沪科版数学八年级下册 第18章 勾股定理 单元综合能力测试（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 沪科版数学八年级下册 第18章 勾股定理 单元综合能力测试（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 857.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-31 18:13:49 | ||
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文档简介
第18章 勾股定理 单元综合能力测试
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·山东槐荫·八年级期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B．14 C． D．1
2．（2022·全国·八年级期中）已知一个的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
3．（2021·江苏江阴·八年级期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．4，6，8 B．6，8，10 C．6，9，10 D．5，11，13
4．（2022·江苏江阴·八年级期末）已知，，分别是的三边，根据下列条件能判定为直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．（2022·全国·八年级期末）已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
6．（2022·四川宜宾·八年级期末）已知RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，D为BC的中点，E是线段AB上一点，连接CE、DE，则CE+DE的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2+2
7．（2022·广东·深圳市福田区第二实验学校八年级期中）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
8．（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝25°，∠B＝75°
C．a＝，b＝，c＝ D．a＝6，b＝10，c＝12
9．（2021·全国·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m），过点P作OP的垂线交函数（k＞1）的图象于点Q．若Q的横坐标为1，且OP2﹣PQ2＝6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
10．（2021·江西九江·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·全国·八年级单元测试）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为_______．
12．（2021·全国·八年级单元测试）已知等腰三角形的腰长是13cm，底边长10cm，则该等腰三角形的面积是_______cm2．
13．（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ______．
14．（2021·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 _______________．
15．（2022·重庆黔江·八年级期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为______．
16．（2022·重庆市育才中学八年级期末）如图所示，和都是等腰直角三角形，，平分，连接、，取的中点，连接，若，则与的面积之比为______．
17．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度．
18．（2022·江苏东台·九年级期末）如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是______；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为______．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·全国·八年级单元测试）如图，中，D为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．（2021·全国·八年级单元测试）如图，红星村A和幸福村B在一条小河的同侧，它们到河岸的距离，分别为1和3，又知道的长为3，现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹）；
（2）求铺设水管的最省总费用．
21．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，边长为6，高为a，在拼成的四边形ABCD中，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF，CE，CF．
(1)求证：△CEF是等边三角形；
(2)△AEF周长的最小值是 ．（用含a的式子表示）
22．（2021·全国·八年级单元测试）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
23．（2021·全国·八年级单元测试）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．
24．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)的面积为________；
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)求边上的高．
25．（2022·湖南广益实验中学八年级期末）我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为
（1）在中，若，，求的值．
（2）如图2，在中，，，求，的值．
（3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长．
第18章 勾股定理 单元综合能力测试
单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·山东槐荫·八年级期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B．14 C． D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理，即可求得斜边长.
【详解】解：由题意得，该直角三角形的斜边长为：
故选：A.
【点睛】此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理即可解题.
2．（2022·全国·八年级期中）已知一个的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
【答案】D
【分析】由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论：
（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．
∴第三边长的平方是25或7，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
3．（2021·江苏江阴·八年级期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．4，6，8 B．6，8，10 C．6，9，10 D．5，11，13
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，即可完成解答．
【详解】解：A、，故不能组成直角三角形；B、，故能组成直角三角形；C、，故不能组成直角三角形；D、，故不能组成直角三角形；
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握此定理是关键．
4．（2022·江苏江阴·八年级期末）已知，，分别是的三边，根据下列条件能判定为直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项正确；C、∵62+82≠122，∴能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵62+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5．（2022·全国·八年级期末）已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出，即可得到三角形的形状.
【详解】解：∵a+b=10，ab=18，
∴=（a+b）2-2ab=100-36=64，
∵,c=8，
∴=64，
∴=，
∴该三角形是直角三角形，
故选：B.
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出是解题的关键.
6．（2022·四川宜宾·八年级期末）已知RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，D为BC的中点，E是线段AB上一点，连接CE、DE，则CE+DE的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2+2
【答案】B
【分析】作点C关于AB的对称点，连接,与AB交于点E，作DF于点F，则CE=，CE+DE= +DE，线段即为CE+DE得最小值．
【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点，连接,与AB交于点E，作DF于点F，
则CE=，CE+DE= +DE，线段即为CE+DE得最小值．
∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，
D为BC的中点，
CD=BD=BC=×4=2
CF=DF=,CC'=2CG=2×=
故选：B．
【点睛】此题考查了线路最短的问题，勾股定理，确定动点E何位置时，使DE+CE的值最小是解题的关键．
7．（2022·广东·深圳市福田区第二实验学校八年级期中）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【分析】若蚂蚁从侧表面从A爬行到B，首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】解：若蚂蚁从侧表面从A爬行到B，将此圆柱展成平面图得：
∵圆柱的高等于8，底面半径为2（π=3），
∴AC=8，BC==4π=6，
∴AB=10．
根据两点之间线段最短，蚂蚁从侧表面从A爬行到B最短路径为10．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．
8．（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝25°，∠B＝75°
C．a＝，b＝，c＝ D．a＝6，b＝10，c＝12
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理得出，再根据求出最大角，再根据直角三角形的判定即可判断选项；根据三角形的内角和定理求出，即可判断选项；根据勾股定理的逆定理即可判断选项、选项．
【详解】解：．，，
最大角，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
．，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
．，，，
，
是直角三角形，故本选项符合题意；
．，，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和等于180°．
9．（2021·全国·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m），过点P作OP的垂线交函数（k＞1）的图象于点Q．若Q的横坐标为1，且OP2﹣PQ2＝6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】根据点P（m，m）可得均为等腰直角三角形，根据OP2﹣PQ2＝6得出，求出m值即可求得k的值．
【详解】解：作，，
P（m，m），
，
，
，
均为等腰直角三角形，
，
，
，
即，
解得：，
,
点的纵坐标为，
，
将点Q代入中，
得：，
故选:B．
【点睛】本题主要考查一次函数函数图像，等腰三角形以及勾股定理，根据已知条件求出m的值是解题的关键．
10．（2021·江西九江·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③错误；最后求出，故④错误；即可得出答案．
【详解】解：，，，，
，
是直角三角形，，
，故①正确；
，都是等边三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
同理可证：，
，
四边形是平行四边形，故②正确；
，故③错误；
过作于，如图所示：
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故④错误；
正确的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·全国·八年级单元测试）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为_______．
【答案】21或9
【分析】根据题意，可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，BC边上高，
如图所示，当为锐角三角形时，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
∴BC的长为：；
如图所示：当为钝角三角形时，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
∴BC的长为：；
综上可得：BC的长为：21或9．
故答案为：21或9．
【点睛】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是解题关键．
12．（2021·全国·八年级单元测试）已知等腰三角形的腰长是13cm，底边长10cm，则该等腰三角形的面积是_______cm2．
【答案】60
【分析】根据等腰三角形三线合一定理和勾股定理即可求得底边的高，从而求得三角形面积．
【详解】解：如图所示：AB=AC=13cm，BC=10cm
作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°
∴，
∴，
∴△ABC的面积=，
故答案为：60．
【点睛】本题考查勾股定理和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解题关键．
13．（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ______．
【答案】
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE=90°，然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC=2BD．
【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE．
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=13．
在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，
∴AB2+AE2=BE2，
∴∠BAE=90°．
在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，
∴BD=，
∴BC=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等．题中延长中线的一倍是常用的辅助线的作法．
14．（2021·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 _______________．
【答案】##
【分析】根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
【详解】解：，，，
，
，，
，
是直角三角形，，
阴影，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长．
15．（2022·重庆黔江·八年级期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为______．
【答案】10
【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【详解】解：如图，
∵AB=9，BC=GF=6，BF=5，点是的中点，
∴BM=9-3=6，BN=5+3=8，
∴
如图2，
∵AB=8，BC=GF=6，BF=5，
∴PM=9-3+3=9，NP=5，
∴．
∵因为，所以蚂蚁沿长方体表面从点爬行到点的最短距离的10
故答案为：10
【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．
16．（2022·重庆市育才中学八年级期末）如图所示，和都是等腰直角三角形，，平分，连接、，取的中点，连接，若，则与的面积之比为______．
【答案】4:5
【分析】延长AE交BC于点G，连接BE，过点F作交BA的延长线于点H，根据等腰直角三角形的性质及角平分线的计算可得，AG平分，利用等腰三角形“三线合一”性质得出且，设，则，由勾股定理及线段间的数量关系得出，，计算出的面积，结合图形及题意可得，根据等角对等边得出为等腰直角三角形，利用勾股定理可得，结合图形计算的面积，最后求面积比即可．
【详解】解：如图所示：延长AE交BC于点G，连接BE，过点F作交BA的延长线于点H，
∵与均为等腰直角三角形，
∴，，，
∵AC平分，
∴，
∴，
∴AG平分，
∴且，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵D为CE中点，
∴，
∵与中，CD边和DE边上的高相等，都是点B到直线CE的距离，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查角平分线计算，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等，理解题意，结合图形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
17．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度．
【答案】
【分析】连接、，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】解：连接、，如下图：
由勾股定理得，，，
，，
∵，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，为直角三角形，
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理．
18．（2022·江苏东台·九年级期末）如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是______；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为______．
【答案】 1+ 1+
【详解】解：根据当O到AB的距离最大时，OP的值最大，得到O到AB的最大值是AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理求出PM，即可求出答案；将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，根据，得到∠PBA=90°，由勾股定理求出PM即可．
详解：取AB的中点M，连OM，PM，
在Rt△ABO中，OM==1，在等边三角形ABP中，PM=，
无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，
∵O到AB的最大值是AB=1，此时在斜边的中点M上， 由勾股定理得：PM=，
∴OP=1+，
将△AOP的PA边长改为，另两边长度不变， ∵，
∴∠PBA=90°，由勾股定理得：PM=， ∴此时OP=OM+PM=1+．
点睛：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出PD的值是解此题的关键．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·全国·八年级单元测试）如图，中，D为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）8
【分析】
（1）根据∠ACB＝90°，，推出∠B=∠DCB，得出CD＝BD，再根据，得出CD＝AD，从而得出AD＝BD；
（2）根据（1）先求出AB的长，再根据勾股定理即可求出AC的长．
【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，∠DCA＋∠DCB＝90°，
∵，
∴∠B=∠DCB，
∴CD＝BD，
∵，
∴CD＝AD，
∴AD＝BD；
（2）由（1）得：AD＝CD＝BD，
∵CD＝5，
∴AB＝10，
∵BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AC＝．
【点睛】此题考查了勾股定理，等腰三角形的判定定理，根据在三角形中，等角等边对求出CD＝AD＝DB是解题的关键．
20．（2021·全国·八年级单元测试）如图，红星村A和幸福村B在一条小河的同侧，它们到河岸的距离，分别为1和3，又知道的长为3，现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹）；
（2）求铺设水管的最省总费用．
【答案】（1）见解析；（2）100000元．
【分析】
（1）延长AC到F，使CF＝AC，连接BF，交CD于E，则E为所求；
（2）过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，求出BN，NC长，根据勾股定理求出BF，即可得出答案．
【详解】解：（1）延长AC到F，使CF＝AC，连接BF，交CD于E，
∵AC⊥CD，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝FE＋BE＝BF，
则在CD上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省；
（2）如上图，过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，
∴BN＝CD＝3km，CN＝BD＝3km，
∵AC＝CF＝1km，
∴NF＝4km，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝km，
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝5km，
∴铺设水管的最最省总费用是：20000×5＝100000（元）．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质及勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识是解题的关键，此类题目重点培养学生的动手操作能力和计算能力．
21．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，边长为6，高为a，在拼成的四边形ABCD中，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF，CE，CF．
(1)求证：△CEF是等边三角形；
(2)△AEF周长的最小值是 ．（用含a的式子表示）
【答案】(1)证明见解析；(2)6＋3
【分析】
（1）证明△BEC≌△AFC（SAS），可得结论；
（2）△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋BE＋EF＝AB＋EF＝6＋EF，推出EF的值最小时，△AEF的周长最小，因为△ECF是等边三角形，推出EF＝CE，推出当CE⊥AB时，CE的值最小．
【详解】解：(1)证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝∠BCA＝60°，
∵AF＝BE，在△CBE和△CAF中，
，
∴△BEC≌△AFC（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACF＋∠ACE，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
(2)
解：∵△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋BE＋EF＝AB＋EF＝6＋EF，
∴EF的值最小时，△AEF的周长最小，
∵△ECF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∴当CE⊥AB时，CE的值最小，
∵△ABC是等边三角形，且CE⊥AB，
∴，
在Rt△AEC中，CE＝=3，
∴△AEF的周长的最小值为6＋3，
故答案为：6＋3．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
22．（2021·全国·八年级单元测试）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
【答案】解：(1)是，理由见详解； (2)新路CH比原路CA少0.05千米．
【分析】
(1)根据勾股定理的逆定理验证△CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；
(2)在△ACH中根据勾股定理解答即可．
【详解】解：(1)是，理由如下：
在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，
即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
(2)设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知设AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，
故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
23．（2021·全国·八年级单元测试）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．
【答案】（1）证明见解析；（2）5cm
【分析】
（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：证明：（1）如图：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1＝∠3，
由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，
∴△ADC≌△CEB；
（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，
∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），
∴每块砖厚度为5cm．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
24．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)的面积为________；
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)求边上的高．
【答案】(1)5；(2)△ABC是直角三角形，理由见解析；(3)2.
【分析】
（1）根据割补法即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形；
（3）过点C作CF⊥AB于点F，根据等积法即可求得CF值.
(1)
解：如图：
∵AE=1，BD=4，ED=4，EC=DC=2，
∴S△ABC=S梯形ABDE-S△BCD-S△ACE=
=
=
=10-4-1
=5，
故答案为：5；
(2)
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=12+22=5，
∴BC2 +AC2=20+5=25，
即AB2= BC2 +AC2，
故△ABC是直角三角形.
(3)
解：如图：过点C作CF⊥AB于点F，
由（1）（2）知：S△ABC=5，AB=5，
∴S△ABC=，
即，
解得CF=2,
故边上的高为2.
【点睛】此题考查三角形面积，勾股定理及其逆定理，掌握基本知识是解答此题的关键.
25．（2022·湖南广益实验中学八年级期末）我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为
（1）在中，若，，求的值．
（2）如图2，在中，，，求，的值．
（3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长．
【答案】(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=2,AB=10.
【分析】
(1)在Rt中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=,再用新定义即可得出结论;
②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【详解】解：(1)已知如图:AO为BC上的中线,
在Rt中,
AO2-OC2=AC2
因为
所以AO2-OC2=81
所以AC2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC的中点D,连接AO,∵AB=AC,∴AO⊥BC,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,
在Rt△AOB中,AB=12,∠ABC=30°,∴AO=6,OB==,
∴ABAC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72,
②取AC的中点D,连接BD,∴AD=CD=AC=6,过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E,在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,∴∠ABE=30°,
∵AB=12,∴AE=6,BE=,
∴DE=AD+AE=12,
在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD=
∴BABC=BD2﹣CD2=216;
(3)作BD⊥CD,
因为,,
所以BD=2,
因为,是边上的中线,
所以AO2-OC2=-64,
所以OC2-AO2=64,
由因为AC2=82=64,
所以OC2-AO2= AC2
所以∠OAC=90°
所以OA=
所以OC=
所以BC=2OC=2,
在Rt△BCD中,
CD=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=
【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·山东槐荫·八年级期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B．14 C． D．1
2．（2022·全国·八年级期中）已知一个的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
3．（2021·江苏江阴·八年级期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．4，6，8 B．6，8，10 C．6，9，10 D．5，11，13
4．（2022·江苏江阴·八年级期末）已知，，分别是的三边，根据下列条件能判定为直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．（2022·全国·八年级期末）已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
6．（2022·四川宜宾·八年级期末）已知RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，D为BC的中点，E是线段AB上一点，连接CE、DE，则CE+DE的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2+2
7．（2022·广东·深圳市福田区第二实验学校八年级期中）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
8．（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝25°，∠B＝75°
C．a＝，b＝，c＝ D．a＝6，b＝10，c＝12
9．（2021·全国·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m），过点P作OP的垂线交函数（k＞1）的图象于点Q．若Q的横坐标为1，且OP2﹣PQ2＝6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
10．（2021·江西九江·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·全国·八年级单元测试）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为_______．
12．（2021·全国·八年级单元测试）已知等腰三角形的腰长是13cm，底边长10cm，则该等腰三角形的面积是_______cm2．
13．（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ______．
14．（2021·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 _______________．
15．（2022·重庆黔江·八年级期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为______．
16．（2022·重庆市育才中学八年级期末）如图所示，和都是等腰直角三角形，，平分，连接、，取的中点，连接，若，则与的面积之比为______．
17．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度．
18．（2022·江苏东台·九年级期末）如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是______；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为______．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·全国·八年级单元测试）如图，中，D为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．（2021·全国·八年级单元测试）如图，红星村A和幸福村B在一条小河的同侧，它们到河岸的距离，分别为1和3，又知道的长为3，现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹）；
（2）求铺设水管的最省总费用．
21．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，边长为6，高为a，在拼成的四边形ABCD中，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF，CE，CF．
(1)求证：△CEF是等边三角形；
(2)△AEF周长的最小值是 ．（用含a的式子表示）
22．（2021·全国·八年级单元测试）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
23．（2021·全国·八年级单元测试）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．
24．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)的面积为________；
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)求边上的高．
25．（2022·湖南广益实验中学八年级期末）我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为
（1）在中，若，，求的值．
（2）如图2，在中，，，求，的值．
（3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长．
第18章 勾股定理 单元综合能力测试
单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·山东槐荫·八年级期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B．14 C． D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理，即可求得斜边长.
【详解】解：由题意得，该直角三角形的斜边长为：
故选：A.
【点睛】此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理即可解题.
2．（2022·全国·八年级期中）已知一个的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
【答案】D
【分析】由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论：
（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．
∴第三边长的平方是25或7，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
3．（2021·江苏江阴·八年级期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．4，6，8 B．6，8，10 C．6，9，10 D．5，11，13
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，即可完成解答．
【详解】解：A、，故不能组成直角三角形；B、，故能组成直角三角形；C、，故不能组成直角三角形；D、，故不能组成直角三角形；
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握此定理是关键．
4．（2022·江苏江阴·八年级期末）已知，，分别是的三边，根据下列条件能判定为直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项正确；C、∵62+82≠122，∴能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵62+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5．（2022·全国·八年级期末）已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出，即可得到三角形的形状.
【详解】解：∵a+b=10，ab=18，
∴=（a+b）2-2ab=100-36=64，
∵,c=8，
∴=64，
∴=，
∴该三角形是直角三角形，
故选：B.
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出是解题的关键.
6．（2022·四川宜宾·八年级期末）已知RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，D为BC的中点，E是线段AB上一点，连接CE、DE，则CE+DE的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2+2
【答案】B
【分析】作点C关于AB的对称点，连接,与AB交于点E，作DF于点F，则CE=，CE+DE= +DE，线段即为CE+DE得最小值．
【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点，连接,与AB交于点E，作DF于点F，
则CE=，CE+DE= +DE，线段即为CE+DE得最小值．
∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，
D为BC的中点，
CD=BD=BC=×4=2
CF=DF=,CC'=2CG=2×=
故选：B．
【点睛】此题考查了线路最短的问题，勾股定理，确定动点E何位置时，使DE+CE的值最小是解题的关键．
7．（2022·广东·深圳市福田区第二实验学校八年级期中）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【分析】若蚂蚁从侧表面从A爬行到B，首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】解：若蚂蚁从侧表面从A爬行到B，将此圆柱展成平面图得：
∵圆柱的高等于8，底面半径为2（π=3），
∴AC=8，BC==4π=6，
∴AB=10．
根据两点之间线段最短，蚂蚁从侧表面从A爬行到B最短路径为10．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．
8．（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝25°，∠B＝75°
C．a＝，b＝，c＝ D．a＝6，b＝10，c＝12
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理得出，再根据求出最大角，再根据直角三角形的判定即可判断选项；根据三角形的内角和定理求出，即可判断选项；根据勾股定理的逆定理即可判断选项、选项．
【详解】解：．，，
最大角，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
．，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
．，，，
，
是直角三角形，故本选项符合题意；
．，，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和等于180°．
9．（2021·全国·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m），过点P作OP的垂线交函数（k＞1）的图象于点Q．若Q的横坐标为1，且OP2﹣PQ2＝6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】根据点P（m，m）可得均为等腰直角三角形，根据OP2﹣PQ2＝6得出，求出m值即可求得k的值．
【详解】解：作，，
P（m，m），
，
，
，
均为等腰直角三角形，
，
，
，
即，
解得：，
,
点的纵坐标为，
，
将点Q代入中，
得：，
故选:B．
【点睛】本题主要考查一次函数函数图像，等腰三角形以及勾股定理，根据已知条件求出m的值是解题的关键．
10．（2021·江西九江·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③错误；最后求出，故④错误；即可得出答案．
【详解】解：，，，，
，
是直角三角形，，
，故①正确；
，都是等边三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
同理可证：，
，
四边形是平行四边形，故②正确；
，故③错误；
过作于，如图所示：
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故④错误；
正确的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·全国·八年级单元测试）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为_______．
【答案】21或9
【分析】根据题意，可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，BC边上高，
如图所示，当为锐角三角形时，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
∴BC的长为：；
如图所示：当为钝角三角形时，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
∴BC的长为：；
综上可得：BC的长为：21或9．
故答案为：21或9．
【点睛】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是解题关键．
12．（2021·全国·八年级单元测试）已知等腰三角形的腰长是13cm，底边长10cm，则该等腰三角形的面积是_______cm2．
【答案】60
【分析】根据等腰三角形三线合一定理和勾股定理即可求得底边的高，从而求得三角形面积．
【详解】解：如图所示：AB=AC=13cm，BC=10cm
作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°
∴，
∴，
∴△ABC的面积=，
故答案为：60．
【点睛】本题考查勾股定理和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解题关键．
13．（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ______．
【答案】
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE=90°，然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC=2BD．
【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE．
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=13．
在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，
∴AB2+AE2=BE2，
∴∠BAE=90°．
在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，
∴BD=，
∴BC=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等．题中延长中线的一倍是常用的辅助线的作法．
14．（2021·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 _______________．
【答案】##
【分析】根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
【详解】解：，，，
，
，，
，
是直角三角形，，
阴影，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长．
15．（2022·重庆黔江·八年级期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为______．
【答案】10
【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【详解】解：如图，
∵AB=9，BC=GF=6，BF=5，点是的中点，
∴BM=9-3=6，BN=5+3=8，
∴
如图2，
∵AB=8，BC=GF=6，BF=5，
∴PM=9-3+3=9，NP=5，
∴．
∵因为，所以蚂蚁沿长方体表面从点爬行到点的最短距离的10
故答案为：10
【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．
16．（2022·重庆市育才中学八年级期末）如图所示，和都是等腰直角三角形，，平分，连接、，取的中点，连接，若，则与的面积之比为______．
【答案】4:5
【分析】延长AE交BC于点G，连接BE，过点F作交BA的延长线于点H，根据等腰直角三角形的性质及角平分线的计算可得，AG平分，利用等腰三角形“三线合一”性质得出且，设，则，由勾股定理及线段间的数量关系得出，，计算出的面积，结合图形及题意可得，根据等角对等边得出为等腰直角三角形，利用勾股定理可得，结合图形计算的面积，最后求面积比即可．
【详解】解：如图所示：延长AE交BC于点G，连接BE，过点F作交BA的延长线于点H，
∵与均为等腰直角三角形，
∴，，，
∵AC平分，
∴，
∴，
∴AG平分，
∴且，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵D为CE中点，
∴，
∵与中，CD边和DE边上的高相等，都是点B到直线CE的距离，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查角平分线计算，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等，理解题意，结合图形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
17．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度．
【答案】
【分析】连接、，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】解：连接、，如下图：
由勾股定理得，，，
，，
∵，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，为直角三角形，
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理．
18．（2022·江苏东台·九年级期末）如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是______；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为______．
【答案】 1+ 1+
【详解】解：根据当O到AB的距离最大时，OP的值最大，得到O到AB的最大值是AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理求出PM，即可求出答案；将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，根据，得到∠PBA=90°，由勾股定理求出PM即可．
详解：取AB的中点M，连OM，PM，
在Rt△ABO中，OM==1，在等边三角形ABP中，PM=，
无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，
∵O到AB的最大值是AB=1，此时在斜边的中点M上， 由勾股定理得：PM=，
∴OP=1+，
将△AOP的PA边长改为，另两边长度不变， ∵，
∴∠PBA=90°，由勾股定理得：PM=， ∴此时OP=OM+PM=1+．
点睛：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出PD的值是解此题的关键．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·全国·八年级单元测试）如图，中，D为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）8
【分析】
（1）根据∠ACB＝90°，，推出∠B=∠DCB，得出CD＝BD，再根据，得出CD＝AD，从而得出AD＝BD；
（2）根据（1）先求出AB的长，再根据勾股定理即可求出AC的长．
【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，∠DCA＋∠DCB＝90°，
∵，
∴∠B=∠DCB，
∴CD＝BD，
∵，
∴CD＝AD，
∴AD＝BD；
（2）由（1）得：AD＝CD＝BD，
∵CD＝5，
∴AB＝10，
∵BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AC＝．
【点睛】此题考查了勾股定理，等腰三角形的判定定理，根据在三角形中，等角等边对求出CD＝AD＝DB是解题的关键．
20．（2021·全国·八年级单元测试）如图，红星村A和幸福村B在一条小河的同侧，它们到河岸的距离，分别为1和3，又知道的长为3，现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹）；
（2）求铺设水管的最省总费用．
【答案】（1）见解析；（2）100000元．
【分析】
（1）延长AC到F，使CF＝AC，连接BF，交CD于E，则E为所求；
（2）过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，求出BN，NC长，根据勾股定理求出BF，即可得出答案．
【详解】解：（1）延长AC到F，使CF＝AC，连接BF，交CD于E，
∵AC⊥CD，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝FE＋BE＝BF，
则在CD上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省；
（2）如上图，过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，
∴BN＝CD＝3km，CN＝BD＝3km，
∵AC＝CF＝1km，
∴NF＝4km，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝km，
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝5km，
∴铺设水管的最最省总费用是：20000×5＝100000（元）．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质及勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识是解题的关键，此类题目重点培养学生的动手操作能力和计算能力．
21．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，边长为6，高为a，在拼成的四边形ABCD中，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF，CE，CF．
(1)求证：△CEF是等边三角形；
(2)△AEF周长的最小值是 ．（用含a的式子表示）
【答案】(1)证明见解析；(2)6＋3
【分析】
（1）证明△BEC≌△AFC（SAS），可得结论；
（2）△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋BE＋EF＝AB＋EF＝6＋EF，推出EF的值最小时，△AEF的周长最小，因为△ECF是等边三角形，推出EF＝CE，推出当CE⊥AB时，CE的值最小．
【详解】解：(1)证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝∠BCA＝60°，
∵AF＝BE，在△CBE和△CAF中，
，
∴△BEC≌△AFC（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACF＋∠ACE，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
(2)
解：∵△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋BE＋EF＝AB＋EF＝6＋EF，
∴EF的值最小时，△AEF的周长最小，
∵△ECF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∴当CE⊥AB时，CE的值最小，
∵△ABC是等边三角形，且CE⊥AB，
∴，
在Rt△AEC中，CE＝=3，
∴△AEF的周长的最小值为6＋3，
故答案为：6＋3．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
22．（2021·全国·八年级单元测试）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
【答案】解：(1)是，理由见详解； (2)新路CH比原路CA少0.05千米．
【分析】
(1)根据勾股定理的逆定理验证△CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；
(2)在△ACH中根据勾股定理解答即可．
【详解】解：(1)是，理由如下：
在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，
即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
(2)设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知设AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，
故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
23．（2021·全国·八年级单元测试）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．
【答案】（1）证明见解析；（2）5cm
【分析】
（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：证明：（1）如图：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1＝∠3，
由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，
∴△ADC≌△CEB；
（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，
∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），
∴每块砖厚度为5cm．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
24．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)的面积为________；
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)求边上的高．
【答案】(1)5；(2)△ABC是直角三角形，理由见解析；(3)2.
【分析】
（1）根据割补法即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形；
（3）过点C作CF⊥AB于点F，根据等积法即可求得CF值.
(1)
解：如图：
∵AE=1，BD=4，ED=4，EC=DC=2，
∴S△ABC=S梯形ABDE-S△BCD-S△ACE=
=
=
=10-4-1
=5，
故答案为：5；
(2)
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=12+22=5，
∴BC2 +AC2=20+5=25，
即AB2= BC2 +AC2，
故△ABC是直角三角形.
(3)
解：如图：过点C作CF⊥AB于点F，
由（1）（2）知：S△ABC=5，AB=5，
∴S△ABC=，
即，
解得CF=2,
故边上的高为2.
【点睛】此题考查三角形面积，勾股定理及其逆定理，掌握基本知识是解答此题的关键.
25．（2022·湖南广益实验中学八年级期末）我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为
（1）在中，若，，求的值．
（2）如图2，在中，，，求，的值．
（3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长．
【答案】(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=2,AB=10.
【分析】
(1)在Rt中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=,再用新定义即可得出结论;
②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【详解】解：(1)已知如图:AO为BC上的中线,
在Rt中,
AO2-OC2=AC2
因为
所以AO2-OC2=81
所以AC2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC的中点D,连接AO,∵AB=AC,∴AO⊥BC,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,
在Rt△AOB中,AB=12,∠ABC=30°,∴AO=6,OB==,
∴ABAC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72,
②取AC的中点D,连接BD,∴AD=CD=AC=6,过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E,在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,∴∠ABE=30°,
∵AB=12,∴AE=6,BE=,
∴DE=AD+AE=12,
在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD=
∴BABC=BD2﹣CD2=216;
(3)作BD⊥CD,
因为,,
所以BD=2,
因为,是边上的中线,
所以AO2-OC2=-64,
所以OC2-AO2=64,
由因为AC2=82=64,
所以OC2-AO2= AC2
所以∠OAC=90°
所以OA=
所以OC=
所以BC=2OC=2,
在Rt△BCD中,
CD=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=
【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键