7.4.1二项分布同步检测——2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（word版含答案）

7.4.1 二项分布（同步检测）
一、选择题
1.在某次试验中，事件A出现的概率为p，则在n次伯努利试验中出现k次的概率为(　　)
A．1－pk B．(1－p)kpn－k
C.1－(1－p)k D．C(1－p)kpn－k
2.从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为(　　)
A．0.24 B．0.26
C．0.288 D．0.292
3.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)＝(　　)
A. B． C． D．
4.某市公租房房源位于A，B，C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区房源，且申请其中任一个片区房源是等可能的，则该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为(　　)
A. B． C． D．
5.随机变量X～B(100，p)，且E(X)＝20，则D(2X－1)＝(　　)
A．64 B．128
C．256 D．32
6.离散型随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝q，则＋最小值为(　　)
A．2 B． C． D．4
7.(多选题)若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
二、填空题
8.在4重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为________
9.随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布，ξ～B(10，0.6)，则E(η)＝_______，D(η)＝______
10.设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________
11.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为________，方差为________．
12.设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若 P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为________
三、解答题
13.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为，，且每棵大树是否成活互不影响．求：
(1)移栽的4棵大树中至少有1棵成活的概率；
(2)移栽的4棵大树中两种大树各成活1棵概率．
14.某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
15.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
参考答案：
一、选择题
1.D　
解析：出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得出现k次的概率为C(1－p)kpn－k.
2.C　解析：恰好有2次摸出白球的概率为C×0.42×(1－0.4)＝0.288.
3.D　
解析：有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，
则每次取到次品的概率都是p＝＝，
X表示取得次品的次数，则X～B，∴P(X≤2)＝1－P(X＝3)＝1－＝.
4.B　
解析：每位申请人申请房源为一次伯努利试验，该题是4次伯努利试验，设申请A片区房源记为A，则P(A)＝，所以恰有2人申请A片区的概率为C××＝.
5.A
解析：由于X～B(100，p)，且E(X)＝20，则100p＝20，得p＝0.2，
D(X)＝100p(1－p)＝20×(1－0.2)＝16，D(2X－1)＝22D(X)＝64.
6.C　
解析：离散型随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，
所以有E(X)＝4＝np，D(X)＝q＝np(1－p)，
所以4p＋q＝4，即p＋＝1(p>0，q>0)，
所以＋＝＝＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当q＝2p＝时取得等号．
7.AB　
解析：P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝C··＝，P(ξ＝2)＝C··＝，
P(ξ＝3)＝C··＝，P(ξ＝4)＝C··＝，P(ξ＝5)＝＝，
∴当k＝1或2时，P(ξ＝k)最大．
二、填空题
8.答案：　解析：设所求概率为p，则1－(1－p)4＝，得p＝.]
9.答案：2，2.4　
解析：由于ξ～B(10，0.6)，∴E(ξ)＝10×0.6＝6，
又ξ＋η＝8，∴E(η)＝E(8－ξ)＝－E(ξ)＋8＝－6＋8＝2，D(η)＝D(8－ξ)＝D(ξ)，D(ξ)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴D(η)＝2.4.
10.答案：或
解析：P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝·，解得p＝或p＝.
11.答案：60，96　
解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.
由题知X～B(25，0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，
E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，
所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.
12.答案：　
解析：∵随机变量ξ～B(2，p)，P(ξ≥1)＝，∴1－Cp0·(1－p)2＝，∴p＝，
∴η～B，∴P(η≥2)＝C×＋C×＋C＝.]
三、解答题
13.解：设Ak表示“第k棵甲种大树成活”，k＝1，2；
Bl表示“第l棵乙种大树成活”，l＝1，2.则A1，A2，B1，B2相互独立，
且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.
(1)至少有1棵成活的概率为1－P(1 2 1 2)＝1－P(1)·P(2)·P(1)·P(2)＝1－＝.
(2)由n重伯努利试验中事件发生的概率公式，知所求概率为
P＝·＝×＝＝.
14.解：设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，
因为P(A)＝×＝，P(B)＝2××＝，P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝ ∴某应聘人员被录用的概率为.
(2)根据题意，X＝0，1，2，3，4，且X～B，
Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0，1，2，3，4)，
因为P(A0)＝C×＝，P(A1)＝C××＝，P(A2)＝C××＝，
P(A3)＝C××＝，P(A4)＝C××＝.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
15.解：(1)记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，
事件A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，事件B1为“顾客抽奖1次获一等奖”，
事件B2为“顾客抽奖1次获二等奖”，事件C为“顾客抽奖1次能获奖”．
由题意可知，A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，
B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2.
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝×＋×＝.
故所求概率P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.
(2)顾客抽奖3次可视为3重伯努利试验．由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B.
于是P(X＝0)＝C××＝，P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，P(X＝3)＝C××＝.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望为E(X)＝3×＝.