－4，－8)和(4，－8)均适合上式，综上知所求轨迹方程为x2＋y2－8y－16＝0(y>0)或x2＋y2＋8y－16＝0(y<0)．
2.2.1椭圆的标准方程
一、选择题
1．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝( )
A．－1 B．1 C. D．－
[答案] B
[解析] 由5x2＋ky2＝5得，x2＋＝1.
∵焦点为(0,2)，∴a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1＝4，∴k＝1.
2．设P是椭圆＋＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是( )
A. B. C．－ D．－
[答案] D
[解析] 由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝①
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
|F1F2|＝2，∴①式可化为cos∠F1PF2＝
＝－1.
∵|PF1|·|PF2|≤()2＝9.
当|PF1|＝|PF2|时，取等号，∴cos∠F1PF2≥－1＝－，当|PF1|＝|PF2|时取等号，
∴cos∠F1PF2的最小值为－.
3．已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
[答案] B
[解析] 由|MF1|－|MF2|＝1，且|MF1|＋|MF2|＝4，得|MF1|＝，|MF2|＝。
又|F1F2|＝2，显然△MF1F2为直角三角形．
4．设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－3 D．－
[答案] C
[解析] a2＋2b2＝6，＋＝1.
设a＝sinθ，b＝cosθ，θ∈[0,2π)，所以a＋b＝sinθ＋cosθ＝3sin(θ＋φ)(其中tanφ＝)，所以a＋b的最小值为－3.
5．若直线3x－y－2＝0截焦点是(0，±5)的椭圆所得弦的中点横坐标是，则该椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] C
[解析] 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，x1＋x2＝＝1，
所以a2＝3b2.①
又由焦点为(0，±5)知，a2－b2＝50.②
由①②得a2＝75，b2＝25.
6．椭圆ax2＋by2＋ab＝0(aA．(±，0) B．(±，0)
C．(0，±) D．(0，±)
[答案] C
[解析] 将方程化为标准方程为＋＝1.
∵a－b<0，
∴椭圆焦点在y轴上，c＝＝.
7．已知A，B两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线AM与MB的斜率之积为－，则点M的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1(x≠±5)
C.＋＝1 D.＋＝1(x≠0)
[答案] D
[解析] 设点M的坐标为(x，y)，则kMA＝，kBM＝，由题意，得·＝－(x≠0)，
整理得＋＝1(x≠0)．故选D.
8．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|＝( )
A．11 B．10 C．9 D．16
[答案] A
[解析] ∵a＝4,2a＝8，由椭圆的定义知
|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，
∴|AF1|＋|BF1|＝4a－(|AF2|＋|BF2|)＝16－|AB|＝11.
9．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点P的纵坐标是( )
A．± B．±
C．± D．±
[答案] C
[解析] x＝＝3，设F1(－3,0)∴P点横坐标为3代入＋＝1得＝1－＝，y2＝，
∴y＝±
10．过点(3，－2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] A
[解析] 由题意所求椭圆焦点在x轴上，所以C、D错，又过点(3，－2)．∴选A.
二、填空题
11．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，M为椭圆上一点，且|MF1|＝2，N是线段MF1的中点，则|ON|为(O为坐标原点)________．
[答案] 4
[解析] 如图所示
∵|MF1|＋|MF2|＝10，|MF1|＝2，
∴|MF2|＝8，
又ON为△F1F2M的中位线，
∴|ON|＝|MF2|＝4.
12．中心在原点，对称轴为坐标轴，且a：c＝2：1，长轴为8的椭圆的标准方程为________．
[答案] ＋＝1或＋＝1
[解析] ∵2a＝8，a＝2c，∴a＝4，c＝2
∴b2＝a2－c2＝12，
∴所求的标准方程为：＋＝1或＋＝1.
13．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左右焦点，P为椭圆上一个点，且|PF1|?|PF2|＝1?2，则∠F1PF2＝______________.
[答案] arccos
[解析] 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，又|PF1|?|PF2|＝1?2，则|PF1|＝2，|PF2|＝4，而|F1F2|＝4
由余弦定理得cos∠F1PF2＝，
∴∠F1PF2＝arccos.
14．(2009·北京)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
[答案] 2 120°
[解析] 考查椭圆定义及余弦定理．
由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2，
cos∠F1PF2＝
＝＝－.
∴∠F1PF2＝120°.
三、解答题
15．求焦点在坐标轴上，且经过A(－，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程．
[解析] 设所求椭圆方程为：Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)
将A(－，－2)和B(－2，1)的坐标代入方程得
，解得.
所求椭圆的标准方程为：＋＝1.
16．如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
[解析] 在椭圆＋＝1中，
a＝，b＝2.
∴c＝＝1.
又∵点P在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.①
由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.②
式①两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，③
式③－②得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16，
∴ |PF1|·|PF2|＝16(2－)，
∴S△PF1P2＝|PF1|·|PF2|sin30°
＝8－4.
17．Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程．
[解析] 如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
在Rt△ABC中，
BC＝＝，
∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2.
又|PA|＋|PB|>|AB|，
∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，a＝，c＝1，b＝1.∴所求的轨迹方程为＋y2＝1.
18．已知⊙C1：(x－4)2＋y2＝132，⊙C2：(x＋4)2＋y2＝32，动圆C与⊙C1内切同时与⊙C2外切，求动圆圆心C的轨迹方程．
[解析] 由已知可得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径分别为：C1(4,0)，r1＝13；C2(－4,0)，r2＝3.
设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，可得：|C1C|＝r1－r ①
由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，可得：|C2C|＝r2＋r ②
如图所示，由①＋②可得：
|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16.
即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为其焦点．
由题意，c＝4，a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.
∴椭圆的方程为＋＝1.
∴动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
其方程为＋＝1.
2.2.2椭圆的几何性质
一、选择题
1．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b＝2(a＋c)?4b2＝(a＋c)2?3a2－2ac－5c2＝0?5e2＋2e－3＝0(两边都除以a2)?e＝或e＝－1(舍)，故选B.
2．已知椭圆C：＋＝1与椭圆＋＝1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是( )
A.＋＝m2(m≠0)
B.＋＝1
C.＋＝1
D．以上都不可能
[答案] A
[解析] 椭圆＋＝1中，a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝4，即a＝2，c＝2，离心率e＝＝.容易求出B，C项中的离心率均不为此值，A项中，m≠0，所以m2>0，有＋＝1，所以a2＝8m2，b2＝4m2.所以a＝2|m|，c＝2|m|，即e＝＝.
3．将椭圆C1∶2x2＋y2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有( )
A．相等的短轴长
B．相等的焦距
C．相等的离心率
D．相同的长轴长
[答案] C
[解析] 把C1的方程化为标准方程，即
C1：＋＝1，从而得C2：＋y2＝1.
因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上．
e1＝，e2＝＝e1＝，
故离心率相等，选C.
4．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由△ABF1为等边三角形，∴2b＝a，∴c2＝a2－b2＝3b2，∴e＝＝＝＝.
5．我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设＋＝1(a>b>0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于( )
A．60° B．75°
C．90° D．120°
[答案] C
[解析] cos∠ABF＝
＝
＝
＝＝0，
∴∠ABF＝90°，选C.
6．椭圆＋＝1(mA．(0，－)，(0－)
B．(，0)，(－，0)
C．(0，)，(0，－)
D．(，0)，(－，0)
[答案] B
[解析] 因为m－m>0，故焦点在x轴上，所以c＝＝，故焦点坐标为(，0)，(－，0)，故选B.
7．(2010·福建文，11)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
[答案] C
[解析] 本题主要考查椭圆和向量等知识．
由题易知F(－1,0)，设P(x，y)，其－2≤x≤2，则
·＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2
＝x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2
当x＝2时，(·)max＝6.
8．椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由题意知a＝2c，所以e＝＝.
9．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)的位置( )
A．必在圆x2＋y2＝2内
B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外
D．以上三种情形都有可能
[答案] A
[解析] 由e＝知＝，a＝2c.由a2＝b2＋c2得b＝c，代入ax2＋bx－c＝0，得2cx2＋cx－c＝0，即2x2＋x－1＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝<2.
10．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 如图，△ABF2为正三角形，
∴|AF2|＝2|AF1|，|AF2|＋|AF1|＝2a，
|AF1|＝|F1F2|.
∴|AF1|＝a，又|F1F2|＝2c，
∴＝ .
∴＝.故选A.
二、填空题
11．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径的圆过点P过P作圆的两切线又互相垂直，则离心率e＝________.
[答案]
[解析] 如图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，解得e＝＝.
12．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．
[答案]
[解析] 易知直线AB的方程为y＝2(x－1)，与椭圆方程联立解得A(0，－2)，B，故S△ABC＝S△AOF＋S△BOF＝×1×2＋×1×＝.
13．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
[答案] 8
[解析] 由椭圆的第一定义得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，两式相加，得|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝4a＝20?|AB|＝20－12＝8.
14．在△ABC中，∠A＝90°，tanB＝.若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝________.
[答案]
[解析] 设|AC|＝3x，|AB|＝4x，
又∵∠A＝90°，∴|BC|＝5x，
由椭圆定义：|AC|＋|BC|＝2a＝8x，
那么2c＝|AB|＝4x，
∴e＝＝＝.
三、解答题
15．已知点P在以坐标轴为对称轴，长轴在x轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为4和2，且点P与两焦点连线所张角的平分线交x轴于点Q(1,0)，求椭圆的方程．
[解析] 根据题意，设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
∵|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∴2a＝6，即a＝3，又根据三角形内角平分线的性质，得|PF1|?|PF2|＝|F1Q|?|QF2|＝2?1，
即c＋1＝2(c－1)，
∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝18，
故所求椭圆方程为＋＝1.
16. 设P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝90°，求证：椭圆的圆心率e≥.
[证明] 证法一：∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，①
在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
由①2，得|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
∴|PF1|·|PF2|＝2(a2－c2)，②
由①和②，知|PF1|，|PF2|是方程z2－2az＋2(a2－c2)＝0的两根，且两根均在(a－c，a＋c)之间．
令f(z)＝z2－2az＋2(a2－c2)则可得()2≥，即e≥.
证法二：由题意知c≥b，∴c2≥b2＝a2－c2
∴≥，故e≥.
17．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P、Q，且|PQ|＝，求椭圆方程．
[解析] ∵e＝，∴b2＝a2.
∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y得
2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ>0得a2>32，由弦长公式得
10＝[64－2(64－a2)]．
∴a2＝36，b2＝9.
∴椭圆方程为＋＝1.
18．过椭圆＋＝1内一点M(2,1)的一条直线与椭圆交于A，B两点，如果弦AB被M点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．
[解析] 设所求直线存在，方程y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k2－1)2－16＝0①.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，所以x1＋x2＝.又M为AB的中点，所以＝＝2，解得k＝－.又k＝－时，使得①式Δ>0，故这样的直线存在，直线方程为x＋2y－4＝0.
2.2.3椭圆习题课
一、选择题
1．已知椭圆的焦点是F1，F2是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
[答案] A
[解析] ∵|PF1|＋|PF2|＝2a，|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a，∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故选A.
2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(0,1]
[答案] A
[解析] 椭圆方程化为＋＝1.
焦点在y轴上，则>2，即k<1.又k>0，∴03．P是椭圆＋＝1上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积是( )
A. B．64(2＋)
C．64(2－) D．64
[答案] A
[解析] 在△PF1F2中，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由椭圆定义知r1＋r2＝20 ①
由余弦定理知
cos60°＝＝
＝，即r＋r－r1r2＝144 ②
①2－②得r1r2＝.
∴S△PF1F2＝r1·r2sin60°＝.
4．已知F是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，且c＝，则△PQF面积的最大值是( )
A.ab B．ab
C．ac D．bc
[答案] D
[解析] 设它的另一个焦点为F′，则|F′O|＝|FO|，|PO|＝|QO|，FPF′Q为平行四边形．
S△PQF＝SPF′QF＝S△PFF′，则当P为椭圆短轴端点时，P到FF′距离最大，此时S△PFF′最大为bc.
即(S△PQF)max＝bc.
5．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍
C．4倍 D．3倍
[答案] A
[解析] 不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±)，即|PF2|＝，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1|＝，|PF2|＝，即|PF1|＝7|PF2|.
6．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A.∪
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 将方程变形为：＋＝1.
∴，∴sinα>－cosα>0.
∴α在第二象限且|sinα|>|cosα|.
7．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为( )
A. B．3
C. D.
[答案] D
[解析] a2＝16，b2＝9?c2＝7?c＝.
∵△PF1F2为直角三角形．
∴P是横坐标为±的椭圆上的点．(点P不可能为直角顶点)
设P(±，|y|)，把x＝±
代入椭圆方程，知＋＝1?y2＝?|y|＝.
8．(2009·江西)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．
把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±，
∴|PF1|＝
∴|PF2|＝，
故|PF1|＋|PF2|＝＝2a，即3b2＝2a2
又∵a2＝b2＋c2，∴3(a2－c2)＝2a2，
∴()2＝，即e＝.
9．(2009·山东威海)椭圆＋＝1上有n个不同的点P1、P2、…、Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是( )
A．2 000 B．2 006
C．2 007 D．2 008
[答案] A
[解析] ∵椭圆＋＝1上距离右焦点F(1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F(1,0)最远的点为左端点(－2,0)，数列{|PnF|}的公差d大于，不妨|P1F|＝1，|PnF|＝3,3＝1＋(n－1)·d，∴d＝>，n－1<2 000，
即n<2 001.∴故选A.
10．已知点(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是( )
A．x－2y＝0
B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y－4＝0
D．x＋2y－8＝0
[答案] D
[解析] 设截得的线段为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2), 中点坐标为(x0，y0)，利用“差分法”得＝－，即·＝－，
∴k＝＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
二、填空题
11．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程是________________．
[答案] ＋＝1
[解析] 由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∵|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，∴2a＝4.
∴a＝2，又c＝1，∴b2＝3，
∴方程为＋＝1.
12．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝1，则cos∠F1PF2＝____________.
[答案]
[解析] ∵|PF1|＋|PF2|＝4，又|PF1|－|PF2|＝1，
∴|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝.
13．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0[答案] (2,4]
[解析] 由e2＝＝＝1－
得0<1－≤.
从而－1<－≤－，
∴≤<1，故1∴114．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________，焦点坐标是________．
[答案] ＋＝1 (±1,0)
[解析] 由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2.
∴原方程化为：＋＝1，将A(1，)代入方程得b2＝3.
∴椭圆方程为：＋＝1，焦点坐标为(±1,0)．
三、解答题
15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1、F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A、B，与y轴交点为C，又B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围．
[解析] 设l：y＝k(x＋c)则C(0，kc)，B(－，)．
∵B在椭圆上，∴＋＝1.
即＋＝1?e2＋＝4.
∴k2＝≤?2e4－17e2－8≤0?
≤e2<1?≤e<1.
16．已知椭圆E：＋＝1.
(1)直线l：y＝x＋m与椭圆E有两个公共点，求实数m的取值范围．
(2)以椭圆E的焦点F1、F2为焦点，经过直线l′：x＋y＝9上一点P作椭圆C，当C的长轴最短时，求C的方程．
[解析] (1)直线l与椭圆E有两个公共点的条件是：
方程组有两组不同解，
消去y，得
3x2＋4mx＋2m2－8＝0.
∴Δ＝16m2－12(2m2－8)>0，
－2∴实数m的取值范围是(－2，2)．
(2)依题意，F1(－2,0)、F2(2,0)．
作点F1(－2,0)关于l′的对称点F1′(9,11)．
设P是l′与椭圆的公共点，则2a＝|PF1|＋|PF2|
＝|PF′1|＋|PF2|≥|F′1F2|＝＝.
∴(2a)min＝，
此时，a2＝＝，b2＝a2－c2＝.
∴长轴最短的椭圆方程是＋＝1.
17．如图所示，某隧道设计为双向四车通，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
I
若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
[解析] 如图所示，建立直角坐标系，则点P(11，4.5)，椭圆方程为＋＝1.
将b＝h＝6与点P坐标代入椭圆方程，得a＝，
此时l＝2a＝≈33.3
因此隧道的拱宽约为33.3米．
18．椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e＝，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，|PQ|＝，且OP⊥OQ，求此椭圆的方程．
[解析] 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
当PQ⊥x轴时，F(－c,0)，|FP|＝.
又∵|FQ|＝|FP|，
且OP⊥OQ，
∴|OF|＝|FP|，即c＝，
∴ac＝a2－c2，e2＋e－1＝0.
∴e＝.与题设e＝不符，所以PQ不垂直于x轴，设PQ所在直线方程为y＝k(x＋c)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵e＝，∴a2＝c2，b2＝c2.
∴椭圆方程可化为3x2＋12y2－4c2＝0.
将PQ所在直线方程代入，得(3＋12k2)x2＋24k2cx＋12k2c2－4c2＝0.
由韦达定理，得x1＋x2＝－，
x1x2＝.
由|PQ|＝，得.
＝.①
∵OP⊥OQ，∴·＝－1，
即x1x2＋y1y2＝0，
∴(1＋k2)x1x2＋k2c(x1＋x2)＋c2k2＝0，②
联立①②解得c2＝3，k2＝.
∴a2＝4，b2＝1.
故椭圆方程为＋y2＝1.
2.3.1双曲线的标准方程
一、选择题
1．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为( )
A．y＝0 B．y＝0(|x|≥13)
C．x＝0(|y|≥13) D．以上都不对
[答案] C
[解析] ||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴x＝0.
2．双曲线－＝1的焦点坐标为( )
A．(－，0)，(，0)
B．(0，－)，(0，)
C．(－5,0)，(5,0)
D．(0，－5)，(0,5)
[答案] C
[解析] 16＋9＝c2＝25，∴c＝5，
∵焦点在x轴上，∴(－5,0)，(5,0)为焦点坐标．
3．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A. B.
C. D．5
[答案] C
[解析] 点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.故选C.
4．已知双曲线方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
[答案] B
[解析] 由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a，
∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a.
又|AF1|＋|BF1|＝AB＝m，
∴△ABF1周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.
5．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF1|＝3：2，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12
C．12 D．24
[答案] B
[解析] 设|PF1|＝x，|PF2|＝y，
则解得又|F1F2|＝2
由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.
∴S△PF1F2＝x·y·sin∠F1PF2＝4×6××1＝12.
6．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0.b>0)有相同的焦点，P是两曲线上的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为( )
A．m－a B．m－b
C．m2－a2 D.－
[答案] A
[解析] 由题意|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2整理得|PF1|·|PF2|＝m－a，选A.
7．方程＋＝1所表示的曲线为C，有下列命题：
①若曲线C为椭圆，则2②若曲线C为双曲线，则t>4或t<2；
③曲线C不可能是圆；
④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3以上命题正确的是( )
A．②③ B．①④
C．②④ D．①②④
[答案] C
[解析] 若C为圆，则4－t＝t－2>0，∴t＝3.
当t＝3，C表示圆，∴③不正确．
若C为椭圆，则
∴2故①不正确，故选C.
8．设θ∈(π，π)则关于x，y的方程x2cscθ－y2secθ＝1 所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．长轴在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
[答案] C
[解析] 方程即是＋＝1，因θ∈(，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，且－cosθ>sinθ，故方程表示长轴在y轴上的椭圆，故答案为C.
9．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为( )
A．1 B.
C．2 D．4
[答案] B
[解析] 由已知，P点轨迹为以A，B为焦点，2a＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO|的最小值为，故选B.
10．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则|PF1|·|PF2|的值等于( )
A．2 B．2
C．4 D．8
[答案] A
[解析] ∵·＝0，∴⊥.
又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝20，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝2.
二、填空题
11．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3) ，那么k的值为________．
[答案] k＝－1
[解析] 方程为－＝1，∵焦点为(0,3)，∴k<0且(－)＋(－)＝9，∴k＝－1.
12．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是，则a＋b＝________.
[答案]
[解析] p(a，b)点到y＝x的距离d＝，
∵P(a，b)在y＝x下方，
∴a>b∴a－b＝2，又a2－b2＝1，∴a＋b＝.
13．设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
[答案]
[解析] 如图所示，设圆心P(x0，y0)，则|x0|＝＝4，代入－＝1，
得y＝，
∴|OP|＝＝.
14．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥F1F2，则点P到x轴的距离为______．
[答案]
[解析] ∵F1(－5,0)，PF1⊥F1F2.设P(－5，yP)
∴－＝1，即y＝，∴|yP|＝，
∴点P到x轴的距离为.
三、解答题
15．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[解析] 当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线．
当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点上，半径为2的圆．
当k<0时，方程＋＝1，表示焦点在y轴上的双曲线．
当0当k>1时，方程＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
16．在△ABC中，BC固定，A点为动点，设|BC|＝8，且|sinC－sinB|＝sinA，求A点的轨迹方程．
[解析] 以BC所在直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－4,0)，C(4,0)．设A(x，y)，则由正弦定理知，sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入|sinC－sinB|＝sinA，得|c－b|＝a＝4，且|BC|＝8>4，故由双曲线定义知，A点在以B，C为焦点的双曲线上，2a0＝4，∴a0＝2,2c0＝8，c0＝4，∴b＝c－a＝16－4＝12，即点A的轨迹方程为－＝1(y≠0)．
17．设双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？
[解析] (1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1>r2)
如图所示．
由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4.
两边平方得r＋r－2r1·r2＝16，
因为∠F1MF2＝90°，所以r＋r＝|F1F2|2＝(2c)2＝52，
所以r1r2＝18，所以S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝60°，在△MF1F2中，
由余弦定理得|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos60°
|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，得r1r2＝36，
所以S△F1MF2＝r1r2sin60°＝9.
同理，当∠F1MF2＝120°，S△F1MF2＝3.
18．如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA＝100m，BP＝150m，BC＝60m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．
[解析] 田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．
设M是界线上的任一点，则
|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，
即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)
故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支．
若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线为－＝1，其中a＝25，
2c＝|AB|＝
＝50.
∴c＝25，b2＝c2－a2＝3750.
因此，双曲线方程为
－＝1(25≤x≤35，y≥0)，
即为所求界线的方程．
2.3.2双曲线的几何性质
一、选择题
1．(2009·宁夏、海南)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2
C. D．1
[答案] A
[解析] 本题主要考查双曲线的几何性质．
由双曲线－＝1得焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为x±y＝0，
∴焦点到渐近线的距离d＝＝2.
2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 顶点为(0,2)，∴a＝2且焦点在y轴上，又实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，∴有4＋2b＝·2c，且4＋b2＝c2，解得b＝2.
3．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1，)
B．(1，)∪(，＋∞)
C．(，＋∞)
D．[，＋∞)
[答案] C
[解析] 用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率>2时，才能保证y＝2x与双曲线有公共点，
∴>4，即>5.
∴>.
4．如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,2)
C．(2，＋∞) D．(1,2)
[答案] A
[解析] 方程化为：－＝1，
∴∴k>2.
又c＝＝>1，
故选A.
5．(2009·四川)已知双曲线－＝1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝( )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
[答案] C
[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．
由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，
又点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)
＝－1＋y＝0，故选C.
6．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )
A．x＝±y B．y＝±x
C．x＝±y D．y＝±x
[答案] D
[解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
∴椭圆焦点(，0)，
双曲线焦点(，0)．
∴3m2－5n2＝2m2＋3n2.
∴m2＝8n2.
又∵双曲线渐近线为y＝±·x，
∴代入m2＝8n2，|m|＝2|n|，得y＝±x.
7．如果双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B．2
C. D．2
[答案] A
[解析] ∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又两渐近线互相垂直，所以a＝b，c＝＝a，e＝＝.
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A. B.
C．2 D.
[答案] B
[解析] 由题意|PF1|－|PF2|＝2a，即3|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝a，设P(x0，y)，则x0>0，∴a＝ex0－a，∴e＝.
∵|x0|≥a，∴≤1.∴e＝·≤.故选B.
9．(2010·浙江理，8)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
[答案] C
[解析] 如图：
由条件|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c
又知|PF2|＝|F1F2|，知A为PF1中点，由a2＋b2＝c2，有|PF1|＝4b由双曲线定义：
|PF1|－|PF2|＝2a，则4b－2c＝2a
∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2，
∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b2
3b2＝4ab，∴＝，
∴渐近线方程：y＝±x.故选C.
10．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] D
[解析] 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，依题意c＝，∴方程可化为－＝1，由得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
∵＝－，∴＝－，
解得a2＝2.故所求双曲线方程为－＝1.
二、填空题
11．与椭圆＋＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为__________．
[答案] －＝1
[解析] ∵双曲线的两渐近线互相垂直，
∴双曲线为等轴双曲线，又c2＝5，∴a2＝b2＝.
12．(2008·安徽)已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________.
[答案] 4
[解析] ①若焦点在x轴上，a2＝n，b2＝12－n，∴c2＝a2＋b2＝12，∴e＝＝＝，∴n＝4.
②若焦点在y轴上，a2＝n－12，b2＝－n，
∴c2＝a2＋b2＝－12不合题意．故n＝4.
13．已知点F、A分别为双曲线C?－＝1(a>0，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析] 由已知F(－c,0)，A(a,0)，
∴＝(c，b)，＝(－a，b)，
∴由·＝0得－ac＋b2＝0，
即c2－ac－a2＝0，e2－e－1＝0，
解得e＝(另一根舍去)．
14．(2008·江西)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．
[答案] －＝1
[解析] 易知右顶点为(a,0)，∴＝1，
a＝2，又双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程也是y＝±x，
∴＝，a＝b，b＝，
∴双曲线的方程为－＝1.
三、解答题
15．已知双曲线与椭圆x2＋4y2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x－y＝0，求双曲线的方程．
[解析] 解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，则另一条为x＋y＝0，可设双曲线方程为
x2－3y2＝λ(λ>0)，即－＝1.
由椭圆方程＋＝1可知
c2＝a2－b2＝64－16＝48.
双曲线与椭圆共焦点，则λ＋＝48，
∴λ＝36.
故所求双曲线方程为－＝1.
解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为
－＝1，
由渐近线方程y＝x可得＝.
∴λ＝28.
故所求双曲线方程为－＝1.
16．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，又离心率为2.求双曲线的方程．
[解析] 设双曲线方程为－＝1，因|F1F2|＝2c，而e＝＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理，得
(2c)2＝|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos60°)，
∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|，
又S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin60°＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝48，
∴3c2＝48，c2＝16得a2＝4，b2＝12.
所求双曲线方程为－＝1.
17．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)过点A(，)，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为，求此双曲线方程．
[解析] 双曲线－＝1的两渐近线的方程为bx±ay＝0.
点A到两渐近线的距离分别为
d1＝，d2＝，
已知d1d2＝，故＝①
又A在双曲线上，则14b2－5a2＝a2b2，②
②代入①，得3a2b2＝4a2＋4b2，③
联立②、③解得b2＝2，a2＝4.
故所求双曲线方程为－＝1.
18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；
(3)求△F1MF2的面积．
[解析] (1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：易知F1(－2，0)、F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－，
∵点(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，
∴MF1⊥MF2.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
F1F2上的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝6.
2.3.3双曲线习题课
一、选择题
1．直线y＝(x－)与双曲线－y2＝1，交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案] B
[解析] ∵直线与渐近线平行，∴有一个交点．
2．已知双曲线＋＝1，离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是( )
A．(－12,0) B．(－∞，0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
[答案] A
[解析] 显然m<0，∴a2＝4，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝4－m，
∵e∈(1,2)，∴e2∈(1,4)，∴＝＝∈(1,4)，
∴4－m∈(4,16)，∴m∈(－12,0)．
3．已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
[答案] B
[解析] 由题意＝，
即m2＝a2＋b2，∴选B.
4．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为( )
A. B.
C．2 D．2
[答案] A
[解析] ∵a＝3，b＝，∴＝，
∴m＝5，∴c＝，即焦点为(±，0)
d＝＝
故选A.
5．若双曲线C：x2－＝1(b>0)的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e＝( )
A．2 B.
C．3 D.
[答案] B
[解析] 双曲线的顶点(1,0)渐近线y＝bx，则d＝＝
∴b＝1，∴c＝＝，∴e＝＝，故选B.
6．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(，2) B．(，)
C．(2,5) D．(2，)
[答案] B
[解析] e＝＝
＝＝.
∵a>1，∴0<<1，∴1<(＋1)2<4
∴2<(＋1)2＋1<5.
即e∈(，)，故选B.
7．(2010·辽宁，9)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 如图，设双曲线方程为－＝1，
∴F点坐标为(，0)，B点坐标为(0，b)，
渐近线方程为y＝±x，
∴kBF·＝－1，
即·＝－1，
∴a＝b2，
∴a4＋a2b2－b4＝0，
即2－－1＝0，
∴＝，e2＝＝1＋＝，
∴e＝，故选D.
8．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是( )
A．12
C．m<－2 D．－2[答案] C
[解析] 由已知?m<－2.故选C.
9．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5 B．6
C．7 D．9
[答案] C
[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴＝，∵b＝3，∴a＝2.
又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，
∴|3－|PF2||＝4.
∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．
10．已知双曲线－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 如图所示，由－＝1知，F1(－3,0)，F2(3,0)．设M(－3，y0)，则y0＝±，取M(－3，)．
直线MF2的方程为x＋6y－＝0，
即x＋2y－3＝0.
∴点F1到直线MF2的距离为d＝＝.
二、填空题
11．(2010·福建文，13)若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
[答案] 1
[解析] 本题主要考查双曲线的渐近线方程．
双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，
∴＝，即b＝1.
12．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为______________．
[答案] 2x－y－15＝0
[解析] 设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x－4y＝4①
x－4y＝4②
①－②得
(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵P是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，
∴＝＝2.
∴直线AB的斜率为2，
∴直线AB的方程为2x－y－15＝0.
13．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的弦AB.则|AB|＝__________.
[答案] 3
[解析] F1(－2,0)，F2(2,0)
因此，直线AB的方程为y＝(x＋2)tan，
代入双曲线方程得8x2－4x－13＝0(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且|AB|＝[(x1＋x2)2－4x1x2]，
由(*)知x1＋x2＝，x1x2＝－，
代入上式，求得|AB|＝3.
14．设中心在原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
[答案] 2x2－2y2＝1
[解析] 由双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆方程为＋y2＝1.知c＝＝1，e＝＝，又它们的离心率互为倒数，所以双曲线的离心率为＝＝，所以a＝，b2＝c2－a2＝1－＝，故双曲线的方程为2x2－2y2＝1.
三、解答题
15．双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，与圆x2＋y2＝5交于点P(2，－1)，如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程．
[解析] ∵双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，
∴双曲线方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
∵点P(2，－1)在双曲线上，∴－＝1①.
又∵圆x2＋y2＝5在点P处的切线平行于双曲线左顶点(－a,0)与虚轴的一个端点(0，b)的连线，而圆的切线斜率k切与kOP的乘积为－1，
∴k切＝2，即＝2，∴b＝2a②.
解得①②得a2＝，b2＝15，
∴双曲线方程为－＝1.
16．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点．若＝4，求C的离心率．
[解析] 本题考查直线与双曲线的位置关系、平面向量在解析几何中的应用及运算能力．
设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
由，得(b2－3a2)y2＋2b2cy＋3b4＝0，
∵b2－3a2≠0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，
由＝4得y1＝－4y2，
∴－3y2＝，－4y＝，
∴y2＝代入－4y＝，得
16c2＝27a2－9b2，又b2＝c2－a2，
∴16c2＝27a2－9c2＋9a2，
∴36a2＝25c2，∴e2＝，∴e＝.
[点评]解本题时，要合理选择消元，若消去y得到关于x的一元二次方程，计算量大，故合理选择消元是解答本题的关键．
17．直线l在双曲线－＝1上截得弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.
[解析] 设直线l的方程为y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由韦达定理，得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[m2－4×(m2＋2)]．
∵|AB|＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝±.
18．(2008·上海)已知双曲线C?－y2＝1，P是C上的任意点．
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
[解析] (1)设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，
该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.
点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.
它们的乘积是·＝＝.
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
(2)设P的坐标为(x，y)，则
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1
＝2＋.
∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.
2.4.1抛物线及其标准方程
一、选择题
1．抛物线y＝x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是( )
A．(2，－1) B．(1，－1)
C．(，－) D．(，－)
[答案] A
[解析] y＝x2?x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．
2．(2009·全国卷Ⅰ)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B．2
C. D.
[答案] C
[解析] 本题主要考查圆锥曲线的有关知识．
双曲线的渐近线方程为y＝±x.
∵渐近线与y＝x2＋1相切，
∴x2±x＋1＝0有两相等根，
∴Δ＝－4＝0，∴b2＝4a2，
∴e＝＝＝＝.
3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，
∴x＝4，∴A(4,4)，
焦点坐标为(0,1)，
∴所求距离为＝＝5.
解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．
∴距离为5.
4．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
[答案] B
[解析] 抛物线准线方程为x＝－p，由定义得p＋8＝10，∴p＝2，
∴2p＝4，故选B.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M(4，y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为( )
A．1 B.
C．2 D．2
[答案] C
[解析] 抛物线准线方程为x＝，由于M(4，y)到焦点F的距离为5，故有|4＋|＝5，由于p>0，故p＝2，|OF|＝1，抛物线方程为y2＝4x，则M(4，±4)，于是S△OFM＝2.
6．设定点M与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1＋d2取最小值时，P点坐标为( )
A．(0,0) B．(1)
C．(2,2) D.
[答案] C
[解析] 连结PF，则d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|知d1＋d2最小值是|MF|，当且仅当M、P、F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为y＝与y2＝2x，联立求得x＝2，y＝2；x＝，y＝－(舍去)，此时，P点坐标为(2,2)．
7．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都是满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，2]
C．[0,2] D．(0,2)
[答案] B
[解析] 设点Q的坐标为(，y0)，由|PQ|≥|a|，
得y＋()2≥a2，
整理得y(y＋16－8a)≥0，
∵y≥0，
∴y＋16－8a≥0，即a≤2＋恒成立，而2＋的最小值为2.
∴a≤2.
8．抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为( )
A．a>0时为(0，a)，a<0时(0，－a)
B．a>0时为(0，)，a<0时为(0，－)
C．(0，a)
D．(，0)
[答案] C
[解析] a>0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)；a<0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)，这时焦点在y轴负半轴上．故不论a为何值，x2＝4ay的焦点总为(0，a)，故选C.
9．若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离是( )
A．6 B．4
C．2 D．1
[答案] B
[解析] 由题意，得6＋＝8，∴p＝4，
即焦点到准线的距离为4.
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点， 若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] D
[解析] ∵P到直线BC与直线C1D1的距离相等，又ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴D1C1⊥侧面BCC1B1.
∴D1C1⊥PC1，∴PC1为P到直线D1C1的距离，即PC1等于P到直线BC的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．
二、填空题
11．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.
[答案] 2
[解析] 抛物线的准线方程为：x＝－，圆心坐标为(3,0)，半径为4，由题意知3＋＝4，∴p＝2.
12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝________.
[答案] 8
[解析] 由抛物线定义，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．
[答案] y2＝8x
[解析] 由题意可设抛物线方程为y2＝2ax，
∵点P(2,4)在抛物线上，∴42＝4a，∴a＝4.
即所求抛物线的方程为y2＝8x.
14．若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动，为使|MA|＋|MF|最小，点M的坐标应为______________．
[答案] (2,2)
[解析] 将到焦点的距离转化为到准线的距离，由(3,2)向y轴作垂线和抛物线的交点，即为所求点．
三、解答题
15．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1)y2＝6x；
(2)2y2＋5x＝0.
[解析] (1)∵2p＝6，∴p＝3.
又∵开口向右，∴焦点坐标是(，0)，
准线方程为x＝－.
(2)将2y2＋5x＝0变形为y2＝－x.
∴2p＝，p＝，开口向左．
∴焦点为(－，0)，准线方程为x＝.
16．如图所示，P为圆M：(x－3)2＋y2＝1上的动点，Q为抛物线y2＝x上的动点，试求|PQ|的最小值．
[解析] 如图所示，连接QM、PM，且QM交圆M于R，设点Q坐标为(x，y)．
∵|PQ|＋|PM|≥|QR|＋|RM|，
∴|PQ|≥|QR|，
∴|PQ|min＝|QR|min＝|QM|min－1.
∵|QM|＝＝
＝≥(当且仅当x＝时取“＝”)．
∴|PQ|min＝－1，即|PQ|的最小值为－1.
17．抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
[解析] 如右图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
∴100＝－2p×(－4),2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25.
∵每4米需用一根支柱支撑，
∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－.
∴|AB|＝4－＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．
18．如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|BN|＝6.建立适当的直角坐标系，求曲线段C的方程．
[解析] 设A(xA，yA)、B(xB，yB)，且xA∵点M(－，0)，点N(，0)．
又|AM|＝，|AN|＝3.
∴
得xA＝.
又y＝2pxA，∴y＝2p·＝8，
∴(＋)2＋8＝17，
解得或
又∵△AMN为锐角三角形
∵xA<，得
又∵点B在曲线段C上，
∴xB＝|BN|－＝6－2＝4.
∴曲线段C的方程为y2＝8x(1≤x≤4，y>0)．
2.4.2抛物线的几何性质
一、选择题
1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于( )
A．4p B．5p
C．6p D．8p
[答案] A
[解析] |PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.
2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2x B．y2＝－4x
C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x
[答案] B
[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：
y2＝－2px(p>0)，
由题意，得＋5＝6，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.
3．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为( )
A．圆 B．抛物线和一条射线
C．椭圆 D．抛物线
[答案] B
[解析] 如图，
设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得
y＝0(x<0)或y2＝20x(x≠0)．
4．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是( )
A．4 B．4或－4
C．－2 D．2或－2
[答案] B
[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：x2＝－2py，
由题意得，＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y.
又点(k，－2)在抛物线上，∴k2＝16，k＝±4.
5．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
[答案] C
[解析] 由抛物线的对称性及AB⊥x轴知，抛物线的焦点在x轴上．设方程为y2＝nx(n≠0)．
∵OA的方程为y＝x，且OA＝1.
得A或A，
代入y2＝nx，得n＝±，
∴方程为y2＝±x，故选C.
6．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B.
C. D．0
[答案] B
[解析] 设M(x，y)，且方程化为x2＝y，则必有|MF|＝y＋＝y＋＝1，所以y＝，故选B.
7．(2008·重庆)若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．4
[答案] C
[解析] 双曲线的左焦点，抛物线的准线x＝－，∴－＝－?p2＝16，由题意知p>0，∴p＝4.故选C.
8．已知P为抛物线y2＝4x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为( )
A．4 B.
C.－1 D.－1
[答案] D
[解析] 因为A在抛物线的外部，所以，当点P、A、F共线时，|PA|＋|PF|最小，此时|PA|＋d也最小，|PA|＋d＝|PA|＋(|PF|－1)＝|AF|－1＝－1＝－1.
9．已知直线l：y＝k(x＋1)，抛物线C：y2＝4x，l与C有一个公共点的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．1条、2条或3条
[答案] C
[解析] 将直线l和C的方程联立，消去y，得
k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.
当k＝0时，方程①只有一个解，x＝0.
所以直线l与C只有一个公共点(0,0)，此时直线l的方程为y＝0，当k≠0时Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，此时l与C有一个公共点，l与C相切．
综上可知，当k＝0或k＝±1时，l与C有一个公共点．
10．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则·的值是( )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
[答案] D
[解析] 本题考查抛物线的性质和向量数量积的有关运算设A(，y1)，B(，y2)，则＝(，y1)，＝(，y2)，则·＝(，y1)·(，y2)＝＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，∴·＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D.
二、填空题
11．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点A(4，m)，其到准线的距离为6，则m＝________.
[答案] ±4
[解析] x1＋＝4，p＝4，∴y2＝8x，
将A(4，m)代入，解得m＝±4.
12．抛物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是________．
[答案] 1或9
[解析] 设抛物线上一点M坐标为(x0，y0)
由题意，得y0＝6，x0＋＝10，
又y＝2px0，解得x0＝1或9.
13．(2010·重庆文，13)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝____.
[答案] 2
[解析] 本题考查抛物线的定义，基本知识点．
设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)
抛物线y2＝4x，焦点为(1，c)，准线为x＝－1.
|AF|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.
则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.
14．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为________．
[答案] 2
[解析] 由题意，设A点坐标为(x,2)，则x＝3，
又焦点F(1,0)，∴焦点到AB的距离为2.
三、解答题
15．根据下列条件写出抛物线的标准方程．
(1)焦点是F(3,0)．
(2)准线方程是x＝－.
(3)焦点到准线的距离是2.
[解析] (1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，又焦点F(3,0)，∴p＝6，
∴抛物线方程为y2＝12x.
(2)由题意，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
又准线方程为x＝－，∴p＝，
∴抛物线方程为：y2＝x.
(3)∵焦点到准线的距离为2，
∴抛物线的标准方程为y2＝±4x或x2＝±4y.
16．求证：以抛物线y2＝2px过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．
[证明] 如图，过A、B分别作AC、BD垂直于l，垂足为C、D，取AB中点M，作MH⊥l于H.
由抛物线定义，知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
∴|AB|＝|AC|＋|BD|.
又ACDB是梯形，MH是其中位线，
∴|MH|＝(|AC|＋|BD|)＝|AB|.∴|MH|是圆M的半径，从而命题得证．
17．如下图所示，线段AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数，且a≥1)，求弦的中点M到x轴的最近距离．
[解析] 如下图所示，设点A，M，B的纵坐标为y1，y2，y3，点A，M，B在抛物线y＝x2的准线上的射影分别为A′，M′，B′，
由抛物线的定义，得
|AF|＝|AA′|＝y1＋，
|BF|＝|BB′|＝y3＋，
∴y1＝|AF|－，y3＝|BF|－.
又M是线段AB的中点，
∴y2＝(y1＋y3)
＝(|AF|＋|BF|－)≥(|AB|－)
＝(2a－1)
当且仅当线段AB过焦点F时等号成立，即当定长为a的弦AB过焦点F时，点M到x轴的距离最近，最近距离为(2a－1)．
18．点P在抛物线2y2＝x上，点Q在圆(x－2)2＋y2＝1上，求|PQ|的最小值．
[解析] 圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为M(2,0)，
设P(2y，y1)，则
|PM|2＝(2y－2)2＋y＝4y－7y＋4
＝4(y－)2＋≥.
∴|PM|≥，
∴|PQ|min＝|PM|min－1＝－1.
此时P点的坐标为(，)或(，－)．
2.4.3抛物线习题课
一、选择题
1．P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p≠0)上任一点，则P到焦点的距离是( )
A．|x0－| B．|x0＋|
C．|x0－p| D．|x0＋p|
[答案] B
[解析] 利用P到焦点的距离等于到准线的距离，当p>0时，p到准线的距离为d＝x0＋；当p<0时，p到准线的距离为d＝－－x0＝|＋x0|.
2．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－28y B．y2＝28x
C．y2＝－28x D．x2＝28y
[答案] B
[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)，又准线方程为x＝－7，∴p＝14.
3．抛物线y2＝－4px(p>0)的焦点为F，准线为l，则p表示( )
A．F到l的距离
B．F到y轴的距离
C．F点的横坐标
D．F到l的距离的
[答案] B
[解析] 设y2＝－2p′x(p′>0)，p′表示焦点到准线的距离，又2p′＝4p，p＝，故P表示焦点到y轴的距离．
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝8，那么|AB|等于( )
A．10 B．8
C．6 D．4
[答案] A
[解析] 设F为抛物线y2＝4x的焦点，则由抛物线的定义知|AF|＝x1＋＝x1＋1，|BF|＝x2＋＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝10.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则一定有等于( )
A．4 B．－4
C．p2 D．－p2
[答案] B
[解析] 设过焦点的直线方程为x＋ay－＝0(a∈R)，则代入抛物线方程有y2＋2apy－p2＝0，故由根与系数的关系知y1y2＝－p2.又由y＝2px1，①
y＝2px2，②
①②相乘得yy＝4p2x1x2，∴x1x2＝，
∴＝－4.
6．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
则＝4，即k＝2.
7．(2010·山东文，9)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
[答案] B
[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点(，)，∴＝2，①－②得y－y＝2p(x1－x2)?＝＝，∴kAB＝1＝?p＝2，∴y2＝4x，∴准线方程式为：x＝－1，故选B.
8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
[答案] B
[解析] 依题意F(1,0)设A点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
·＝x(1－x)＋y(－y)＝x－x2－y2，
x－x2－4x，＝－x2－3x＝－4.
即x2＋3x－4＝0解之得x＝1或x＝－4
又∵x≥0，∴x＝1，y2＝4，y＝±2.
∴A(1，±2)．
9．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
[答案] B
[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x＋2＝0相切．∴动圆过定点F(2,0)，故选B.
10．(2008·宁夏、海南)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
A. B.
C．(1,2) D．(1，－2)
[答案] A
[解析] 依题意，抛物线的焦点F(1,0)，准线为l?x＝－1.过Q点作直线l的垂线交抛物线于P点，交准线l于M点，则|QP|＋|PF|＝|QP|＋|PM|＝|QM|＝3为所求的最小值，此时P.故选A.
二、填空题
11．P点是抛物线y2＝4x上任一点，到直线x＝－1的距离为d，A(3,4)，|PA|＋d的最小值为________．
[答案] 2
[解析] 设抛物线焦点为F(1,0)
则d＝|PF|，∴|AP|＋d＝|AP|＋|PF|≥|AF|＝＝2.
12．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．
[答案] 2x－y＋4＝0
[解析] 设y＝3x2－4x＋2在M(1,1)处切线方程为y－1＝k(x－1)，
联立得
∴3x2－(k＋4)x＋(k＋1)＝0.
∵Δ＝0，∴k＝2.
∴过P(－1,2)与切线平行的直线为2x－y＋4＝0.
13．已知点P在抛物线y2＝2x上运动，点Q与点P关于(1,1)对称，则点Q的轨迹方程是________．
[答案] y2－4y＋2x＝0
[解析] 设P(x0，y0)，Q(x，y)由已知得∴x0＝2－x，y0＝2－y，
又P(x0，y0)在y2＝2x上，
∴(2－y)2＝2(2－x)
即y2－4y＋2x＝0.
14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝______.
[答案] 2
[解析] 如图，设B(x0，y0)，则MK＝BH，
则x0＋＝2有x0＝＋2.
可得y0＝，又直线AB方程为y＝(x－1)，代入有＝，解得p＝2.
三、解答题
15．已知抛物线y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线满足下列条件：
①只有一个公共点；
②有两个公共点；
③没有公共点．
[解析] 由题意得直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由消去x得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①，
当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝，此时，直线l与抛物线只有一个公共点(，1)．
当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．
①当Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l与抛物线只有一个公共点．
②当Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1③当Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k>或k<－1，
此时，直线l与抛物线没有公共点．
综上所述可知当k＝0或k＝－1或k＝时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当－1当k<－1或k>时，直线l与抛物线没有公共点．
16．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证OA⊥OB；
(2)当△AOB的面积等于时， 求k的值．
[解析] (1)证明：如图所示，由方程组消去x得ky2＋y－k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系知y1y2＝－1.因为A，B在抛物线y2＝－x上，所以y＝－x1，y＝－x2，yy＝x1x2，因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，所以OA⊥OB.
(2)解：设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0，所以点N的坐标为(－1,0)，因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，所以S△OAB＝·1·＝，因为S△OAB＝，所以＝，解得k＝±.
17．设抛物线y2＝8x的焦点是F，有倾斜角为45°的弦AB，|AB|＝8，求△FAB的面积．
[解析] 设AB方程为y＝x＋b，
由消去y得：x2＋(2b－8)x＋b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝8－2b，x1·x2＝b2.
∴|AB|＝·|x1－x2|
＝×
＝＝8，
解得：b＝－3.
∴直线方程为y＝x－3.即：x－y－3＝0，
∴焦点F(2,0)到x－y－3＝0的距离为
d＝＝.∴S△FAB＝×8×＝2.
18．已知抛物线y2＝x上存在两点关于直线l：y＝k(x－1)＋1对称，求实数k的取值范围．
[解析] 设抛物线上的点A(y，y1)，B(y，y2)关于直线l对称．
则
得，
∴y1、y2是方程t2＋kt＋＋－＝0的两个不同根．
∴Δ＝k2－4(＋－)>0
得－22.5直线与圆锥曲线
一、选择题
1．若不论k为何值，直线y＝k(x－2)＋b与曲线x2－y2＝1总有公共点，则b的取值范围是( )
A．(－，)
B．[－，]
C．(－2,2)
D．[－2,2]
[答案] B
[解析] 由题意可知，直线所过的定点(2，b)应在双曲线上或内部，即y2≤x2－1，∴b2≤3，∴－≤b≤.
2．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为的弦AB，则|AB|的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点F为(1,0)，过F且倾斜角为的直线方程为y＝(x－1)，联立得方程组得关于x的一元二次方程3x2－10x＋3＝0.①设交于A(x1，y1)B(x2，y2)两点．则x1x2是①的两根．有x1＋x2＝.|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.故选B.
3．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )
A.或 B.或
C.或 D.
[答案] B
[解析] 由焦点弦长公式|AB|＝得
＝12，∴sinθ＝.
∴θ＝或π.故选B.
4．(2009·山东烟台4月)已知抛物线y2＝4x上一点P(x0，y0)，若y0∈[1,2]，则|PF|的范围是( )
A. B.
C．[1,2] D．[2,3]
[答案] B
[解析] ∵y0∈[1,2]，∴x0∈，
由定义|PF|＝1＋x0∈.
故选B.
5．直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，则m的范围是( )
A．－5
C．m< D．－[答案] D
[解析] 将y＝x＋m代入＋y2＝1，
有5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－80(m2－1)>0，得m2<5，
∴－6．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A．(，) B．(，)
C．(－，) D．(－，－)
[答案] C
[解析] 设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则，两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0
＝－＝k
∴－＝1，又y0＝x0＋1
∴x0＝－，y0＝.
7．以双曲线y2－＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝4
B．x2＋(y－2)2＝2
C．(x－2)2＋y2＝2
D．x2＋(y－2)2＝4
[答案] D
[解析] 双曲线焦点在y轴上，离心率e＝2，
∴圆心在y轴上，半径R＝2.故选D.
8．(2009·浙江)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由已知，直线方程为x＋y－a＝0，
两渐近线为±＝0.
由得xB＝.
由得xC＝.
∵＝，∴2(xB－xA)＝xC－xB，
∴3xB＝2xA＋xC，
∴＝＋2a，解得b＝2a，
∴c2＝＝5，∴e＝.
故选C.
9．已知a>b>0，e1与e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，则lge1＋lge2的值( )
A．一定是正值 B．一定是零
C．一定是负值 D．符号不确定
[答案] C
[解析] ∵e1＝，e2＝，
∴e1e2＝＝<1.
∴lge1＋lge2＝lg(e1·e2)<0.故选C.
10．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 椭圆离心率e＝，即＝?＝，∴＝，则1＋＝.
∴双曲线的离心率为e′＝.故选B.
二、填空题
11．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则p的值等于______．
[答案] 4
[解析] 由已知F与F2(2,0)重合，
∴＝2，∴p＝4.
12．点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是______．
[答案] x2＝12y
[解析] ∵抛物线x2＝ay(a>0)的准线方程为y＝－，∴＋3＝6，∴a＝12，
∴抛物线方程为x2＝12y.
13．双曲线x2－y2＝9被直线x－2y＋1＝0截得的弦长为________．
[答案]
[解析] 3y2－4y－8＝0
y1·y2＝－，y1＋y2＝.
l＝·＝·
＝.
14．(2008·全国Ⅰ)已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．
[答案] 2
[解析] 把抛物线方程改写为
x2＝(y＋1)得顶点(0，－1)，又原点为焦点，
∴＝4，
∴抛物线x2＝4(y＋1)与x轴交于两点(2,0)，(－2,0)．
∴所求面积为×4×1＝2.
三、解答题
15．直线l：y＝2x＋1与抛物线y2＝12x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求线段AB的长．
[解析] 由得4x2－8x＋1＝0，
由韦达定理，得x1＋x2＝2，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝＝.
16．过椭圆＋y2＝1的一个焦点F作直线l交椭圆于A，B两点，椭圆的中心为O，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．
[解析] 过椭圆焦点F(1,0)的直线l垂直于x轴时，可知此时△AOB的面积等于.
当l不垂直x轴时，可设直线l的方程为y＝k(x－1)．因为|OF|是定值1，所以△AOB的面积可以用×1×|y1－y2|(其中y1，y2是A，B的纵坐标)来计算．
将y＝kx－k代入＋y2＝1，消去x，得(1＋2k2)y2＋2ky－k2＝0.
由根与系数的关系可得
(y1－y2)2＝
＝2－<2.
可以看出|y1－y2|<，
此时△AOB的面积小于，所以直线l的方程为x＝1或x＝－1.
17．(2010·湖北文，20)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[分析] 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力．
[解析] (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：
－x＝1(x>0)
化简得y2＝4x(x>0)
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由
得y2－4ty－4m＝0，
此时Δ＝16(t2＋m)>0.
于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)
·<0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0②
又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－(＋)＋1<0?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，
即3－2由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任意一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．
18．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)，(O为原点)
(1)求双曲线C的方程．
(2)若直线l1：y＝kx＋与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且·>2，求k的取值范围．
[解析] (1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22，得b2＝1.
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1得
(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即k2≠且k2<1.①
设A(xA，yA)、B(xB，yB)，则
xA＋xB＝，xAxB＝，
由·>2得xAxB＋yAyB>2，而
xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋k·＋2＝.
于是>2，即>0.
解此不等式得由①②得故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．
2章末
一、选择题
1．一动圆与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线一支
C．圆 D．椭圆
[答案] B
[解析] 动点到两定点距离之差为1.故选B.
2．若双曲线C以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则C的方程是( )
A.－y2＝1 B．－＋y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] ∵F(0，±1)，长轴端点(0，±2)
∴双曲线中a＝1，c＝2，∴b2＝3，
又焦点在y轴上，故选B.
3．已知AB为经过椭圆＋＝1(a>b>0)的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积的最大值为( )
A．b2 B．ab
C．ac D．bc
[答案] D
[解析] 设AB方程为ky＝x，
代入椭圆方程得(b2k2＋a2)y2＝a2b2
∴y1＝，y2＝－.
∴S＝|OF||y1－y2|＝
∴面积最大值为bc(k＝0)．
4．(2008·四川)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
[答案] B
[解析] 抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，且准线为x＝－2，
∴K(－2,0)，设A(x0，y0)，如图，过点A向准线作垂线，垂足为B，则B(－2，y0)
∵|AK|＝|AF|，又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，
∴由|BK|2＝|AK|2－|AB|2得y＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，
解得x0＝2，y0＝±4.
∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝.
二、填空题
5．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．
[答案] 3
[解析] 如图所示，设双曲线焦点在x轴，顶点A、焦点F到渐近线的距离分别是AA′，FF′，则AA′∥FF′，
∴△OAA′∽△OFF′，
∴＝
即＝，则e＝＝3.
6．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
[答案] 32
[解析] (1)当直线的斜率不存在时，
直线方程为x＝4，代入y2＝4x，得交点为(4,4)，(4，－4)，
∴y＋y＝16＋16＝32.
(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为
y＝k(x－4)，与y2＝4x联立，消去x得
ky2－4y－16k＝0，
由题意知k≠0，则y1＋y2＝，y1y2＝－16.
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32.
综合(1)(2)知(y＋y)min＝32.
三、解答题
7．如右图所示，直线y＝x与抛物线y＝x2－4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y＝－5交于点Q.
(1)求点Q的坐标；
(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A，B)的动点时，求△OPQ面积的最大值．
[解析] (1)解方程组
得
即A(－4，－2)，B(8,4)，从而AB的中点为M(2,1)．
由kAB＝，得线段AB的垂直平分线方程为y－1＝－2(x－2)．
令y＝－5，得x＝5，∴Q(5，－5)．
(2)直线OQ的方程为x＋y＝0，设P(x，x2－4)，
∵点P到直线OQ的距离d＝＝|x2＋8x－32|，|OQ|＝5.
S△OPQ＝|OQ|d＝|x2＋8x－32|，
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，
∴－4≤x<4－4或4－4∵函数y＝x2＋8x－32在区间[－4,8]上单调递增，
∴当x＝8时，△OPQ的面积取到最大值×96＝30.
3.1.1空间向量的线性运算
一、选择题
1．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b＋c
B．a＋b＋c
C．a－b－c
D．－a＋b＋c
[答案] C
[解析] ＝＋＋
＝－b＋(－c)＋a＝a－b－c.故选C
2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，向量、、是( )
A．有相同起点的向量 B．是等长的向量
C．是共面向量 D．是不共面向量
[答案] C
[解析] ∵－＝＝，∴共面．故选C.
3．如图所示在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的共有( )
(1)(＋)＋
(2)(＋)＋
(3)(＋)＋
(4)(＋)＋.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] 代入检验知选D.
4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有以下等式，其中不正确的是( )
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＝＋＋
[答案] C
[解析] ＋＋A1＝＋≠.
故选C.
5．如图所示的空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于( )
A. B．3
C．3 D．2
[答案] B
[解析] －＋＝＋＝＋2
＝3.
6．平行六面体ABCD－A1B1C1D中，O为BD1与AC1的交点，下列说法正确的是( )
A.＝(＋＋)
B.＝
C.＝(＋＋1)
D.＝(＋)
[答案] A
[解析] ＋＋＝＋＝.
故选A.
7．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c, 点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于( )
A.a－b＋c
B．－ a＋b＋c
C.a＋ b－c
D.a＋b－c
[答案] B
[解析] ＝－＝(＋)－
＝×(b＋c)－a＝－a＋b＋c.∴应选B.
8．已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则＋＋＋＝( )
A．4 B．3
C．2 D.
[答案] A
[解析] ＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＝4＋(＋)＋(＋)，
∵ABCD是正方形，G是它的中心，
∴＋＝＋＝0，故原式＝4.
9．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是
( )
A．空间四边形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．矩形
[答案] B
[解析] 画图利用空间向量的运算法则首尾相接
＋＝，＋＝，
∴＝.故选B.
10．已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于( )
A.＋＋
B.＋＋
C.＋＋
D.＋＋
[答案] D
[解析] ＝＝(＋)
＝＋×
＝＋(＋)
＝＋＋.
故选D.
二、填空题
11．设A，B，C，D为空间任意四点，则－＋＝________.
[答案]
[解析] －＋＝＋＋＝。
12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式－＋－的化简结果为________．
[答案] 2
[解析] －＋－＝(＋)－(＋)＝－＝2.
13．已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.
[答案] 3a－b＋3c
[解析] 连接BE，
∵＝(＋)＝(－＋)，
＝＝(－)＝(＋)，
又∵＝－，
∴＝(＋)－(－＋)
＝(＋)＝(5a－5b＋8c＋a－2c)
＝(6a－5b＋6c)，
∴＝3a－b＋3c.
14．四棱锥P—OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，点E为PC的中点且＝xa＋yb＋zc，由x，y，z的值分别为________________．
[答案] －1，－，
[解析] ＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)＝－a－b＋c.
故x＝－1，y＝－，z＝.
三、解答题
15．在四面体ABCD中，E、F分别为棱AC、BD的中点，求证：＋＋＋＝4.
[证明] 左＝(＋)＋(＋)
＝2＋2＝2(＋)＝4＝右．得证．
16．A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝4试求MN的长．
[解析] 连AM并延长与BC相交于E，又连AN并延长与CD相交于F，则E、F分别是BC和CD之中点，
由＝－
＝－
＝(－)＝
＝(－)＝(－)
＝(－)＝
∴||＝||＝.
17．如图所示，在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，试用a，b，c表示向量.
[解析] ∵E为AD的中点，根据向量的平行四边形法则．得＝(＋)，
同理，可得＝(＋)，
＝＋＋
＝a＋b＋c.
18．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM?MC＝2?1，N为PD中点，求满足＝x＋y＋z的实数x、y、z的值．
[解析] 在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连结MF，则＝＋
而＝－＝－
＝＝(－)，
＝＝＝－.
∴＝－－＋，
∴x＝－ y＝－ z＝.
3.1.2空间向量的基本定理
一、选择题
1．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R且λa＋μb＝0，则( )
A．a＝b＝0 B．λ＝μ＝0
C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0
[答案] B
[解析] 由共面向量定理知，选B.
2．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量
[答案] A
[解析] 2a－b由a与b线性表出，所以三向量共面．
3．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则( )
A．m、n、p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m、n、p共面
[答案] D
[解析] p＝2a＝m＋n，即p可由m、n线性表示，所以m、n、p共面．
4．已知A、B、C三点共线，O为空间任意一点，如果＝x×＋，则x的值为
( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] B
[解析] 由直线向量参数方程知x＋＝1，∴x＝.
5．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B.c＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
[答案] A
[解析] ＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c.∴应选A.
6．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是( )
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝－＋＋
D．以上皆错
[答案] B
[解析] 由＝＋＋，得(－)＋(－)＋(－)＝0，
∴＋＋＝0即＝－－，
∴P，A，B，C共面．故选B.
7．给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量， ，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．
其中正确的命题是( )
A．仅① B．仅②
C．①② D．都不正确
[答案] B
[解析] 可判定①不正确，②正确．故选B.
8．如果a、b、c共面，b、c、d也共面，则下列说法正确的是( )
A．若b与c不共线，则a、b、c、d共面
B．若b与c共线，则a、b、c、d共面
C．当且仅当c＝0时，a、b、c、d共面
D．若b与c不共线，则a、b、c、d不共面
[答案] A
[解析] 当a，b，c共面，b，c，d共面时，若b与c不共线，则b与c可作为平面的基向量，此时a，b，c，d共面．
9．若a＝e1＋e2＋3e3，b＝e1＋e2－2e3，c＝e1－3e2＋2e3，d＝4e1＋6e2＋8e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为( )
A.，，－ B．－，，－
C.，－，－ D．－，－，
[答案] A
[解析] 由题意，有解得.
故选A.
10．已知A、B、C三点不共线，点O是平面ABC外一点，则在下列各条件中，能得到点M与A、B、C一定共面的是( )
A.＝＋＋
B.＝－＋
C.＝＋＋
D.＝2－－
[答案] B
[解析] 由共面定理x＋y＋z＝1可知B正确．
二、填空题
11．给出下列几个命题：
①a＝“从上海往正北平移9 km”，b＝“从北京往正北平移3 km”，那么a＝3b；
②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；
③有直线l，且l∥a，在l上有点B，若＋＝2a，则C∈l.
其中正确的命题是________．
[答案] ①②③
[解析] ①正确．因为向量相等与始点无关；②正确，因为向量运算满足分配律和结合律；③正确，因为＋＝＋＝＝2a，所以与l平行，又B在l上，所以C∈l.
12．在以下三个命题中，真命题的序号为________．
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
[答案] ①②
[解析] c与a、b共面，不能构成基底．
13．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝________.
[答案] －1
[解析] ＝－2x－3y－4z，
由A，B，C，D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，
∴2x＋3y＋4z＝－1.
14．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝x·＋2y·＋3z·，则x＋y＋z等于________．
[答案]
[解析] 如右图，＝＋＋＝＋＋(－1)·，又已知AC1＝x·＋2y·＋3z·，
∴x·＋2y·＋3z·
＝＋＋(－1)·
??x＝1，y＝，z＝－.
∴x＋y＋z＝1＋－＝.
三、解答题
15．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点，若点M满足＝＋＋.(1)判断、、三个向量是否共面．(2)判断点M是否在平面ABC内．
[解析] 如图所示，(1)由已知得＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)．
∴＝＋＝－－，
∴向量、、共面．
(2)由(1)知向量、、共面，三个向量的基线又过同一点M，
∴四点M、A、B、C共面．
∴点M在平面ABC内．
16．已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
[解析] ∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴＝，＝，
＝－
＝－
＝(－)＝＝(－)
＝(－)
＝(－)
＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在上，
∴四边形EFGH是梯形．
17．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D四点共面．
[证明] 令λ(e1＋e2)＋μ＋υ (3e1－3e2)＝0，
则(λ＋2μ＋3υ) e1＋(λ＋8μ－3υ)e2＝0.
∵e1、e2不共线，∴
易知是其中一组解，则－5＋＋＝0.
∴A、B、C、D共面．
另证：观察易得＋＝(2e1＋8e2)＋(3e1－3e2)＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴＝＋.
由共面向量知，，，共面．
又它们有公共点A，∴A、B、C、D四点共面．
18．在四面体ABCD中，P在面ABC内，Q在面BCD内，且满足＝x＋y，＝s＋t＋u，若＝，试判断线段AQ与DP的位置关系．
[解析] 由＝，则＝.
不妨假设＝＝λ，则＝λ＋u，
所以A、P、D、Q四点共面．又AQ与DP不平行，
所以线段AQ与线段DP相交．
3.1.3两个向量的数量积
一、选择题
1．若a，b均为非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 共线包括同向和反向，只有a、b同向时，才有a·b＝|a||b|成立．
2．下列结论中正确的是( )
A．(a·b)·c＝(b·c)·a
B．a·b＝－|a||b|，则a∥b
C．a，b，c为非零向量，a·c＝b·c，则a∥b
D．a·a＝b·b，则a＝b
[答案] B
[解析] a·b＝－|a||b|，说明a与b夹角为π，所以共线．
3．已知非零向量a，b不共线，且其模相等，则a＋b与a－b的关系是( )
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
[答案] A
[解析] ∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴a＋b与a－b垂直．
4．下列结论正确的是( )
A．a·e＝acos
B．a⊥b?a·b＝0
C．|a|2＝|a|·a
D．(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
[答案] B
5．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么( )
A.·<·
B.·＝·
C.·>·
D.·与·不能比较大小
[答案] C
6．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|( )
A. B.
C. D．4
[答案] C
[解析] |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝|a|2＋6|a||b|cos＋9|b|2，
∵|a|＝|b|＝1，＝60°，∴|a＋3b|2＝13，
∴|a＋3b|＝.
7．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，设＝a，＝b，＝c，则<，>＝( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
[答案] B
[解析] ·＝(a－c)·
(b－c)
＝a·b－a·c－b·c＋c2
＝0－0－0＋c2＝c2＝1.
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝.
8．若|a|＝|b|＝4，＝60°，则|a－b|等于( )
A．4 B．8
C．37 D．13
[答案] A
[解析] |a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2·|a|·|b|cos＝42＋42－2×4×4cos60°＝42，
∴|a－b|＝4.
9．已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，则下列结论中不成立的是( )
A．|＋＋|＝|＋－|
B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2
C．(＋＋)·＝0
D.·＝·＝·
[答案] C
[解析] 因为AB、AC、AD两两垂直，则可得AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC，且·＝0，·＝0，·＝0，·＝0，·＝0，所以得到A、B、D均正确．
10．已知空间四边形每条边和对角线的长等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2等于( )
A．2 B．2·
C．2· D．2·
[答案] B
[解析] 2·＝－a2,2·＝a2,2·＝－a2,2·＝－a2,2·＝－a2.
二、填空题
11．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是______________．
[答案] 2
[解析] 设＝a，＝b，＝c.
||2＝·＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)
＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2
＝4＋4＋4＋4＋4＋4
＝24
所以||＝2.
12．已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则＝________.
[答案] π
13．|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝b·c＝c·a＝0，则|a＋b＋c|＝________.
[答案]
14．如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB?面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°，则点C与D之间的距离为________．
[答案]
[解析] ∵AC⊥α，BD与α成30°角，
∴AC与BD所成角为60°.
又∵＝＋＋，||＝||＝||＝1，〈，〉＝〈，〉＝90°，〈，〉＝120°，
∴＝(＋＋)2＝3－1＝2.
∴C，D两点间距离为.
三、解答题
15．已知三棱锥O—ABC的各个侧面都是正三角形，且棱长为1，求：
(1)·；(2)(＋)·(＋)；(3)|＋＋|.
[解析] 设＝a，＝b，＝c，则
|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°，
＝a－c，＝b－c，
(1)·＝|a||b|·cos60°＝.
(2)由(1)知，a·b＝a·c＝b·c＝，
则(＋)·(＋)
＝(a＋b)·(a＋b－2c)
＝a2＋b2＋2a·b－2a·c－2b·c＝1.
(3)|＋＋|＝
＝
＝.
16．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，M1分别是DC，B1C1的中点，求·.
[解析] 选，，为基向量，且，，两两互相垂直，||＝||＝||＝1，则＝＋＋＝＋－.
∴·＝＋·－·＝＝.
17．如图，在正四面体OABC中，G是△ABC的中心，D是OG中心，M是OC中点．
求证：⊥；
[解析] 令＝a，＝b，＝c，由于是正四面体，
∴a·b＝b·c＝c·a＝|a|·|b|cos＝，
(设|a|＝|b|＝|c|＝1)
如图＝(＋)
＝
＝－a＋[(b－a)＋(c－a)]
＝－a＋b＋c，
＝b－c，
∴·＝(b－c)
＝－(－5a·b＋5a·c＋b2－b·c＋c·b－c2)＝0，
∴⊥.
18．平行六面体ABCD－A1B1C1D1的棱长都为2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E是DC的中点，F是B1C的中点．
(1)证明：向量，，共面；
(2)求||.
[解析] (1)设＝a，＝b，＝c，
则＝c，＝b－a，
＝－＝＋－(＋)
＝a＋(b＋c)－(b＋a)
＝[(a－b)＋c]＝－，
由共面向量定理知，向量，，共面．
(2)由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
＝＝＝60°.
又＝－＝a＋(b＋c)－(b＋c)
＝a－b－c，
||2＝(a－b－c)·(a－b－c)
＝a2＋b2＋c2－a·b－a·c＋b·c
＝4＋1＋1－2－2＋1＝3.
∴||＝.
3.1.4空间向量的直角坐标运算
一、选择题
1．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是( )
A．(－，－，－) B．(，－，－)
C．(－，－，) D．(，，)
[答案] A
[解析] 设C(a，b，c)，∵＝(－3，－2，－4)
∴(－3，－2，－4)＝(a，b，c)，
∴(a，b，c)＝.故选A.
2．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( )
A．(1,3,2) B．(－1，－3,2)
C．(－1,3，－2) D．(1，－3，－2)
[答案] C
[解析] (－1,3，－2)＝－a，与a共线．
3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b夹角的余弦为，则λ＝( )
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
[答案] C
[解析] a·b＝2－λ＋4＝6－λ
|a|＝，|b|＝.
cos〈a，b〉＝＝＝
55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝.
4．若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为( )
A. B．－
C．2 D．±
[答案] D
[解析] ＝(－6,1,2k)，
＝(－3,2，－k)
则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k(－k)
＝－2k2＋20＝0，∴k＝±.
5．已知A(3,5,2)，B(－1,2,1)，把按向量(2,1,1)平移后所得向量是( )
A．(－4，－3,0) B．(－4，－3，－1)
C．(－2，－1,0) D．(－2，－2,0)
[答案] B
[解析] ＝(－4，－3，－1)，而平移后的向量与原向量相等，∴平移后仍为(－4，－3，－1)．故选B.
6．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当＝＝时，a∥b，
但是a∥b，不一定＝＝成立，
如a＝(1,0,1)，b＝(2,0,2)．
7．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 建立如图所示坐标系由题意设A(1,0,0)，B(1,1,0)．
D1(0,0,2)，A1(1,0,2)．
由＝(－1,0,2)，＝(0,1，－2)．
∴cos〈，〉＝＝－，
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，故选D.
8．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵ka＋b＝(k－1，k,2)
2a－b＝(3,2，－2)
∴(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，
∴k＝.
9．若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则||的取值范围是( )
A．[0,5] B．[1,5]
C．(1,5) D．[1,25]
[答案] B
[解析] ||
＝
＝∈[1,5]．
10．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，
则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－，
故当λ＝时，·取最小值．
二、填空题
11．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，＝120°，则k＝________.
[答案] －
[解析] ∵2k＝·×
∴16k2＝13k2＋13×9
∴k2＝39，∴k＝±.∵k<0，∴k＝－.
12．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则P点的坐标为______________．
[答案] (－1,0,2)
[解析] ＝(－x,1，－z)，
＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，
∴∴，
∴P(－1,0,2)．
13．已知A、B、C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，＝(－)，则点P的坐标是________．
[答案] (5，，0)
[解析] ∵＝(6,3，－4)，
设P(a，b，c)则(a－2，b＋1，c－2)＝(3，，－2)，
∴a＝5，b＝，c＝0，
∴P(5，，0)．
14．已知向量a＝(2，－1,2)，则与a共线且a·x＝－18的向量x＝________.
[答案] x＝(－4,2，－4)
[解析] 设x＝(x，y，z)，又a·x＝－18，
∴2x－y＋2z＝－18①
又∵a∥x，∴x＝2λ，y＝－λ，z＝2λ②
由①②知：x＝－4，y＝2，z＝－4，
∴x＝(－4,2，－4)．
三、解答题
15．已知A、B、C三点坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P点坐标．
(1)＝(－)；
(2)＝(－)．
[解析] ＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．
(1)＝(6,3，－4)＝(3，，－2)，则P点坐标为(3，，－2)．
(2)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
又∵(－)＝＝(3，，－2)，∴x＝5，y＝，z＝0.
故P点坐标为(5，，0)．
16．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝，b＝.
(1)设|c|＝3，c∥，求c.
(2)求a与b的夹角．
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[解析] (1)∵c∥，＝(－2，－1,2)．
设c＝(－2λ，－λ，2λ)，
∴|c|＝＝3|λ|＝3，
∴λ＝±1.
∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)a＝＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，
b＝＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)．
∴cos＝
＝＝－.
∴a和b的夹角为＝π－arccos.
(3)ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又(ka＋b)⊥(ka－2b)，则k(a＋b)·(ka－2b)＝0，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k－2＋k2－8＝0，
∴k＝2或k＝－.
17．正四棱柱AC1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且AM⊥BN，建立空间直角坐标系．
(1)求AA1的长；
(2)求<，>；
(3)对于n个向量a1，a2，…，an，如果存在不全为零的n个实数λ1，λ2，…，λn，使得λ1a1＋λ2a2＋…＋λnan＝0成立，则这n个向量a1，a2，…，an叫做线性相关，不是线性相关的向量叫线性无关，判断，，是否线性相关，并说明理由．
[解析] (1)以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AA1的长为a，则B(4,4,0)，N(2,2，a)，
＝(－2，－2，a)，A(4,0,0)，M(2,4，)，＝(－2,4，)，
由⊥得·＝0，即a＝2.
(2)＝(－2，－2,2)，＝(－4,0,2)，
cos〈，〉＝＝，
〈，〉＝arccos.
(3)由＝(－2,4，)，＝(－2，－2,2)，＝(0，－4,0)，
λ1(－2,4，)＋λ2(－2，－2,2)＋λ3(0，－4,0)＝(0,0,0)
得λ1＝λ2＝λ3＝0，则，，线性无关．
18．如图所示，AB和CD是两条异面直线，BD是它们的公垂线，AB＝CD＝a，点M，N分别是BD，AC的中点．求证：MN⊥BD.
[证明]由点M，N分别为BD，AC的中点可知＝(＋)
＝(＋＋＋)，
∵＋＝0，
∴·＝(＋)·
＝(·＋·)，
∵⊥，⊥，
∴·＝0，·＝0.
∴·＝0，
∴MN⊥BD.
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
一、选择题
1．点A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由中点坐标公式可得B.
2．已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为( )
A．(，－，) B．(，－3,2)
C．(，－1，－1) D．(，－，)
[答案] C
[解析] 设C(x，y，z)，＝(x－3，y－3，z＋5)
＝(－1，－6,6)
解得x＝，y＝－1，z＝－1.
3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] B
[解析] a·b＝－4，|a|＝，|b|＝2，
cosθ＝|cos〈a·b〉|＝＝＝.
4．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝，y＝
[答案] D
[解析] ∵l1∥l2，∴a∥b，∴＝＝，
∴x＝，y＝.
5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] C
[解析] 直线a，b的方向向量分别为，，
∵＝＋＋，
∴·＝·＋CD＋·，
即2×1×cos〈，〉＝1
∴cos〈，〉＝，
即〈，〉＝60°.故选C.
6．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且＝.
∴＝，
即(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，
∴x＝，y＝－1，z＝.
7．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
[答案] B
[解析] 取D点为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，设棱长为1，
则＝，＝，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴〈，〉＝120°，
∴异面直线EF，GH成60°角．
8．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
[答案] D
[解析] 建立空间直角坐标系后，验证A、B、C正确，故选D.
9．在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是( )
A．异面直线 B．平行直线
C．垂直不相交 D．垂直且相交
[答案] B
[解析] 取D点为坐标原点建系后，
＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)，
设＝(a，b，c)，则
取＝(1,1，－1)．
∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－，
∴∥，∴PQ∥BD1.
10．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
[答案] A
[解析] ∵|a|＝6，∴x＝±4.
又a⊥b，∴2y＋x＋2＝0.
当x＝4时y＝－3，x＋y＝1；
当x＝－4时y＝1，x＋y＝－3.故选A.
二、填空题
11．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标为________．
[答案] (－1,0,2)
[解析] 由已知，＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)，
由，得，解得.
∴P(－1,0,2)．
12．已知A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，则点D的坐标为________．
[答案] (1,2,0)
[解析] ＝(－2，－2,0)，而＝，
∴＝＋＝(－2，－2,0)＋(3,4,0)＝(1,2,0)，
∴D点坐标为(1,2,0)．
13．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝______，z＝______.
[答案]
[解析] ∵v∥，而＝(－1,2－y，z－3)
∴＝＝
∴y＝，z＝.
14．已知两异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，若cos〈v1，v2〉＝－，则l1与l2所成的角为________________．
[答案] 60°
[解析] 由异面直线夹角的范围可得．
三、解答题
15．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，若点P(x，－1，3)在平面ABC内，求x的值．
[解析] ＝(－2,2－2)，
＝(－1,6，－8)，＝(x－4，－2,0)．
因为点P在平面ABC内，则存在一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ.
故解得x＝11.
16．已知三棱锥O—ABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB?
[解析] 建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，设所求点D(x，y，z)．
由BD∥AC，DC∥AB?∥.∥，
因此
?即D点的坐标为(－1,1,2)．
17．如图，点O是正△ABC平面外一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦．
[解析] 设＝a，＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝，|a|＝|b|＝|c|＝1，
·＝(a＋b)·
＝
＝＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴OE与BF所成角的余弦为.
18．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．
(1)求直线AO1与B1E所成角的大小；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系．
(1)由题设知，A(2,0,0)，O1(0,0,2)，
B1(2,3,2)，E(1,3,0)
∴＝(－2,0,2)，＝(－1,0，－2)．
∴cos<，>＝＝－.
∴AO1与B1E所成角的大小为arccos.
(2)由题意得⊥，∥.
∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，
∴＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，
＝(－2,3,0)
∴∴∴D(，，0)．
∴||＝
＝.
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．如果一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
B．如果一条直线与平面的一条斜线垂直，则它与斜线在平面上的射影垂直
C．如果一向量和斜线在平面内的射影垂直，则它垂直于这条斜线
D．如果一非零向量和一平面平行，且和一条斜线垂直，则它垂直于斜线在平面内的射影
[答案] D
[解析] 由三垂线定理知D成立．
2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACB1的一个法向量为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
3．点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，则平面ABC的一个法向量为( )
A．(bc，ac，ab) B．(ac，ab，bc)
C．(bc，ab，ac) D．(ab，ac，bc)
[答案] A
[解析] 设法向量为n＝(x，y，z)，则AB·n＝0，·n＝0，则
∴n＝(bc，ac，ab)．
故选A.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
[答案] B
[解析] 直线CE在平面AC内的射影为AC，
又AC⊥BD，∴BD⊥CE，故选B.
5．正方体AC1中，E，F分别是AB，CD的中点，则下列直线中不互相垂直的是( )
A．B1C与C1D1 B．D1B与B1C
C．D1B与EF D．A1B与B1C1
[答案] C
[解析] D1B与EF所成角等于∠D1BC，其余弦值为，故选C.
6．若平面α、β的法向量分别为u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
[答案] C
[解析] ∵u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，
∴u与v不平行且u与v不垂直，
故选C.
7．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，则平面α与平面β( )
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不能确定
[答案] A
[解析] 由v1∥v2故可判定α∥β.
8．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
[答案] C
[解析] ∵α∥β，∴＝＝，
∴k＝4，故选C.
9．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u＝(4,0,8)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
[答案] B
[解析] ∵u＝－4a，∴u∥a，∴a⊥α，∴l⊥α.
故选B.
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，则( )
A．面AED∥面A1FD1
B．面AED⊥面A1FD1
C．面AED与面A1FD相交但不垂直
D．以上都不对
[答案] B
[解析] 以D为原点，、，分别为x，y，z建立空间直角坐标系求面AED的法向量n1与面A1FD1的法向量n2.
∵n1·n2＝0，∴n1⊥n2，
∴平面AED⊥平面A1FD1.
二、填空题
11．若直线l与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1，0,2)，则直线l与β的位置关系是________．
[答案] l⊥β
[解析] ∵a∥b，∴l⊥β.
12．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m＝________.
[答案] －8
[解析] 设a＝(2，m,1)，b＝(1，，2)．
∵l∥α，∴a⊥b，∴2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
13．已知正四棱锥(如图所示)，在向量－＋－，＋，＋，＋＋＋中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是________．
[答案] －＋－
[解析] ∵－＋－＝＋＝0，不能作为这个平面的法向量，对其它三个化简后可知均与共线．而PO⊥平面ABCD，它们可作为这个平面的法向量．
14．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
[答案] 2
[解析] 以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x,0)．
由·＝0，得－1＋x(a－x)＝0，
即x2－ax＋1＝0.
当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，Q只有一个．
三、解答题
15．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2)，B(4,2,0)，C(2,4,0)，求平面ABC的单位法向量．
[解析] ＝(4,2，－2)，＝(2,4，－2)
设n＝(x，y，z)是平面ABC的单位法向量，则有
?
取z>0，得x＝y＝，z＝ .
∴n＝(1,1,3)．
16．如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中点．
求证：A1P⊥平面DMN.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,0)，M(0,2,1)，N(1,2,0)．
∴向量＝(0,1,0)－(2,0,2)＝(－2,1，－2)，
＝(0,2,1)－(0,0,0)＝(0,2,1)，＝(1,2,0)．
∴·＝(－2,1，－2)·(0,2,1)
＝(－2)×0＋1×2＋(－2)×1＝0.
·＝(－2,1，－2)·(1,2,0)
＝(－2)×1＋1×2＋(－2)×0＝0.
∴⊥，⊥，
即A1P⊥DM，A1P⊥DN，又DM∩DN＝D，
∴A1P⊥平面DMN.
17．棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC?
[解析] 以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P(0,0，z)，＝(－a,0，z)，＝(－a，a,0)，＝(a，a，a)，∴B1D⊥面PAC，∴·＝0，
·＝0.
∴－a2＋az＝0.
∴z＝a，即点P与D1重合．
∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC.
18．如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M、N、Q分别是PC、AB、CD的中点，
(1)求证：MN∥PAD；
(2)求证：平面QMN∥平面PAD；
(3)求证：MN⊥平面PCD.
[解析] (1)如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)，则C(b，d,0)
∵M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，
∴M，N，Q
∴＝，
∵面PAD的一个法向量为m＝(1,0,0)
∴·m＝0，即⊥m，
∴MN不在面PAD内，
∴MN∥面PAD，
(2)＝(0，－d,0)，⊥m，
又QN不在面PAD内，
又QN∥面PAD.
又∵MN∩QN＝N，
∴面MNQ∥平面PAD.
(3)＝(0，d，－d)，＝(b,0,0)，
∴·＝d＋(－d)＝0，
·＝0，
∴⊥，⊥DC，又PD∩DC＝D，
∴⊥平面PCD.
3.2.3直线与平面的夹角
一、选择题
1．已知平面α内的角∠APB＝60°，射线PC与PA、PB所成角均为135°，则PC与平面α所成角的余弦值是( )
A．－ B.
C. D．－
[答案] B
[解析] 由三余弦公式知cos45°＝cosα·cos30°，
∴cosα＝.
2．三棱锥P—ABC的底面是以AC为斜边的直角三角形，顶点P在底面的射影恰好是△ABC的外心，PA＝AB＝1，BC＝，则PB与底面ABC所成角为( )
A．60° B．30°
C．45° D．90°
[答案] B
[解析] 由AB＝1，BC＝，知AC＝，∴OA＝，
又∵PA＝1，PQ⊥AC，∴PO＝，
∵OB＝OA＝，∴tanθ＝.∴应选B.
3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由计算得sinθ＝.故选C.
4．在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 以O为原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则OP＝，＝(－a,0，a)，可求得平面PBC的法向量为n＝(－1，－1，)，
∴cos(，n)＝＝，
设与面PBC的角为θ，则sinθ＝，故选D.
5．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
6．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
7．如图，正方体AC1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是( )
A．∠C1BB1
B．∠C1BD
C．∠C1BD1
D．∠C1BO
[答案] D
[解析] 由三垂线定理得，OB为BC1在平面BB1D1D上的射影．故选D.
8．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
A. B.
C. D.π
[答案] B
[解析] 以D为原点建立空间直角坐标系，平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，
而＝(0，－1,1)，
∴cosθ＝＝，∴θ＝30°.
∴直线A1B与平面BDE成60°角．
9．正方形纸片ABCD，沿对角线AC折起，使点D在面ABCD外 ，这时DB与平面ABC所成角一定不等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] D
[解析] 当沿对角线AC折起时，BD在面ABC上的射影始终在原对角线上，若BD⊥面ABC，则此时B、D重合为一点，这是不成立的，故选D.
10．已知等腰直角△ABC的一条直角边BC平行于平面α，点A∈α，斜边AB＝2，AB与平面α所成的角为30°，则AC与平面α所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] B
[解析] 过B、C作BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，
则BB′＝CC′＝1，∴sinθ＝，∴θ＝45°.故选B.
二、填空题
11．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为________．
[答案]
[解析] 设三棱柱的棱长为1，以B为原点，建立坐标系如图，则C1(0,1,1)，A，＝，
又平面BB1C1C的一个法向量n＝(1,0,0)，
设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.
sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝，
∴cosθ＝＝.
12．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点S在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．
[答案] 30°
13．AB∥α，AA′⊥α， A′是垂足，BB′是α的一条斜线段，B′为斜足，若AA′＝9，BB′＝6，则直线BB′与平面α所成角的大小为________．
[答案] 60°
14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、A1D1的中点，则EF与面A1C1所成的角为________．
[答案] 45°
三、解答题
15．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求SC与平面ABCD所成的角．
[解析] 解法1：如图所示，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，A∈α，则
AB与平面α所成的角为－arccos；
是平面ABCD的法向量，设与的夹角为φ.
∵＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)＝·＝1.
||＝1，||＝
＝＝，
∴cosφ＝＝.
∴φ＝arccos.
从而CS与平面ABCD所成的角为－arccos.
解法2：连结AC，显然∠SCA即为SC与平面ABCD所成的角．计算得：AC＝，∴tan∠SCA＝，
故SC与平面ABCD所成角为arctan.
16．如图，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′＝4，OB＝3，∠AOB＝90°.D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点．若OP⊥BD，试求：
(1)OP与底面AOB所成的角的大小；
(2)BD与侧面AOO′A′所成的角的大小．
[解析] 如图，以O为原点建立空间直角坐标系，由题意，有B(3,0,0)，D，设P(3,0，z)，则＝，＝(3,0，z)．
∵BD⊥OP，∴·＝－＋4z＝0，z＝.
∴P.
(1)∵BB′⊥平面AOB，
∴∠POB是OP与底面AOB所成的角．
∵tan∠POB＝＝，∴∠POB＝arctan.
故OP与底面AOB所成角的大小是arctan.
(2)∵＝(3,0,0)，且⊥平面AOO′A′，
∴平面AOO′A′的法向量为＝(3,0,0)．
又＝(3,0,0)－＝，
∴·DB＝3×＋(－2)×0＋(－4)×0＝.
又||＝3，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝ .
∴BD与侧面AOO′A′所成的角的大小为－〈，〉＝－arccos(或写成arcsin)．
17．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的正弦值．
[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)，＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，＝(－2,0,1)．
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
∵n⊥BD，n⊥BB1
∴，
∴，
令y＝1时，则n＝(－1,1,0)，
cos＝＝.
即BE与平面B1BD所成的角的正弦值为.
18．(2009·北京)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；
[解析] 考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法．
解法一：(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE＝BC.
又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，
又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD＝AB.
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB.
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝.
∴AD与平面PAC所成的角的大小为arcsin.
解法二：(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz.
设PA＝a，由已知可得A(0,0,0)，B，
C，P(0,0，a)．
(1)∵＝(0,0，a)，＝，
∴·＝0，
∴BC⊥AP.
又∵∠BCA＝90°，
∴BC⊥AC.
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点．
∴D，E.
又由(1)知，BC⊥平面PAC.
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵＝，＝，
∴cos∠DAE＝＝.
∴AD与平面PAC所成的角的大小为arccos.
3.2.4二面角及其度量
一、选择题
1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不能确定
[答案] C
[解析] 二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．
2．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则( )
A．∠ADE是二面角A—PC—B的平面角
B．∠AED是二面角A—PB—C的平面角
C．∠DAE是二面角B—PA—C的平面角
D．∠ACB是二面角A—PC—B的平面角
[答案] B
[解析] 由二面角定义及三垂线定理知选B.
3．如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使二面角A—DE—B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为( )
A．45° B．90° C．135° D．180°
[答案] B
[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE为等腰直角三角形，设CD＝1，则BE＝1，AB＝1，AE＝，设BC＝DE＝2a，则E(0,0,0)，A(1,0,1)，N(1，a,0)，D(0,2a,0)，M(，a，)，所以＝(，0，－)，＝(－1,0，－1)，所以·＝(，0，－)·(－1,0，－1)＝0.故⊥，从而MN与AE所成的角为90°.
4．如图所示，在边长为a 的正△ABC中，AD⊥BC，沿AD将△ABC折起，若折起后B、C两点间距离为a，则二面角B－AD－C的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] C
5．将正方形ABCD沿对角线折成直二面角，则二面角A—BC—D的平面角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
6．正四棱锥P—ABCD的两相对侧面PAB与PCD互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的大小为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
7．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A—BD—P的度数是( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
[答案] A
8．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C—BF—D的正切值为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 如右图所示，连接AC，AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O—xyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B，F，C，D(－，0,0)，结合图形可知，＝且为面BOF的一个法向量，由＝，＝(，0，－)，可求得面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，
∴tan〈n，〉＝.
9．已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE分别沿DE、CE折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角P－CD－E的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] A
[解析] 取CD中点F，由二面角定义知∠PFE为其平面角，设PE＝a，则EF＝2a，∴sinθ＝＝，
∴二面角P—CD—E为30°.
10．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为( )
A．150° B．45° C．60° D．120°
[答案] C
[解析] 由条件，知·＝0，·＝0，
＝＋＋.
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉
＝(2)2，∴cos〈，〉＝－，
即〈，〉＝120°，
∴二面角的大小为60°，故选C.
二、填空题
11．如图所示，将边长为a的正三角形ABC，沿BC边上的高线AD将△ABC折起，若折起后B、C间距离为，则二面角B—AD—C的大小为________．
[答案] 60°
12．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P—BC—A的大小为________．
[答案] 90°
13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD和截面C1BD所成的二面角大小的余弦值为________．
[答案]
14．在正方体AC1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，若截面EFDB与侧面BCC1B1所成的锐二面角为θ，则cosθ＝________.
[答案]
三、解答题
15．如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A—BE—D的大小．
[解析] 以B为原点，以BC、BA、BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设平面EBD的一个法向量为n1＝(x，y,1)，
因为＝(0,2,1)，＝(3,3,0)，
由得
所以
于是n1＝.又因为平面ABE的一个法向量为n2＝(1,0,0)，
所以，cos〈n1，n2〉＝＝.
所以，二面角A—BE—D的大小为arccos.
16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为.
[解析] 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D—xyz，则A(1,0,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)．
∴＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)，又·＝0，·＝0，
∴是平面BDD1B1的一个法向量．
设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，
则sinθ＝cos
＝＝＝，∴m＝.
17．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．
[解析] 如图，建立空间直角坐标系．则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，
设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1，
∴BM⊥平面A1C1C，即＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的一个法向量是n＝(x，y，z)，
＝(－2,2，－2)，＝(－2,0,0)，
∴n·＝－2x＝0，n·＝－2x＋2y－2z＝0，令z＝1，解得x＝0，y＝1.
∴n＝(0,1,1)，
设法向量n与的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角．
∵cosθ＝|cosφ|＝＝，解得θ＝，
∴二面角B1－A1C－C1的大小为.
18．(2007·陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝4，AD＝2，AB＝2，BC＝6.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)求二面角A—PC—D的大小．
[解析] (1)如图，建立坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，
∴＝(0,0,4)，＝(2，6,0)，＝(－2，2,0)，
∴·＝0，·＝0.
∴BD⊥AP，BD⊥AC，
又PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC.
(2)设平面PCD的法向量为
n＝(x，y,1)，
则·n＝0，·n＝0，
又＝(－2，－4,0)，＝(0,2，－4)，
∴解得
∴n＝
平面PAC的法向量取为m＝＝(－2，2,0)，
则cos〈m，n〉＝＝.
∴二面角A—PC—D的大小为arccos.
3.2.5距离
一、选择题
1．已知平面α∥平面β，直线l?α，α与β之间的距离为d，有下列四个命题：
①β内有且仅有一条直线与l的距离为d；
②β 内所有的直线与l的距离都等于d；
③β内有无数条直线与l的距离为d；
④β内所有直线与α的距离都等于d.
其中真命题是( )
A．① B．②
C．①与④ D．③与④
[答案] D
[解析] 在直线l上任取一点O，过O作OA⊥β于A，在平面β内，与l不平行的所有直线与l距离都是d，否则不一定是d.
∴①②错误，故选D.
2．平面α内不共线的三点到平面β的距离相等且不为0，则α与β的位置关系为( )
A．相交 B．平行
C．重合 D．平行或相交
[答案] D
[解析] 两平面α，β平行或相交时都存在这样的三点，故选D.
3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C. D.
[答案] D
[解析] ＝(－1，－2,4)，d＝＝.
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，设点C到平面ABC1D1的距离为d1，D到平面ACD1的距离为d2，BC到平面ADD1A1的距离为d3，则有( )
A．d3C．d1[答案] D
[解析] 由已知得d1＝a，d2＝a，d3＝a，
∴d25．已知平行四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCA＝30°，AC＝20，PA＝5，且PA⊥面ABCD，则P到BC的距离为( )
A．5 B．5
C．5 D．5
[答案] C
[解析] 由已知AB＝20sin30°＝10，
又PA＝5，∴PB＝＝5.故选C.
6．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为( )
A. B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 过A，B作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′，则＝3，||＝2，||＝5，又＝＋＋，∴||2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，
∴||＝2，故选B.
7．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点M到平面BDD1B1的距离是( )
A．a B.
C. D.a
[答案] C
[解析] 法一：由线面关系知AA1∥平面BDD1B1，
∴只需求B点到平面BDD1B1的距离，而AC⊥平面BDD1B1，∴d＝a.
法二：建立以D为坐标原点的空间直角坐标系，
＝(a,0，)，n＝(－1,1,0)，
∴d＝＝＝a.
8．将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线BD折成60°的二面角，顶点A，C间距离为( )
A．a B.a
C.a D.a
[答案] D
[解析] 取BD中点O，则AO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠AOC＝60°，又AO＝CO＝a，∴AC＝a.故选D.
9．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是( )
A．2 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 解法一：建立如图所示直角坐标系，则A1(0，－1,2)，C1(0,1,2)，E(，，0)，F(0,0,2)．
则＝(－，－，2)，||＝＝.
解法二：设AC中点为G，连CE在Rt△FGE中|EF|2＝|FG|2＋|GE|2＝4＋1＝5.∴EF＝.
10．在四面体P－ABC中，PA、PB、PC两两垂直，M是面ABC内一点，且M到其它三面的距离分别是2、3、6，则M到顶点P的距离是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
[答案] A
[解析] 以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由已知M(2,3,6)，
∴|MP|＝＝7.
二、填空题
11．设A到平面α的距离是a，自A作平面α的两条斜线段AB，AC分别与平面α成45°和30°，∠BAC＝90°，则两斜足B，C间的距离为________．
[答案] a
[解析] 过A作AO⊥α于O，则∠ABO＝45°，∠ACO＝30°，|AO|＝a，∴|AB|＝a，|AC|＝2a，又∠BAC＝90°，
∴|BC|＝＝a.
12．如图所示，在直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在AA1上 ，且AE＝AA1＝.DC1⊥BE.则点B到平面EDC1的距离为________．
[答案]
[解析] 建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0)，A(1，－1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C1(0，1,2)，E(1，－1，)，
∴＝(0,1,2)，＝(1，－1，)．
设平面EDC1的法向量为n＝(x，y,1)，
∴?
∴n可取为(－，－2,1)．
∴点B到平面EDC1的距离为d＝＝＝.
13．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
[答案]
[解析] VB1－ABC1＝VA－BB1C1
VA－BB1C1＝S△BB1C1×AB＝
∴VB1－ABC1＝S△AB1C1·h，
S△ABC1＝AB·＝，∴h＝.
14．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
[答案]
[解析] 由已知AB，AD，AP两两垂直．
∴以A为坐标原点建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，则＝(2,0，－2)．
＝(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则，
∴n＝(1,0,1)，又AB＝(2,0,0)，
∴d＝＝.
三、解答题
15．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝2，E为AC的中点，若异面直线AD与BE所成角的余弦值为，求点B到平面ACD的距离．
[解析] 如图所示，以B为坐标原点，BC，BA，BD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系B－xyz，则A(0,2,0)，C(2,0,0)，E(1,1,0)．
设D(0,0，z)(z>0)，则＝(1,1,0)，＝(0，－2，z)．
设与所成角为θ，由图知直线BE与AD所成角为π－θ.
而·＝×·cosθ＝－2，
∴××＝－2，
∴z＝4，即D(0,0,4)．
设向量n＝(x，y，z)是平面ACD的一个单位向量，
则n⊥且n⊥，
由＝(2，－2,0)，＝(0，－2,4)，得
取x＝，则y＝，z＝.∴n＝.
又＝(0,0,4)，∴点B到平面ACD的距离d＝|·n|＝.
16．已知棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，求AD1与A1B的距离．
[解析] 如右图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，
则B(1,1,0)，A1(1,0,1)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)．
∴＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)与，都垂直，
则即
∴x＝y＝z.令z＝1，∴n＝(1,1,1)．
∴d＝＝＝，∴AD1与A1B的距离为.
17．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直线B1C与平面ABC所成的角为30°.试求点C1到平面AB1C的距离．
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，
在Rt△B1BC中，BB1＝1，∠B1CB＝30°，
∴BC＝，B1C＝2，
∴A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(0，，0)、A1(0,0,1)、B1(1,0,1)，C1(0，，1)，
设n＝(x，y，z)是由C1向平面AB1C所作垂线上的方向单位向量，则n⊥，且n⊥.
即
解得n＝(另一种情况舍去)，
∴·n＝(－1，，0)·＝－，
则d＝|·n|＝|－|＝为所求的距离．
18．(2007·甘肃)如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4，且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝0，A1C1∩B1D1＝O1.
(1)求二面角O1－BC－D的大小；
(2)求点A到平面O1BC的距离．
[解析] (1)由题意建立如图所示的空间直角坐标系．
∵底面ABCD是边长为4，∠DAB＝60°的菱形，
∴OA＝2，OB＝2.
则A(2，0,0)，B(0,2,0)，C(－2，0,0)，O1(0,0,3)．
∴＝(0,2，－3)，＝(－2，0，－3)．
设平面O1BC的法向量为n1＝(x，y，z)．
由n1⊥，n1⊥得：
令z＝2，则x＝－，y＝3，∴n1＝(－，3,2)．
又平面AC的法向量为n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.
设二面角O1－BC－D的平面角为α，
则cosα＝，
∴α＝60°.故二面角O1－BC－D为60°.
(2)设点A到平面O1BC的距离为d.
则(1)知平面O1BC的法向量为n1＝(－，3,2)．
又∵＝(2，0，－3)．
则d＝＝＝3.
∴点A到平面O1BC的距离等于3.
3章末
一、选择题
1．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是( )
A．相交 B．垂直
C．不垂直 D．成60°角
[答案] B
[解析] ∵·＝0，·＝0，
∴⊥平面ABCD.
2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角为( )
A．60° B．90°
C．105° D．75°
[答案] B
[解析] 如图，建立空间直角坐标系O－xyz，设高为h，则AB＝h，可得
A，B，
B1，C1，这样＝(0，h，－h)，
＝，由空间向量的夹角公式即可得到结果．
3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在BB1棱上，且BD＝1.若AD与平面AA1C1C所成角为α，则α等于( )
A. B.
C．arcsin D．arcsin
[答案] D
[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，，0)，D(0，，1)
∵OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量为＝(0，，0)，又
＝(－，，1)
∴·＝，||＝，||＝，
由向量夹角公式知cos〈，〉＝＝，
∵α＝－〈，〉，
∵sinα＝sin(－〈，〉)＝cos〈，〉＝.
∴α＝arcsin.
4．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱，两两夹角都为60°，且AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M、N分别为BB1、B1C1的中点，则MN与AC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 如图，本题考查异面直线所成的角．易知∠D1AC即为所求，即为向量与所成的角．
设＝a，＝b，＝c，
则由条件知|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，
b·c＝2×1×＝1，a·c＝2×3×＝3，b·c＝1×3×＝.
∵＝b＋c，＝a＋b，
∴||2＝12＋32＋2·＝13，
||2＝22＋12＋2·1＝7.
∴·＝，
∴cos〈，〉＝.故选B.
二、解答题
5．如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．
(1)证明：面PAD⊥面PCD；
(2)求AC与PB所成角的余弦值；
(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值．
[解析] 因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，
以A为坐标原点，AD长为单位长度，
如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、M.
(1)证明：∵＝(0,0,1)，＝(0,1,0)，故·＝0，∴AP⊥DC.
又由题设知：AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.
(2)解：∵＝(1,1,0)，＝(0,2，－1)，
∴||＝，＝，·＝2，
∴cos〈，〉＝＝.
由此得AC与PB所成角的余弦值为.
(3)解：在MC上取一点N(x，y，z)，则存在λ∈R，使＝λ，
＝(1－x,1－y，－z)，＝，
∴x＝1－λ，y＝1，z＝λ.
要使AN⊥MC，只需·＝0，即x－z＝0，
解得λ＝.
可知当λ＝时，N点坐标为，
能使·＝0.
此时，＝，＝，
有·＝0.
由·＝0，·＝0，得AN⊥MC，BN⊥MC.
∴∠ANB为所求二面角的平面角．
∵||＝，||＝.·＝－.
∴cos〈，〉＝＝－.
故所求的二面角的余弦值为－.
6．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，求证：
(1)AD1∥平面BDC1；
(2)A1C⊥平面BDC1.
[证明]以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D－xyz.
设正方体的棱长为1，则有D＝(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，
＝(－1,0,1)，＝(－1,1，－1)．
设n＝(x，y，z)为平面BDC1的法向量，
则n⊥，n⊥.
所以，所以.
令x＝1，则n＝(1，－1,1)．
(1)n·＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n⊥.
又AD1?平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1.
(2)因为n＝(1，－1,1)，＝(－1,1，－1)，
知＝－n，即n∥，所以A1C⊥平面BDC1.
