沪科版数学八年级下册 第17章 一元二次方程 单元综合能力测试（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 沪科版数学八年级下册 第17章 一元二次方程 单元综合能力测试（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 471.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-31 18:09:26 | ||
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文档简介
第17章 一元二次方程 单元综合能力测试
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·天津红桥·八年级期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．4（x＋2）＝25 B．2x2＋3x－1＝0 C．x＋y＝0 D．＝4
2．（2022·广东揭西·八年级期末）若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2
3．（2020·江苏邳州·八年级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．0、1、1 B．0、－1、1 C．1、－1、1 D．2、－1、1
4．（2021·天津红桥·八年级期中）一元二次方程（x＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝，则另一个一元一次方程为（ ）
A．x－1＝ B．x＋1＝2 C．x＋1＝－ D．x＋1＝－2
5．（2021·天津红桥·八年级期中）用配方法解方程x2－8x＋1＝0时，配方所得的方程为（ ）
A．（x－4）2＝15 B．（x－4）2＝17 C．（x＋4）2＝15 D．（x－8）2＝15
6．（2022·广东三水·八年级期末）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（2021·江苏句容·八年级期中）一元二次方程x2+3x+4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．（2021·江苏镇江·八年级期末）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2021·浙江东阳·八年级期末）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．368（1﹣x）2＝180 B．180（1+x）2＝461
C．461（1﹣x）2＝180 D．368（1+x）2＝442
10．（2022·福建·福州华伦中学八年级期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·天津·八年级期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式_______．
12．（2021·江苏镇江·八年级期中）关于的方程是一元二次方程，则______．
13．（2022·江西·景德镇一中八年级期末）若实数满足，则___________．
14．（2022·广东高州·八年级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是___________
15．（2021·江苏泗阳·八年级期中）已知等腰的两边是关于x的方程的两根，第三边的长是4，则______．
16．（2022·湖南溆浦·八年级期末）如果方程有两个相等的实数根，_________．
17．（2022·黑龙江省八五四农场学校八年级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片_____人．
18．（2021·北京·八年级期中）某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 __．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·山东岱岳·八年级期末）按照指定方法解下列方程：
（1）．（自选方法）
（2）．（配方法）
（3）（因式分解法）
20．（2022·四川宜宾·八年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求m的值．
21．（2022·广东南海·八年级期末）为响应国家“国际国内双循环”号召，南海广场购进一批国产高档服装，进价为500元/件，售价为1000元/件时，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价50元，一天可以多售出10件．
(1)售价为850元时，当天的销售量为多少件？
(2)如果每天的利润要比原来多4000元，并使顾客得到更大的优惠，问每件售价为多少元？
22．（2021·江苏句容·八年级期中）某学校有一长方形空地ABCD，长80米，宽40米，计划在这块空地上划出如图所示宽度相等的E形区域栽种花圃，已知栽种花圃区域的面积为1700平方米，求该花圃的宽度x．
23．（2022·全国·八年级期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米．
（1）当y＝72时，求x的值．
（2）y的值能否为120？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．
24．（2021·江苏泗阳·八年级期末）阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．
再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．
（1）解下列方程：
①
②
（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．
25．（2022·重庆万州·八年级期末）2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号飞行任务乘组航天王亚平、叶光富在中国空间站进行了生动活泼的太空授课．这也是王亚平第二次进行太空授课，掀起了全国青少年学习航天知识的热潮．飞燕航模店看准商机推出了“神州十三号”，“天宫空间站”两款模型，两款模型一经推出销售火爆．在销售过程中发现，已知每个“天宫空间站”模型的售价比每个“神州十三号”模型的售价贵20元，6个“神州十三号”模型的总售价与5个“天宫空间站”模型的总售价相同．
(1)求这两款模型的销售单价分别为多少元？
(2)第一周该店在按（1）问中的售价进行销售后统计，“天宮空间站”模型售出了800个，“神州十三号”模型售出了1300个于是该店决定在第二周推出优惠活动，每个“天宮空间站”模型的售价在第一周的基础上降价，结果该款模型销量比第一周增加；每个“神州十三号”模型的售价在第一周的基础上降价，销量比第一周增加108个，结果第二周“神州十三号”模型的总销售额比“天宫空间站”模型的总销售额多44800元，求a的值．
第17章 一元二次方程 单元综合能力测试
单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·天津红桥·八年级期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．4（x＋2）＝25 B．2x2＋3x－1＝0 C．x＋y＝0 D．＝4
【答案】B
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答．
【详解】解：A. 4（x＋2）＝25不符合定义，故该项不符合题意；B. 2x2＋3x－1＝0符合定义，故该项不符合题意；C. x＋y＝0不符合定义，故该项不符合题意；D. ＝4不符合定义，故该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
2．（2022·广东揭西·八年级期末）若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2
【答案】B
【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到的值．
【详解】解：设，则原方程可化为，
解得：，，
当时，，即，△，方程无解，
当时，，即，△，方程有实数根，
的值为2，
故选：．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想．
3．（2020·江苏邳州·八年级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．0、1、1 B．0、－1、1 C．1、－1、1 D．2、－1、1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
4．（2021·天津红桥·八年级期中）一元二次方程（x＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝，则另一个一元一次方程为（ ）
A．x－1＝ B．x＋1＝2 C．x＋1＝－ D．x＋1＝－2
【答案】C
【分析】根据直接开方法解一元二次方程的方法选择即可．
【详解】解：（x＋1）2＝2，
两边开方得，x＋1＝，
可转化为一元一次方程为x＋1＝，x＋1＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握直接开方法解一元二次方程．
5．（2021·天津红桥·八年级期中）用配方法解方程x2－8x＋1＝0时，配方所得的方程为（ ）
A．（x－4）2＝15 B．（x－4）2＝17 C．（x＋4）2＝15 D．（x－8）2＝15
【答案】A
【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方．
【详解】解：移项，得，
配方得，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
6．（2022·广东三水·八年级期末）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴ ，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
7．（2021·江苏句容·八年级期中）一元二次方程x2+3x+4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】先求出“△”的值，再判断即可．
【详解】解：∵x2+3x+4=0，
∴△=32﹣4×1×4=-7＜0，
∴方程没有实数根，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．
8．（2021·江苏镇江·八年级期末）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】首先根据题意可以设y=2x+5，方程可以变为 y2-4y+3=0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．
【详解】解：（2x+5）2-4（2x+5）+3=0，
设y=2x+5，
方程可以变为 y2-4y+3=0，
∴y1=1，y2=3，
当y=1时，即2x+5=1，解得x=-2；
当y=3时，即2x+5=3，解得x=-1，
所以原方程的解为：x1=-2，x2=-1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程的解法解决问题．
9．（2021·浙江东阳·八年级期末）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．368（1﹣x）2＝180 B．180（1+x）2＝461
C．461（1﹣x）2＝180 D．368（1+x）2＝442
【答案】B
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）2，如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
10．（2022·福建·福州华伦中学八年级期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先将图形利用平移进行转化，可得两长方形的面积之和=小路的面积+两长方形重合的面积．
【详解】解：利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米．
根据题意可得：．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·天津·八年级期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式_______．
【答案】2021
【分析】由方程的解的含义把代入原方程，从而可得答案.
【详解】解： m是一元二次方程的一个根，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握“一元二次方程的解的含义”是解本题的关键.
12．（2021·江苏镇江·八年级期中）关于的方程是一元二次方程，则______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义可得且，求解即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴且，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解决根据一元二次方程定义求参数的问题时，注意二次项系数不能为0．
13．（2022·江西·景德镇一中八年级期末）若实数满足，则___________．
【答案】7
【分析】根据原式变形得到，设，解关于t的方程，再整体代入计算．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，
解得：或，
∴=7或=（舍），
故答案为：7．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解一元二次方程，解题的关键是要熟练运用完全平方公式变形，掌握整体思想的运用．
14．（2022·广东高州·八年级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是___________
【答案】30
【分析】把方程x2-10x+m=0移项后配方，即可得出（x-5）2=25-m，得出25-m=0，n=5．求出m=25．
【详解】解：x2-10x+m=0，
移项，得x2-10x=-m，
配方，得x2-10x+25=-m+25，
（x-5）2=25-m，
∵关于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通过配方写成（x-n）2=0的形式，
∴25-m=0，n=5，
∴m=25，
∴
故答案为：30．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
15．（2021·江苏泗阳·八年级期中）已知等腰的两边是关于x的方程的两根，第三边的长是4，则______．
【答案】10或11##或10
【详解】解：当4是底边时，则关于x的方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得，或
当时，
，不能构成三角形
当4是腰时，则方程有一个根是4，把x=4代入方程得，
解得：
综上所述，m的值为10或
故答案为10或
【点睛】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
16．（2022·湖南溆浦·八年级期末）如果方程有两个相等的实数根，_________．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，令根的判别式为0即可求求解．
【详解】解：方程有两个相等的实数根，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
17．（2022·黑龙江省八五四农场学校八年级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片_____人．
【答案】10
【分析】设这个团队有x人，则每人需送出（x-1）张名片，根据在参加会议前该团队共送出90张名片，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这个团队有x人，则每人需送出（x-1）张名片，
依题意得：x（x-1）=90，
整理得：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不合题意，舍去），
∴这个团队有10人．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2021·北京·八年级期中）某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 __．
【答案】
【分析】利用经过两期治理后废气的排放量治理前废气的排放量每期减少的百分率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·山东岱岳·八年级期末）按照指定方法解下列方程：
（1）．（自选方法）
（2）．（配方法）
（3）（因式分解法）
【答案】（1） ；（2），；（3）．
【分析】
（1）原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可；
（2）先把二次项系数化为1，即两边都除以3，然后配方即可；
（3）方程两边分别分解因式，再把左边移项后，提取公因式即可．
【详解】解：（1）原方程整理得：
即
∴
（2）方程两边同除以3，得：
配方，得：
根据平方根的定义，得：或
解得：，
（3）两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3)
即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0
提取公因式得：(x+3)(x-5)=0
∴x+3=0或x-5=0
∴
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，有直接开平方法，配方法，公式法及因式分解法等方法，要根据方程的特点灵活选取适当的方法，提高解方程的速度．
20．（2022·四川宜宾·八年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由题意得到，据此计算解题；
（2）通过根与系数的关系列出与的值，然后结合条件求出m的值．
【详解】解：（1）因为一元二次方程有两个实数根，
所以
即实数m的取值范围为；
（2），
（舍去）或
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键，难度一般．
21．（2022·广东南海·八年级期末）为响应国家“国际国内双循环”号召，南海广场购进一批国产高档服装，进价为500元/件，售价为1000元/件时，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价50元，一天可以多售出10件．
(1)售价为850元时，当天的销售量为多少件？
(2)如果每天的利润要比原来多4000元，并使顾客得到更大的优惠，问每件售价为多少元？
【答案】(1)售价为850元时，当天的销售量为70件；(2)800元
【分析】
（1）降低50元增加10件，可知若售价为850元时，降低元，进而即可列出算式求解．
（2）利润售价进价，根据一件商品的利润乘以销售量得到总利润，列出方程求解即可．
【详解】(1)解：（件．
答：售价为850元时，当天的销售量为70件；
(2)
解：设每件服装售价元，
，
化简得，
解得：，，
使顾客得到尽可能大的实惠，
，
答：每件应定价800元．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握利润售价进价，根据一件商品的利润乘以销售量总利润列出方程．
22．（2021·江苏句容·八年级期中）某学校有一长方形空地ABCD，长80米，宽40米，计划在这块空地上划出如图所示宽度相等的E形区域栽种花圃，已知栽种花圃区域的面积为1700平方米，求该花圃的宽度x．
【答案】该花带的宽度为10米
【分析】由S阴影=S矩形ABCD-S空白列出方程，解方程即可求出宽度x．
【详解】解：根据题意得：（80﹣3x）（40﹣x）＝80×40-1700
化简得：3
解之得或（舍去）
∵x＜40，
∴（不符合题意，舍去），
答：该花带的宽度为10米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据“S阴影=S矩形ABCD-S空白”列出方程是解决问题的关键．
23．（2022·全国·八年级期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米．
（1）当y＝72时，求x的值．
（2）y的值能否为120？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）x的值是12；（2）不能，理由见详解.
【分析】
（1）由题意根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值；
（2）由题意题意可得x（30-2x）=120，即，进而依据根的判别式即可分析出结论.
【详解】解：（1）设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则圃园与墙平行的一边长为（30-2x）米，
由题意可得，解得：6≤x＜15，
x（30-2x）=72，
即x2-15x+36=0，
解得：x1=3（舍去），x2=12，
即x的值是12；
（2）由题意题意可得x（30-2x）=120，即，
，可得方程无解，
所以y的值不能为120.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．（2021·江苏泗阳·八年级期末）阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．
再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．
（1）解下列方程：
①
②
（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．
【答案】（1）①，，；②；（2）
【分析】
（1）①结合题意，首先提取公因式，再结合因式分解法求解，即可得到答案
②方程两边平方把它转化为，再通过因式分解法求解一元二次方程，结合二次根式的取值范围分析，即可得到答案；
（2）首先将原函数转化成关于x的一元二次方程，分和两种情况，当时，根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到y的取值范围；当时，结合一元一次方程的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：（1）①∵
∴
∴，，
②∵
∴，即
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴（舍去）
∴的解为：
（2）将原函数转化成关于x的一元二次方程，得，
当时，
∵x为实数
∴
∴且；
当时，得：，方程有解（x的值存在）；
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的知识，从而完成求解．
25．（2022·重庆万州·八年级期末）2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号飞行任务乘组航天王亚平、叶光富在中国空间站进行了生动活泼的太空授课．这也是王亚平第二次进行太空授课，掀起了全国青少年学习航天知识的热潮．飞燕航模店看准商机推出了“神州十三号”，“天宫空间站”两款模型，两款模型一经推出销售火爆．在销售过程中发现，已知每个“天宫空间站”模型的售价比每个“神州十三号”模型的售价贵20元，6个“神州十三号”模型的总售价与5个“天宫空间站”模型的总售价相同．
(1)求这两款模型的销售单价分别为多少元？
(2)第一周该店在按（1）问中的售价进行销售后统计，“天宮空间站”模型售出了800个，“神州十三号”模型售出了1300个于是该店决定在第二周推出优惠活动，每个“天宮空间站”模型的售价在第一周的基础上降价，结果该款模型销量比第一周增加；每个“神州十三号”模型的售价在第一周的基础上降价，销量比第一周增加108个，结果第二周“神州十三号”模型的总销售额比“天宫空间站”模型的总销售额多44800元，求a的值．
【答案】(1)“神州十三号”模型销售单价为100元，“天宫空间站”模型销售单价为120元
(2)
【分析】
（1）设“神州十三号”模型销售单价为元，“天宫空间站”模型销售单价为元，根据题意列二元一次方程组解方程组求解即可；
（2）分别求得第二周“神州十三号”模型的总销售额与“天宫空间站”模型的总销售额，根据第二周“神州十三号”模型的总销售额比“天宫空间站”模型的总销售额多44800元，列出一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】(1)解：设“神州十三号”模型销售单价为元，“天宫空间站”模型销售单价为元，根据题意得，
解得
答：“神州十三号”模型销售单价为100元，“天宫空间站”模型销售单价为120元．
(2)
根据题意，得
解得或（舍去）
故
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，理解题意列出方程（组）是解题的关键
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·天津红桥·八年级期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．4（x＋2）＝25 B．2x2＋3x－1＝0 C．x＋y＝0 D．＝4
2．（2022·广东揭西·八年级期末）若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2
3．（2020·江苏邳州·八年级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．0、1、1 B．0、－1、1 C．1、－1、1 D．2、－1、1
4．（2021·天津红桥·八年级期中）一元二次方程（x＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝，则另一个一元一次方程为（ ）
A．x－1＝ B．x＋1＝2 C．x＋1＝－ D．x＋1＝－2
5．（2021·天津红桥·八年级期中）用配方法解方程x2－8x＋1＝0时，配方所得的方程为（ ）
A．（x－4）2＝15 B．（x－4）2＝17 C．（x＋4）2＝15 D．（x－8）2＝15
6．（2022·广东三水·八年级期末）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（2021·江苏句容·八年级期中）一元二次方程x2+3x+4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．（2021·江苏镇江·八年级期末）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2021·浙江东阳·八年级期末）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．368（1﹣x）2＝180 B．180（1+x）2＝461
C．461（1﹣x）2＝180 D．368（1+x）2＝442
10．（2022·福建·福州华伦中学八年级期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·天津·八年级期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式_______．
12．（2021·江苏镇江·八年级期中）关于的方程是一元二次方程，则______．
13．（2022·江西·景德镇一中八年级期末）若实数满足，则___________．
14．（2022·广东高州·八年级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是___________
15．（2021·江苏泗阳·八年级期中）已知等腰的两边是关于x的方程的两根，第三边的长是4，则______．
16．（2022·湖南溆浦·八年级期末）如果方程有两个相等的实数根，_________．
17．（2022·黑龙江省八五四农场学校八年级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片_____人．
18．（2021·北京·八年级期中）某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 __．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·山东岱岳·八年级期末）按照指定方法解下列方程：
（1）．（自选方法）
（2）．（配方法）
（3）（因式分解法）
20．（2022·四川宜宾·八年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求m的值．
21．（2022·广东南海·八年级期末）为响应国家“国际国内双循环”号召，南海广场购进一批国产高档服装，进价为500元/件，售价为1000元/件时，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价50元，一天可以多售出10件．
(1)售价为850元时，当天的销售量为多少件？
(2)如果每天的利润要比原来多4000元，并使顾客得到更大的优惠，问每件售价为多少元？
22．（2021·江苏句容·八年级期中）某学校有一长方形空地ABCD，长80米，宽40米，计划在这块空地上划出如图所示宽度相等的E形区域栽种花圃，已知栽种花圃区域的面积为1700平方米，求该花圃的宽度x．
23．（2022·全国·八年级期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米．
（1）当y＝72时，求x的值．
（2）y的值能否为120？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．
24．（2021·江苏泗阳·八年级期末）阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．
再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．
（1）解下列方程：
①
②
（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．
25．（2022·重庆万州·八年级期末）2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号飞行任务乘组航天王亚平、叶光富在中国空间站进行了生动活泼的太空授课．这也是王亚平第二次进行太空授课，掀起了全国青少年学习航天知识的热潮．飞燕航模店看准商机推出了“神州十三号”，“天宫空间站”两款模型，两款模型一经推出销售火爆．在销售过程中发现，已知每个“天宫空间站”模型的售价比每个“神州十三号”模型的售价贵20元，6个“神州十三号”模型的总售价与5个“天宫空间站”模型的总售价相同．
(1)求这两款模型的销售单价分别为多少元？
(2)第一周该店在按（1）问中的售价进行销售后统计，“天宮空间站”模型售出了800个，“神州十三号”模型售出了1300个于是该店决定在第二周推出优惠活动，每个“天宮空间站”模型的售价在第一周的基础上降价，结果该款模型销量比第一周增加；每个“神州十三号”模型的售价在第一周的基础上降价，销量比第一周增加108个，结果第二周“神州十三号”模型的总销售额比“天宫空间站”模型的总销售额多44800元，求a的值．
第17章 一元二次方程 单元综合能力测试
单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·天津红桥·八年级期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．4（x＋2）＝25 B．2x2＋3x－1＝0 C．x＋y＝0 D．＝4
【答案】B
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答．
【详解】解：A. 4（x＋2）＝25不符合定义，故该项不符合题意；B. 2x2＋3x－1＝0符合定义，故该项不符合题意；C. x＋y＝0不符合定义，故该项不符合题意；D. ＝4不符合定义，故该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
2．（2022·广东揭西·八年级期末）若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2
【答案】B
【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到的值．
【详解】解：设，则原方程可化为，
解得：，，
当时，，即，△，方程无解，
当时，，即，△，方程有实数根，
的值为2，
故选：．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想．
3．（2020·江苏邳州·八年级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．0、1、1 B．0、－1、1 C．1、－1、1 D．2、－1、1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
4．（2021·天津红桥·八年级期中）一元二次方程（x＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝，则另一个一元一次方程为（ ）
A．x－1＝ B．x＋1＝2 C．x＋1＝－ D．x＋1＝－2
【答案】C
【分析】根据直接开方法解一元二次方程的方法选择即可．
【详解】解：（x＋1）2＝2，
两边开方得，x＋1＝，
可转化为一元一次方程为x＋1＝，x＋1＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握直接开方法解一元二次方程．
5．（2021·天津红桥·八年级期中）用配方法解方程x2－8x＋1＝0时，配方所得的方程为（ ）
A．（x－4）2＝15 B．（x－4）2＝17 C．（x＋4）2＝15 D．（x－8）2＝15
【答案】A
【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方．
【详解】解：移项，得，
配方得，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
6．（2022·广东三水·八年级期末）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴ ，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
7．（2021·江苏句容·八年级期中）一元二次方程x2+3x+4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】先求出“△”的值，再判断即可．
【详解】解：∵x2+3x+4=0，
∴△=32﹣4×1×4=-7＜0，
∴方程没有实数根，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．
8．（2021·江苏镇江·八年级期末）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】首先根据题意可以设y=2x+5，方程可以变为 y2-4y+3=0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．
【详解】解：（2x+5）2-4（2x+5）+3=0，
设y=2x+5，
方程可以变为 y2-4y+3=0，
∴y1=1，y2=3，
当y=1时，即2x+5=1，解得x=-2；
当y=3时，即2x+5=3，解得x=-1，
所以原方程的解为：x1=-2，x2=-1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程的解法解决问题．
9．（2021·浙江东阳·八年级期末）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．368（1﹣x）2＝180 B．180（1+x）2＝461
C．461（1﹣x）2＝180 D．368（1+x）2＝442
【答案】B
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）2，如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
10．（2022·福建·福州华伦中学八年级期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先将图形利用平移进行转化，可得两长方形的面积之和=小路的面积+两长方形重合的面积．
【详解】解：利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米．
根据题意可得：．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·天津·八年级期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式_______．
【答案】2021
【分析】由方程的解的含义把代入原方程，从而可得答案.
【详解】解： m是一元二次方程的一个根，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握“一元二次方程的解的含义”是解本题的关键.
12．（2021·江苏镇江·八年级期中）关于的方程是一元二次方程，则______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义可得且，求解即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴且，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解决根据一元二次方程定义求参数的问题时，注意二次项系数不能为0．
13．（2022·江西·景德镇一中八年级期末）若实数满足，则___________．
【答案】7
【分析】根据原式变形得到，设，解关于t的方程，再整体代入计算．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，
解得：或，
∴=7或=（舍），
故答案为：7．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解一元二次方程，解题的关键是要熟练运用完全平方公式变形，掌握整体思想的运用．
14．（2022·广东高州·八年级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是___________
【答案】30
【分析】把方程x2-10x+m=0移项后配方，即可得出（x-5）2=25-m，得出25-m=0，n=5．求出m=25．
【详解】解：x2-10x+m=0，
移项，得x2-10x=-m，
配方，得x2-10x+25=-m+25，
（x-5）2=25-m，
∵关于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通过配方写成（x-n）2=0的形式，
∴25-m=0，n=5，
∴m=25，
∴
故答案为：30．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
15．（2021·江苏泗阳·八年级期中）已知等腰的两边是关于x的方程的两根，第三边的长是4，则______．
【答案】10或11##或10
【详解】解：当4是底边时，则关于x的方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得，或
当时，
，不能构成三角形
当4是腰时，则方程有一个根是4，把x=4代入方程得，
解得：
综上所述，m的值为10或
故答案为10或
【点睛】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
16．（2022·湖南溆浦·八年级期末）如果方程有两个相等的实数根，_________．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，令根的判别式为0即可求求解．
【详解】解：方程有两个相等的实数根，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
17．（2022·黑龙江省八五四农场学校八年级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片_____人．
【答案】10
【分析】设这个团队有x人，则每人需送出（x-1）张名片，根据在参加会议前该团队共送出90张名片，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这个团队有x人，则每人需送出（x-1）张名片，
依题意得：x（x-1）=90，
整理得：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不合题意，舍去），
∴这个团队有10人．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2021·北京·八年级期中）某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 __．
【答案】
【分析】利用经过两期治理后废气的排放量治理前废气的排放量每期减少的百分率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·山东岱岳·八年级期末）按照指定方法解下列方程：
（1）．（自选方法）
（2）．（配方法）
（3）（因式分解法）
【答案】（1） ；（2），；（3）．
【分析】
（1）原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可；
（2）先把二次项系数化为1，即两边都除以3，然后配方即可；
（3）方程两边分别分解因式，再把左边移项后，提取公因式即可．
【详解】解：（1）原方程整理得：
即
∴
（2）方程两边同除以3，得：
配方，得：
根据平方根的定义，得：或
解得：，
（3）两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3)
即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0
提取公因式得：(x+3)(x-5)=0
∴x+3=0或x-5=0
∴
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，有直接开平方法，配方法，公式法及因式分解法等方法，要根据方程的特点灵活选取适当的方法，提高解方程的速度．
20．（2022·四川宜宾·八年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由题意得到，据此计算解题；
（2）通过根与系数的关系列出与的值，然后结合条件求出m的值．
【详解】解：（1）因为一元二次方程有两个实数根，
所以
即实数m的取值范围为；
（2），
（舍去）或
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键，难度一般．
21．（2022·广东南海·八年级期末）为响应国家“国际国内双循环”号召，南海广场购进一批国产高档服装，进价为500元/件，售价为1000元/件时，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价50元，一天可以多售出10件．
(1)售价为850元时，当天的销售量为多少件？
(2)如果每天的利润要比原来多4000元，并使顾客得到更大的优惠，问每件售价为多少元？
【答案】(1)售价为850元时，当天的销售量为70件；(2)800元
【分析】
（1）降低50元增加10件，可知若售价为850元时，降低元，进而即可列出算式求解．
（2）利润售价进价，根据一件商品的利润乘以销售量得到总利润，列出方程求解即可．
【详解】(1)解：（件．
答：售价为850元时，当天的销售量为70件；
(2)
解：设每件服装售价元，
，
化简得，
解得：，，
使顾客得到尽可能大的实惠，
，
答：每件应定价800元．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握利润售价进价，根据一件商品的利润乘以销售量总利润列出方程．
22．（2021·江苏句容·八年级期中）某学校有一长方形空地ABCD，长80米，宽40米，计划在这块空地上划出如图所示宽度相等的E形区域栽种花圃，已知栽种花圃区域的面积为1700平方米，求该花圃的宽度x．
【答案】该花带的宽度为10米
【分析】由S阴影=S矩形ABCD-S空白列出方程，解方程即可求出宽度x．
【详解】解：根据题意得：（80﹣3x）（40﹣x）＝80×40-1700
化简得：3
解之得或（舍去）
∵x＜40，
∴（不符合题意，舍去），
答：该花带的宽度为10米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据“S阴影=S矩形ABCD-S空白”列出方程是解决问题的关键．
23．（2022·全国·八年级期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米．
（1）当y＝72时，求x的值．
（2）y的值能否为120？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）x的值是12；（2）不能，理由见详解.
【分析】
（1）由题意根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值；
（2）由题意题意可得x（30-2x）=120，即，进而依据根的判别式即可分析出结论.
【详解】解：（1）设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则圃园与墙平行的一边长为（30-2x）米，
由题意可得，解得：6≤x＜15，
x（30-2x）=72，
即x2-15x+36=0，
解得：x1=3（舍去），x2=12，
即x的值是12；
（2）由题意题意可得x（30-2x）=120，即，
，可得方程无解，
所以y的值不能为120.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．（2021·江苏泗阳·八年级期末）阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．
再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．
（1）解下列方程：
①
②
（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．
【答案】（1）①，，；②；（2）
【分析】
（1）①结合题意，首先提取公因式，再结合因式分解法求解，即可得到答案
②方程两边平方把它转化为，再通过因式分解法求解一元二次方程，结合二次根式的取值范围分析，即可得到答案；
（2）首先将原函数转化成关于x的一元二次方程，分和两种情况，当时，根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到y的取值范围；当时，结合一元一次方程的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：（1）①∵
∴
∴，，
②∵
∴，即
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴（舍去）
∴的解为：
（2）将原函数转化成关于x的一元二次方程，得，
当时，
∵x为实数
∴
∴且；
当时，得：，方程有解（x的值存在）；
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的知识，从而完成求解．
25．（2022·重庆万州·八年级期末）2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号飞行任务乘组航天王亚平、叶光富在中国空间站进行了生动活泼的太空授课．这也是王亚平第二次进行太空授课，掀起了全国青少年学习航天知识的热潮．飞燕航模店看准商机推出了“神州十三号”，“天宫空间站”两款模型，两款模型一经推出销售火爆．在销售过程中发现，已知每个“天宫空间站”模型的售价比每个“神州十三号”模型的售价贵20元，6个“神州十三号”模型的总售价与5个“天宫空间站”模型的总售价相同．
(1)求这两款模型的销售单价分别为多少元？
(2)第一周该店在按（1）问中的售价进行销售后统计，“天宮空间站”模型售出了800个，“神州十三号”模型售出了1300个于是该店决定在第二周推出优惠活动，每个“天宮空间站”模型的售价在第一周的基础上降价，结果该款模型销量比第一周增加；每个“神州十三号”模型的售价在第一周的基础上降价，销量比第一周增加108个，结果第二周“神州十三号”模型的总销售额比“天宫空间站”模型的总销售额多44800元，求a的值．
【答案】(1)“神州十三号”模型销售单价为100元，“天宫空间站”模型销售单价为120元
(2)
【分析】
（1）设“神州十三号”模型销售单价为元，“天宫空间站”模型销售单价为元，根据题意列二元一次方程组解方程组求解即可；
（2）分别求得第二周“神州十三号”模型的总销售额与“天宫空间站”模型的总销售额，根据第二周“神州十三号”模型的总销售额比“天宫空间站”模型的总销售额多44800元，列出一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】(1)解：设“神州十三号”模型销售单价为元，“天宫空间站”模型销售单价为元，根据题意得，
解得
答：“神州十三号”模型销售单价为100元，“天宫空间站”模型销售单价为120元．
(2)
根据题意，得
解得或（舍去）
故
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，理解题意列出方程（组）是解题的关键